2022年高考數(shù)學(xué)全真模擬熱身卷01（解析）

2022屆高考數(shù)學(xué)·備戰(zhàn)熱身卷1（解析版）一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有一項(xiàng)符合題目要求。）1．（浙江省浙東北聯(lián)盟（ZDB）2021-2022學(xué)年高一上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）若，則實(shí)數(shù)的值等于（）A．B．3C．D．3或【答案】A【分析】分類討論結(jié)合集合中元素的性質(zhì)求解即可.公眾號(hào)拾穗者的雜貨鋪【詳解】當(dāng)時(shí)，，不滿足集合中元素的互異性；當(dāng)時(shí)，即或（舍），此時(shí).2．（2021·浙江·紹興市柯橋區(qū)教師發(fā)展中心模擬預(yù)測(cè)）已知，若復(fù)數(shù)（是虛數(shù)單位）是純虛數(shù)，則（）A．0 B．1 C． D．2【答案】C【分析】根據(jù)實(shí)部為零，虛部不為零得到方程（不等式）組，解得即可；【詳解】是純虛數(shù)，則，解得.3．（2021·海南·模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)的部分圖象大致為（）A．B．C．D．【答案】A【分析】先利用奇偶性排除部分選項(xiàng)，再由函數(shù)值的符號(hào)判斷排除可得選項(xiàng).【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)镽，且，所以函數(shù)是奇函數(shù)，故排除C、D，又，故排除B選項(xiàng).4．（2021·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知首項(xiàng)為13的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，，成等差數(shù)列．若，且，則（）A．8 B．10 C．12 D．14【答案】D【分析】設(shè)出公差,由，，成等差數(shù)列及，得到與的關(guān)系式，從而求解．【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為d，因?yàn)?，所以，整理可得，．又，所以．若，則，故，又，所以．5．（2021·福建省龍巖第一中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）若實(shí)數(shù)，，滿足，其中，則下列結(jié)論正確的是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】首先判斷的范圍，以及由條件可知，，，再分別代入選項(xiàng)，根據(jù)單調(diào)性和特殊值比較大小.【詳解】因?yàn)?，其中，所以，，，且，，所以，，即，故A錯(cuò)誤；，，即，故B錯(cuò)誤；，，因?yàn)?，所以，即，即，故C錯(cuò)誤；，，即，故D正確.6．（2021·四川·涼山彝族自治州教育科學(xué)研究所一模（理））設(shè)A，是兩個(gè)事件，且發(fā)生A必定發(fā)生，，給出下列各式，其中正確的是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合和事件、積事件的概念及條件概率公式，即可求解．【詳解】發(fā)生必定發(fā)生，（A），（B），故A，D錯(cuò)誤，，故B錯(cuò)誤，，故C正確．7．（2021·四川·樂山市教育科學(xué)研究所一模（理））設(shè)，函數(shù)，若在區(qū)間內(nèi)恰有個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】解法一：利用排除法，分別令和求解函數(shù)的零點(diǎn)進(jìn)行判斷，解法二：分類討論，分在區(qū)間有個(gè)零點(diǎn)且在區(qū)間沒有零點(diǎn)，在區(qū)間有個(gè)零點(diǎn)且在區(qū)間有個(gè)零點(diǎn)和在區(qū)間有個(gè)零點(diǎn)且在區(qū)間有個(gè)零點(diǎn)三種情況求解即可【詳解】法一（排除法）：令，則，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間有個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，，在區(qū)間有個(gè)零點(diǎn)，綜上所述，在區(qū)間內(nèi)有個(gè)零點(diǎn)，符合題意，排除A?C.