2023屆高三數(shù)學(xué)小題專練-平面向量的線性運(yùn)算4（含解析）

1、試卷第 =page 5 5頁(yè)，共 =sectionpages 6 6頁(yè)試卷第 =page 6 6頁(yè)，共 =sectionpages 6 6頁(yè)一、單選題1在中，是邊上的點(diǎn)，且，為的外心，則（）A12B13C18D92已知平面向量，且，向量滿足，則的最小值為（）ABCD3已知點(diǎn)P在拋物線上，過(guò)點(diǎn)P作拋物線的切線，切點(diǎn)分別為M，N，若，且，則C的準(zhǔn)線方程為（）ABCD4在中，點(diǎn)滿足，過(guò)點(diǎn)的直線與、所在的直線分別交于點(diǎn)、，若，則的最小值為ABCD5已知直線與直線相交于點(diǎn)，線段是圓的一條動(dòng)弦，且，則的最大值為（）ABCD6在平面直角坐標(biāo)系中，和是圓上的兩點(diǎn)，且 ，點(diǎn)，則的取值范圍是（ ）ABCD7已知是

2、不共線向量，設(shè)，若的面積為3，則的面積為（）A8B6C5D48已知點(diǎn)P是ABC所在平面內(nèi)點(diǎn)，有下列四個(gè)等式：甲：；乙：；丙：；?。喝绻挥幸粋€(gè)等式不成立，則該等式為（）A甲B乙C丙D丁9若圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)滿足，點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，則的最小值是（）ABCD10半徑為1的扇形AOB中，AOB=120，C為弧上的動(dòng)點(diǎn)，已知，記，則（）A若m+n=3，則M的最小值為3B若m+n=3，則有唯一C點(diǎn)使M取最小值C若mn=3，則M的最小值為3D若mn=3，則有唯一C點(diǎn)使M取最小值11已知雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別為，直線l過(guò)且與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，若直線l不與x軸垂直，且，則直線l的斜率為（）ABCD12在平行四邊

3、形中，分別是上的點(diǎn)，且，（其中），且.若線段的中點(diǎn)為，則當(dāng)取最小值時(shí)，的值為（）ABCD13在中，已知，的面積為6，若為線段上的點(diǎn)（點(diǎn)不與點(diǎn)，點(diǎn)重合），且，則的最小值為（ ）.A9BCD14已知，則的取值范圍是（）A0，1BC1，2D0，215在四棱錐中，記三棱錐的體積分別為，四棱錐的體積分別為，則（）ABCD16已知點(diǎn)是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，滿足，則與的面積之比為ABC3D 17設(shè)為的外心，若，則是的（）A重心（三條中線交點(diǎn)）B內(nèi)心（三條角平分線交點(diǎn)）C垂心（三條高線交點(diǎn)）D外心（三邊中垂線交點(diǎn)）18如圖，在中，和相交于點(diǎn)，則向量等于（）ABCD19AB為C：(x2)2(y4)225的一條弦，若點(diǎn)

4、P為C上一動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍是（）A0，100B12，48C9，64D8，7220在中，為的外心，若，、，則（）ABCD二、填空題21已知等腰直角的斜邊長(zhǎng)為，其所在平面上兩動(dòng)點(diǎn)、滿足（且、），若，則的最大值為_(kāi)22已知是的內(nèi)接正三角形，D是劣弧的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)E，F(xiàn)同時(shí)從點(diǎn)A出發(fā)以相同的速度分別在AB，AC邊上運(yùn)動(dòng)到B，C若的半徑為，則的最大值與最小值之和等于_23已知，是非零不共線的向量，設(shè)，定義點(diǎn)集，當(dāng)，時(shí)，若對(duì)于任意的，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的最小值為_(kāi).24我校高一同學(xué)發(fā)現(xiàn)：若是內(nèi)的一點(diǎn)，、的面積分別為、，則存在結(jié)論，這位同學(xué)利用這個(gè)結(jié)論開(kāi)始研究：若為內(nèi)的一點(diǎn)且為內(nèi)心，的內(nèi)角、的對(duì)邊分別為、

