習題有關(guān)命題方面的練習題

習題一1.下列句子中,哪些是命題？在是命題的句子中,哪些是簡單命題？哪些是真命題？哪些命題的真值現(xiàn)在還不知道？（1）中國有四大發(fā)明.答：此命題是簡單命題，其真值為1.（2）5是無理數(shù).答：此命題是簡單命題，其真值為1.3是素數(shù)或4是素數(shù).答：是命題，但不是簡單命題，其真值為1.2x+<3 5答：不是命題.你去圖書館嗎？答：不是命題.2與3是偶數(shù).答：是命題，但不是簡單命題，其真值為0.劉紅與魏新是同學(xué).答：此命題是簡單命題，其真值還不知道.這朵玫瑰花多美麗呀！答：不是命題.吸煙請到吸煙室去！答：不是命題.圓的面積等于半徑的平方乘以π.答：此命題是簡單命題，其真值為1.只有6是偶數(shù)，3才能是2的倍數(shù).答：是命題，但不是簡單命題，其真值為0.8是偶數(shù)的充分必要條件是8能被3整除.答：是命題，但不是簡單命題，其真值為0.2008年元旦下大雪.答：此命題是簡單命題，其真值還不知道.2.將上題中是簡單命題的命題符號化.解:（1）p：中國有四大發(fā)明.（2）p:是無理數(shù).（7）p:劉紅與魏新是同學(xué).（10）p:圓的面積等于半徑的平方乘以π.（13）p:2008年元旦下大雪.3.寫出下列各命題的否定式,并將原命題及其否定式都符號化,最后指出各否定式的真值.（1）5是有理數(shù).答：否定式：5是無理數(shù).p：5是有理數(shù).q：5是無理數(shù).其否定式q的真值為1.（2）25不是無理數(shù).答：否定式：25是有理數(shù).p：25不是無理數(shù).q：25是有理數(shù).其否定式q的真值為1.（3）2.5是自然數(shù).答：否定式：2.5不是自然數(shù).p：2.5是自然數(shù).q：2.5不是自然數(shù).其否定式q的真值為1.（4）ln1是整數(shù).答：否定式：ln1不是整數(shù).p：ln1是整數(shù).q：ln1不是整數(shù).其否定式q的真值為1.4.將下列命題符號化，并指出真值.2與5都是素數(shù)答：p：2是素數(shù)，q：5是素數(shù)，符號化為pq∧，其真值為1.不但π是無理數(shù)，而且自然對數(shù)的底e也是無理數(shù).答：p：π是無理數(shù)，q：自然對數(shù)的底e是無理數(shù)，符號化為pq∧，其真值為1.雖然2是最小的素數(shù)，但2不是最小的自然數(shù).答：p：2是最小的素數(shù)，q：2是最小的自然數(shù)，符號化為pq∧?，其真值為1.3是偶素數(shù).答：p：3是素數(shù)，q：3是偶數(shù)，符號化為pq∧，其真值為0.4既不是素數(shù)，也不是偶數(shù).答：p：4是素數(shù)，q：4是偶數(shù)，符號化為?∧?pq，其真值為0.5.將下列命題符號化，并指出真值.2或3是偶數(shù).2或4是偶數(shù).3或5是偶數(shù).3不是偶數(shù)或4不是偶數(shù).3不是素數(shù)或4不是偶數(shù).答:p：2是偶數(shù)，q：3是偶數(shù)，r:3是素數(shù)，s:4是偶數(shù),t:5是偶數(shù)(1)符號化:pq∨，其真值為1.(2)符號化：pr∨，其真值為1.(3)符號化：rt∨，其真值為0.(4)符號化：?∨?qs，其真值為1.(5)符號化：?∨?rs，其真值為0.6.將下列命題符號化.小麗只能從筐里拿一個蘋果或一個梨.答：p：小麗從筐里拿一個蘋果，q：小麗從筐里拿一個梨，符號化為:pq∨.這學(xué)期，劉曉月只能選學(xué)英語或日語中的一門外語課. 答：p：劉曉月選學(xué)英語，q：劉曉月選學(xué)日語，符號化為:(?∧∨∧?pq) (pq).7.