2020年山東省德州市中考數(shù)學試卷（解析版）

第24頁（共24頁）2020年山東省德州市中考數(shù)學試卷參考答案與試題解析一、選擇題：本大題共12小題，在每小題給出的四個選項中，只有一項是正確的，請把正確的選項選出來．每小題選對得4分，選錯、不選或選出的答案超過一個均記零分．1．（4分）|﹣2020|的結(jié)果是（）A． B．2020 C．﹣ D．﹣2020【分析】根據(jù)絕對值的性質(zhì)直接解答即可．【解答】解：|﹣2020|＝2020；故選：B．【點評】此題考查了絕對值，掌握絕對值的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，是一道基礎(chǔ)題．2．（4分）下列圖形中，是中心對稱圖形但不是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念求解．【解答】解：A、不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形．故此選項不合題意；B、是中心對稱圖形但不是軸對稱圖形．故此選項符合題意；C、既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形．故此選項不合題意；D、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形．故此選項不合題意．故選：B．【點評】此題主要中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念：軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分沿對稱軸折疊后可重合；中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后與原圖重合．3．（4分）下列運算正確的是（）A．6a﹣5a＝1 B．a(chǎn)2?a3＝a5 C．（﹣2a）2＝﹣4a2 D．a(chǎn)6÷a2＝a3【分析】利用整式的四則運算法則分別計算，可得出答案．【解答】解：6a﹣5a＝a，因此選項A不符合題意；a2?a3＝a5，因此選項B符合題意；（﹣2a）2＝4a2，因此選項C不符合題意；a6÷a2＝a6﹣2＝a4，因此選項D不符合題意；故選：B．【點評】考查整式的意義和運算，掌握運算法則是正確計算的前提．4．（4分）如圖1是用5個相同的正方體搭成的立體圖形．若由圖1變化至圖2，則三視圖中沒有發(fā)生變化的是（）A．主視圖 B．主視圖和左視圖 C．主視圖和俯視圖 D．左視圖和俯視圖【分析】根據(jù)主視圖是從物體的正面看得到的視圖，俯視圖是從上面看得到的圖形，左視圖是左邊看得到的圖形，可得答案．【解答】解：圖1主視圖第一層三個正方形，第二層左邊一個正方形；圖2主視圖第一層三個正方形，第二層右邊一個正方形；故主視圖發(fā)生變化；左視圖都是第一層兩個正方形，第二層左邊一個正方形，故左視圖不變；俯視圖都是底層左邊是一個正方形，上層是三個正方形，故俯視圖不變．∴不改變的是左視圖和俯視圖．故選：D．【點評】本題考查了簡單組合體的三視圖，利用三視圖的意義是解題關(guān)鍵．5．（4分）為提升學生的自理和自立能力，李老師調(diào)查了全班學生在一周內(nèi)的做飯次數(shù)情況，調(diào)查結(jié)果如下表：一周做飯次數(shù)45678人數(shù)7612105那么一周內(nèi)該班學生的平均做飯次數(shù)為（）A．4 B．5 C．6 D．7【分析】利用加權(quán)平均數(shù)的計算方法進行計算即可．【解答】解：＝＝6（次），故選：C．【點評】本題考查加權(quán)平均數(shù)的意義和計算方法，理解加權(quán)平均數(shù)的意義是正確解答的前提．6．（4分）如圖，小明從A點出發(fā)，沿直線前進8米后向左轉(zhuǎn)45°，再沿直線前進8米，又向左轉(zhuǎn)45°…照這樣走下去，他第一次回到出發(fā)點A時，共走路程為（）A．80米 B．96米 C．64米 D．48米【分析】根據(jù)多邊形的外角和即可求出答案．【解答】解：根據(jù)題意可知，他需要轉(zhuǎn)360÷45＝8次才會回到原點，所以一共走了8×8＝64（米）．