令，則，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間有個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，，在區(qū)間有個(gè)零點(diǎn)，綜上所述，在區(qū)間內(nèi)有個(gè)零點(diǎn)，符合題意，排除B，故選D.法二（分類討論）：①當(dāng)在區(qū)間有個(gè)零點(diǎn)且在區(qū)間沒有零點(diǎn)時(shí)，滿足，無(wú)解；②當(dāng)在區(qū)間有個(gè)零點(diǎn)且在區(qū)間有個(gè)零點(diǎn)時(shí)，滿足，解得；③當(dāng)在區(qū)間有個(gè)零點(diǎn)且在區(qū)間有個(gè)零點(diǎn)時(shí)，滿足，解得，公眾號(hào)拾穗者的雜貨鋪綜上所述，的取值范圍是.8．（2021·河南·羅山縣教學(xué)研究室一模（文））已知直線分別與函數(shù)和的圖象交于點(diǎn)、，現(xiàn)給出下述結(jié)論：①；②；③；④，則其中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)是（）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)和的圖象關(guān)于對(duì)稱，直線與垂直，可得，、，，關(guān)于對(duì)稱，即可判斷①；利用基本不等式即可判斷②，構(gòu)造，判斷其單調(diào)性，即可判斷③，由，判斷其單調(diào)性，即可判斷④．【詳解】由題意直線與垂直，函數(shù)和的圖象關(guān)于對(duì)稱，，、，，關(guān)于對(duì)稱，則；①正確；對(duì)于②：由，因?yàn)?，則；②正確；對(duì)于③：構(gòu)造函數(shù)；則，當(dāng)時(shí)，可得，函數(shù)在單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，可得，函數(shù)在單調(diào)遞減；，，，③正確；對(duì)于④：，，令函數(shù)，則當(dāng)時(shí)，可得，函數(shù)在單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，可得，函數(shù)在單調(diào)遞增；，不對(duì)，即④不對(duì)．二、多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分。）9．（2021·廣東·深圳市龍崗區(qū)德琳學(xué)校高一階段練習(xí)）設(shè)有下面四個(gè)命題：：若復(fù)數(shù)滿足，則；：若復(fù)數(shù)滿足，則；：若復(fù)數(shù)滿足，則；：若復(fù)數(shù)滿足，則.其中的真命題為（）A． B． C． D．【答案】BC【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的定義以及復(fù)數(shù)的分類，對(duì)命題的真假進(jìn)行逐一判斷即可.【詳解】設(shè)，，對(duì)于，若，即，則,當(dāng)，時(shí)，，故為假命題.對(duì)于，若，則，即，則，故為真命題.對(duì)于，若，則，即，，則，故為真命題.對(duì)于，若，即，則，不能推出，故不一定屬于，故為假命題.10．（2021·福建·廈門一中高一期中）已知連續(xù)函數(shù)滿足：①，則有，②當(dāng)時(shí)，，③，則以下說(shuō)法中正確的是（）A．的圖象關(guān)于對(duì)稱B．C．在上的最大值是10D．不等式的解集為【答案】ACD【分析】依題意令，求出，再令，即可得到，從而判斷A；令得到，再令，，即可判斷B；再利用定義法證明函數(shù)的單調(diào)性即可判斷C；依題意原不等式等價(jià)于，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性轉(zhuǎn)化為自變量的不等式，解得即可；【詳解】因?yàn)?，則有，令，則，則，令則，即，故的圖象關(guān)于對(duì)稱，即A正確；令，則，令代x，則，即，即，故B錯(cuò)誤；設(shè)且，則，由，令，，則，即，由時(shí)，，得，則，所以，所以，即在上單調(diào)遞減，又，所以，，又，所以，故在上的最大值為，故C正確；由，即，即，即，又因?yàn)?，即，所以，即，即，即，解得，即原不等式的解集為，故D正確.11．（2021·全國(guó)全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）勒洛四面體是一個(gè)非常神奇的“四面體”，它能在兩個(gè)平行平面間自由轉(zhuǎn)動(dòng)，并且始終保持與兩平面都接觸，因此它能像球一樣來(lái)回滾動(dòng).