2023學(xué)年海南省三亞市華僑學(xué)校高三壓軸卷數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2023學(xué)年高考數(shù)學(xué)模擬測(cè)試卷注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．一個(gè)正三角形的三個(gè)頂點(diǎn)都在雙曲線的右支上，且其中一個(gè)頂點(diǎn)在雙曲線的右頂點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．2．的展開式中的系數(shù)為()A．－30 B．－40 C．40 D．503．已知函數(shù)，且的圖象經(jīng)過第一、二、四象限，則，，的大小關(guān)系為()A． B．C． D．4．已知與分別為函數(shù)與函數(shù)的圖象上一點(diǎn)，則線段的最小值為()A． B． C． D．65．從拋物線上一點(diǎn)(點(diǎn)在軸上方)引拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為，且，設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，則直線的斜率為（）A． B． C． D．6．已知雙曲線（，）的左、右焦點(diǎn)分別為，以（為坐標(biāo)原點(diǎn)）為直徑的圓交雙曲線于兩點(diǎn)，若直線與圓相切，則該雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．7．已知函數(shù)，則（）A．2 B．3 C．4 D．58．若復(fù)數(shù)z滿足,則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在()A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限9．復(fù)數(shù)，是虛數(shù)單位，則下列結(jié)論正確的是A． B．的共軛復(fù)數(shù)為C．的實(shí)部與虛部之和為1 D．在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)位于第一象限10．已知復(fù)數(shù)z=2i1-i，則A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限11．《周易》是我國(guó)古代典籍，用“卦”描述了天地世間萬象變化．如圖是一個(gè)八卦圖，包含乾、坤、震、巽、坎、離、艮、兌八卦（每一卦由三個(gè)爻組成，其中“”表示一個(gè)陽爻，“”表示一個(gè)陰爻）．若從含有兩個(gè)及以上陽爻的卦中任取兩卦，這兩卦的六個(gè)爻中都恰有兩個(gè)陽爻的概率為（）A． B． C． D．12．在中，為中點(diǎn)，且，若，則（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知平行于軸的直線與雙曲線：的兩條漸近線分別交于，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若為等邊三角形，則雙曲線的離心率為______.14．在中，角所對(duì)的邊分別為，，的平分線交于點(diǎn)D，且，則的最小值為________．15．已知實(shí)數(shù)，滿足約束條件，則的最大值是__________.16．學(xué)校藝術(shù)節(jié)對(duì)同一類的四項(xiàng)參賽作品，只評(píng)一項(xiàng)一等獎(jiǎng)，在評(píng)獎(jiǎng)揭曉前，甲、乙、丙、丁四位同學(xué)對(duì)這四項(xiàng)參賽作品預(yù)測(cè)如下：甲說：“作品獲得一等獎(jiǎng)”；乙說：“作品獲得一等獎(jiǎng)”；丙說：“，兩項(xiàng)作品未獲得一等獎(jiǎng)”；丁說：“是或作品獲得一等獎(jiǎng)”，若這四位同學(xué)中只有兩位說的話是對(duì)的，則獲得一等獎(jiǎng)的作品是___．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知在中，a、b、c分別為角A、B、C的對(duì)邊，且．（1）求角A的值；（2）若，設(shè)角，周長(zhǎng)為y，求的最大值．18．（12分）已知橢圓的右焦點(diǎn)為，直線被稱作為橢圓的一條準(zhǔn)線，點(diǎn)在橢圓上(異于橢圓左、右頂點(diǎn))，過點(diǎn)作直線與橢圓相切，且與直線相交于點(diǎn).（1）求證：.（2）若點(diǎn)在軸的上方，當(dāng)?shù)拿娣e最小時(shí)，求直線的斜率.附：多項(xiàng)式因式分解公式：19．（12分）如圖，在四棱錐中，底面，，，，，點(diǎn)為棱的中點(diǎn).（1）證明：：（2）求直線與平面所成角的正弦值；（3）若為棱上一點(diǎn)，滿足，求二面角的余弦值.20．（12分）的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且.（1）求；（2）若，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，且，求的面積.21．（12分）如圖，已知在三棱錐中，平面，分別為的中點(diǎn)，且.（1）求證：；（2）設(shè)平面與交于點(diǎn)，求證：為的中點(diǎn).22．（10分）2019年是中華人民共和國(guó)成立70周年．為了讓人民了解建國(guó)70周年的風(fēng)雨歷程，某地的民調(diào)機(jī)構(gòu)隨機(jī)選取了該地的100名市民進(jìn)行調(diào)查，將他們的年齡分成6段：，，…，，并繪制了如圖所示的頻率分布直方圖．（1）現(xiàn)從年齡在，，內(nèi)的人員中按分層抽樣的方法抽取8人，再?gòu)倪@8人中隨機(jī)選取3人進(jìn)行座談，用表示年齡在）內(nèi)的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）若用樣本的頻率代替概率，用隨機(jī)抽樣的方法從該地抽取20名市民進(jìn)行調(diào)查，其中有名市民的年齡在的概率為．當(dāng)最大時(shí)，求的值．