故選：C．【點評】本題主要考查了利用多邊形的外角和定理求多邊形的邊數(shù)．任何一個多邊形的外角和都是360°．7．（4分）函數(shù)y＝和y＝﹣kx+2（k≠0）在同一平面直角坐標系中的大致圖象可能是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)題目中函數(shù)的解析式，利用一次函數(shù)和反比例函數(shù)圖象的特點解答本題．【解答】解：在函數(shù)y＝和y＝﹣kx+2（k≠0）中，當k＞0時，函數(shù)y＝的圖象在第一、三象限，函數(shù)y＝﹣kx+2的圖象在第一、二、四象限，故選項A、B錯誤，選項D正確，當k＜0時，函數(shù)y＝的圖象在第二、四象限，函數(shù)y＝﹣kx+2的圖象在第一、二、三象限，故選項C錯誤，故選：D．【點評】本題考查反比例函數(shù)的圖象、一次函數(shù)的圖象，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用分類討論的數(shù)學思想解答．8．（4分）下列命題：①一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形是平行四邊形；②對角線互相垂直且平分的四邊形是菱形；③一個角為90°且一組鄰邊相等的四邊形是正方形；④對角線相等的平行四邊形是矩形．其中真命題的個數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根據(jù)平行四邊形的判定、菱形的判定、正方形和矩形的判定判斷即可．【解答】解：①一組對邊平行且這組對邊相等的四邊形是平行四邊形，原命題是假命題；②對角線互相垂直且平分的四邊形是菱形，是真命題；③一個角為90°且一組鄰邊相等的平行四邊形是正方形，原命題是假命題；④對角線相等的平行四邊形是矩形，是真命題；故選：B．【點評】本題考查了命題與定理：判斷一件事情的語句，叫做命題．許多命題都是由題設(shè)和結(jié)論兩部分組成，題設(shè)是已知事項，結(jié)論是由已知事項推出的事項，一個命題可以寫成“如果…那么…”形式．有些命題的正確性是用推理證實的，這樣的真命題叫做定理．9．（4分）若關(guān)于x的不等式組的解集是x＜2，則a的取值范圍是（）A．a(chǎn)≥2 B．a(chǎn)＜﹣2 C．a(chǎn)＞2 D．a(chǎn)≤2【分析】分別求出每個不等式的解集，根據(jù)不等式組的解集為x≤2可得關(guān)于a的不等式，解之可得．【解答】解：解不等式組，由①可得：x＜2，由②可得：x＜a，因為關(guān)于x的不等式組的解集是x＜2，所以，a≥2，故選：A．【點評】本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個不等式解集是基礎(chǔ)，熟知“同大取大；同小取??；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵．10．（4分）如圖，圓內(nèi)接正六邊形的邊長為4，以其各邊為直徑作半圓，則圖中陰影部分的面積為（）A．24﹣4π B．12+4π C．24+8π D．24+4π【分析】設(shè)正六邊形的中心為O，連接OA，OB首先求出弓形AmB的面積，再根據(jù)S陰＝6?（S半圓﹣S弓形AmB）求解即可．【解答】解：設(shè)正六邊形的中心為O，連接OA，OB．由題意，OA＝OB＝AB＝4，∴S弓形AmB＝S扇形OAB﹣S△AOB＝﹣×42＝π﹣4，∴S陰＝6?（S半圓﹣S弓形AmB）＝6?（?π?22﹣π+4）＝24﹣4π，故選：A．【點評】本題考查正多邊形和圓，扇形的面積，弓形的面積等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．11．（4分）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的部分圖象如圖所示，則下列選項錯誤的是（）A．若（﹣2，y1），（5，y2）是圖象上的兩點，則y1＞y2 B．3a+c＝0 C．方程ax2+bx+c＝﹣2有兩個不相等的實數(shù)根 D．當x≥0時，y隨x的增大而減小【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)分別對各個選項進行判斷即可．