信號與系統(tǒng)教案名師優(yōu)質(zhì)課賽課一等獎市公開課獲獎課件

第三章離散系統(tǒng)時域分析3.1LTI離散系統(tǒng)響應

一、差分與差分方程二、差分方程經(jīng)典解三、零輸入響應和零狀態(tài)響應3.2單位序列響應和階躍響應

一、單位序列響應二、階躍響應3.3卷積和

一、序列分解與卷積和二、卷積圖解三、不進位乘法四、卷積和性質(zhì)點擊目錄，進入相關章節(jié)第1頁第三章離散系統(tǒng)時域分析連續(xù)離散描述線性微分方程線性差分方程經(jīng)典法求解齊次解+特解齊次解+特解系統(tǒng)分析運算卷積積分卷積和基本信號基本響應h(t)g(t)h(k)g(k)第2頁第三章離散系統(tǒng)時域分析3.1LTI離散系統(tǒng)響應一、差分與差分方程

設有序列f(k)，則…，f(k+2)，f(k+1)，…，f(k-1)，f(k-2)…等稱為f(k)移位序列。仿照連續(xù)信號微分運算，定義離散信號差分運算。1.差分運算離散信號改變率有兩種表示形式：第3頁3.1LTI離散系統(tǒng)響應（1）一階前向差分定義：f(k)=f(k+1)–f(k)（2）一階后向差分定義：f(k)=f(k)–f(k–1)式中，和稱為差分算子，無標準區(qū)分。本書主要用后向差分，簡稱為差分。（3）差分線性性質(zhì)：

[af1(k)+bf2(k)]=af1(k)+bf2(k)（4）二階差分定義：

2f(k)=[f(k)]=[f(k)–f(k-1)]=f(k)–f(k-1)=f(k)–f(k-1)–[f(k-1)–f(k-2)]=f(k)–2f(k-1)+f(k-2)（5）m階差分:

mf(k)=f(k)+b1f(k-1)+…+bmf(k-m)所以，可定義：第4頁3.1LTI離散系統(tǒng)響應2.差分方程

包含未知序列y(k)及其各階差分方程式稱為差分方程。將差分展開為移位序列，得普通形式

y(k)+an-1y(k-1)+…+a0y(k-n)=bmf(k)+…+b0f(k-m)

差分方程本質(zhì)上是遞推代數(shù)方程，若已知初始條件和激勵，利用迭代法可求得其數(shù)值解。例：若描述某系統(tǒng)差分方程為

y(k)+3y(k–1)+2y(k–2)=f(k)已知初始條件y(0)=0,y(1)=2,激勵f(k)=2kε(k),求y(k)。解：y(k)=–3y(k–1)–2y(k–2)+f(k)y(2)=–3y(1)–2y(0)+f(2)=–2y(3)=–3y(2)–2y(1)+f(3)=10……普通不易得到解析形式(閉合)解。

第5頁3.1LTI離散系統(tǒng)響應二、差分方程經(jīng)典解y(k)+an-1y(k-1)+…+a0y(k-n)=bmf(k)+…+b0f(k-m)與微分方程經(jīng)典解類似，上述差分方程解由齊次解和特解兩部分組成。齊次解用yh(k)表示，特解用yp(k)表示，即y(k)=yh(k)+yp(k)1.齊次解yh(k)

齊次解是齊次差分方程

y(k)+an-1y(k-1)+…+a0y(k-n)=0解。yh(k)函數(shù)形式由上述差分方程特征根確定。第6頁齊次方程

y(k)+an-1y(k-1)+…+a0y(k-n)=0其特征方程為1+an-1λ–1+…+a0λ–n=0

，即λn+an-1λn–1+…+a0=0其根λi(i=1，2，…，n)稱為差分方程特征根。第7頁3.1LTI離散系統(tǒng)響應2.特解yp(k):第8頁例：若描述某系統(tǒng)差分方程為

y(k)+4y(k–1)+4y(k–2)=f(k)已知初始條件y(0)=0，y(1)=–1；激勵f(k)=2k，k≥0。求方程全解。解：特征方程為λ2+4λ+4=0可解得特征根λ1=λ2=–2，其齊次解