2023學(xué)年模擬測(cè)試卷參考答案（含詳細(xì)解析）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【答案解析】

因?yàn)殡p曲線分左右支，所以，根據(jù)雙曲線和正三角形的對(duì)稱性可知：第一象限的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，，將其代入雙曲線可解得．【題目詳解】因?yàn)殡p曲線分左右支，所以，根據(jù)雙曲線和正三角形的對(duì)稱性可知：第一象限的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，，將其代入雙曲線方程得：，即，由得．故選：．【答案點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線的性質(zhì)，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平．2、C【答案解析】

先寫出的通項(xiàng)公式，再根據(jù)的產(chǎn)生過程，即可求得.【題目詳解】對(duì)二項(xiàng)式，其通項(xiàng)公式為的展開式中的系數(shù)是展開式中的系數(shù)與的系數(shù)之和.令，可得的系數(shù)為；令，可得的系數(shù)為；故的展開式中的系數(shù)為.故選：C.【答案點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)展開式中某一項(xiàng)系數(shù)的求解，關(guān)鍵是對(duì)通項(xiàng)公式的熟練使用，屬基礎(chǔ)題.3、C【答案解析】

根據(jù)題意，得，，則為減函數(shù)，從而得出函數(shù)的單調(diào)性，可比較和，而，比較，即可比較.【題目詳解】因?yàn)?，且的圖象經(jīng)過第一、二、四象限，所以，，所以函數(shù)為減函數(shù)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又因?yàn)?，所以，又，，則|，即，所以.故選：C.【答案點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小，還考查化簡(jiǎn)能力和轉(zhuǎn)化思想.4、C【答案解析】

利用導(dǎo)數(shù)法和兩直線平行性質(zhì)，將線段的最小值轉(zhuǎn)化成切點(diǎn)到直線距離.【題目詳解】已知與分別為函數(shù)與函數(shù)的圖象上一點(diǎn)，可知拋物線存在某條切線與直線平行，則，設(shè)拋物線的切點(diǎn)為，則由可得，，所以切點(diǎn)為，則切點(diǎn)到直線的距離為線段的最小值，則.故選：C.【答案點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用，以及點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想和計(jì)算能力.5、A【答案解析】

根據(jù)拋物線的性質(zhì)求出點(diǎn)坐標(biāo)和焦點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求出點(diǎn)的坐標(biāo)，代入斜率公式即可求解.【題目詳解】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，由題意知，焦點(diǎn),準(zhǔn)線方程，所以，解得，把點(diǎn)代入拋物線方程可得，，因?yàn)?，所以，所以點(diǎn)坐標(biāo)為，代入斜率公式可得，.故選：A【答案點(diǎn)睛】本題考查拋物線的性質(zhì)，考查運(yùn)算求解能力；屬于基礎(chǔ)題.6、D【答案解析】

連接，可得，在中，由余弦定理得，結(jié)合雙曲線的定義，即得解.【題目詳解】連接，則，，所以，在中，，，故在中，由余弦定理可得.根據(jù)雙曲線的定義，得，所以雙曲線的離心率故選：D【答案點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線的性質(zhì)及雙曲線的離心率，考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于中檔題.7、A【答案解析】

根據(jù)分段函數(shù)直接計(jì)算得到答案.【題目詳解】因?yàn)樗?故選：.【答案點(diǎn)睛】本題考查了分段函數(shù)計(jì)算，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.8、A【答案解析】

