環(huán)境統(tǒng)計(jì)第四章課件

1、1、抽樣推斷的概念和特點(diǎn)抽樣推斷概念：從總體中隨機(jī)抽樣，利用樣本的實(shí)際資料計(jì)算樣本指標(biāo)，并據(jù)以推算總體相應(yīng)數(shù)量特征的一種統(tǒng)計(jì)方法。 從總體中抽樣進(jìn)行調(diào)查叫抽樣調(diào)查。抽樣推斷特點(diǎn)：（1）按隨機(jī)原則從總體中抽樣抽樣調(diào)查的目的是推斷總體，抽樣時(shí)保證每個(gè)單位有同等的機(jī)會(huì)被選取，才能使所選樣本和總體有相同分布特征，樣本才有代表性。第四章 環(huán)境參數(shù)的抽樣估計(jì)（2）通過抽樣調(diào)查，取得部分單位的實(shí)際資料計(jì)算樣本的綜合指標(biāo)，然后對(duì)總體的規(guī)模、水平、結(jié)構(gòu)等數(shù)量指標(biāo)做出估計(jì)和推斷。（3）用樣本指標(biāo)估計(jì)總體指標(biāo)，利用的是不確定的概率估計(jì)的方法。（4）抽樣誤差可以計(jì)算和控制。采取一定得組織措施來控制誤差的范圍，保證抽樣

2、推斷的結(jié)果達(dá)到一定的可取程度。有關(guān)抽樣調(diào)查的幾個(gè)基本概念 （1）總體和樣本?？傮w是指被研究對(duì)象的全體，它是由所研究范圍內(nèi)具有某種共同性質(zhì)的全體單位所組成的集合體。總體的單位數(shù)用N表示；樣本是從總體中隨機(jī)抽取出來的那部分單位的集合體。樣本的單位數(shù)用n來表示。（2）抽樣框。劃定一個(gè)盡可能接近總體的便于操作的框架，作為抽樣總體，即抽樣框。抽樣框?qū)嶋H上是被抽單位的目錄。 （3）參數(shù)和統(tǒng)計(jì)量。根據(jù)總體各單位的標(biāo)志值或標(biāo)志屬性計(jì)算的，反映總體數(shù)量特征的綜合指標(biāo)稱為總體指標(biāo)，它是總體變量的函數(shù)，其數(shù)值是由總體各單位的標(biāo)志值或標(biāo)志屬性決定的，一個(gè)總體指標(biāo)是一個(gè)確定的、唯一的數(shù)值，也稱真值，因此稱為參數(shù)。根據(jù)樣

3、本各單位標(biāo)志值或標(biāo)志屬性計(jì)算的綜合指標(biāo)稱為統(tǒng)計(jì)量，也可稱為樣本指標(biāo)。（4）樣本容量和樣本個(gè)數(shù)。樣本容量又稱樣本含量，是指一個(gè)樣本包含的觀察單位數(shù)。樣本容量的大小直接影響著抽樣調(diào)查的效果。一般將n30的樣本稱之為小樣本，n30的樣本稱為大樣本。樣本個(gè)數(shù)又稱樣本可能數(shù)目，是指從一個(gè)總體中可能抽取的樣本個(gè)數(shù)。（5）重復(fù)抽樣與不重復(fù)抽樣。重復(fù)抽樣也稱回置抽樣，即從總體中每次抽取一個(gè)單位之后，再放回總體，保持總體單位數(shù)不變，再進(jìn)行下一個(gè)單位的抽取，如此重復(fù)抽足一個(gè)樣本。重復(fù)抽樣每個(gè)單位中選的機(jī)會(huì)在各次都完全相等。從總體N個(gè)單位中，用重復(fù)抽樣的方法，隨機(jī)抽取n個(gè)單位構(gòu)成一個(gè)樣本，則共可抽取Nn個(gè)樣本。 不

4、重復(fù)抽樣也稱不回置抽樣，即從總體中每抽取一個(gè)單位，就不再放回參加下次的抽選，這樣每抽出一個(gè)單位，總體中就少一個(gè)單位，因而每個(gè)單位只有一次被抽中的機(jī)會(huì)。從總體N個(gè)單位中，用不重復(fù)抽樣的方法抽取n個(gè)單位樣本，全部可能抽取的樣 本數(shù)目為 個(gè)。2.2分層抽樣 分層抽樣也稱類型抽樣或分類抽樣。它是先將總體各單位按主要標(biāo)志進(jìn)行分層，然后再按比例從各層中隨機(jī)抽取一定數(shù)目的單位構(gòu)成樣本。 分層抽樣需要確定各層的樣本數(shù)目分配，樣本單位在各層中的數(shù)目分配，可以是等比例的分層抽樣，也可以是不等比例的分層抽樣。（1）等比例分層抽樣。就是按總體各層單位數(shù)的多少來分配每層應(yīng)抽的樣本單位數(shù)。（2）不等比例抽樣。 2.3等距