yh(k)=(C1k+C2)(–2)k特解為yp(k)=P(2)k,k≥0代入差分方程得P(2)k+4P(2)k–1+4P(2)k–2=f(k)=2k

，解得P=1/4所以得特解：yp(k)=2k–2,k≥0故全解為y(k)=yh+yp=(C1k+C2)(–2)k+2k–2,k≥0代入初始條件解得C1=1,C2=–1/43.1LTI離散系統(tǒng)響應第9頁3.1LTI離散系統(tǒng)響應三、零輸入響應和零狀態(tài)響應第10頁對于零輸入響應，因為激勵為零，故有:第11頁第12頁3.1LTI離散系統(tǒng)響應例：若描述某離散系統(tǒng)差分方程為

y(k)+3y(k–1)+2y(k–2)=f(k)已知激勵f(k)=2k,k≥0，初始狀態(tài)y(–1)=0,y(–2)=1/2,求系統(tǒng)零輸入響應、零狀態(tài)響應和全響應。解：（1）yx(k)滿足方程yx(k)+3yx(k–1)+2yx(k–2)=0其初始狀態(tài)yx(–1)=y(–1)=0,yx(–2)=y(–2)=1/2首先遞推求出初始值yx(0),yx(1),yx(k)=–3yx(k–1)–2yx(k–2)yx(0)=–3yx(–1)–2yx(–2)=–1,yx(1)=–3yx(0)–2yx(–1)=3方程特征根為λ1=–1，λ2=–2，其解為yx(k)=Cx1(–1)k+Cx2(–2)k

將初始值代入并解得Cx1=1,Cx2=–2

所以yx(k)=(–1)k–2(–2)k,k≥0第13頁3.1LTI離散系統(tǒng)響應yf(k)+3yf(k–1)+2yf(k–2)=f(k)初始狀態(tài)yf(–1)=yf(–2)=0遞推求初始值

yf(0),yf(1)，

yf(k)=–3yf(k–1)–2yf(k–2)+2k,k≥0yf(0)=–3yf(–1)–2yf(–2)+1=1yf(1)=–3yf(0)–2yf(–1)+2=–1分別求出齊次解和特解，得

yf(k)=Cf1(–1)k+Cf2(–2)k+yp(k)=Cf1(–1)k+Cf2(–2)k+(1/3)2k代入初始值求得Cf1=–1/3,Cf2=1所以yf(k)=–(–1)k/3+(–2)k+(1/3)2k,k≥0（2）零狀態(tài)響應yf(k)

滿足第14頁3.2單位序列響應和階躍響應3.2單位序列響應和階躍響應一、單位序列和單位階躍序列第15頁第16頁第17頁第18頁第19頁第20頁第21頁第22頁第23頁第24頁3.2單位序列響應和階躍響應二、單位序列響應和單位階躍響應第25頁3.2單位序列響應和階躍響應

例1已知某系統(tǒng)差分方程為y(k)-y(k-1)-2y(k-2)=f(k)求單位序列響應h(k)。解依據(jù)h(k)定義有

h(k)–h(k–1)–2h(k–2)=δ(k)（1）

h(–1)=h(–2)=0（1）遞推求初始值h(0)和h(1)。h(k)=h(k–1)+2h(k–2)+δ(k)h(0)=h(–1)+2h(–2)+δ(0)=1h(1)=h(0)+2h(–1)+δ(1)=1方程（1）移項寫為第26頁3.2單位序列響應和階躍響應(2)求h(k)。對于k>0，h(k)滿足齊次方程

h(k)–h(k–1)–2h(k–2)=0

其特征方程為(λ+1)(λ–2)=0

所以h(k)=C1(–1)k+C2(2)k

，k>0h(0)=C1+C2=1,h(1)=–C1+2C2=1解得C1=1/3,C2=2/3h(k)=(1/3)(–1)k+(2/3)(2)k,k≥0或?qū)憺閔(k)=[(1/3)(–1)k+(2/3)(2)k]ε(k)第27頁3.2單位序列響應和階躍響應

例2：若方程為：

y(k)–y(k–1)–2y(k–2)=f(k)–f(k–2)