化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，求得，得到復(fù)數(shù)在復(fù)平面對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求解.【題目詳解】由題意，復(fù)數(shù)z滿足，可得，所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為位于第一象限故選：A.【答案點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算，以及復(fù)數(shù)的幾何表示方法，其中解答中熟記復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，結(jié)合復(fù)數(shù)的表示方法求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.9、D【答案解析】

利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，求得，在根據(jù)復(fù)數(shù)的模，復(fù)數(shù)與共軛復(fù)數(shù)的概念等即可得到結(jié)論．【題目詳解】由題意，則，的共軛復(fù)數(shù)為，復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部之和為，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)位于第一象限，故選D．【答案點(diǎn)睛】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加減乘除運(yùn)算的法則是進(jìn)行復(fù)數(shù)運(yùn)算的理論依據(jù),加減運(yùn)算類似于多項(xiàng)式的合并同類項(xiàng),乘法法則類似于多項(xiàng)式乘法法則，除法運(yùn)算則先將除式寫成分式的形式,再將分母實(shí)數(shù)化，其次要熟悉復(fù)數(shù)相關(guān)基本概念，如復(fù)數(shù)的實(shí)部為、虛部為、模為、對(duì)應(yīng)點(diǎn)為、共軛為．10、C【答案解析】分析：根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算，求得復(fù)數(shù)z，再利用復(fù)數(shù)的表示，即可得到復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，得到答案．詳解：由題意，復(fù)數(shù)z=2i1-i所以復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(-1,-1)，位于復(fù)平面內(nèi)的第三象限，故選C．點(diǎn)睛：本題主要考查了復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算及復(fù)數(shù)的表示，其中根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算求解復(fù)數(shù)z是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力．11、B【答案解析】

基本事件總數(shù)為個(gè)，都恰有兩個(gè)陽爻包含的基本事件個(gè)數(shù)為個(gè)，由此求出概率.【題目詳解】解：由圖可知，含有兩個(gè)及以上陽爻的卦有巽、離、兌、乾四卦，取出兩卦的基本事件有（巽，離），（巽，兌），（巽，乾），（離，兌），（離，乾），（兌，乾）共個(gè)，其中符合條件的基本事件有（巽，離），（巽，兌），（離，兌）共個(gè)，所以，所求的概率.故選：B.【答案點(diǎn)睛】本題滲透?jìng)鹘y(tǒng)文化，考查概率、計(jì)數(shù)原理等基本知識(shí)，考查抽象概括能力和應(yīng)用意識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．12、B【答案解析】

選取向量，為基底，由向量線性運(yùn)算，求出，即可求得結(jié)果.【題目詳解】，，，，，.故選：B.【答案點(diǎn)睛】本題考查了平面向量的線性運(yùn)算，平面向量基本定理，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、2【答案解析】

根據(jù)為等邊三角形建立的關(guān)系式，從而可求離心率.【題目詳解】據(jù)題設(shè)分析知，，所以，得，所以雙曲線的離心率.【答案點(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線的離心率的求解，根據(jù)條件建立之間的關(guān)系式是求解的關(guān)鍵，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).14、9【答案解析】分析：先根據(jù)三角形面積公式得條件、再利用基本不等式求最值.詳解：由題意可知，,由角平分線性質(zhì)和三角形面積公式得，化簡(jiǎn)得，因此當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，則的最小值為.點(diǎn)睛：在利用基本不等式求最值時(shí)，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”(即條件要求中字母為正數(shù))、“定”(不等式的另一邊必須為定值)、“等”(等號(hào)取得的條件)的條件才能應(yīng)用，否則會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤.15、【答案解析】

令，所求問題的最大值為,只需求出即可，作出可行域，利用幾何意義即可解決.【題目詳解】作出可行域，如圖令，則，顯然當(dāng)直線經(jīng)過時(shí)，最大，且，故的最大值為.故答案為：.【答案點(diǎn)睛】本題考查線性規(guī)劃中非線性目標(biāo)函數(shù)的最值問題，要做好此類題，前提是正確畫出可行域，本題是一道基礎(chǔ)題.16、C【答案解析】