5、，且，若，則的最大值為_(kāi).25如圖梯形，且，在線段上，則的最小值為_(kāi).26如圖，在中，點(diǎn)在線段上移動(dòng)（不含端點(diǎn)），若，則的取值范圍是_27設(shè)經(jīng)過(guò)的重心的直線與，分別交于，兩點(diǎn).若，則的最小值_.28如圖，在平面四邊形中，若點(diǎn)為邊上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為_(kāi) 29中，且對(duì)于，最小值為，則_.30已知向量，滿足，則的最大值是_.答案第 = page 31 31頁(yè)，共 = sectionpages 32 32頁(yè)答案第 = page 32 32頁(yè)，共 = sectionpages 32 32頁(yè)參考答案：1B【分析】由向量在幾何圖形中對(duì)應(yīng)線段，結(jié)合向量的加法得，取的中點(diǎn)為，連接，再由為的外心得：、，最后根據(jù)

6、求值即可.【詳解】由于，則，取的中點(diǎn)為，連接，由于為的外心，則，同理可得，.故選：B2A【分析】由已知可求得，令，則，從而可得點(diǎn)的軌跡是以為圓心，1為半徑的圓，令， 則，然后結(jié)合圖形可求出的最小值【詳解】因?yàn)椋?，因?yàn)?，所以，如圖，令，則，所以，因?yàn)?，所以，即，設(shè)，則點(diǎn)的軌跡是以為圓心，1為半徑的圓，令， 則，所以當(dāng)，且C，P，Q三點(diǎn)共線時(shí)，取最小值，則，故選：A【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化向量的關(guān)系為圖形的關(guān)系，數(shù)形結(jié)合即可得解.3A【分析】設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)寫出切線的方程，聯(lián)立求出交點(diǎn)坐標(biāo) ， 又由，知為三角形的重心，代入重心坐標(biāo)公式，利用已知條件可求出的坐標(biāo)為再代入拋物線方程,

7、求出，進(jìn)而求C的準(zhǔn)線方程.【詳解】設(shè)，由，得，則，則 即 同理直線的方程為 ，聯(lián)立的方程可得，則，又由，得為三角形的重心,則， ，得，則，又拋物線上，得，即，準(zhǔn)線方程為.故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線與拋物線的相切問(wèn)題，三角形重心的坐標(biāo)公式以及拋物線的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題.4B【分析】由題意得出，再由，可得出，由三點(diǎn)共線得出，將代數(shù)式與相乘，展開(kāi)后利用基本不等式可求出的最小值.【詳解】如下圖所示：，即，、三點(diǎn)共線，則.，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，因此，的最小值為，故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查三點(diǎn)共線結(jié)論的應(yīng)用，同時(shí)也考查了利用基本不等式求和式的最小值，解題時(shí)要充分利用三點(diǎn)共

8、線得出定值條件，考查運(yùn)算求解能力，屬于中等題.5D【解析】由已知可得點(diǎn)的軌跡為，將轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到弦的中點(diǎn)的距離的兩倍，利用圖形即可得解.【詳解】由題意得圓的圓心為，半徑，易知直線恒過(guò)點(diǎn)，直線恒過(guò)，且，點(diǎn)的軌跡為，圓心為，半徑為，若點(diǎn)為弦的中點(diǎn),位置關(guān)系如圖：.連接，由易知.，.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了直線的方程、圓的方程、直線與圓的位置關(guān)系以及向量的線性運(yùn)算，考查了轉(zhuǎn)化化歸思想和數(shù)形結(jié)合的思想，屬于難題.6A【解析】取中點(diǎn)為，延長(zhǎng)至，使得，求出，根據(jù)已知求出的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，再利用數(shù)形結(jié)合求出的取值范圍.【詳解】，取中點(diǎn)為，且，延長(zhǎng)至，使得，所以，因?yàn)?，所以的軌跡是以為圓心，為半徑

9、的圓，因?yàn)?，所? 故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查直線和圓的位置關(guān)系和軌跡問(wèn)題，考查向量的線性運(yùn)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.7A【分析】根據(jù)已知條件結(jié)合向量的線性表示，向量加減法的運(yùn)算，可得到與的兩個(gè)邊之間的關(guān)系，利用面積公式結(jié)合邊的關(guān)系，可得結(jié)論.【詳解】，如圖，在平行四邊形中，設(shè)，則，即同理，在平行四邊形中，可得，；所以與的夾角為或其補(bǔ)角，則的面積為8.故選：A.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：（1）應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實(shí)質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加、減或數(shù)乘運(yùn)算；（2）用向量基本定理解決問(wèn)題的一般思路是：先選擇一組基底，并運(yùn)用該基底將條件和結(jié)論表示

