五年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)培優(yōu)教案-5.15 植樹(shù)問(wèn)題 全國(guó)通用

5.15植樹(shù)問(wèn)題學(xué)習(xí)目標(biāo):通過(guò)探究發(fā)現(xiàn)一條線段上兩端都栽、一端栽一端不栽、兩端都不栽三種植樹(shù)問(wèn)題中棵數(shù)與間隔數(shù)之間的關(guān)系，經(jīng)歷將數(shù)學(xué)問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)模型的過(guò)程；通過(guò)畫圖初步培養(yǎng)學(xué)生探索解決問(wèn)題的有效方法的能力，滲透“從簡(jiǎn)單事例中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，再將規(guī)律應(yīng)用于解決復(fù)雜問(wèn)題”的數(shù)學(xué)思想；感悟構(gòu)建數(shù)學(xué)模型是解決實(shí)際問(wèn)題的重要方法之一，會(huì)應(yīng)用植樹(shù)問(wèn)題的模型解決一些相關(guān)的實(shí)際問(wèn)題，感受數(shù)學(xué)的價(jià)值。教學(xué)重點(diǎn):理解植樹(shù)問(wèn)題的三種情況中棵數(shù)與間隔數(shù)之間的關(guān)系，會(huì)應(yīng)用模型解決一些相關(guān)的實(shí)際問(wèn)題。教學(xué)難點(diǎn)：應(yīng)用模型解決一些相關(guān)的實(shí)際問(wèn)題教學(xué)過(guò)程：一、情境體驗(yàn)師：我們每人都有一雙靈巧的小手，可以畫畫、寫字、干活……，而且這雙小手里還有很多數(shù)學(xué)知識(shí)呢！伸出左手張開(kāi)五指，每?jī)蓚€(gè)手指間都有一個(gè)指縫，五根手指間有幾個(gè)指縫？生：4個(gè)。師：四根手指間有幾個(gè)指縫？生：3個(gè)。師：你們這么快就能算出來(lái)，有什么小竅門嗎？生：指縫數(shù)＋1=手指數(shù)，手指數(shù)－1=指縫數(shù)。師：同學(xué)們真了不起，短短的兩分鐘，就總結(jié)出了一個(gè)這么重要的規(guī)律，我相信在今天的課堂上，你們的表現(xiàn)會(huì)更讓老師驚嘆！師：你們知道3月12日是什么節(jié)日嗎？生：植樹(shù)節(jié)。師：對(duì)啦，在那天很多人都會(huì)積極的投身于植樹(shù)造林的活動(dòng)中，植樹(shù)不僅能美化環(huán)境，凈化空氣，如果我們換一個(gè)角度，用數(shù)學(xué)的眼光去看待植樹(shù)，那這里面還包含著十分有趣的數(shù)學(xué)知識(shí)呢！這節(jié)課，我們就一起來(lái)研究植樹(shù)問(wèn)題。（板書課題）思維探索展示例1例1：為美化校園，學(xué)校準(zhǔn)備在走道兩旁每隔5米栽一棵風(fēng)景樹(shù)（兩端要栽），學(xué)校走道大約長(zhǎng)200米，那么一共要栽多少棵樹(shù)？學(xué)生先讀題師：題目要求在走道兩旁栽樹(shù)，并且是兩端都栽，怎么理解？生：兩端都栽就是走道的起點(diǎn)和終點(diǎn)都要栽樹(shù)。師：走道兩旁栽的樹(shù)的數(shù)量是一樣多，所以可先求出一旁栽樹(shù)的棵數(shù)，再乘2。題目給的這條走道長(zhǎng)200米，數(shù)據(jù)比較大，我們先來(lái)看小一點(diǎn)的，比如10米。同學(xué)們畫一畫，看在10米的走道一旁從頭到尾每隔5米栽一棵樹(shù)，可以栽幾棵？