勒洛四面體是以正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)為球心，以正四面體的棱長(zhǎng)為半徑的四個(gè)球的公共部分，如圖所示，若正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為a，則（）A．能夠容納勒洛四面體的正方體的棱長(zhǎng)的最小值為aB．勒洛四面體能夠容納的最大球的半徑為C．勒洛四面體的截面面積的最大值為D．勒洛四面體的體積【答案】ABD【詳解】首先求得正四面體的一些結(jié)論：正四面體棱長(zhǎng)為，是底面的中心，是其外接球（也是內(nèi)切球）的球心，外接球半徑為，是高，如圖1．，，由得，解得，（內(nèi)切球半徑）．正四面體的體積為，外接球體積為．圖1圖2圖3對(duì)于A選項(xiàng)，由勒洛四面體的結(jié)構(gòu)知勒洛四面體表面上任意兩點(diǎn)間的距離的最大值為a，故A正確；對(duì)于B選項(xiàng)，勒洛四面體能夠容納的最大球與勒洛四面體的弧面相切，如圖2，其中點(diǎn)E為該球與勒洛四面體的一個(gè)切點(diǎn)，O為該球的球心，易知該球的球心O為正四面體ABCD的中心，半徑為OE，連接BE，易知B，O，E三點(diǎn)共線，且，，因此，故B正確；對(duì)于C選項(xiàng)，勒洛四面體面積最大的截面即經(jīng)過四面體ABCD表面的截面，如圖3，則勒洛四面體的截面面積的最大值為三個(gè)半徑為a，圓心角為60°的扇形的面積減去兩個(gè)邊長(zhǎng)為a的正三角形的面積，即，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，勒洛四面體的體積介于正四面體ABCD的體積和正四面體ABCD的外接球的體積之間，而正四面體ABCD的體積，正四面體ABCD的外接球的體積，故D正確.12．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）對(duì)于△，其外心為，重心為，垂心為，則下列結(jié)論正確的是（）A．B．C．向量與共線D．過點(diǎn)的直線分別與、交于、兩點(diǎn)，若，，則【答案】BCD【分析】A：由外心的性質(zhì)，結(jié)合向量數(shù)量積的幾何意義判斷；B：根據(jù)的幾何意義即可判斷正誤；C：應(yīng)用向量數(shù)量積的運(yùn)算律及定義化簡(jiǎn)，再根據(jù)判斷正誤；D：根據(jù)平面向量基本定理可得，再由三點(diǎn)共線即可證.【詳解】A：為外心，則，僅當(dāng)時(shí)才有，錯(cuò)誤；B：由，又，故，正確；C：，即與垂直，又，所以與共線，正確；D：，又三點(diǎn)共線，則，故，正確.三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分。）13．（2021·全國(guó)·貴陽(yáng)一中一模（理））已知x，y為正實(shí)數(shù)，且，則的最小值為_________.【答案】【分析】應(yīng)用“1”的代換將目標(biāo)式轉(zhuǎn)化為，再應(yīng)用基本不等式求最小值，注意等號(hào)成立條件.【詳解】∵，是正實(shí)數(shù)，且，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，等號(hào)成立.14．（2021·江蘇鎮(zhèn)江·一模）若，則___________.【答案】【分析】由題意可得，令，則，，化簡(jiǎn)即得解.【詳解】由題意可得，令，則，，所以原式.15．（2021·全國(guó)全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，，過作傾斜角為30°的直線，與以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心?橢圓半焦距為半徑的圓交于點(diǎn)（不同于點(diǎn)），與橢圓在第一象限交于點(diǎn)，若，則橢圓的離心率為___________.【答案】【分析】因?yàn)椋玫?，求得，再在中，由余弦定理得，得到，結(jié)合離心率的定義，即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以為線段的中點(diǎn)，所以，又因?yàn)闉閳A的直徑，所以，在中，，，所以，從而，在中，由余弦定理得，又由，所以，解得，所以橢圓的離心率.16．（2021·吉林·東北師大附中模擬預(yù)測(cè)（理））在四棱錐中，已知底面，，，M是平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且滿足，則當(dāng)四棱錐的體積最大時(shí)，三棱錐外接球的表面積為___________.