2014年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(湖南卷)文

1、2014年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試(湖南卷)數(shù)學(xué)(文史類)一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.1.(2014湖南,文1)設(shè)命題p:xR,x2+10,則p為()A.x0R,x02+10B.x0R,x02C.x0R,x02+12,B=x|1x2B.x|x1C.x|2x3D.x|1x3答案:C解析:由交集的概念,結(jié)合數(shù)軸(數(shù)軸略)可得AB=x|2x3.故選C.3.(2014湖南,文3)對一個容量為N的總體抽取容量為n的樣本,當選取簡單隨機抽樣、系統(tǒng)抽樣和分層抽樣三種不同方法抽取樣本時,總體中每個個體被抽中的概率分別為p1,p2,

2、p3,則()A.p1=p2p3B.p2=p3p1C.p1=p3p2D.p1=p2=p3答案:D解析:由隨機抽樣的原則可知簡單隨機抽樣、分層抽樣、系統(tǒng)抽樣都必須滿足每個個體被抽到的概率相等,即p1=p2=p3,故選D.4.(2014湖南,文4)下列函數(shù)中,既是偶函數(shù)又在區(qū)間(-,0)上單調(diào)遞增的是()A.f(x)=1x2B.f(x)=x2C.f(x)=x3D.f(x)=2-x答案:A解析:由偶函數(shù)的定義知,A,B為偶函數(shù).A選項,f(x)=-2x3在(-,0)恒大于0;B選項,f(x)=2x在(-,0)恒小于0.故選5.(2014湖南,文5)在區(qū)間-2,3上隨機選取一個數(shù)X,則X1的概率為()A

3、.45B.35C.25答案:B解析:由幾何概型的概率公式可得P(X1)=35,故選B6.(2014湖南,文6)若圓C1:x2+y2=1與圓C2:x2+y2-6x-8y+m=0外切,則m=()A.21B.19C.9D.-11答案:C解析:易知圓C1的圓心坐標為(0,0),半徑r1=1.將圓C2化為標準方程(x-3)2+(y-4)2=25-m(m25),得圓C2的圓心坐標為(3,4),半徑r2=25-m(m25).由兩圓相外切得|C1C2|=r1+r2=1+25-m=5,解方程得m=97.(2014湖南,文7)執(zhí)行如圖所示的程序框圖.如果輸入的t-2,2,則輸出的S屬于()A.-6,-2B.-5,

4、-1C.-4,5D.-3,6答案:D解析:當t-2,0)時,執(zhí)行以下程序:t=2t2+1(1,9,S=t-3(-2,6;當t0,2時,執(zhí)行S=t-3-3,-1,因此S(-2,6-3,-1=-3,6.故選D.8.(2014湖南,文8)一塊石材表示的幾何體的三視圖如圖所示,將該石材切削、打磨,加工成球,則能得到的最大球的半徑等于()A.1B.2C.3D.4答案:B解析:由三視圖可得原石材為如右圖所示的直三棱柱A1B1C1-ABC,且AB=8,BC=6,BB1=12.若要得到半徑最大的球,則此球與平面A1B1BA,BCC1B1,ACC1A1相切,故此時球的半徑與ABC內(nèi)切圓半徑相等,故半徑r=6+8

5、-102=2.9.(2014湖南,文9)若0 x1x2ln x2-ln x1B.ex2C.x2ex1x1ex2D.x2答案:C解析:設(shè)f(x)=ex-ln x,則f(x)=xex-1x.當x0且x趨近于0時,xe當x=1時,xex-10,因此在(0,1)上必然存在x1x2,使得f(x1)=f(x2),因此A,B不正確;設(shè)g(x)=exx,當0 x1時,g(x)=(x-1)exx2g(x2),即ex110.(2014湖南,文10)在平面直角坐標系中,O為原點,A(-1,0),B(0,3),C(3,0),動點D滿足|CD|=1,則|OA+OB+OD|A.4,6B.19-1,19+1C.23,27D

6、.7-1,7+1答案:D解析:設(shè)動點D的坐標為(x,y),則由|CD|=1得(x-3)2+y2=1,所以D點的軌跡是以(3,0)為圓心,1為半徑的圓.又OA+OB+OD=(x-1,y+3),所以|OA+OB+OD|=(x-1)2+(y+3)2,故|OA+OB+OD|的最大值為(3,0)與(1,-3)兩點間的距離加1,即7+1,最小值為二、填空題:本大題共5小題,每小題5分,共25分.11.(2014湖南,文11)復(fù)數(shù)3+ii2(i為虛數(shù)單位)的實部等于答案:-3解析:由題意可得3+ii2=3+i-1=-3-12.(2014湖南,文12)在平面直角坐標系中,曲線C:x=2+22t,y=1+答案:

