05例談共點共線共面異面問題

例談共點、共線、共面、異面問題一、共線問題證明點共線，常常采用以下兩種方法：①轉(zhuǎn)化為證明這些點是某兩個平面的公共點，然后根據(jù)公理3證得這些點都在這兩個平面的交線上；②證明多點共線問題時，通常是過其中兩點作一直線，然后證明其他的點都在這條直線上.1.如圖1,正方體ABCD-ABC!。！中，AiC與截面DBCi交0點，AC,BD交M點,求證：Ci,O,M三點共線.證明：連結(jié)AG,VG?平面A1ACC1，且G?平面DBC1,.C1是平面A1ACC1與平面DBC1的公共點.又；MAC,M平面A1ACC1.；MBD,M平面DBC1..M也是平面A1ACC1與平面DBC1的公共點.C1M是平面A1ACC1與平面DBC1的交線.：‘0為AC與截面DBC1的交點,-0■-平面AACC1;）0■-平面DBC1，即0也是兩平面的公共點.???0?GM，即G,M,0三點共線.2.如圖，在四邊形ABCD中，已知AB//CD，直線AB,BC,AD,DC分別與平面a相交于點E,G,H,F.求證：E,F,G,H四點必定共線（在同一條直線上） .分析：先確定一個平面，然后證明相關(guān)直線在這個平面內(nèi)，最后證明四點共線.證明?/AB//CD,AB,CD確定一個平面3-又TABria=E,AB■—3,-Ea,E3,即E為平面a與3的一個公共點.同理可證F,G,H均為平面a與3的公共點.?/兩個平面有公共點，它們有且只有一條通過公共點的公共直線，???E,F,G,H四點必定共線.點評：在立體幾何的問題中，證明若干點共線時，先證明這些點都是某兩平面的公共點，而后得出這些點都在二平面的交線上的結(jié)論.

二、共點問題證明線共點，就是要證明這些直線都過其中兩條直線的交點.法是：先證其中兩條直線交于一點，再證該點也在其他直線上.1.如圖2，已知空間四邊形ABCD,E,F分別是AB,AD二、共點問題證明線共點，就是要證明這些直線都過其中兩條直線的交點.法是：先證其中兩條直線交于一點，再證該點也在其他直線上.1.如圖2，已知空間四邊形ABCD,E,F分別是AB,AD的中點，BG_DH2HCEG,FH,G,H分別是BC,CD上的點,解決此類問題的一般方且GC求證：錯解：證明：AC相交于同一點P.■■■E、F分另U是AB,AD的中點,二EF//BD,EF=2BD,又GCDH2HC-2，1-GH//BD,GH=3BD,四邊形EFGH是梯形，設(shè)兩腰EG,FH相交于一點T,=DC=2,F分別是AD.”?”AC與FH交于一點?二直線EG,FH,AC相交于一點1正解：證明：TE,F分別是AB,AD的中點，.EF//BD，且EF=1BD.2‘+BGdh 1又 2,GH//BD，且GHBD.EF//GH，且E~GHGCHC 3-四邊形EFHG是梯形，其兩腰必相交，設(shè)兩腰 EG,FH相交于一點P,???EG二平面ABC,FH二平面ACD,.P平面ABC,P平面ACD,又平面ABCn平面ACD^AC,PAC.故EG,FH,AC相交于同一點P.2.已知平面a,且aA#l.設(shè)梯形ABCD中，AD//BC,且ABa,CD3,求證：AB,CD,l共點（相交于一點）.分析：AB,CD是梯形ABCD的兩條腰，必定相交于一點M,只要證明M在I上,而I是兩個平面a,3的交線，因此，只要證明 M€a,且M€3即可.?M€I共點.證明：?/梯形ABCD中，?M€I共點.???AB,CD是梯形ABCD的兩條腰.???AB,CD必定相交于一點，設(shè)ABACD=M.又TABa,CD3,?M€a,且M€#又???an#I,?M€I,即AB,CD,點評：證明多條直線共點時，與證明多點共線是一樣的.