設(shè)p：王冬生于1971年，q：王冬生于1972年，說明命題“王冬生于1971年或1972年”既可以化答:列出兩種符號化的真值表：pq0000011110111101根據(jù)真值表,可以判斷出,只有當p與q同時為真時兩種符號化的表示才會有不同的真值,但結(jié)合命題可以發(fā)現(xiàn),p與q不可能同時為真,故上述命題有兩種符號化方式.8.將下列命題符號化,并指出真值.只要,就有,就有如果,則,則只有,才有,才有除非,才有,才有除非,否則,否則（6）僅當.僅當答:設(shè)p:,則,則:;設(shè)q:,則:符號化真值（1）1（2）1（3）0（4）0（5）0（6）19.設(shè)p：俄羅斯位于南半球,q：亞洲人口最多,將下面命題用自然語言表述,并指出其真值：（1）；（2）；；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）.答:根據(jù)題意,p為假命題,q為真命題.自然語言真值（1）只要俄羅斯位于南半球,亞洲人口就最多1（2）只要亞洲人口最多,俄羅斯就位于南半球0（3）只要俄羅斯不位于南半球,亞洲人口就最多1（4）只要俄羅斯位于南半球，亞洲人口就不是最多1（5）只要亞洲人口不是最多，俄羅斯就位于南半球1（6）只要俄羅斯不位于南半球，亞洲人口就不是最多0（7）只要亞洲人口不是最多，俄羅斯就不位于南半球110．設(shè)p：9是3的倍數(shù),q：英國與土耳其相鄰,將下面命題用自然語言表述,并指出真值：（1）；（2）；（3）；（4）.答:根據(jù)題意,p為真命題,q為假命題.自然語言真值（1）9是3的倍數(shù)當且僅當英語與土耳其相鄰0（2）9是3的倍數(shù)當且僅當英語與土耳其不相鄰1（3）9不是3的倍數(shù)當且僅當英語與土耳其相鄰1（4）9不是3的倍數(shù)當且僅當英語與土耳其不相鄰011．將下列命題符號化,并給出各命題的真值：若2+2=4,則地球是靜止不動的；若2+2=4,則地球是運動不止的；若地球上沒有樹木,則人類不能生存；若地球上沒有水,則是無理數(shù).答:命題1命題2符號化真值（1）p:2+2=4q:地球是靜止不動的0（2）p:2+2=4q:地球是靜止不動的1（3）p:地球上有樹木q:人類能生存1（4）p:地球上有樹木q:人類能生存112.將下列命題符號化,并給出各命題的真值：2+2=4當且僅當3+3=6；2+2=4的充要條件是3+36；2+24與3+3=6互為充要條件；若2+24,則3+36,反之亦然.答:設(shè)p:2+2=4,q:3+3=6.符號化真值(1)1(2)0(3)0(4)113.將下列命題符號化,并討論各命題的真值：若今天是星期一,則明天是星期二；只有今天是星期一,明天才是星期二；今天是星期一當且僅當明天是星期二；若今天是星期一,則明天是星期三.答:設(shè)p:今天是星期一,q:明天是星期二,r:明天是星期三.符號化真值討論(1)不會出現(xiàn)前句為真,后句為假的情況(2)不會出現(xiàn)前句為真,后句為假的情況(3)必然為1(4)若p為真,則真值為0;若p為假,則真值為114.將下列命題符號化：劉曉月跑得快,跳得高；老王是山東人或者河北人；因為天氣冷,所以我穿了羽絨服；王歡與李樂組成一個小組；李欣與李末是兄弟；王強與劉威都學(xué)過法語；他一面吃飯,一面聽音樂；如果天下大雨,他就乘班車上班；只有天下大雨,他才乘班車上班；除非天下大雨,否則他不乘班車上班；下雪路滑,他遲到了；2與4都是素數(shù),這是不對的；“2或4是素數(shù),這是不對的”是不對的.答:命題1命題2命題3符號化(1)p:劉曉月跑得快q:劉曉月跳得高-(2)p:老王是山東人q:老王是河北人-(3)p:天氣冷q:我穿羽絨服-(4)p:王歡與李樂組成一個小組--p:王歡與李樂組成一個小組(5)p:李辛與李末是兄弟--p:李辛與李末是兄弟(6)p:王強學(xué)過法語q:劉威學(xué)過法語-(7)p:他吃飯q:他聽音樂-(8)p:天下大雨q:他乘車上班-(9)p:天下大雨q:他乘車上班-(10)p:天下大雨q:他乘車上班-(11)p:下雪q:路滑r:他遲到了(12)p:2是素數(shù)q:4是素數(shù)-(13)p:2是素數(shù)q:4是素數(shù)-15.