學(xué)生動(dòng)手畫圖師：（展示圖形）從圖上可看出畫了3棵樹(shù)，每?jī)煽脴?shù)之間有一個(gè)間隔，這個(gè)間隔距離是5米，一共有2個(gè)間隔，棵數(shù)比間隔數(shù)多1。如果畫4棵樹(shù)，一共有幾個(gè)間隔？5棵樹(shù)呢？生：4棵樹(shù)，有3個(gè)間隔。5棵樹(shù)，有4個(gè)間隔。師：發(fā)現(xiàn)棵數(shù)都比間隔數(shù)多1。那么要求一共有多少棵樹(shù)，能不能先找出有多少個(gè)間隔呢？生：每個(gè)間隔距離是5米，有200÷5=40（個(gè)）間隔。師：所以走道一旁栽樹(shù)40＋1=41（棵），兩旁就是41×2=82（棵）。師小結(jié)：本題是在沒(méi)有封閉的走道的兩端栽樹(shù)，把每?jī)煽脴?shù)之間的間隔距離叫做株距，間隔數(shù)=走道全長(zhǎng)÷株距，棵數(shù)=間隔數(shù)＋1=全長(zhǎng)÷株距＋1。展示例2例2：在長(zhǎng)150米的路的一旁種樹(shù)，每隔3米種一棵楊樹(shù)。當(dāng)種到最后一棵楊樹(shù)時(shí)，它距第一棵楊樹(shù)有42米。再在剩下的這段路旁，接著改種柳樹(shù)，每隔4米種一棵。問(wèn)：種了多少棵楊樹(shù)？多少棵柳樹(shù)？學(xué)生先讀題師：為了更好地理解題意，我們不妨畫圖分析。師引導(dǎo)學(xué)生畫出圖形（參考PPT）師：從圖上可看出在42米長(zhǎng)的公路上每隔3米種一棵楊樹(shù)，并且是兩端都種。根據(jù)例1得出的結(jié)論，兩端都種樹(shù)，棵數(shù)=間隔數(shù)＋1。因此要求種了多少棵楊樹(shù)，必須先求出間隔數(shù)。間隔數(shù)怎么求呢？生：間隔數(shù)=全長(zhǎng)÷株距，42÷3=14（個(gè)）。師：所以楊樹(shù)有14＋1=15（棵）。列綜合算式就是42÷3＋1=15（棵）。師：現(xiàn)在我們只知道在公路的兩端都種樹(shù)的情況下，棵數(shù)=間隔數(shù)＋1。那么，柳樹(shù)是兩端都種嗎？它的全長(zhǎng)是多少？株距是多少？學(xué)生觀察圖形生1：柳樹(shù)也可以看成是兩端都種，全長(zhǎng)是150－42=108（米），株距是4米。生2：柳樹(shù)的全長(zhǎng)不是108米，除了減去楊樹(shù)的全長(zhǎng)42米，還要減去4米。師：生2說(shuō)的很對(duì)！如果把柳樹(shù)看成是兩端都種，那么除了要減去楊樹(shù)的42米，還要減去最后一棵楊樹(shù)與第一棵柳樹(shù)之間的4米。因此種柳樹(shù)的全長(zhǎng)是150－42－4=104（米），株距是4米，所以柳樹(shù)棵數(shù)=104÷4＋1=27（棵）。展示例3例3：在一條長(zhǎng)375米的大道一旁種楊樹(shù)和柳樹(shù)。每?jī)煽脳顦?shù)之間等距離栽上4棵柳樹(shù)?，F(xiàn)在大道的起點(diǎn)和終點(diǎn)都栽上了楊樹(shù)，一共栽了26棵，而且相鄰兩棵楊樹(shù)之間的距離相等。求相鄰兩棵柳樹(shù)之間的長(zhǎng)。學(xué)生先讀題師：題目說(shuō)“在大道的起點(diǎn)和終點(diǎn)都栽上了楊樹(shù)”，我們不妨還是畫圖分析。師引導(dǎo)學(xué)生畫出圖形（參考PPT）師：在375米的大道兩端都栽楊樹(shù)，一共栽了26棵。已知全長(zhǎng)和棵數(shù)，可以求出什么？生：棵數(shù)=全長(zhǎng)÷株距＋1，每?jī)煽脳顦?shù)之間的株距=375÷（26－1）=15（米）。師：真棒！