假設(shè)獲得一等獎(jiǎng)的作品，判斷四位同學(xué)說對(duì)的人數(shù).【題目詳解】分別獲獎(jiǎng)的說對(duì)人數(shù)如下表：獲獎(jiǎng)作品ABCD甲對(duì)錯(cuò)錯(cuò)錯(cuò)乙錯(cuò)錯(cuò)對(duì)錯(cuò)丙對(duì)錯(cuò)對(duì)錯(cuò)丁對(duì)錯(cuò)錯(cuò)對(duì)說對(duì)人數(shù)3021故獲得一等獎(jiǎng)的作品是C.【答案點(diǎn)睛】本題考查邏輯推理，常用方法有：1、直接推理結(jié)果，2、假設(shè)結(jié)果檢驗(yàn)條件.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）．【答案解析】

（1）利用正弦定理，結(jié)合題中條件，可以得到，之后應(yīng)用余弦定理即可求得；（2）利用正弦定理求得，求出三角形的周長(zhǎng)，利用三角函數(shù)的最值求解即可.【題目詳解】（1）由已知可得，結(jié)合正弦定理可得，∴，又，∴．（2）由，及正弦定理得，∴，，故，即，由，得，∴當(dāng)，即時(shí)，．【答案點(diǎn)睛】該題主要考查的是有關(guān)解三角形的問題，解題的關(guān)鍵是掌握正余弦定理，屬于簡(jiǎn)單題目.18、（1）證明見解析（2）【答案解析】

（1）由得令可得，進(jìn)而得到，同理，利用數(shù)量積坐標(biāo)計(jì)算即可；（2），分，兩種情況討論即可.【題目詳解】（1）證明：點(diǎn)的坐標(biāo)為.聯(lián)立方程，消去后整理為有，可得，，.可得點(diǎn)的坐標(biāo)為.當(dāng)時(shí)，可求得點(diǎn)的坐標(biāo)為，，.有,故有.（2）若點(diǎn)在軸上方，因?yàn)?，所以有，由?）知①因?yàn)闀r(shí).由（1）知，由函數(shù)單調(diào)遞增，可得此時(shí).②當(dāng)時(shí)，由（1）知令由，故當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增：當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，又由，故函數(shù)的最小值，函數(shù)取最小值時(shí)，可求得.由①②知，若點(diǎn)在軸上方，當(dāng)?shù)拿娣e最小時(shí)，直線的斜率為.【答案點(diǎn)睛】本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系，涉及到分類討論求函數(shù)的最值，考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力，是一道難題.19、（1）證明見解析（2）（3）【答案解析】

（1）根據(jù)題意以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，寫出各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，并表示出，由空間向量數(shù)量積運(yùn)算即可證明.（2）先求得平面的法向量，即可求得直線與平面法向量夾角的余弦值，即為直線與平面所成角的正弦值；（3）由點(diǎn)在棱上，設(shè)，再由，結(jié)合，由空間向量垂直的坐標(biāo)關(guān)系求得的值.即可表示出.求得平面和平面的法向量，由空間向量數(shù)量積的運(yùn)算求得兩個(gè)平面夾角的余弦值，再根據(jù)二面角的平面角為銳角即可確定二面角的余弦值.【題目詳解】（1）證明：∵底面，，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，∵，，點(diǎn)為棱的中點(diǎn)．∴，，，，，，.（2）,設(shè)平面的法向量為.則，代入可得，令解得，即，設(shè)直線與平面所成角為，由直線與平面夾角可知所以直線與平面所成角的正弦值為.（3），由點(diǎn)在棱上，設(shè)，故，由，得，解得，即，設(shè)平面的法向量為，由，得，令，則取平面的法向量，則二面角的平面角滿足，由圖可知，二面角為銳二面角，故二面角的余弦值為.【答案點(diǎn)睛】本題考查了空間向量的綜合應(yīng)用，由空間向量證明線線垂直，求直線與平面夾角及平面與平面形成的二面角大小，計(jì)算量較大，屬于中檔題.20、（1）；（2）.【答案解析】

(1)利用正弦定理邊化角,再利用余弦定理求解即可.(2)為為的中線,所以再平方后利用向量的數(shù)量積公式進(jìn)行求解,再代入可解得,再代入面積公式求解即可.【題目詳解】（1）由,可得,由余弦定理可得,故.（2）因?yàn)闉榈闹芯€,所以,兩邊同時(shí)平方可得,故.因?yàn)?所以.所以的面積.【答案點(diǎn)睛】本題主要考查了利用正余弦定理與面積公式求解三角形的問題,同時(shí)也考查了向量在解三角形中的運(yùn)用,屬于中檔題.21、（1）證明見解析