高中 高一 數(shù)學(xué) 余弦定理 正弦定理應(yīng)用舉例（教學(xué)設(shè)計）

1、.4.3 余弦定理、正弦定理應(yīng)用舉例深圳市翠園中學(xué) 王文聰一、教學(xué)目標(biāo)1.了解實際問題中常用的測量相關(guān)術(shù)語，能夠運(yùn)用余弦定理、正弦定理等知識和方法解決一些有關(guān)測量距離、高度、角度的實際問題；2.通過對余弦定理、正弦定理應(yīng)用的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模等數(shù)學(xué)素養(yǎng)。二、教學(xué)重難點(diǎn)1.由實際問題中抽象出一個或幾個三角形，然后逐個解決三角形，得到實際問題的解；2.由實際問題建立數(shù)學(xué)模型，畫出示意圖。三、教學(xué)過程(一)創(chuàng)設(shè)情境，引發(fā)思考 情境一 如圖所示， A，B兩點(diǎn)都在河的對岸（不可到達(dá)），設(shè)計一種測量A，B兩點(diǎn)間的距離的方法.并求出A，B間的距離。教師提出本節(jié)課解決的問題應(yīng)用余弦定理

2、、正弦定理解決實際問題【分析】測量者可以在河岸邊選定兩點(diǎn)C，D，測得CD=a，并且在C，D兩點(diǎn)分別測得BCA=，ACD=，CDB=， BDA=，【探究】如何求AB間的距離？學(xué)生小組活動探究情境二 如圖，AB是底部B不可到達(dá)的一座建筑物，A為建筑物的最高點(diǎn)，設(shè)計一種測量建筑物高度AB的方法.并求出建筑物的高度?！痉治觥咳鐖D，求AB長的關(guān)鍵是先求AE，在 ACE中，如能求出C點(diǎn)到建筑物頂部A的距離CA，再測出由C點(diǎn)觀察A的仰角，就可以計算出AE的長.【探究】選擇一條水平基線HG，使H、G、B三點(diǎn)在同一條直線上.由在H,G兩點(diǎn)用測角儀器測得A的仰角分別是,CD=a，測角儀器的高是h，那么，在ACD中

3、，根據(jù)正弦定理可得.所以，這座建筑物的高度為情境三 .位于某海域A處的甲船獲悉，在其正東方向相距20 n mile的B處有一艘漁船遇險后拋錨等待營救。甲船立即前往營救，同時把消息告知位于甲船南偏西，且與甲船相距7 n mile的C處的乙船，那么乙船前往營救遇險漁船時的目標(biāo)方向線（由觀測點(diǎn)看目標(biāo)的視線）的方向是北偏東多少度（精確到 ）？需要航行的距離是多少海里（精確到1 n mile）？【探究】根據(jù)題意，畫出示意圖，如圖.由余弦定理，得于是由正弦定理，得，于是由于，所以因此，乙船前往營救遇險漁船時的方向約是北偏東 .大約需要航行24n mile. （二）理性分析，課堂練習(xí)1.如圖，設(shè)，兩點(diǎn)在河的

4、兩岸，在所在河岸邊選一定點(diǎn)，測量的距離為，則，兩點(diǎn)間的距離是解：，在三角形中，由正弦定理，得，、兩點(diǎn)的距離為，2.如圖所示，要測量底部不能到達(dá)的電視塔AB的高度，在C點(diǎn)測得塔頂A的仰角是45，在D點(diǎn)測得塔頂A的仰角是30，并測得水平面上的BCD120，CD40 m，求電視塔的高度解：設(shè)電視塔AB的高為x，則在RtABC中，由ACB45，得BCx.在RtADB中，ADB30，BDeq r(3)x.在BDC中，由余弦定理，得BD2BC2CD22BCCDcos120，即(eq r(3)x)2x24022x40cos120，解得x40，答：電視塔的高為40 m.3.在海岸A處發(fā)現(xiàn)北偏東45距離A處海里

5、的B處有一艘走私船，在A處北偏西75的方向，距離A處2海里的C處的緝私船奉命以海里/小時的速度追截走私船.此時走私船正以10海里/小時的速度從B處向北偏東30方向逃竄，問緝私船什么方向能最快追上走私船？解:如圖若要最快追上走私船，則兩船到D點(diǎn)時所用時間相等.假設(shè)在D處相遇,設(shè)緝私船用t h在D處追上走私船,如圖.則有CD=，BD=10t.在中，因為，由余弦定理得，所以，所以.在中，由正弦定理知 所以，所以， 即在的正東方向，所以.在中，由正弦定理得 所以 即緝私船沿北偏東方向能最快追上走私船.四、課堂小結(jié)(1)學(xué)會將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，進(jìn)而利用數(shù)學(xué)方法解決，注意體會正、余弦定理的綜合使用；(2)明確應(yīng)用題中常見的概念，如方位角、俯角、仰角等；(3)在解決存在多個三角形的問題時，需注意觀察，在不同的三角形中運(yùn)用正、余弦定理，構(gòu)建邊角關(guān)系.五、課后練習(xí)1.如圖，地面四個5G中繼站A、B、C、D，已知，則A、B兩個中繼站的距離是（ ）ABCD【答案】C【解析】由題意可得，在中，由正弦定理得，在中，由正弦定理得，在中，由余弦定理得，所以.2.如圖，A、B是海面上位于東西方向相距海里的兩個觀測點(diǎn)，現(xiàn)位于A點(diǎn)北偏東45，B點(diǎn)北偏西60的D點(diǎn)有一艘輪船發(fā)出求救信號，位于B點(diǎn)南偏西60且與B點(diǎn)相距海里的C點(diǎn)的救援船立即前往營救，其航行速度為30海里/小時，試求：則求救