10、成向量的形式，再通過(guò)向量的運(yùn)算來(lái)解決.8B【分析】先根據(jù)向量等式推導(dǎo)出甲中P為ABC的重心，乙中ABC為直角三角形，丙中P為ABC的外心，丁中P為ABC的垂心，故得到當(dāng)ABC為等邊三角形時(shí)，三心重合，此時(shí)甲丙丁均成立，乙不成立，得到答案.【詳解】甲：，則，故P為ABC的重心；乙：，則，故，即ABC為直角三角形；丙：點(diǎn)P到三角形三個(gè)頂點(diǎn)距離相等，故P為ABC的外心；?。?，則，同理可得：，即P為ABC的垂心，當(dāng)ABC為等邊三角形時(shí)，三心重合，此時(shí)甲丙丁均成立，乙不成立，滿足要求，當(dāng)乙成立時(shí)，其他三個(gè)均不一定成立.故選：B9B【分析】設(shè)的中點(diǎn)為，根據(jù)弦長(zhǎng)，求出點(diǎn)與原點(diǎn)的距離為，從而求出點(diǎn)的軌跡方程，

11、再由向量的運(yùn)算求出，所以求的最小值即為求的最小值，根據(jù)圓與直線的關(guān)系即可求解.【詳解】由可知圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為，因?yàn)椋詧A心到直線的距離，設(shè)的中點(diǎn)為，則，所以點(diǎn)在以原點(diǎn)為圓心，以為半徑的圓上，所以點(diǎn)的軌跡方程為，又為的中點(diǎn)，所以，所以，圓心到的距離為，所以，所以.故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查圓的概念，以及圓與直線的位置關(guān)系，涉及到向量的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是1、會(huì)根據(jù)定義求圓的方程，2、能將圓上點(diǎn)到直線的距離轉(zhuǎn)化成圓心到直線的距離，考查學(xué)生轉(zhuǎn)化思想和綜合運(yùn)用能力.10A【分析】設(shè)，以為原點(diǎn)，以、與所在直線垂直的直線分別為軸、軸建立平面直角坐標(biāo)系，把轉(zhuǎn)化為關(guān)于的表達(dá)式，可解決此題【詳解】：設(shè)，

12、如圖：以為原點(diǎn)，以、與所在直線垂直的直線分別為軸、軸建立平面直角坐標(biāo)系，則， 若，取，則，,，此時(shí)，、兩點(diǎn)重合，所以正確；取，則，當(dāng)時(shí)取最小值，此時(shí)、兩點(diǎn)重合，所以點(diǎn)不唯一，故B錯(cuò)誤；若，取，則，當(dāng)時(shí)，故C錯(cuò)誤；取，時(shí)，則，當(dāng)時(shí)，取最小值，點(diǎn)不唯一，故D錯(cuò)誤.故選：A【點(diǎn)睛】本題考查平面向量的線性運(yùn)算的意義和模的意義，涉及與圓有關(guān)的最值問(wèn)題，關(guān)鍵是題目中的參數(shù)較多，故而應(yīng)當(dāng)想到直接解決困難較大，應(yīng)用特值排除的方法解決較為方便，這是在解決一些選擇題是常常需要用到的思想方法.11B【分析】設(shè)直線，聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理可求得的中點(diǎn)的坐標(biāo)，由向量的數(shù)量積知，即，代入即可求解.【詳解】由已知得到.設(shè)，直線

13、，顯然.聯(lián)立，得.因?yàn)閘與雙曲線交于兩點(diǎn)，所以，且.由韋達(dá)定理知，設(shè)的中點(diǎn)為，根據(jù)，得到，從而得到，故.而，所以，解得，故l的斜率為，故選：B.12B【解析】利用，結(jié)合向量線性運(yùn)算、數(shù)量積運(yùn)算，以及，求得當(dāng)為何值時(shí)取得最小值，進(jìn)而求得的值.【詳解】依題意可知，所以.由于，所以可化為，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)時(shí)，取得最小值，此時(shí)，所以.故選：B【點(diǎn)睛】本小題主要考查平面向量線性運(yùn)算、數(shù)量積運(yùn)算，模的運(yùn)算，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.13C【分析】先根據(jù)題意得，進(jìn)而得，進(jìn)而得，故，再根據(jù)為線段上的點(diǎn)得，最后結(jié)合基本不等式求解即可得答案.【詳解】解：因?yàn)?，所以，因?yàn)榈拿娣e為，所以，所