三、共面問題證明空間的點、線共面問題，通常采用以下兩種方法：①根據(jù)已知條件先確定一個平面，再證明其他點或直線也在這個平面內(nèi)；②分別過某些點或直線作兩個平面，證明這兩個平面重合.APB圖31.設(shè)P,Q,R,S,M,N分別為正方體ABCD-ABQQ,的AB,BC,CG,CQiAiD,AA的中點，APB圖3求證：P,Q,R,S,M,N共面.證明：如圖3,連結(jié)AB,MQ,NR.?P,N分別為AB,AA的中點，.A1B//PN.7AD,//BC,AM//BQ.TM,Q分別為AD,,BC的中點，.A,M=BQ..四邊形ABQM為平行四邊形. .A,B//MQ..PN//MQ.因此，直線PN,MQ可確定一個平面二.同理，由PQ//NR可知，直線PQ,NR確定一個平面一：.;過兩條相交直線PN,PQ有且只有一個平面，〔爲(wèi)與：重合，即R三：？.同理可證S：.因此，P,Q,R,S,M,N共面.2.已知：a,b,c,d是不共點且兩兩相交的四條直線，求證： a,b,c,d共面.分析：弄清楚四條直線不共點且兩兩相交的含義：四條直線不共點，包括有三條直線共點的情況；兩兩相交是指任何兩條直線都相交.在此基礎(chǔ)上，根據(jù)平面的性質(zhì)，確定一個平面，再證明所有的直線都在這個平面內(nèi).證明1o若當(dāng)四條直線中有三條相交于一點，不妨設(shè) a,b,C相交于一點A二直線d和A確定一個平面a又設(shè)直線d與a,b,c分別相交于E,F,G,則A,E,F,G€a.A,E€a,A,E€a,a_a.同理可證bUa,cUa.???a,b,c,d在同一平面a內(nèi).

2o當(dāng)四條直線中任何三條都不共點時，如圖.???這四條直線兩兩相交，則設(shè)相交直線 a,b確定一個平面a設(shè)直線c與a，b分別交于點H，K，貝UH，K€a.又tH,K€c，—c一a.同理可證d?—a.???a,b,c,d四條直線在同一平面a內(nèi).點評：證明若干條線（或若干個點）共面的一般步驟是：首先由題給條件中的部分線 （或點）確定一個平面，然后再證明其余的線（或點）均在這個平面內(nèi).本題最容易忽視 三線共點”這一種情況.因此，在分析題意時，應(yīng)仔細(xì)推敲問題中每一句話的含義.四、證明異面直線1.如圖正四面體中， D、E是棱PC上不重合的兩點;F、H分別是棱PA、PB上的點，且與P點不重合.求證：EF和DH是異面直線.立體幾何中的共點、共線、共面問題一、共線問題例1.若厶ABC所在的平面和△AiBQ所在平面相交，并且直線AA、BB、CG相交于一點0,求證：（1）AB和AiB、BC和BiC、AC和AC分別在同一平面內(nèi)；⑵如果AB和AiB、BC和BCi、AC和AiCi分別相交，那么交點在同一直線上 （如圖）.例2.例2.點P、QR分別在三棱錐A-BCD的三條側(cè)棱上，且=Y.求證：X、Y、Z三點共線.POPBC=X,QRnCD-Z,PRnBD例3.已知△ABC三邊所在直線分別與平面a交于P、Q、R三點，求證：P、Q、R三點共線。二、共面問題如圖，求例4.直線mn分別和平行直線a、b、c都相交，交點為AB、CDE、F,證：直線a、b、c、mn共面.如圖，求例5.證明兩兩相交而不共點的四條直線在同一平面內(nèi)已知：如圖，直線l1，12，13，14兩兩相交，且不共點求證：直線丨1,丨2,|3,|4在同一平面內(nèi)例6.已知：A、B、C和A2、B、C2分別是兩條異面直線li和l2上的任意三點,T分別是AiA、B1A2、BiE2、CC2的中點.求證：MN、RT四點共面.例7.在空間四邊形ABCD中,MN、P、Q分別是四邊上的點,且滿足AMMBCNNBAQ且滿足AMMBCNNBAQQDCP=k.PD(1)求證：MNP、Q共面.