求單位序列響應h(k)解h(k)滿足

h(k)–h(k–1)–2h(k–2)=δ(k)–δ(k–2)令只有δ(k)作用時，系統(tǒng)單位序列響應h1(k),它滿足

h1(k)–h1(k–1)–2h1(k–2)=δ(k)依據(jù)線性、時不變性，

h(k)=h1(k)–h1(k–2)=[(1/3)(–1)k+(2/3)(2)k]ε(k)–[(1/3)(–1)k–2+(2/3)(2)k–2]ε(k–2)第28頁3.2單位序列響應和階躍響應第29頁3.2單位序列響應和階躍響應第30頁3.2單位序列響應和階躍響應第31頁3.2單位序列響應和階躍響應第32頁3.2單位序列響應和階躍響應第33頁3.2單位序列響應和階躍響應第34頁3.2單位序列響應和階躍響應第35頁3.2單位序列響應和階躍響應(k2≥k1)兩個慣用求和公式：第36頁3.3卷積和3.3卷積和一、卷積和1.序列時域分解任意離散序列f(k)可表示為

f(k)=…+f(-1)δ(k+1)+f(0)δ(k)+f(1)δ(k-1)+f(2)δ(k-2)+…+f(i)δ(k–i)+…第37頁3.3卷積和2.任意序列作用下零狀態(tài)響應yf(k)f(k)依據(jù)h(k)定義：δ(k)

h(k)由時不變性：δ(k

-i)h(k-i)f(i)δ(k-i)由齊次性：f(i)h(k-i)由疊加性：‖f(k)‖yf(k)卷積和第38頁3.3卷積和3.卷積和定義已知定義在區(qū)間（–∞，∞）上兩個函數(shù)f1(k)和f2(k)，則定義和為f1(k)與f2(k)卷積和，簡稱卷積；記為

f(k)=f1(k)*f2(k)注意：求和是在虛設變量i下進行，i為求和變量，k為參變量。結(jié)果仍為k函數(shù)。第39頁第40頁3.3卷積和例：f(k)=akε(k),h(k)=bkε(k)，求yf(k)。解：yf(k)=f(k)*h(k)當i<0,ε(i)=0；當i>k時，ε(k-i)=0ε(k)*ε(k)=(k+1)ε(k)第41頁第42頁3.3卷積和二、卷積圖解法卷積過程可分解為四步：（1）換元：k換為i→得f1(i)，f2(i)（2）反轉(zhuǎn)平移：由f2(i)反轉(zhuǎn)→f2(–i)平移k→f2(k–i)（3）乘積：f1(i)f2(k–i)（4）求和：i從–∞到∞對乘積項求和。注意：k為參變量。下面舉例說明。第43頁3.3卷積和例：f1(k)、f2(k)如圖所表示，已知f(k)=f1(k)*f2(k)，求f(2)=？解：（1）換元（2）f2(i)反轉(zhuǎn)得f2(–i)（3）f2(–i)右移2得f2(2–i)（4）f1(i)乘f2(2–i)（5）求和，得f(2)=4.5f2(–i)f2(2–i)第44頁3.3卷積和三、不進位乘法求卷積f(k)=全部兩序列序號之和為k那些樣本乘積之和。如k=2時f(2)=…+f1(-1)f2(3)+f1(0)f2(2)+f1(1)f2(1)+f1(2)f2(0)+…例

f1(k)={0，f1(1)，f1(2)，f1(3)，0}f2(k)={0，f2(0)，f2(1)，0}=…+f1(-1)f2(k+1)+f1(0)f2(k)+f1(1)f2(k-1)+f1(2)f2(k-2)+…+f1(i)f2(k–i)+…第45頁3.3卷積和f1(1)，f1(2)，f1(3)f2(0)，f2(1)×——————————————————f1(1)f2(0)，f1(2)f2(0)，f1(3)f2(0)f1(1)f2(1)，f1(2)f2(1)，f1(3)f2(1)+—————————————————————f1(3)f2(1)f1(2)f2(1)+f1(3)f2(0)f1(1)f2(1)+f1(2)f2(0)f1(1)f2(0)f(k)={0，f1(1)f2(0)，f1(1)f2(1)+f1(2)f2(0)f1(2)f2(1)+f1(3)f2(0)，f1(3)f2(1)，0}排成乘法第46頁3.3卷積和例

f1(k)={0，2，1，5，0}↑k=1f2(k)={0，3，4，0，6，0}↑k=03，4，0，62，1，5解×————————15，20，0，303，4，0，66，8，0，12+————————————6，11，19，32，6，30求f(k)=f1(k)*f2(k)