5、抽樣等距抽樣又稱機(jī)械隨機(jī)抽樣或系統(tǒng)抽樣。它是先將總體各單位按某一標(biāo)志順序排列，然后按固定的順序和間隔抽取一定數(shù)目的總體單位構(gòu)成樣本。 在按無(wú)關(guān)標(biāo)志排隊(duì)的等距抽樣中，可在第一個(gè)間隔內(nèi)隨機(jī)抽取第一個(gè)樣本單位作為起點(diǎn)，然后每隔K個(gè)單位抽取一個(gè)樣本單位，直到抽夠所需要的樣本單位數(shù)。 在按有關(guān)標(biāo)志排隊(duì)的等距抽樣中，第一個(gè)樣本單位通常按以下方法來確定。 （1）中點(diǎn)取樣法。 （2）平均取樣法。 （3）隨機(jī)起點(diǎn)，對(duì)稱等距取樣。 2.5階段抽樣 階段抽樣亦稱多階段抽樣。階段抽樣是將總體先分成若干大組，大組中再分小組，還可以往下細(xì)分。抽樣時(shí)先隨機(jī)抽取大組，再?gòu)某橹械拇蠼M中隨機(jī)抽取小組，最后根據(jù)最終抽取的所有單位組

6、成樣本，進(jìn)行調(diào)查。階段抽樣方法多用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方法，也可將幾種抽樣方法結(jié)合使用。 3抽樣分布3.1總體分布、樣本分布與抽樣分布從概率論角度看，總體各單位標(biāo)志值Xi（i = 1，2，N ）可以看作是隨機(jī)變量X的N種取值。 因此，統(tǒng) 計(jì)上 常將隨機(jī)變量 X 的 全 部 取 值 X1，X2， ，XN 的集合稱為變量總體 ( 簡(jiǎn)稱總體，記為X )， X1，X2，XN 被稱為總體單位(個(gè)體)，從總體中隨機(jī)抽取的 n 個(gè)個(gè)體 X1，X2，Xn ，稱為總體 X 的一個(gè)容量為 n 的樣本，其中 X1，X2，Xn 被稱為“樣本單位”。樣本單位 X1，X2，Xn 可以看作是 n 個(gè)相互獨(dú)立且與 X 具有相同概率分

7、布的隨機(jī)變量，從總體 X 中進(jìn)行一次 具體抽樣，所獲得的具體數(shù)據(jù) x1，x2，xn 是 n 個(gè)隨機(jī)變量(樣本) X1，X2，Xn 的具體數(shù)值，常稱為樣本觀察值或樣本值。 設(shè) X1，X2，Xn 為總體X的一個(gè)樣本， f（X1，X2，Xn） 為一個(gè)連續(xù)函數(shù)， 若 f（X1，X2，Xn）中不含任何未知參數(shù)， 則稱 f（X1，X2，Xn）為一個(gè)統(tǒng)計(jì)量。如果x1，x2，xn為樣本X1，X2，Xn的具體樣本觀察值，則 f(x1，x2，xn)是f（X1，X2，Xn）的一個(gè)觀察值。例如，樣本X1，X2，Xn 的均值 、方差S2都是統(tǒng)計(jì)量，對(duì)于從總體X中抽出的某一具體樣本x1，x2，xn，其均值、s2分別被稱為

8、統(tǒng)計(jì)量及 S2 的一個(gè)觀察值。例5.1 設(shè)有5臺(tái)儀器，其使用時(shí)間分別為1年，2年，3年，4年，5年?，F(xiàn)采用重復(fù)抽樣方法抽出2臺(tái)儀器構(gòu)成樣本，試給出其總體分布，樣本均數(shù)的抽樣分布及相應(yīng)的分布特征。該總體的概率分布如下表：表5.1 5臺(tái)儀器使用時(shí)間的概率分布使用時(shí)間Xi 12345臺(tái) 數(shù)fi 11111概 率Pifi /fi 該總體分布的特征： 的抽樣分布 =10.04+1.50.08+20.12+2.50.16+30.20+ 3.50.16+40.12+4.50.08+50.043(年) (1-3)20.04+(1.5-3)20.08+(2-3)20.12 +(2.5-3)20.16+(3-3)

9、20.20+(3.5-3)20.16 +(4-3)20.12+(4.5-3)20.08+(5-3)20.04l(年)樣本均值11.522.533.544.55次 數(shù) fi 123454321概 率 Pi 0.040.080.120.160.200.160.120.080.04這一結(jié)論具有普遍意義。樣本均值的抽樣分布，并描述了其分布特征。 當(dāng)總體容量較大時(shí)，無(wú)法用上述方法描述統(tǒng)計(jì)量的抽樣分布，必須進(jìn)一步探討抽樣分布的理論方法。 3.2樣本均值 的抽樣分布作為隨機(jī)變量，樣本均值的變化規(guī)律，可以用 的所有可能取值及其所對(duì)應(yīng)的概率來描述，即為樣本均值 的抽樣分布。 3.2.1 2已知時(shí)樣本均值 的抽樣