設(shè)p：2+3=5.q：大熊貓產(chǎn)在中國.r:太陽從西方升起.求下列符合命題的真值：（1）（2）（3）（4）解：p真值為1，q真值為1，r真值為0.（1）0，（2）0，（3）0，（4）116.當p,q的真值為0,r,s的真值為1時,求下列各命題公式的真值：（1）（2）（3）（4）解：（1）0，（2）0，（3）0，（4）117.判斷下面一段論述是否為真：“是無理數(shù).并且,如果3是無理數(shù),則也是無理數(shù).另外,只有6能被2整除,6才能被4整除.”解：p:是無理數(shù)q:3是無理數(shù)r:是無理數(shù)s:6能被2整除解：p:是無理數(shù)q:3是無理數(shù)r:符號化為:，該式為重言式，所以論述為真。18.在什么情況下,下面一段論述是真的:“說小王不會唱歌或小李不會跳舞是正確的,而說如果小王會唱歌,小李就會跳舞是不正確的.”解：p:小王會唱歌。q:小李會跳舞。真值為1. 真值為0.可得，p真值為1，q真值為0.所以，小王會唱歌，小李不會跳舞。19.用真值表判斷下列公式的類型:（1）（2）p（3）（4）（5）（6）（7）.解：（1）pqr00010011010101111001101111011111此式為重言式（2）pq（p001010101111此式為可滿足式（3）qr000010100110此式為矛盾式（4）pq001011101111此式為重言式（5）pqr00000010010101111001101011011110此式為可滿足式（6）pqr00010011010101111001101111011111此式為重言式（7）pqrs00001000100010000111010010101001100011111000010010101011011111001110101110011111此式為可滿足式20.求下列公式的成真賦值：（1）（2）（3）（4）解：pq000110011011101111111101由真值表得：（1）的成真賦值是01，10,11（2）的成真賦值是00，10,11（3）的成真賦值是00，01,10（4）的成真賦值是01，10,1121.求下列各公式的成假賦值：（1）（2）（3）解：pqr000111001111010101011011100110101110110101111111由真值表得：（1）的成假賦值是011（2）的成假賦值是010,110（3）的成假賦值是100,10122.已知公式是矛盾式，求公式 成真和成假賦值.解：∵是矛盾式∴ 也是矛盾式。由此可得：該式無成真賦值。而成假賦值為：000,001,010,011,100,101,110,11123.已知公式是重言式,求公式 的成真和成假賦值.解：∵是重言式，∴ 也是重言式。由此可得：該式無成假賦值。而成真賦值為：000,001,010,011,100,101,110,11124.已知是重言式，試判斷公式 及的類型.解：∵是重言式，而要使該式為重言式，其成真賦值只有11，∴都是重言式。25.已知是矛盾式，試判斷公式 及的類型.解：∵是矛盾式，而要使該式為矛盾式，其成假賦值只有00，∴都是重言式。26.已知是重言式， 是矛盾式，試判斷及的類型.及解：是矛盾式。是重言式。27.設(shè)A、B都是含命題變量項p1,p2,…,pn的公式,證明:是重言式當且僅當A和B都是重言式.解：AB000010100111由真值表可得，當且僅當A和B都是重言式時，是重言式。設(shè)A、B都是含命題變量項p1,p2,…,pn的公式,已知是矛盾式,能得出A和B都是矛盾式的結(jié)論嗎?為什么?