【答案】【分析】根據(jù)題意可得，在平面內(nèi)，以為原點(diǎn)，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，求出點(diǎn)的軌跡方程，可得當(dāng)四棱錐的體積最大時(shí)，可取，三棱錐外接球的球心在過三角形外接圓圓心且垂直平面的直線上，利用勾股定理可求得外接球的半徑，從而可得出答案.【詳解】：因?yàn)榈酌?，面，所以，又因，，所以平面，又平面，所以，同理，在和中，因?yàn)?，所以，所以，即，在平面?nèi)，以為原點(diǎn)，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，則有，化簡(jiǎn)得，即點(diǎn)的軌跡方程為，要使四棱錐的體積最大，只要點(diǎn)的縱坐標(biāo)的絕對(duì)值最大即可，令，則，當(dāng)四棱錐的體積最大時(shí)，可取，此時(shí)到平面的距離為，三棱錐外接球的球心在過三角形外接圓圓心且垂直平面的直線上，在三棱錐中，取的中點(diǎn)，點(diǎn)即為三角形外接圓的圓心，設(shè)三棱錐外接球的球心為，半徑為，設(shè)，則有，解得，所以，所以三棱錐外接球的表面積.四、解答題（本題共6小題，共70分。第17題10分，其余每題12分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過程或演算步驟。）17．（2021·浙江·紹興市柯橋區(qū)教師發(fā)展中心模擬預(yù)測(cè)）設(shè)函數(shù).（1）求函數(shù)的最小正周期；（2）求函數(shù)在上的最小值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）首先利用輔助角公式及二倍角公式化簡(jiǎn)函數(shù)，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得；（2）首先利用輔助角公式及二倍角公式化簡(jiǎn)函數(shù)，利用函數(shù)的定義域求出函數(shù)的值域，即可得解．【詳解】：（1）函數(shù)，所以．故函數(shù)的最小正周期；（2）：由于，所以，所以即；由于，所以，所以，故，當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)取得最小值為．18．（2021·全國(guó)全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，，.（1）在下列三個(gè)結(jié)論中選擇一個(gè)進(jìn)行證明，并求的通項(xiàng)公式.①數(shù)列是等差數(shù)列；②數(shù)列是等比數(shù)列；③數(shù)列是等比數(shù)列.（2）記，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.注：如果選擇多個(gè)結(jié)論分別證明，按第一個(gè)證明計(jì)分.【答案】（1）答案見解析；（2）.【分析】（1）若選①，采用作差法可得，構(gòu)造得，變形即可求證，求得的通項(xiàng)，變形可得的通項(xiàng)公式；若選②，由作差法得，構(gòu)造得，可證是等比數(shù)列；求得，同時(shí)除以可得①，后續(xù)方法同①；若選③，由代換得，可證時(shí)等比數(shù)列；同時(shí)除以可得，求出的通項(xiàng)公式，由可求的通項(xiàng)公式；（2）由（1）得，代換得，結(jié)合裂項(xiàng)公式可求.【詳解】：（1）方案一：選結(jié)論①.因?yàn)?，，所以，?dāng)時(shí)，，兩式相減得，，所以，即，，所以數(shù)列是等差數(shù)列，又，，所以，所以；方案二：選結(jié)論②.因?yàn)?，，所以，?dāng)時(shí)，，兩式相減得，，所以，，因?yàn)?，所以是?為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以，兩邊同時(shí)除以得，，所以是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，所以，所以；方案三：選結(jié)論③.因?yàn)?，，所以，?dāng)時(shí)，，所以，因?yàn)?，所以是?為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以，兩邊同時(shí)除以，得，所以是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，所以，所以，所以；（2）由（1）得，，所以，所以.19．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中點(diǎn).（1）求證：PA∥平面BDE；（2）若直線BD與平面PBC所成的角為30°，求二面角的大小.