北京理工大學(xué)-數(shù)學(xué)分析-函數(shù)與數(shù)據(jù)-數(shù)列的極限1.2（本科課件）

§2數(shù)列的極限數(shù)列的概念數(shù)列極限的定義數(shù)列極限的性質(zhì)一.數(shù)列的概念高等數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)的差異在于：研究對(duì)象：變量與常量；研究方法：無(wú)限觀念與有限觀念。1.極限概念的引入Step1以直代曲；Step2考察變化趨勢(shì)。n越大，階梯越多，近似程度就越高，但不管n多大，總是近似的，必須考察n趨于無(wú)窮的過(guò)程。例2求單位半徑園的周長(zhǎng)。Step1：以直代曲，得到一系越來(lái)越逼近于圓周長(zhǎng)的近似值；Step2：考察這一系列值的變化趨勢(shì)，從而確定出圓周長(zhǎng)的準(zhǔn)確值圓周長(zhǎng)：

.越大，正多邊形與圓接近的近似程度越高。2.數(shù)列的定義稱(chēng)為一個(gè)數(shù)列〔或序列〕，記作，第項(xiàng)稱(chēng)為通項(xiàng)。定義1遵循某種規(guī)律，依一定順序排列的一串?dāng)?shù)通項(xiàng)序列一般可以例如定義2.

定義3.

為有界序列。例：二.數(shù)列極限的定義極限概念的定性描述limit如果數(shù)列沒(méi)有極限,就說(shuō)數(shù)列是發(fā)散的.注意：幾何解釋:Sept23Fri.Review函數(shù)運(yùn)算：四那么運(yùn)算，反函數(shù)，復(fù)合函數(shù)；根本初等函數(shù)與初等函數(shù)；數(shù)列：概念，子列，有界；極限：極限思想、精確定義、幾何意義，子列，有界，幾個(gè)特殊數(shù)列的極限;。例1..

例2.例3.三.數(shù)列極限的性質(zhì)1.唯一性定理1.收斂數(shù)列的極限是唯一的。即定理2.

收斂數(shù)列必有界。注意：1).有界性是數(shù)列收斂的必要條件；2).無(wú)界數(shù)列必定發(fā)散2.有界性3.夾逼性定理3.4.保號(hào)性定理4推論：4.子列收斂性定理4

收斂數(shù)列的任意子列也收斂，且極限相同。Hw:p303(1)，5.推論：§3函數(shù)的極限函數(shù)在有限點(diǎn)處的極限單側(cè)極限時(shí)的極限函數(shù)極限的性質(zhì)1.函數(shù)在有限點(diǎn)處的極限一函數(shù)極限的定義注意：幾何解釋?zhuān)?.單側(cè)極限例如,左極限右極限Sept.26Mon.Review

數(shù)列極限性質(zhì)：唯一性，有界性，夾逼性，保號(hào)性；函數(shù)極限：趨于有限點(diǎn)，單側(cè)極限(左右極限).左極限右極限例13

時(shí)的極限問(wèn)題:如何用數(shù)學(xué)語(yǔ)言刻劃函數(shù)“無(wú)限接近”.兩種情形：幾何解釋?zhuān)?/p>

定理極限的七種形式：1.數(shù)列:研究其變化規(guī)律;2.數(shù)列極限:極限思想、精確定義、幾何意義;3.收斂數(shù)列的性質(zhì):有界性、唯一性、夾逼性、子數(shù)列的收斂性.Sept.20Mon.Review4函數(shù)極限的定義極限的七種形式：二.函數(shù)極限的性質(zhì)定理1〔唯一性〕定理2〔局部有界性〕定理3〔保號(hào)性〕定理4

推論：子列收斂性(函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系)定義定理5〔函數(shù)極限的并歸性〕函數(shù)極限存在的充要條件是它的任何子列的極限都存在