10、分布當(dāng)總體X服從正態(tài)分布時(shí)，設(shè)x1，x2，xn是從正態(tài)總體X N( )中重復(fù)抽取的一個(gè)簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，則其樣本均值 亦是服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量，并且可以證明，即 N( )。 例如，某總體 XN (20，32)；現(xiàn)從中隨機(jī) 抽取一個(gè) n3 的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，則 N(20，323)，即 N (20，3)；如果將n由3增加到9， 則 N (20，1)?？傮w分布與不同樣本容量的抽樣分布 由此可以說明：(1) 當(dāng)總體服從正態(tài)分布時(shí)，不論樣本容量n有多大，樣本均值均服從以總體均值為中心的正態(tài)分布。(2) 從正態(tài)總體中隨機(jī)抽樣，樣本均值的數(shù)學(xué)期望等于總體均值；樣本均值的方差為總體方差 的1/n ，這意味著樣本均

11、值的各觀察值比總體各單位Xi更緊密地集中在總體均值的周圍，且樣本均值的集中程度與樣本容量 n 成正比。(3) 樣本均值的方差 ，進(jìn)而，有樣本均值的標(biāo)準(zhǔn)誤差 （簡(jiǎn)稱均值的標(biāo)準(zhǔn)誤）。(4) 對(duì) 作標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量變換，令則 N (0，1)。當(dāng)總體X不服從正態(tài)分布時(shí)，樣本均值的抽樣分布與樣本容量n 的大小有關(guān)。根據(jù)中心極限定理，隨著樣本容量n 的逐漸增加，樣本均值的抽樣分布趨近正態(tài)分布。因此，當(dāng)樣本容量n 充分大(一般認(rèn)為n50)時(shí)，樣本均值的抽樣分布一般可按正態(tài)分布處理。t分布也是一種對(duì)稱分布，在樣本容量n不大的情況下，t分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布相差較大，但隨著樣本含量的逐漸增大（嚴(yán)格講是自由度n - l逐

12、漸增大）t 分布逐漸逼近標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，尤其是當(dāng)自由度大于40時(shí)，t 分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布相差甚微，當(dāng)自由度時(shí)，t分布就與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布完全一樣了。因此，當(dāng)自由度較大時(shí)的t 分布可以近似地按正態(tài)分布處理。 不同自由度下的t分布和正態(tài)分布一樣，t 分布曲線下的總面積也等于1，即 t 值落入?yún)^(qū)間（- ，+ ）內(nèi)的概率為1。t 值落入任一區(qū)間（t1，t2）內(nèi)的概率等于該區(qū)間曲線和橫軸所夾的面積。如t值落于區(qū)間（-t0.05，+t0.05）內(nèi)的概率為0.95，t值落于區(qū)間（-t0.01，+t0.01）內(nèi)的概率為0.99。這里的t0.05、t0.01是概率分別為0.05，0.01時(shí)的 t 界值。例如，查自由度

13、9，概率0.05的t雙側(cè)分位數(shù)，就要查概率為 /20.025時(shí)的單側(cè)分位數(shù)。從附表3中，可以查出t 0.025，9 2.262，由于曲線的對(duì)稱性，則另一尾區(qū) t 0.025，9 2.262。就是說， t 2.262 和 t 2.262 (相當(dāng)于t 2.262 )的兩個(gè)尾區(qū)的曲線下的面積之和為0.05。對(duì)于雙側(cè)分位數(shù)可以表示為：P (t t /2 ， ) 以后我們均以“t ， ”表示單側(cè)分位數(shù)，“t /2 ， ”表示雙側(cè)分位數(shù)。3.2.3 兩個(gè)樣本均值之差的抽樣分布當(dāng) 和 為已知時(shí)， 當(dāng) 和 均 為未知時(shí)，且當(dāng) 和 均 為未知時(shí)，且當(dāng)X1和X2為非正態(tài)總體 ， 和 均 為未知時(shí)，且3.3樣本比率

14、(成數(shù))p的抽樣分布設(shè)容量為N的總體中具有某種性質(zhì)的總體單位數(shù)為M，則總體關(guān)于這種性質(zhì)的總體單位數(shù)的比率 。 如果從該總體抽取容量為n的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，對(duì)樣本比率P，則有4抽樣誤差的估計(jì)4.1抽樣誤差的概念抽樣誤差是指統(tǒng)計(jì)量與相應(yīng)參數(shù)之差。如樣本均值與總體均值之差，樣本比率 p與總體比率P之差等。由于總體中各單位之間存在著變異，抽樣調(diào)查中抽取的樣本只包含總體一部分的單位，其結(jié)構(gòu)不可能和總體完全一致，因而樣本指標(biāo)不一定恰好等于相應(yīng)的總體指標(biāo)。抽樣誤差越小，用樣本估計(jì)總體的可靠性就越大，否則，抽樣誤差越大，用樣本估計(jì)總體的可靠性就越小。抽樣誤差雖然不可避免，但它具有一定的規(guī)律性，在抽樣調(diào)查中，掌握和

15、應(yīng)用這種規(guī)律性是非常重要的。4.2影響抽樣誤差的因素 (1) 樣本容量的大小。在其他因素完全相同的條件下，樣本容量越大，抽樣誤差就越小；而樣本容量越小，抽樣誤差就越大。 (2) 總體單位標(biāo)志變異度的大小。抽樣誤差與總體標(biāo)志變異度成正比。即總體標(biāo)志變異度越大，抽樣誤差也越大；總體的標(biāo)志變異度越小，則抽樣誤差也越小。 (3) 不同的抽樣組織形式。對(duì)同一總體進(jìn)行抽樣調(diào)查。在樣本容量一定的條件下，重復(fù)抽樣的誤差比不重復(fù)抽樣的誤差要大些。 4.3均值的抽樣誤差 從總體X 中隨機(jī)抽取一個(gè)容量n 的樣本x1，x2，xn，由于有多種抽選方法，可以抽取多個(gè)不同樣本，因而就有多個(gè)不同的樣本均值。 如果把樣本均值看