14、以，所以，由于，所以，所以，所以由余弦定理得：，即.所以，因?yàn)闉榫€段上的點(diǎn)（點(diǎn)不與點(diǎn)，點(diǎn)重合），所以，根據(jù)題意得 所以所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查基本不等式求最值，正余弦定理解三角形，平面向量的數(shù)量積運(yùn)算與共線定理得推理，考查綜合分析與處理問(wèn)題能力，是難題.14D【分析】設(shè)，可得，構(gòu)造，可得，根據(jù)向量減法的模長(zhǎng)不等式可得解.【詳解】設(shè)，則，所以，又，所以，又則0，2.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了向量的綜合運(yùn)算，考查學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化化歸，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力.15C【分析】由得即可判斷A，B選項(xiàng)；設(shè)三棱錐的體積分別為，同理得，則即可判斷C，D選項(xiàng).【詳解】由題意知：，

15、設(shè)到平面的距離分別為，易得，則，則，即，則A，B錯(cuò)誤；設(shè)三棱錐的體積分別為，設(shè)到平面的距離分別為，易得，則，則，即，又，即，又，則C正確，D錯(cuò)誤.故選：C.16C【分析】延長(zhǎng)交于，利用三點(diǎn)共線可設(shè)，再利用三點(diǎn)共線可設(shè)，利用題設(shè)條件可計(jì)算的值，從而可計(jì)算所求面積之比.【詳解】如圖，延長(zhǎng)交于，則，因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以即，所以，則，故且，又，故，所以，所以，所以，故選C.【點(diǎn)睛】一般地，利用向量的線性運(yùn)算可計(jì)算平面幾何中線段的比值，從而得到相應(yīng)的面積之比，在計(jì)算線段比值時(shí)，應(yīng)利用基底法，把向量的關(guān)系轉(zhuǎn)化為基底向量的系數(shù)關(guān)系，從而得到欲求的線段長(zhǎng)度的比值.17C【解析】設(shè)的中點(diǎn)為，根據(jù)題意可得，由題中向

16、量的等式化簡(jiǎn)得，即在邊的高線上同理可證出在邊的高線上，故可得是三角形的垂心【詳解】在中，為外心，可得，設(shè)的中點(diǎn)為，則，可得在邊的高線上同理可證，在邊的高線上，故是三角形兩高線的交點(diǎn)，可得是三角形的垂心，故選：C【點(diǎn)睛】本題給出三角形中的向量等式，判斷點(diǎn)是三角形的哪一個(gè)心著重考查了向量加法法則、三角形的外接圓性質(zhì)和三角形“五心”的判斷等知識(shí)點(diǎn)，屬于中檔題18B【分析】過(guò)點(diǎn)分別作交于點(diǎn)，作交于點(diǎn)，由平行線得出三角形相似，得出線段成比例，結(jié)合，證出和，最后由平面向量基本定理和向量的加法法則，即可得和表示.【詳解】解：過(guò)點(diǎn)分別作交于點(diǎn)，作交于點(diǎn)，已知，則和，則：且，即：且，所以，則：，所以，解得：，同

17、理，和，則：且，即：且，所以，則：，即，所以，即，得：，解得：，四邊形是平行四邊形，由向量加法法則，得，所以.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查平面向量的線性運(yùn)算、向量的加法法則和平面向量的基本定理，考查運(yùn)算能力.19D【分析】取AB中點(diǎn)為Q,利用數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)可得，再利用圓的性質(zhì)可得取值范圍，即求.【詳解】取AB中點(diǎn)為Q，連接PQ， ，又，點(diǎn)P為C上一動(dòng)點(diǎn)，的取值范圍8，72.故選：D.20C【分析】作出圖形，先推導(dǎo)出，同理得出，由此得出關(guān)于實(shí)數(shù)、的方程組，解出這兩個(gè)未知數(shù)的值，即可求出的值.【詳解】如下圖所示，取線段的中點(diǎn)，連接，則且，同理可得，由，可得，即，解得，因此，.故選：C.【點(diǎn)睛】本題