⑵當(dāng)對角線AC=a,BD=b，且MNPQ!正方形時，求ACBD所成的角及k的值(用a,b表示)三、共點問題例8.三個平面兩兩相交得三條直線，求證：這三條直線相交于同一點或兩兩平行1、(1)證明：TAAQBB=0,???AA、BB確定平面BAQ?/AA、BBi都在平面ABO內(nèi)，?ABu平面ABOAB1U平面ABO.同理可證，BC和BiG、AC和AiC分別在同一平面內(nèi).(2)分析：欲證兩直線的交點在一條直線上， 可根據(jù)公理2,證明這兩條直線分別在兩個相交平面內(nèi)，那么，它們的交點就在這兩個平面的交線上2證明：如圖，設(shè)ABAAiBi=P;ACnAiC=R;「.面ABCH面AiBCi=PR.BCU面ABCBCU面AiBiG，且BCnBiCi=Q ??Q€PR,即P、R、Q在同一直線上.3解析：?/A、B、C是不在同一直線上的三點.??過 A、B、C有一個平面1又；ABf；=P,且AB二1：'二點P既在1內(nèi)又在：內(nèi)設(shè)-I-':1,則p?I.同理可證：Q?|,R?|.P,Q,R三點共線.4解析：證明若干條直線共面的方法有兩類： 一是先確定一個平面，證明其余的直線在這個平面里；二是分別確定幾個平面，然后證明這些平面重合證明?/a//b,???過a、b可以確定一個平面a.vA€a,a二a,?A€a,同理B€a.又TA€mB€m,?m_a.同理可證 a.■/b/c,???過b,c可以確定平面3，同理可證m二3.???平面a、3都經(jīng)過相交直線b、m,?平面a和平面3重合，即直線a、b、c、mn共面.5、解析：證明幾條直線共面的依據(jù)是公理 3及推論和公理1.先證某兩線確定平面a,然后證其它直線也在a內(nèi).證明：圖①中，liAl2=P,?li,l2確定平面a.又Iinl3=A,l2Al3=C, C,A€a.故|3二a.同理I4二a.?li,l2,l3,l4共面?圖②中，li,l2,l3,l4的位置關(guān)系，同理可證li,l2,l3,l4共面.所以結(jié)論成立.6、證明如圖，連結(jié)MNNR貝UMIN/li,NR//I2,且MN、R不在同一直線上(否則，根據(jù)三線平行公理，知li//I2與條件矛盾).???MN、NR可確定平面3，連結(jié)BG，取其中點S.連RS ST，貝U RS//12,又 RN//I 2，. N、R、S三點共線.即有S€3，又ST//Ii，MN//li,.MIN/ST,又S€3,?ST二3.?M、N、R、T四點共面.AMAQ AM k7解析：(i)v =——=k.MQ//BD,且 =——MBQD AM+MBk+i???MQ=AM=k...mq=kbd又CN=CP=kBDABk1 k1 NBPDTOC\o"1-5"\h\zCN k NPCNk k???PN//BD且 = ???== 從而NP= BDCNNBk1BDCBk1 k1MQ/NPMQNP共面，從而MNP、Q四點共面...BM 1 BN 1 .BM BN 1BM 1(2)- =—, =—… = =_,=—MA k NC kMA NC k BM+MA k+1MN//AC又NP//BD.?MN與NP所成的角等于AC與BD所成的角.MNPQ是正方形，? /MNP=90MNPQ是正方形，? /MNP=90AC與BD所成的角為90°,又AC=a,BD=b,MNACBM= 1BAk1MN=TOC\o"1-5"\h\z1 k 1 a又MQ= b,且MQ=MN b= a，即k=.k+1 k+1 k+1 b說明：公理4是證明空間兩直線平行的基本出發(fā)點 .已知：平面aQ平面3=a,平面3門平面丫=b,平面丫門平面a=c.求證：a、b、c相交于同一點