16、作變量，也可以用標(biāo)準(zhǔn)差說明各樣本均值間的變異程度，即樣本均值的標(biāo)準(zhǔn)誤差，簡(jiǎn)稱標(biāo)準(zhǔn)誤。均值的抽樣誤差的大小通常用標(biāo)準(zhǔn)誤來表示。 根據(jù)抽樣分布的原理，容量為n 的樣本均值分布的方差 等于總體方差2 的1/n，即 取兩端平方根，則為： 在實(shí)際應(yīng)用中，總體標(biāo)準(zhǔn)差 未知，通常是用標(biāo)準(zhǔn)誤的估計(jì)值來說明均值抽樣誤差大小的。 均值的標(biāo)準(zhǔn)誤估計(jì)值在隨機(jī)抽樣方式重復(fù)抽樣時(shí)，其計(jì)算公式為： 不重復(fù)抽樣，其抽樣誤差總是小于重復(fù)抽樣誤差。從容量為N的總體中不重復(fù)抽樣，均值的標(biāo)準(zhǔn)誤計(jì)算公式為：當(dāng)總體單位數(shù) N 很大時(shí)，式中的N -1可近似取N，則 通常稱為有限總體修正系數(shù)。當(dāng)nN 不大(一般不大于5% 時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)誤計(jì)算公式

17、中的修正系數(shù)可以省去。 例5.2 某縣利用原有的淺層水井進(jìn)行地下水污染狀況抽樣調(diào)查。從該縣的1000眼水井中隨機(jī)抽選10眼水井，測(cè)定井水中砷的濃度，測(cè)定結(jié)果，10眼井水中砷的平均濃度為0.58mgL，標(biāo)準(zhǔn)差為mgL。試求其均值的標(biāo)準(zhǔn)誤。 本例 0.58mgL，S0.1mgL，N 1000， n =10，由于n/ N 1%5%，因此按式（5.11）計(jì)算均值的標(biāo)準(zhǔn)誤4.4比率(成數(shù))的標(biāo)準(zhǔn)誤比率的標(biāo)準(zhǔn)誤計(jì)算與均值的標(biāo)準(zhǔn)誤計(jì)算原理基本相同。重復(fù)抽樣時(shí)，比率的標(biāo)準(zhǔn)誤計(jì)算公式為： 當(dāng) P 未知時(shí)，常以樣本比率 p 來估計(jì)，則不重復(fù)抽樣時(shí)比率標(biāo)準(zhǔn)誤的計(jì)算公式為：例5.3某市監(jiān)測(cè)大氣中SO2濃度，在采集的2

18、00個(gè)空氣樣品中，經(jīng)測(cè)定有8個(gè)樣品SO2濃度超標(biāo)。求SO2超標(biāo)率的標(biāo)準(zhǔn)誤。本例SO2濃度超標(biāo)率 ，由于P未知， 而且是從無(wú)限總體中抽樣，可按式（5.15）計(jì)算： 例5.4 某河段有1000個(gè)污水排放口，用不重復(fù)抽樣方法從中抽檢100個(gè)污水排放口，結(jié)果有85個(gè)超標(biāo)，求該超標(biāo)率的標(biāo)準(zhǔn)誤。排污口超標(biāo)率 按式（5.16） 計(jì)算： 該河段污水排放口超標(biāo)率的標(biāo)準(zhǔn)誤為3.39%。標(biāo)準(zhǔn)誤與標(biāo)準(zhǔn)差的區(qū)別： 標(biāo)準(zhǔn)差描述個(gè)體間的變異程度。凡同性質(zhì)的資料，標(biāo)準(zhǔn)差大表示個(gè)體變異大，標(biāo)準(zhǔn)差小表示個(gè)體變異小。 而標(biāo)準(zhǔn)誤是樣本指標(biāo)的標(biāo)準(zhǔn)差，反映樣本指標(biāo)的抽樣誤差，即樣本指標(biāo)與總體指標(biāo)的接近程度。凡同性質(zhì)的資料，標(biāo)準(zhǔn)誤大，表示