18、考查利用三角形外心的向量數(shù)量積的性質(zhì)求參數(shù)的值，解題的關(guān)鍵就是利用三角形外心的向量數(shù)量積的性質(zhì)列方程組求解，考查分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，屬于中等題.21#【分析】分析可知點(diǎn)在內(nèi)或其邊界上，取線段的中點(diǎn)，可得，求出的最大值，即可得解.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，所以，因?yàn)榍?、，所以，、，所以，點(diǎn)在內(nèi)或其邊界上，取線段的中點(diǎn)，則，故當(dāng)最大時(shí)，取最大值，如下圖所示，當(dāng)點(diǎn)與的頂點(diǎn)重合時(shí)，取得最大值，且最大值為，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)、三點(diǎn)共線且在線段上時(shí)，等號(hào)成立，故.故答案為：.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求兩個(gè)向量的數(shù)量積有三種方法：（1）利用定義：（2）利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算；（3）利用數(shù)量積的幾何意義具體應(yīng)用

19、時(shí)可根據(jù)已知條件的特征來(lái)選擇，同時(shí)要注意數(shù)量積運(yùn)算律的應(yīng)用22【分析】由已知，作圖，根據(jù)外接圓半徑計(jì)算出的邊長(zhǎng)，設(shè)，利用平面向量的線性運(yùn)算表示出，轉(zhuǎn)化成一個(gè)關(guān)于的函數(shù)關(guān)系，然后根據(jù)的范圍求直接對(duì)應(yīng)的最大值、最小值即可.【詳解】由已知，的半徑為，由正弦定理可得，連接AD，如圖，由條件可知，設(shè)，所以的最大值與最小值之和等于故答案為：.23.【分析】由，可得，共線，再由向量的數(shù)量積的幾何意義可得為的平分線，由角平分線的性質(zhì)定理可得，可得的軌跡為圓，求得圓的直徑與的關(guān)系，即可得到所求最值【詳解】解：由，可得，共線，由，可得，即有，則為的平分線，由角平分線的性質(zhì)定理可得，即的軌跡為圓心在上的圓，由，可得

20、，由，可得，可得，由函數(shù)在上遞增，可得，即有，即，由題意可得，故的最小值為故答案為：24【分析】分析可得出，可求得，利用余弦定理結(jié)合基本不等式可求得的最小值，即可求得的最大值.【詳解】因?yàn)榈膬?nèi)心到該三角形三邊的距離相等，則，由可得，所以，因?yàn)?，則，所以，所以，可得，因?yàn)?，由余弦定理可得，由基本不等式可得，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，.故答案為：.【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：利用基本不等式求最值時(shí)，要注意其必須滿足的三個(gè)條件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項(xiàng)必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項(xiàng)之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3

21、）“三相等”是利用基本不等式求最值時(shí)，必須驗(yàn)證等號(hào)成立的條件，若不能取等號(hào)則這個(gè)定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯(cuò)誤的地方.25【解析】本題首先可以設(shè)向量與的夾角為，然后根據(jù)以及向量的運(yùn)算法則得出，再然后建立直角坐標(biāo)系，寫出各點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)，則，最后根據(jù)向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示得出，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)即可求出最值.【詳解】因?yàn)椋韵蛄颗c的夾角和向量與的夾角相等，設(shè)向量與的夾角為，因?yàn)?，所以，即，整理得，解得，如圖，過(guò)點(diǎn)作垂線，垂足為，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，易知，則，因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，取最小值，最小值為，故答案為：.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查向量的數(shù)量積的求法，可通過(guò)建立直角坐標(biāo)系的方式進(jìn)行求解，考查向量的運(yùn)算法則，考查向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，考查計(jì)算能力，考查轉(zhuǎn)化與化歸思想，是難題.26【分析】根據(jù)題意，設(shè)，根據(jù)向量的線性運(yùn)算，利用表示出，求出和，然后利用雙鉤函數(shù)的單調(diào)性求出的取值范圍.【詳解】解：由題可知，設(shè)，則，所以，而，可得：，所以，設(shè)，由雙鉤函數(shù)性質(zhì)可知，在上單調(diào)遞減，則，所以的取值范圍是.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查平面向量的線性運(yùn)算和平面向量的基本定理的應(yīng)用，還涉及雙鉤函數(shù)的單調(diào)性，考查轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)算能力.27；【解析】應(yīng)用向量減法在幾何中的應(yīng)用有，結(jié)合