【解答】解：∵拋物線的對稱軸為直線x＝1，a＜0，∴點（﹣1，0）關(guān)于直線x＝1的對稱點為（3，0），則拋物線與x軸的另一個交點坐標為（3，0），點（﹣2，y1）與（4，y1）是對稱點，∵當x＞1時，函數(shù)y隨x增大而減小，故A選項不符合題意；把點（﹣1，0），（3，0）代入y＝ax2+bx+c得：a﹣b+c＝0①，9a+3b+c＝0②，①×3+②得：12a+4c＝0，∴3a+c＝0，故B選項不符合題意；當y＝﹣2時，y＝ax2+bx+c＝﹣2，由圖象得：縱坐標為﹣2的點有2個，∴方程ax2+bx+c＝﹣2有兩個不相等的實數(shù)根，故C選項不符合題意；∵二次函數(shù)圖象的對稱軸為x＝1，a＜0，∴當x≤1時，y隨x的增大而增大；當x≥1時，y隨x的增大而減??；故D選項符合題意；故選：D．【點評】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、二次函數(shù)圖象上點的坐標特征等知識；熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．12．（4分）如圖是用黑色棋子擺成的美麗圖案，按照這樣的規(guī)律擺下去，第10個這樣的圖案需要黑色棋子的個數(shù)為（）A．148 B．152 C．174 D．202【分析】觀察各圖可知，后一個圖案比前一個圖案多2（n+3）枚棋子，然后寫成第n個圖案的通式，再取n＝10進行計算即可求解．【解答】解：根據(jù)圖形，第1個圖案有12枚棋子，第2個圖案有22枚棋子，第3個圖案有34枚棋子，…第n個圖案有2（1+2+…+n+2）+2（n﹣1）＝n2+7n+4枚棋子，故第10個這樣的圖案需要黑色棋子的個數(shù)為102+7×10+4＝100+70+4＝174（枚）．故選：C．【點評】考查了規(guī)律型：圖形的變化類，觀察圖形，發(fā)現(xiàn)后一個圖案比前一個圖案多2（n+3）枚棋子是解題的關(guān)鍵．二、填空題：本大題共6小題，共24分，只要求填寫最后結(jié)果，每小題填對得4分．13．（4分）﹣＝．【分析】先將二次根式化為最簡，然后合并同類二次根式即可得出答案．【解答】解：原式＝3﹣＝2．故答案為：2．【點評】此題考查了二次根式的加減運算，屬于基礎(chǔ)題，解答本題的關(guān)鍵是掌握二次根式的化簡及同類二次根式的合并，難度一般．14．（4分）若一個圓錐的底面半徑是2cm，母線長是6cm，則該圓錐側(cè)面展開圖的圓心角是120度．【分析】根據(jù)圓錐的底面周長等于圓錐的側(cè)面展開圖的弧長，首先求得展開圖的弧長，然后根據(jù)弧長公式即可求解．【解答】解：圓錐側(cè)面展開圖的弧長是：2π×2＝4π（cm），設(shè)圓心角的度數(shù)是n度．則＝4π，解得：n＝120．故答案為：120．【點評】此題主要考查了圓錐的有關(guān)計算，正確理解圓錐的側(cè)面展開圖與原來的扇形之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵，理解圓錐的母線長是扇形的半徑，圓錐的底面圓周長是扇形的弧長．15．（4分）在平面直角坐標系中，點A的坐標是（﹣2，1），以原點O為位似中心，把線段OA放大為原來的2倍，點A的對應(yīng)點為A′．若點A'恰在某一反比例函數(shù)圖象上，則該反比例函數(shù)解析式為y＝．【分析】直接利用位似圖形的性質(zhì)得出A′坐標，進而求出函數(shù)解析式．【解答】解：∵點A的坐標是（﹣2，1），以原點O為位似中心，把線段OA放大為原來的2倍，點A的對應(yīng)點為A′，∴A′坐標為：（﹣4，2）或（4，﹣2），∵A'恰在某一反比例函數(shù)圖象上，∴該反比例函數(shù)解析式為：y＝．故答案為：y＝．【點評】此題主要考查了位似變換以及待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式，正確得出對應(yīng)點坐標是解題關(guān)鍵．16．（4分）菱形的一條對角線長為8，其邊長是方程x2﹣9x+20＝0的一個根，則該菱形的周長為20．