19、樣本指標(biāo)的抽樣誤差大，用樣本指標(biāo)代表總體指標(biāo)的可靠性小，而標(biāo)準(zhǔn)誤小，表示樣本指標(biāo)的抽樣誤差小，用樣本指標(biāo)代表總體指標(biāo)的可靠性大。4.5抽樣極限誤差抽樣極限誤差又稱抽樣允許誤差。把樣本指標(biāo)與總體指標(biāo)之間的抽樣誤差控制在一個(gè)允許的限度范圍內(nèi)，這個(gè)可允許的最大抽樣誤差范圍稱為抽樣極限誤差。用絕對(duì)值表示 用不等式表示則為： p 5. 參數(shù)估計(jì) 5.1參數(shù)估計(jì)的優(yōu)良標(biāo)準(zhǔn) 評(píng)價(jià)統(tǒng)計(jì)量的優(yōu)劣一般應(yīng)遵從以下原則： 5.1.1無(wú)偏性 總體參數(shù)的估計(jì)量是一個(gè)隨機(jī)變量，對(duì)隨機(jī)樣本x1，x2，xn的不同觀察值，某估計(jì)量會(huì)取得不同的估計(jì)值。估計(jì)量的每一個(gè)估計(jì)值與相應(yīng)的總體參數(shù)的真值之間可能存在著一定的誤差，但如果某估計(jì)

20、量的所有可能估計(jì)值的平均值，即估計(jì)量的數(shù)學(xué)期望等于相應(yīng)的總體參數(shù)值，則該估計(jì)量就被稱為相應(yīng)總體參數(shù)的無(wú)偏估計(jì)量。 如果估計(jì)量的數(shù)學(xué)期望值不等于要估計(jì)的參數(shù)，就稱為偏倚估計(jì)量，它可正可負(fù)，等于零時(shí)即為無(wú)偏估計(jì)量。無(wú)偏估計(jì)實(shí)際上是在平均意義下較好的一個(gè)估計(jì)量。一個(gè)好的估計(jì)量是無(wú)偏的或至少是近于無(wú)偏的。對(duì)于樣本均值 有所以樣本均值是總體均值的無(wú)偏估計(jì)量。 無(wú)偏估計(jì)的實(shí)際意義: 無(wú)系統(tǒng)誤差.P( )BA無(wú)偏有偏證例1特別的:不論總體 X 服從什么分布,只要它的數(shù)學(xué)期望存在,對(duì)于樣本方差s2有樣本方差一般指 ，并簡(jiǎn)記為s2。證例2(這種方法稱為無(wú)偏化).5.1.2有效性 設(shè)1，2為參數(shù)的兩個(gè)無(wú)偏估計(jì)量，

21、如果對(duì)任一容量為n的樣本，有 D（1）D（2） 則稱1比2的估計(jì)值更有效。若固定樣本容量n，使取得極小值的無(wú)偏估計(jì)量就稱之為最有效的估計(jì)量，又稱最優(yōu)估計(jì)量。因此，估計(jì)量的方差越小，說明估計(jì)量取值越集中，它的有效性越高。 由于方差是隨機(jī)變量取值與其數(shù)學(xué)期望的偏離程度, 所以無(wú)偏估計(jì)以方差小者為好.AB 的抽樣分布 的抽樣分布P( )證明例4 (續(xù)例3)5.1.3 一致性 當(dāng)樣本容量逐漸增加時(shí)，如果估計(jì)量的某估計(jì)值會(huì)愈來愈接近于相應(yīng)的參數(shù)值，則稱該估計(jì)量是參數(shù)的一致估計(jì)量。5.1.4充分性 如果一個(gè)估計(jì)量充分地利用了樣本中有關(guān)總體的所有可能信息，它就稱為充分估計(jì)量。即如果某估計(jì)量是某參數(shù)的充分估計(jì)

22、量，則不會(huì)有別的統(tǒng)計(jì)量能夠?yàn)樵搮?shù)提供更多的來自樣本的信息。5.2點(diǎn)估計(jì) 設(shè)總體 X 的分布函數(shù)形式已知, 但它的一個(gè)或多個(gè)參數(shù)為未知, 借助于總體 X 的一個(gè)樣本來估計(jì)總體未知參數(shù)的值的問題稱為點(diǎn)估計(jì)問題.例1解用樣本均值來估計(jì)總體的均值 E(X).點(diǎn)估計(jì)問題的一般提法1.估計(jì)量的求法 由于估計(jì)量是樣本的函數(shù), 是隨機(jī)變量, 故對(duì)不同的樣本值, 得到的參數(shù)值往往不同, 如何求估計(jì)量是關(guān)鍵問題.常用構(gòu)造估計(jì)量的方法: (兩種)矩估計(jì)法和最大似然估計(jì)法.(1). 矩估計(jì)法復(fù)習(xí)2. 樣本 k 階(原點(diǎn))矩(X為連續(xù)型)(X為離散型)矩估計(jì)法的定義 用樣本矩來估計(jì)總體矩,用樣本矩的連續(xù)函數(shù)來估計(jì)總體

23、矩的連續(xù)函數(shù),這種估計(jì)法稱為矩估計(jì)法.矩估計(jì)法的具體做法:矩估計(jì)量的觀察值稱為矩估計(jì)值.例2設(shè)總體X的概率密度為其中為待估參數(shù)，設(shè)是來自X的一個(gè)樣本，求的矩估計(jì)量.解 總體X 的一階矩為以一階樣本矩代替上式中的一階總體矩 ，從中解出 ， 得到的矩估計(jì)量為 例3設(shè)總體X的概率密度為其中為待估參數(shù)，設(shè)是來自X的一個(gè)樣本，求的矩估計(jì)量.解 總體X 的一階、二階矩分別為分別以一階、二階樣本矩代替上兩式中的有從中解得即得到的矩估計(jì)量為解根據(jù)矩估計(jì)法,例4解例5解方程組得到a, b的矩估計(jì)量分別為解解方程組得到矩估計(jì)量分別為例6上例表明: 總體均值與方差的矩估計(jì)量的表達(dá)式不因不同的總體分布而異.一般地,(