【答案】（1）證明見解析；（2）60°.【分析】（1）連結(jié)，，交于點(diǎn)，連結(jié)，推導(dǎo)出，由此能證明平面；（2）以為原點(diǎn)，，，所在直線分別為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，根據(jù)直線BD與平面PBC所成的角為30°，求出，利用向量法能求出二面角的大?。驹斀狻浚海?）證明：連結(jié)，，交于點(diǎn)，連結(jié)，底面是矩形，是的中點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，平面，平面，平面；（2）解：在四棱錐中，底面是矩形，側(cè)棱底面，，以為原點(diǎn)，，，所在直線分別為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，設(shè)，則，2，，，0，，，0，，，2，，，，，，2，，，2，，設(shè)平面的法向量，，，則，取，得，1，，直線與平面所成角為，，解得，，，2，，，2，，，0，，設(shè)平面的法向量，，，則，取，得，，，設(shè)二面角的大小為，則，，二面角的大小為．20．（2021·全國(guó)全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）“十四五”是我國(guó)全面建成小康社會(huì)、實(shí)現(xiàn)第一個(gè)百年奮斗目標(biāo)之后，乘勢(shì)而上開啟全面建設(shè)社會(huì)主現(xiàn)代化國(guó)家新征程、向第二個(gè)百年奮斗目標(biāo)進(jìn)軍的第一個(gè)五年，實(shí)施時(shí)間為2021年到2025年．某企業(yè)為響應(yīng)國(guó)家號(hào)召，匯聚科研力量，加強(qiáng)科技創(chuàng)新，準(zhǔn)備加大研發(fā)資金投入，為了解年研發(fā)資金投入額（單位：億元）對(duì)年盈利額（單位：億元）的影響，通過對(duì)“十二五”和“十三五”規(guī)劃發(fā)展10年期間年研發(fā)資金投入額和年盈利額數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，建立了兩個(gè)函數(shù)模型：；，其中，，，均為常數(shù)，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)令，經(jīng)計(jì)算得如下數(shù)據(jù)：，，，，，，，，，，問：（1）請(qǐng)從相關(guān)系數(shù)的角度，分析哪一個(gè)模型擬合度更好？（2）根據(jù)（1）的選擇及表中數(shù)據(jù)，建立，關(guān)于的回歸方程（系數(shù)精確到0.01）（3）若希望2021年盈利額y為500億元，請(qǐng)預(yù)測(cè)2021年的研發(fā)資金投入額為多少億元？（結(jié)果精確到0.01）附：①相關(guān)系數(shù)r＝，回歸直線中：，參考數(shù)據(jù)：，．【答案】（1）模型的擬合程度更好；（2）；（3）億元．【分析】（1）分別計(jì)算兩個(gè)函數(shù)模型的相關(guān)系數(shù)和，比較和的大小關(guān)系即可判斷；（2）由得，即，根據(jù)最小二乘法求和的值，即可求解；（3）將代入（2）中的回歸方程即可求解.【詳解】（1）為了判斷兩個(gè)函數(shù)模型：；，擬合程度，只需要判斷兩個(gè)函數(shù)模型，擬合程度即可．設(shè)和的相關(guān)系數(shù)為，和的相關(guān)系數(shù)為，由題意，，顯然，因此從相關(guān)系數(shù)的角度，模型的擬合程度更好．（2）先建立關(guān)于的線性回歸方程，由得，，即，，，所以關(guān)于的線性回歸方程為，即，所求回歸方程為：，（3）若2021年盈利額為500億元，即為，，，解得：，所以2021年的研發(fā)資金投入量約為億元．21．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的上頂點(diǎn)為，過點(diǎn)且與軸垂直的直線被截得的線段長(zhǎng)為.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程﹔（2）設(shè)直線交橢圓于異于點(diǎn)的兩點(diǎn)，以為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)線段的中垂線與軸的交點(diǎn)為，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由題設(shè)有且求參數(shù)a，進(jìn)而寫出橢圓方程.（2）討論的斜率，當(dāng)斜率