【分析】解方程得出x＝4或x＝5，分兩種情況：①當AB＝AD＝4時，4+4＝8，不能構(gòu)成三角形；②當AB＝AD＝5時，5+5＞8，即可得出菱形ABCD的周長．【解答】解：如圖所示：∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∵x2﹣9x+20＝0，因式分解得：（x﹣4）（x﹣5）＝0，解得：x＝4或x＝5，分兩種情況：①當AB＝AD＝4時，4+4＝8，不能構(gòu)成三角形；②當AB＝AD＝5時，5+5＞8，∴菱形ABCD的周長＝4AB＝20．故答案為：20．【點評】本題考查了菱形的性質(zhì)、一元二次方程的解法、三角形的三邊關(guān)系；熟練掌握菱形的性質(zhì)，由三角形的三邊關(guān)系得出AB是解決問題的關(guān)鍵．17．（4分）如圖，在4×4的正方形網(wǎng)格中，有4個小正方形已經(jīng)涂黑，若再涂黑任意1個白色的小正方形（每個白色小正方形被涂黑的可能性相同），使新構(gòu)成的黑色部分圖形是軸對稱圖形的概率是．【分析】直接利用軸對稱圖形的性質(zhì)結(jié)合概率求法得出答案．【解答】解：如圖所示：當分別將1，2位置涂黑，構(gòu)成的黑色部分圖形是軸對稱圖形，故新構(gòu)成的黑色部分圖形是軸對稱圖形的概率是：＝．故答案為：．【點評】此題主要考查了利用軸對稱設(shè)計圖案以及幾何概率，正確掌握軸對稱圖形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．18．（4分）如圖，在矩形ABCD中，AB＝+2，AD＝．把AD沿AE折疊，使點D恰好落在AB邊上的D′處，再將△AED′繞點E順時針旋轉(zhuǎn)α，得到△A'ED″，使得EA′恰好經(jīng)過BD′的中點F．A′D″交AB于點G，連接AA′．有如下結(jié)論：①A′F的長度是﹣2；②弧D'D″的長度是π；③△A′AF≌△A′EG；④△AA′F∽△EGF．上述結(jié)論中，所有正確的序號是①②④．【分析】由折疊的性質(zhì)可得∠D＝∠AD'E＝90°＝∠DAD'，AD＝AD'，可證四邊形ADED'是正方形，可得AD＝AD'＝D'E＝DE＝，AE＝AD＝，∠EAD'＝∠AED'＝45°，由勾股定理可求EF的長，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AE＝A'E＝，∠D'ED''＝α，∠EA'D''＝∠EAD'＝45°，可求A'F＝﹣2，可判斷①；由銳角三角函數(shù)可求∠FED'＝30°，由弧長公式可求弧D'D″的長度，可判斷②；由等腰三角形的性質(zhì)可求∠EAA'＝∠EA'A＝52.5°，∠A'AF＝7.5°，可判斷③；由“HL”可證Rt△ED'G≌Rt△ED''G，可得∴∠D'GE＝∠D''GE＝52.5°，可證△AFA'∽△EFG，可判斷④，即可求解．【解答】解：∵把AD沿AE折疊，使點D恰好落在AB邊上的D′處，∴∠D＝∠AD'E＝90°＝∠DAD'，AD＝AD'，∴四邊形ADED'是矩形，又∵AD＝AD'＝，∴四邊形ADED'是正方形，∴AD＝AD'＝D'E＝DE＝，AE＝AD＝，∠EAD'＝∠AED'＝45°，∴D'B＝AB﹣AD'＝2，∵點F是BD'中點，∴D'F＝1，∴EF＝＝＝2，∵將△AED′繞點E順時針旋轉(zhuǎn)α，∴AE＝A'E＝，∠D'ED''＝α，∠EA'D''＝∠EAD'＝45°，∴A'F＝﹣2，故①正確；∵tan∠FED'＝＝＝，∴∠FED'＝30°∴α＝30°+45°＝75°，∴弧D'D″的長度＝＝π，故②正確；∵AE＝A'E，∠AEA'＝75°，∴∠EAA'＝∠EA'A＝52.5°，∴∠A'AF＝7.5°，∵∠AA'F≠∠EA'G，∠AA'E≠∠EA'G，∠AFA'＝120°≠∠EA'G，∴△AA'F與△A'GE不全等，故③錯誤；∵D'E＝D''E，EG＝EG，∴Rt△ED'G≌Rt△ED''G（HL），∴∠D'GE＝∠D''GE，∵∠AGD''＝∠A'AG+∠AA'G＝105°，∴∠D'GE＝52.5°＝∠AA'F，又∵∠AFA'＝∠EFG，∴△AFA'∽△EFG，故④正確，故答案為：①②④．【點評】本題是四邊形綜合題，考查了矩形的性質(zhì)，正方形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，弧長公式，等腰三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，靈活運用這些性質(zhì)進行推理證明是本題的關(guān)鍵．