24、2). 最大似然估計(jì)法似然函數(shù)的定義最大似然估計(jì)法似然函數(shù)的定義求最大似然估計(jì)量的步驟:最大似然估計(jì)法是由費(fèi)舍爾引進(jìn)的. 最大似然估計(jì)法也適用于分布中含有多個(gè)未知參數(shù)的情況. 此時(shí)只需令對(duì)數(shù)似然方程組對(duì)數(shù)似然方程解似然函數(shù)例7這一估計(jì)量與矩估計(jì)量是相同的.例8在例2中求參數(shù)的最大似然估計(jì)值，設(shè)是一個(gè)樣本值.解 似然函數(shù)為令 解得注意到故所求 的最大似然估計(jì)值為這與的矩估計(jì)值不一樣.解X 的似然函數(shù)為例9它們與相應(yīng)的矩估計(jì)量相同.解例10注：最大似然估計(jì)法也適用于分布中含多個(gè)未知參數(shù)的情形.兩種求點(diǎn)估計(jì)的方法:矩估計(jì)法最大似然估計(jì)法 在統(tǒng)計(jì)問題中往往先使用最大似然估計(jì)法, 在最大似然估計(jì)法使用不

25、方便時(shí), 再用矩估計(jì)法.5.2點(diǎn)估計(jì)和區(qū)間估計(jì) 點(diǎn)估計(jì)就是用某樣本指標(biāo)直接作為相應(yīng)總體指標(biāo)的估計(jì)值。 點(diǎn)估計(jì)方法雖然簡(jiǎn)單，但由于未考慮到樣本指標(biāo)與總體指標(biāo)之間客觀存在著的抽樣誤差，也沒有給出估計(jì)的概率保證程度，無(wú)法確定估計(jì)的可靠程度。因此，我們常用區(qū)間估計(jì)，實(shí)踐中有許多區(qū)間估計(jì)的例子。 5.2.1置信概率和置信區(qū)間 按一定的概率估計(jì)總體參數(shù)在哪個(gè)范圍，這個(gè)范圍稱為總體參數(shù)的置信區(qū)間。 區(qū)間內(nèi)總體參數(shù)出現(xiàn)的概率稱為置信概率。 對(duì)總體參數(shù)估計(jì)其取值范圍，對(duì)于給定的小概率，有 （1，2）是參數(shù)的置信區(qū)間， 為顯著性水平，1 - 為區(qū)間估計(jì)的置信度或置信水平，即置信概率。它表明判斷總體參數(shù)落在置信區(qū)的

26、可信程度。1，2分別為參數(shù)的下置信限和上置信限。稱為舍棄域。 置信區(qū)間與置信概率的關(guān)系 對(duì)于特定總體，總體參數(shù)總是一個(gè)確定的值，統(tǒng)計(jì)量則是一個(gè)隨機(jī)變量。因此，由1，2所構(gòu)成的置信區(qū)間也是一個(gè)隨機(jī)區(qū)間。在所有可能樣本指標(biāo)所構(gòu)成的所有置信區(qū)間中，有的區(qū)間可能包括了總體指標(biāo)，有的可能沒有包括。置信度1-的含義是，由全部樣本指示所確定的所有置信區(qū)間中，有100 (1-)%的估計(jì)區(qū)間包括了總體參數(shù)，另外有100%的區(qū)間沒有包括總體指標(biāo)。而對(duì)由某一樣本指標(biāo)所確定的具體估計(jì)區(qū)間（1，2）來說，就是其包含的可能性(概率)為100(1-)%，不包含的可能性為 100%。 置信區(qū)間的寬窄與置信概率和樣本容量有關(guān)，

27、它隨著不同的置信度和樣本容量而變化。置信區(qū)間若取得過大，估計(jì)精度就差，價(jià)值往往不大。而取得過小，需要大量增加樣本容量，費(fèi)力費(fèi)時(shí)。置信區(qū)間取多大才算合適，需要根據(jù)所研究對(duì)象的性質(zhì)，結(jié)合實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)與專業(yè)知識(shí)來決定。實(shí)際應(yīng)用中，一般取0.01或0.05，如無(wú)特別指出，一般取0.05。 96 求置信區(qū)間的一般步驟(共3步)5.2.2總體均值的區(qū)間估計(jì) （1）n30，總體方差已知時(shí)，總體均值的區(qū)間估計(jì)。 對(duì)于給定的置信度1-，有 置信度為1-時(shí)總體均值的置信區(qū)間計(jì)算公式為： ， 例5.5 根據(jù)以往資料，土壤中磷的含量服從正態(tài)分布，現(xiàn)對(duì)某地土壤進(jìn)行采樣調(diào)查，測(cè)得9個(gè)土壤樣品中磷的平均含量為364.3ppm，