看來(lái)大家已經(jīng)靈活掌握了兩端都栽樹(shù)的情況下棵數(shù)、株距與全長(zhǎng)之間的關(guān)系了。題目還告訴我們“每?jī)煽脳顦?shù)之間等距離栽上4棵柳樹(shù)”，兩棵楊樹(shù)之間的距離是15米，即在15米的大道上等距離栽了4棵柳樹(shù)，柳樹(shù)是兩端都栽嗎？生：不是，是兩端都不栽。師：大家數(shù)一數(shù)，4棵柳樹(shù)把這條15米的大道平均分成了幾個(gè)間隔呢？生：5個(gè)。師：因此每個(gè)間隔的距離就是15÷5=3（米），即相鄰兩棵柳樹(shù)之間的長(zhǎng)是3米。師小結(jié)：本題在沒(méi)有封閉的大道兩端都不栽的情況下，有4棵柳樹(shù)，5個(gè)間隔，因此得出：棵數(shù)=間隔數(shù)－1=全長(zhǎng)÷株距－1。三、思維拓展展示例4例4：有一個(gè)圓形花壇，它的外周長(zhǎng)是150米。沿著它的外周每隔6米栽1棵丁香花，再在每相鄰的兩株丁香花之間等距離地栽上2株月季花。問(wèn)可栽丁香花多少株？可栽月季花多少株？相鄰的兩株丁香花之間的兩株月季花相距多少米？學(xué)生先讀題師：前面的題目都是在直線型的公路上植樹(shù)，本題是在圓形上植樹(shù)，棵數(shù)與間隔數(shù)之間有什么關(guān)系呢？生：跟前面的做法一樣，先畫圖，再找規(guī)律。師：真棒！你們動(dòng)手畫一畫，在這個(gè)圓形上栽4棵樹(shù)，間隔數(shù)有幾個(gè)呢？學(xué)生動(dòng)手畫圖生：我在圓形上面栽4棵樹(shù)，有4個(gè)間隔。師：發(fā)現(xiàn)棵數(shù)=間隔數(shù)，因此在150米的圓形花壇外圍每隔6米栽一棵丁香花，有多少個(gè)間隔？生：150÷6=25（個(gè)）師：所以丁香花有25株。題目告訴我們?cè)谙噜弮芍甓∠慊ㄖg等距離栽上2株月季花，你們?cè)趫D上畫一畫，發(fā)現(xiàn)了什么？生：一個(gè)間隔上栽2株月季花。師：剛才求出有25個(gè)間隔，因此月季花就有25×2=50（株）。師：最后，題目要求兩株月季花之間相距多少米，也就是要求株距。結(jié)合圖形可知，兩株丁香花之間有兩株月季花，兩株丁香花的距離是6米，即在6米長(zhǎng)的路上兩端不栽，一共栽了2株月季花。這是不是就變成了例題3？怎么求株距？生：兩端不栽，棵數(shù)=間隔數(shù)－1，間隔數(shù)=2＋1=3（個(gè)）株距=全長(zhǎng)÷間隔數(shù)=6÷3=2（米）師小結(jié)：在封閉線路（如：圓形，長(zhǎng)方形等）上種樹(shù)，因?yàn)轭^尾兩端重合在一起，所以種樹(shù)的棵數(shù)，就等于可分的間隔數(shù)（或段數(shù)），棵數(shù)=間隔數(shù)（或段數(shù)）=全長(zhǎng)÷株距。四、融會(huì)貫通展示例5例5：在一塊正方形場(chǎng)地四周等距離種樹(shù)，共種了60棵，四個(gè)頂點(diǎn)都種有一棵，并且相鄰兩棵樹(shù)相距3米。問(wèn)：這個(gè)場(chǎng)地每邊種了幾棵樹(shù)？每邊長(zhǎng)多少米？學(xué)生先讀題師：這道題同樣是在封閉的正方形四周種樹(shù)，題目要求四個(gè)頂點(diǎn)都種有一棵，我們不妨就先在正方形的四個(gè)頂點(diǎn)各種一棵樹(shù)（參考PPT)。這時(shí)還需要種多少棵樹(shù)呢？生：60－4=56（棵）師：對(duì)的，這56棵樹(shù)要等距離的種在四條邊上，正方形四條邊都相等，因此每條邊上應(yīng)該種多少棵樹(shù)？生：56÷4=14（棵）師追問(wèn)：第一問(wèn)的答案是不是就是14棵呢？學(xué)生思考生：不是的，這14棵