三、解答題：本大題共7小題，共78分．解答要寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．19．（8分）先化簡：（），然后選擇一個合適的x值代入求值．【分析】先根據(jù)分式混合運算的法則把原式進行化簡，再把x的值代入進行計算即可．【解答】解：＝＝＝，把x＝1代入．【點評】本題考查的是分式的化簡求值，熟知分式混合運算的法則是解答此題的關(guān)鍵．20．（10分）某校“校園主持人大賽”結(jié)束后，將所有參賽選手的比賽成績（得分均為整數(shù)）進行整理，并分別繪制成扇形統(tǒng)計圖和頻數(shù)直方圖．部分信息如下：（1）本次比賽參賽選手共有50人，扇形統(tǒng)計圖中“79.5～89.5”這一范圍的人數(shù)占總參賽人數(shù)的百分比為36%；（2）補全圖2頻數(shù)直方圖；（3）賽前規(guī)定，成績由高到低前40%的參賽選手獲獎．某參賽選手的比賽成績?yōu)?8分，試判斷他能否獲獎，并說明理由；（4）成績前四名是2名男生和2名女生，若從他們中任選2人作為該校文藝晚會的主持人，試求恰好選中1男1女為主持人的概率．【分析】（1）用“89.5～99.5”的人數(shù)除以它們所占的百分比可得到調(diào)查的總?cè)藬?shù)；59.5～69.5”這一范圍的人數(shù)占總參賽人數(shù)的百分比，即可得出答案；（2）求出“69.5～74.5”這一范圍的人數(shù)為15﹣8＝7（人），“79.5～84.5”這一范圍的人數(shù)為18﹣8＝10（人）；補全圖2頻數(shù)直方圖即可：（3）求出成績由高到低前40%的參賽選手人數(shù)為50×40%＝20（人），由88＞84.5，即可得出結(jié)論；（4）畫樹狀圖展示所有12種等可能的結(jié)果數(shù)，再找出恰好選中1男1女的結(jié)果數(shù)，然后根據(jù)概率公式求解．【解答】解：（1）本次比賽參賽選手共有：（8+4）÷24%＝50（人），“59.5～69.5”這一范圍的人數(shù)占總參賽人數(shù)的百分比為×100%＝10%，∴79.5～89.5”這一范圍的人數(shù)占總參賽人數(shù)的百分比為100%﹣24%﹣10%﹣30%＝36%；故答案為：50，36%；（2）∵“69.5～79.5”這一范圍的人數(shù)為50×30%＝15（人），∴“69.5～74.5”這一范圍的人數(shù)為15﹣8＝7（人），∵“79.5～89.5”這一范圍的人數(shù)為50×36%＝18（人），∴“79.5～84.5”這一范圍的人數(shù)為18﹣8＝10（人）；補全圖2頻數(shù)直方圖：（3）能獲獎．理由如下：∵本次比賽參賽選手50人，∴成績由高到低前40%的參賽選手人數(shù)為50×40%＝20（人），又∵88＞84.5，∴能獲獎；（4）畫樹狀圖為：共有12種等可能的結(jié)果數(shù)，其中恰好選中1男1女的結(jié)果數(shù)為8，所以恰好選中1男1女的概率＝＝．【點評】本題考查了列表法與樹狀圖法：利用列表法或樹狀圖法展示所有等可能的結(jié)果n，再從中選出符合事件A或B的結(jié)果數(shù)目m，然后利用概率公式計算事件A或事件B的概率．也考查了統(tǒng)計圖．21．（10分）如圖，無人機在離地面60米的C處，觀測樓房頂部B的俯角為30°，觀測樓房底部A的俯角為60°，求樓房的高度．【分析】過B作BE⊥CD交CD于E，由題意得，∠CBE＝30°，∠CAD＝60°，解直角三角形即可得到結(jié)論．【解答】解：過B作BE⊥CD交CD于E，由題意得，∠CBE＝30°，∠CAD＝60°，在Rt△ACD中，tan∠CAD＝tan60°＝＝，∴AD＝＝20，∴BE＝AD＝20，在Rt△BCE中，tan∠CBE＝tan30°＝＝，∴CE＝20＝20，∴ED＝CD﹣CE＝60﹣20＝40，∴AB＝ED＝40（米），答：樓房的高度為40米．【點評】此題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問題，用到的知識點是俯角的定義、特殊角的三角函數(shù)值，關(guān)鍵是作出輔助線，構(gòu)造直角三角形．