28、已知該土壤中磷含量的總體標(biāo)準(zhǔn)差為99.8 ppm，試估計(jì)該地土壤中磷中平均含量的95%和99%置信區(qū)間。 時(shí),則 的95%置信區(qū)間為： ， =（303.8，429.5）99%置信區(qū)間為： , =（278.5，450.1） 在報(bào)告結(jié)果時(shí)，可將點(diǎn)估計(jì)和區(qū)間估計(jì)同時(shí)寫出，如本例95%和99%的置信區(qū)間可分別寫成364.3（303.8，429.5）ppm和364.3（278.5，450.1）ppm。 如果是非正態(tài)總體或總體分布形態(tài)未知，當(dāng)總體方差已知且樣本容量n充分大時(shí)，總體均值的置信區(qū)間可按上式近似計(jì)算。(2)總體方差未知時(shí)總體均值的置信區(qū)間 從正態(tài)總體中隨機(jī)抽樣，當(dāng)樣本容量較小且總體方差未知時(shí)，根

29、據(jù)t分布原理，對(duì)于給定的置信度1-，有總體均數(shù)值的1-置信區(qū)間為 對(duì)于非正態(tài)總體，只要樣本容量n足夠大，根據(jù)中心極限定理，仍可按上式估計(jì)總體均數(shù)值的置信區(qū)間。當(dāng)樣本容量n足夠大時(shí)， 例5.6 某排污口經(jīng)100次測(cè)試，廢水中COD平均為100mg/L，標(biāo)準(zhǔn)差為20 mg/L，試估計(jì)該排污口廢水中COD值的95%置信區(qū)間。 =（96.1，103.9） 即該排污口廢水中COD值的95%置信區(qū)間為96.1103.9 mg/L。例 5.7 為檢查某湖水受汞污染情況，從該湖中隨機(jī)取9條魚齡相近的魚，測(cè)得魚胸肌中汞含量平均為2.01ppm，標(biāo)準(zhǔn)差為0.11ppm，試求該湖魚胸肌中汞含量的95%及99%置信區(qū)

30、間。 =（1.925，2.095） 5.2.3 兩個(gè)總體均值之差的區(qū)間估計(jì)1、兩總體方差12和22已知時(shí) 兩個(gè)總體均值之差的區(qū)間估計(jì)來自兩個(gè)正態(tài)總體的樣本均值分別為 x1和x2，其樣本容量分別為n1和n2 根據(jù)抽樣分布原理有 N(0,1)對(duì)給定的置信度1-則有1-2的置信區(qū)間為式中 是x1 x2的抽樣分布之標(biāo)準(zhǔn)差，用 表示 稱為兩均值之差的標(biāo)準(zhǔn)誤，表示由x1-x2估計(jì)1 2的抽樣誤差。如果兩總體方差未知，當(dāng)樣本n1和n2均足夠大時(shí)可近似的以樣本方差s1 s2代替式中總體方差，計(jì)算均值差的置信區(qū)間。2、兩總體方差12和22未知，但12=22時(shí)，兩個(gè)總體之差的區(qū)間估計(jì)設(shè)從方差均為的兩正態(tài)總體中隨機(jī)

31、抽取容量為n1和n2的樣本 當(dāng)未知時(shí)，則統(tǒng)計(jì)量給定置信概率為1- 則可得置信區(qū)間為式中t/2,v 為自由度為n1+n2-2時(shí)的t臨界值其中是x1-x2的抽樣分布之標(biāo)準(zhǔn)差。稱為兩均值之差的標(biāo)準(zhǔn)誤，表示由 x1-x2估計(jì)1-2的抽樣誤差3、兩總體方差12和22未知，但1222時(shí)，兩個(gè)總體均值之差的區(qū)間估計(jì)由于1222 兩總體方差不具有齊性，根據(jù)抽樣分布原理統(tǒng)計(jì)量服從自由度為n的t分布。其中對(duì)給的的置信概率 1-可得其均值差的置信區(qū)間為例 甲乙兩地空氣中某元素的含量服從正態(tài)分布12=0.013，22=0.012，從兩地抽樣測(cè)試結(jié)果如下 n甲=30 x甲=0.03 n乙=28 X乙=0.016，求置信

32、概率我0.95時(shí)兩地均值之差的置信區(qū)間 -0.042甲-乙0.072已知某造紙廠廢水中懸浮物連續(xù)排放服從正態(tài)分布，一月份對(duì)該廠廢水抽樣8次，其廢水懸浮物含量平均為22.5mg/l，2月份抽樣8次測(cè)得廢水懸浮物平均含量17.8mg/l一月份和2月份測(cè)定結(jié)果的標(biāo)準(zhǔn)差分別為8.3 和7.6，求兩個(gè)月廢水中懸浮物平均差值的95%置信區(qū)間。根據(jù)題意 本例屬于總體方差1、2未知1=2式中 自由度v=8+8-2=14 =0.05 t0.05/2，14=2.415 -3.81-213.2某縣甲、乙兩污水渠酚含量屬于正態(tài)分布甲測(cè)定39次其平均含量0.58 標(biāo)準(zhǔn)差s1=0.10 乙 測(cè)定43次 平均含量0.18