7、x-y-1=0解析:兩式相減得,x-y=2-1,即x-y-1=0.13.(2014湖南,文13)若變量x,y滿足約束條件yx,x+y答案:7解析:不等式組表示的平面區(qū)域如圖陰影部分所示,作直線l0:2x+y=0并平移,當直線經(jīng)過點A(3,1)時,在y軸上的截距最大,此時z取得最大值,且最大值為7.14.(2014湖南,文14)平面上一機器人在行進中始終保持與點F(1,0)的距離和到直線x=-1的距離相等.若機器人接觸不到過點P(-1,0)且斜率為k的直線,則k的取值范圍是.答案:(-,-1)(1,+)解析:由題意知,機器人行進的路線為拋物線y2=4x.由題意知過點P的直線為y=kx+k(k0)

8、,要使機器人接觸不到過點P的直線,則直線與拋物線無公共點,聯(lián)立方程得k4y2-y+k=0,即=1-k21或k-115.(2014湖南,文15)若f(x)=ln(e3x+1)+ax是偶函數(shù),則a=.答案:-3解析:由題意得f(-x)=ln(e-3x+1)-ax=ln1+e3xe3x-ax=ln(1+e3x)-ln e3x-ax=ln(e3x+1)-(3+a)x,而f(x)為偶函數(shù),因此f(-x)=f(x),即ax=-(3+a)三、解答題:本大題共6小題,共75分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.16.(本小題滿分12分)(2014湖南,文16)已知數(shù)列an的前n項和Sn=n2+n2,n(

9、1)求數(shù)列an的通項公式;(2)設(shè)bn=2an+(-1)nan,求數(shù)列bn的前2n分析:在第(1)問中,通過Sn可求出an,在求解過程中要注意分n=1和n2兩種情況進行討論;在第(2)問中,充分利用第(1)問的結(jié)論得到bn=2n+(-1)nn,然后利用分組求和法分別計算(21+22+22n)和(-1+2-3+2n),最后相加得到bn的前2n項和.解:(1)當n=1時,a1=S1=1;當n2時,an=Sn-Sn-1=n2故數(shù)列an的通項公式為an=n.(2)由(1)知,bn=2n+(-1)nn.記數(shù)列bn的前2n項和為T2n,則T2n=(21+22+22n)+(-1+2-3+4-+2n).記A=

10、21+22+22n,B=-1+2-3+4-+2n,則A=2(1-22n)1-2=22n+1-2,B=(-1+2)+(-3+4)+-故數(shù)列bn的前2n項和T2n=A+B=22n+1+n-2.17.(本小題滿分12分)(2014湖南,文17)某企業(yè)有甲、乙兩個研發(fā)小組,為了比較他們的研發(fā)水平,現(xiàn)隨機抽取這兩個小組往年研發(fā)新產(chǎn)品的結(jié)果如下:(a,b),(a,b),(a,b),(a,b),(a,b),(a,b),(a,b),(a,b),(a,b),(a,b),(a,b),(a,b),(a,b),(a,b),(其中a,a分別表示甲組研發(fā)成功和失敗;b,b分別表示乙組研發(fā)成功和失敗.(1)若某組成功研發(fā)一

11、種新產(chǎn)品,則給該組記1分,否則記0分.試計算甲、乙兩組研發(fā)新產(chǎn)品的成績的平均數(shù)和方差,并比較甲、乙兩組的研發(fā)水平;(2)若該企業(yè)安排甲、乙兩組各自研發(fā)一種新產(chǎn)品,試估計恰有一組研發(fā)成功的概率.分析:在第(1)問中,通過已知條件可分別寫出甲、乙兩組的成績,然后利用平均數(shù)公式分別計算甲、乙兩組的平均成績,再結(jié)合方差公式得到甲、乙兩組的方差,進而比較甲、乙兩組的研發(fā)水平;在第(2)問中,充分利用古典概型的概率公式,轉(zhuǎn)化為計算基本事件的個數(shù),從而求得概率.解:(1)甲組研發(fā)新產(chǎn)品的成績?yōu)?,1,1,0,0,1,1,1,0,1,0,1,1,0,1,其平均數(shù)為x甲方差為s甲乙組研發(fā)新產(chǎn)品的成績?yōu)?,0,1

12、,1,0,1,1,0,1,0,0,1,0,1,1,其平均數(shù)為x乙方差為s乙因為x甲所以甲組的研發(fā)水平優(yōu)于乙組.(2)記E=恰有一組研發(fā)成功.在所抽得的15個結(jié)果中,恰有一組研發(fā)成功的結(jié)果是(a,b),(a,b),(a,b),(a,b),(a,b),(a,b),(a,b),共7個.故事件E發(fā)生的頻率為715將頻率視為概率,即得所求概率為P(E)=71518.(本小題滿分12分)(2014湖南,文18)如圖,已知二面角-MN-的大小為60,菱形ABCD在面內(nèi),A,B兩點在棱MN上,BAD=60,E是AB的中點,DO面,垂足為O.(1)證明:AB平面ODE;(2)求異面直線BC與OD所成角的余弦值.