22．（12分）如圖，點C在以AB為直徑的⊙O上，點D是半圓AB的中點，連接AC，BC，AD，BD．過點D作DH∥AB交CB的延長線于點H．（1）求證：直線DH是⊙O的切線；（2）若AB＝10，BC＝6，求AD，BH的長．【分析】（1）連接OD，根據(jù)圓周角定理得到∠AOD＝AOB＝90°，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠ODH＝90°，于是得到結(jié)論；（2）連接CD，根據(jù)圓周角定理得到∠ADB＝∠ACB＝90°，推出△ABD是等腰直角三角形，得到AB＝10，解直角三角形得到AC＝＝8，求得∠CAD＝∠DBH，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠BDH＝∠OBD＝45°，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解答】（1）證明：連接OD，∵AB為⊙O的直徑，點D是半圓AB的中點，∴∠AOD＝AOB＝90°，∵DH∥AB，∴∠ODH＝90°，∴OD⊥DH，∴直線DH是⊙O的切線；（2）解：連接CD，∵AB為⊙O的直徑，∴∠ADB＝∠ACB＝90°，∵點D是半圓AB的中點，∴＝，∴AD＝DB，∴△ABD是等腰直角三角形，∵AB＝10，∴AD＝10sin∠ABD＝10sin45°＝10×＝5，∵AB＝10，BC＝6，∴AC＝＝8，∵四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形，∴∠CAD+∠CBD＝180°，∵∠DBH+∠CBD＝180°，∴∠CAD＝∠DBH，由（1）知∠AOD＝90°，∠OBD＝45°，∴∠ACD＝45°，∵DH∥AB，∴∠BDH＝∠OBD＝45°，∴∠ACD＝∠BDH，∴△ACD∽△BDH，∴，∴＝，解得：BH＝．【點評】本題考查了切線的判定和性質(zhì)，圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．23．（12分）小剛?cè)コ匈徺I畫筆，第一次花60元買了若干支A型畫筆，第二次超市推薦了B型畫筆，但B型畫筆比A型畫筆的單價貴2元，他又花100元買了相同支數(shù)的B型畫筆．（1）超市B型畫筆單價多少元？（2）小剛使用兩種畫筆后，決定以后使用B型畫筆，但感覺其價格稍貴，和超市溝通后，超市給出以下優(yōu)惠方案：一次購買不超過20支，則每支B型畫筆打九折；若一次購買超過20支，則前20支打九折，超過的部分打八折．設(shè)小剛購買的B型畫筆x支，購買費用為y元，請寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式．（3）在（2）的優(yōu)惠方案下，若小剛計劃用270元購買B型畫筆，則能購買多少支B型畫筆？【分析】（1）設(shè)超市B型畫筆單價為a元，則A型畫筆單價為（a﹣2）元．根據(jù)等量關(guān)系：第一次花60元買A型畫筆的支數(shù)＝第二次花100元買B型畫筆的支數(shù)列出方程，求解即可；（2）根據(jù)超市給出的優(yōu)惠方案，分x≤20與x＞20兩種情況進行討論，利用售價＝單價×數(shù)量分別列出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；（3）將y＝270分別代入（2）中所求的函數(shù)解析式，根據(jù)x的范圍確定答案．【解答】解：（1）設(shè)超市B型畫筆單價為a元，則A型畫筆單價為（a﹣2）元．根據(jù)題意得，＝，解得a＝5．經(jīng)檢驗，a＝5是原方程的解．答：超市B型畫筆單價為5元；（2）由題意知，當小剛購買的B型畫筆支數(shù)x≤20時，費用為y＝0.9×5x＝4.5x，當小剛購買的B型畫筆支數(shù)x＞20時，費用為y＝0.9×5×20+0.8×5（x﹣20）＝4x+10．所以，y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為y＝（其中x是正整數(shù)）；（3）當4.5x＝270時，解得x＝60，∵60＞20，∴x＝60不合題意，舍去；當4x+10＝270時，解得x＝65，符合題意．