33、標(biāo)準(zhǔn)差s2=0.08 求置信概率95%情況下兩污水渠酚平均含量的置信區(qū)間計(jì)算得 k=0.633 n=73 t0.05/2,73=1.991 0.361-20.445.2.4 配對(duì)數(shù)據(jù)平均數(shù)差的置信區(qū)間環(huán)境科學(xué)中 許多問題來自兩總體的數(shù)據(jù)匹配成對(duì)出現(xiàn)的。如不同方法或不同處理裝置對(duì)同一污染物處理效果的比較，同一生物體對(duì)不同污染物濃度的反應(yīng)等。對(duì)具有配對(duì)數(shù)據(jù)的兩正態(tài)總體平均數(shù)差的置信區(qū)間的求法可采用下述方法。 設(shè)來自兩正態(tài)總體的配對(duì)數(shù)據(jù)分別為x1k,x2k （k=1，2，3.n）它們的差值為dk=x1k-x2k , 統(tǒng)計(jì)量 其中它是自由度為n-1的t分布。置信概率1- 則配對(duì)數(shù)據(jù)差值d 的置信區(qū)間為

34、 兩種方法處理油污染的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如下 甲 4.0、5.0、6.0、1.0、5.4、4.1 乙 3.3、7.0、4.4、2.2、3.5、0.7求配對(duì)數(shù)據(jù)差的置信區(qū)間 （=0.05）計(jì)算差值 dk 0.7、-2.0、1.6、-1.2、1.9、3.4 求n=6-1=5 t0.05/2,5=2.571 -1.35 d2.815.2.5總體比率（成數(shù)）的區(qū)間估計(jì)（1）正態(tài)近似法。 根據(jù)抽樣分布原理，當(dāng)樣本容量n足夠大時(shí) (一般np5或n(1p) 5)，樣本比率p近似服從正態(tài)分布。 因此可以利用正態(tài)分布進(jìn)行樣本比率(成數(shù))p的統(tǒng)計(jì)推斷。 P ， 例 5.10 從某河流隨機(jī)抽取764份水樣，經(jīng)測(cè)定COD超標(biāo)者

35、162份，超標(biāo)率為21.2%，試估計(jì)該河水COD總體超標(biāo)率的95%置信區(qū)間。 本例n=764，p=21.2%，np5，可用正態(tài)近似法估計(jì)該河水COD總體超標(biāo)率的95%置信區(qū)間 總體合格率P的95%置信區(qū)間：（ ， ） =（0.183，0.241） (2) 查表法。當(dāng)樣本容量n較小，特別是P接近于0或1時(shí)，按二項(xiàng)分布原理確定總體比率的置信區(qū)間，其計(jì)算過程較繁，附表8列出了二項(xiàng)分布的置信區(qū)間臨界值，在實(shí)際應(yīng)用中直接由表查出總體比率的置信區(qū)間甚為方便。例5.11 在某廢水處理廠出水口隨機(jī)檢測(cè)20次，其中有8次超標(biāo)，試確定超標(biāo)率的置信區(qū)間。查附表8，在n=20橫行與X=8的縱列交叉處的數(shù)值為1964，

36、即該出水口COD超標(biāo)率的95%置信區(qū)間為（19%，64%）。5.3區(qū)間估計(jì)必要樣本單位數(shù)目的確定 抽樣調(diào)查工作中，抽取的樣本單位數(shù)越多，則得到的樣本資料對(duì)總體的代表性就越強(qiáng)，抽樣估計(jì)的精度及可靠程度也就越高；如果抽樣單位數(shù)越少，所得到的樣本資料對(duì)總體的代表性就越差，抽樣估計(jì)的精度及可靠程度就會(huì)越低。 對(duì)于特定總體，在確定其必要抽樣數(shù)目時(shí)，主要應(yīng)考慮允許誤差（精度要求），置信水平（可靠程度），人、財(cái)、物及時(shí)間等因素。 確定必要抽樣單位數(shù)目應(yīng)遵循的原則是：在保證抽樣推斷能達(dá)到所要求精度和可靠程度的情況下，抽取適當(dāng)?shù)臉颖締挝粩?shù)。 5.3.1估計(jì)總體均值時(shí)，樣本容量的確定當(dāng)總體服從正態(tài)分布，總體標(biāo)準(zhǔn)差已知時(shí)，在簡(jiǎn)單重復(fù)抽樣的情況下， 有限總體，在不重復(fù)抽樣情況下 當(dāng)總體服從正態(tài)分布，而總體標(biāo)準(zhǔn)差未知的情況下，區(qū)間估計(jì)常用樣本標(biāo)準(zhǔn)差s代替總體標(biāo)準(zhǔn)差，按t分布原理進(jìn)行。在簡(jiǎn)單隨機(jī)重復(fù)抽樣情況下 有限總體，在不重復(fù)抽樣情況下 由于各種抽樣組織形式下抽樣誤差的計(jì)算表示方法有所不同，故必要抽樣單位數(shù)目的計(jì)算公式也相應(yīng)有所不同。等比例分層抽樣時(shí) 整群抽樣（各群容量相等）等距抽樣視同為簡(jiǎn)單隨機(jī)不重復(fù)抽樣，故其必要抽樣單位數(shù)目按右