13、分析:在第(1)問中,可利用線面垂直的判定定理證明,由DO平面可得到DOAB,然后利用ABD為正三角形得到DEAB,最后根據(jù)線面垂直的判定定理得出所證結(jié)論;在第(2)問中,充分利用第(1)問的結(jié)論AB平面ODE,從而得到二面角-MN-的平面角,達到立幾化平幾的目的,即轉(zhuǎn)化為求ADO的余弦,然后利用解直角三角形的方法求出余弦值.解:(1)如圖a,因為DO,AB,所以DOAB.圖a連接BD,由題設(shè)知,ABD是正三角形.又E是AB的中點,所以DEAB.而DODE=D,故AB平面ODE.(2)因為BCAD,所以BC與OD所成的角等于AD與OD所成的角,即ADO是BC與OD所成的角.由(1)知,AB平面

14、ODE,所以ABOE.又DEAB,于是DEO是二面角-MN-的平面角,從而DEO=60.不妨設(shè)AB=2,則AD=2.易知DE=3.在RtDOE中,DO=DEsin 60=32連接AO,在RtAOD中,cosADO=DOAD故異面直線BC與OD所成角的余弦值為3419.(本小題滿分13分)(2014湖南,文19)如圖,在平面四邊形ABCD中,DAAB,DE=1,EC=7,EA=2,ADC=23,BEC=(1)求sinCED的值;(2)求BE的長.分析:在第(1)問中,通過已知條件,借助余弦定理得到CD的長,然后在CDE中,利用正弦定理得到CED的正弦值;在第(2)問中,利用CED的正弦值求得其余

15、弦值,然后利用角之間的關(guān)系表示出AEB,進而表示出AEB的余弦值,最后在RtEAB中利用邊角關(guān)系,求得BE的長.解:如題圖,設(shè)CED=.(1)在CDE中,由余弦定理,得EC2=CD2+DE2-2CDDEcosEDC.于是由題設(shè)知,7=CD2+1+CD,即CD2+CD-6=0.解得CD=2(CD=-3舍去).在CDE中,由正弦定理,得ECsin于是,sin =CD即sinCED=217(2)由題設(shè)知,00,b10)和橢圓C2:y2a22+x2b22=1(a(1)求C1,C2的方程;(2)是否存在直線l,使得l與C1交于A,B兩點,與C2只有一個公共點,且|OA+OB|=|AB|?分析:在第(1)

16、問中,利用已知條件結(jié)合圖形以及雙曲線、橢圓中a,b,c的幾何意義,列出關(guān)于a1,b1,a2,b2的方程,得到它們的值,從而求出雙曲線C1、橢圓C2的方程;在第(2)問中,首先對直線l的斜率進行分類討論,當斜率k不存在時易得A,B兩點的坐標,進而判斷滿足題設(shè)條件的直線l不存在;當斜率k存在時,可先設(shè)出l的方程,然后代入曲線方程,利用根與系數(shù)的關(guān)系并結(jié)合向量的運算,依此判斷滿足題設(shè)條件的直線l不存在.解:(1)設(shè)C2的焦距為2c2,由題意知,2c2=2,2a1=2.從而a1=1,c2=1.因為點P233,1在雙曲線x2-y所以2332-1b12由橢圓的定義知2a2=2332+于是a2=3,b2故C

17、1,C2的方程分別為x2-y23=1,y2(2)不存在符合題設(shè)條件的直線.若直線l垂直于x軸,因為l與C2只有一個公共點,所以直線l的方程為x=2或x=-2.當x=2時,易知A(2,3),B(2,-所以|OA+OB|=22,|AB|=2此時,|OA+OB|當x=-2時,同理可知,|OA+OB|若直線l不垂直于x軸,設(shè)l的方程為y=kx+m.由y=kx+m,x2-y23=1得(3-k2當l與C1相交于A,B兩點時,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1,x2是上述方程的兩個實根,從而x1+x2=2km3-k2,x1于是y1y2=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=3k由y=kx+m,y

18、23+x22=1得(2k2+3)因為直線l與C2只有一個公共點,所以上述方程的判別式=16k2m2-8(2k2+3)(m2-3)=0.化簡,得2k2=m2-3,因此OAOB=x1x2+y1y2=m2+3k于是OA2+OB2+2OAOBOA即|OA+OB2|OA-OB2|,故|綜合,可知,不存在符合題設(shè)條件的直線.21.(本小題滿分13分)(2014湖南,文21)已知函數(shù)f(x)=xcos x-sin x+1(x0).(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)記xi為f(x)的從小到大的第i(iN*)個零點,證明:對一切nN*,有1x12分析:在第(1)問中,通過已知條件,借助導(dǎo)數(shù),轉(zhuǎn)化為判斷導(dǎo)數(shù)在(0,+)上的符號,進而得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;在第(2)問中,充分利用第(1)問的結(jié)論,得到f(x)在(n,(n+1)上存在零點,從而得出nxn+10,此時f(x)0;當x(2k