答：若小剛計劃用270元購買B型畫筆，則能購買65支B型畫筆．【點評】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，分式方程的應(yīng)用等知識，解題的關(guān)鍵是：（1）理解題意找到等量關(guān)系列出方程；（2）理解超市給出的優(yōu)惠方案，進行分類討論，得出函數(shù)關(guān)系式；（3）根據(jù)函數(shù)關(guān)系式中自變量的取值范圍對答案進行取舍．24．（12分）問題探究：小紅遇到這樣一個問題：如圖1，△ABC中，AB＝6，AC＝4，AD是中線，求AD的取值范圍．她的做法是：延長AD到E，使DE＝AD，連接BE，證明△BED≌△CAD，經(jīng)過推理和計算使問題得到解決．請回答：（1）小紅證明△BED≌△CAD的判定定理是：SAS；（2）AD的取值范圍是1＜AD＜5；方法運用：（3）如圖2，AD是△ABC的中線，在AD上取一點F，連結(jié)BF并延長交AC于點E，使AE＝EF，求證：BF＝AC．（4）如圖3，在矩形ABCD中，＝，在BD上取一點F，以BF為斜邊作Rt△BEF，且＝，點G是DF的中點，連接EG，CG，求證：EG＝CG．【分析】（1）由“SAS”可證△BED≌△CAD；（2）由全等三角形的性質(zhì)可得AC＝BE＝4，由三角形的三邊關(guān)系可求解；（3）延長AD至H，使AD＝DH，連接BH，由“SAS”可證△BHD≌△CAD，可得AC＝BH，∠CAD＝∠H，由等腰三角形的性質(zhì)可得∠H＝∠BFH，可得BF＝BH＝AC；（4）延長CG至N，使NG＝CG，連接EN，CE，NF，由“SAS”可證△NGF≌△CGD，可得CD＝NF，∠CDB＝∠NFG，通過證明△BEC∽△FEN，可得∠BEC＝∠FEN，可得∠BEF＝∠NEC＝90°，由直角三角形的性質(zhì)可得結(jié)論．【解答】解：（1）∵AD是中線，∴BD＝CD，又∵∠ADC＝∠BDE，AD＝DE，∴△BED≌△CAD（SAS），故答案為：SAS；（2）∵△BED≌△CAD，∴AC＝BE＝4，在△ABE中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE，∴2＜2AD＜10，∴1＜AD＜5，故答案為：1＜AD＜5；（3）如圖2，延長AD至H，使AD＝DH，連接BH，∵AD是△ABC的中線，∴BD＝CD，又∵∠ADC＝∠BDH，AD＝DH，∴△ADC≌△HDB（SAS），∴AC＝BH，∠CAD＝∠H，∵AE＝EF，∴∠EAF＝∠AFE，∴∠H＝∠BFH，∴BF＝BH，∴AC＝BF；（4）如圖3，延長CG至N，使NG＝CG，連接EN，CE，NF，∵點G是DF的中點，∴DG＝GF，又∵∠NGF＝∠DGC，CG＝NG，∴△NGF≌△CGD（SAS），∴CD＝NF，∠CDB＝∠NFG，∵＝，＝，∴tan∠ADB＝，tan∠EBF＝，∴∠ADB＝∠EBF，∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC，∴∠EBF＝∠DBC，∴∠EBC＝2∠DBC，∵∠EBF+∠EFB＝90°，∠DBC+∠BDC＝90°，∴∠EFB＝∠BDC＝∠NFG，∠EBF+∠EFB+∠DBC+∠BDC＝180°，∴2∠DBC+∠EFB+∠NFG＝180°，又∵∠NFG+∠BFE+∠EFN＝180°，∴∠EFN＝2∠DBC，∴∠EBC＝∠EFN，∵＝，且CD＝NF，∴∴△BEC∽△FEN，∴∠BEC＝∠FEN，∴∠BEF＝∠NEC＝90°，又∵CG＝NG，∴EG＝NC，∴EG＝GC．【點評】本題是四邊形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，相似三角形的判定和性質(zhì)，添加恰當輔助線構(gòu)造相似三角形是本題的關(guān)鍵．25．（14分）如圖1，在平面直角坐標系中，點A的坐標是（0，﹣2），在x軸上任取一點M，連接AM，分別以點A和點M為圓心，大于AM的長為半徑作弧，兩弧相交于G，H兩點，作直線GH，過點M作x軸的垂線l交直線GH于點P．根據(jù)以上操作，完成下列問題．探究：（1）線段PA與PM的數(shù)量關(guān)系為PA＝PM