解：AB000010100111同樣由真值表可得，的成假賦值有00,01,10.所以無法得到A和B都是矛盾式。設(shè)A、B都是含命題變量項p1,p2,…,pn的公式,證明:是矛盾式當且僅當A和B都是矛盾式.解：AB000011101111由真值表可得，當且僅當A和B都是矛盾式時，是矛盾式。設(shè)A、B都是含命題變量項p1,p2,…,pn的公式,已知是重言式,能得出A和B都是重言式的結(jié)論嗎?解：AB000011101111由真值表可得的成真賦值有01,10，11.所以無法得到A和B都是重言式。習題二1.設(shè)公式Apq=→,Bpq=∧?，用真值表驗證公式A和B適合德摩根律： ?∨??∧?(AB) ABpqAB?∨(AB)?∧?AB0010110110001001001110002.公式A和B同題（1），用真值表驗證公式A和B適合蘊涵等值式.AB→??∨ABpqABAB→?∨AB0010000110001001111110003．用等值演算法判斷下列公式的類型，對不是重言式的可滿足式，再用真值表法求出成真賦值.（1）?∧→(pqq) 答：原式=??∧∨((pqq) )=??∨?∨(pqq)=0是矛盾式.4.用等值演算法證明下面等值式.p?∧∨∧?（pqpq）（ ）答：右式=pqq∧∨?（ ）=p∧1=p((pq→∧→?→∧)(pr))(p(qr))答：右式=?∨∧pqr()=(?∨∧?∨pq)(pr)=(pqpr→∧→)())=左式???∨∧?∧(pq)(pq)(pq)答：左式=??∨∨?∨?(pq)(pq) =(p∨?∧∧?∨?∧(pq)) (q(pq)) =(pq∨∧?∧) (pq)(pq∧?∨?∧?∨∧?∧)(pq)(pq)(pq)答：左式=(p∨?∧∧?∨?∧(pq))(q(pq)) =(pq∨∧?∧) (pq)5.求下列公式的主析取范式，并求成真賦值：(?p→q)→(?q∨p)答： (?→→?∨=∨→?∨=?∨∨?∨pq) (qp) (pq) (qp) (pq) (qp) =(?∧?∨?∧∨?∨∧∨?pq) (qpp( )) (pqq( )=(pq∧∨∨?∨?∧?=∨∨) (pp) (pqmmm) 0 2 3成真賦值為00,10,11.?(p→q)∧q∧r答：?→∧∧=??∨∧∧=∧?∧∧=(pqqr) (pqqrpqq) 0所以為矛盾式。(pqr∨∧→∨∨( )) (pqr)答(pqr∨∧→∨∨=?∨∧∨∨∨=?∧?∧∨∨∨( )) (pqr) (pqr( )) (pqr) (p(qr)) (pqr)=(?∧?∨?∨∨∨=?∧?∨?∧?∨∨∨p(qr)) (pqr) (pq) (pr) (pqr)=(?∧?∧∨?∨?∧∨?∧?∨∧∨?∧∨?pqrr( ) (pqq( ) r) (pqqrr( ) ( ))∨∨?∧∧∨?∨((ppqrr) ( )) ((ppqqr∨?∧∨?∧) ( ) )=(?∧?∧∨?∧?pqr) (pqr∧?∨?∧∧?∨∧∧∨∧?∧∨) (pqr) (pqr) (pqr)(pqr∧∧?∨∧?∧?∨?∧∧=∨∨∨∨∨∨∨) (pqr) (pqrmmmmmmmm) 0 1 2 3 4 5 6 7所以是重言式，真值為000,001,010,011,100,101,110,111.6.求下列公式的主析取范式，并求成真賦值：?(q→?p)∧?p答：?→?∧?=??∨?∧?=∧∧?=(qp)p(qp)pqpp0，是矛盾式，所有賦值均為成真賦值。(p∧q)∨(?p∨r)答：(pq∧∨?∨=∨?∨∧∨?∨=?∨∨=) (pr) (pprqpr) ( ) (pqrM) 4，成假賦值為100.(p→(p∨q))∨r答：(p→∨∨=?∨∨∨=?∨∨∨=(pqr)) (ppqr( )) (ppqr1，所以為重言式。所有賦值均為成真賦值。7.求下列公式的主析取范式，再用主析取范式求主合取范式：(p∧q)∨r答：(pqrpqrr∧∨=∧∧∨?∨) ( ( )) ((ppqqr∨?∧∨?∧) ( ) ) =(pqrr∧∧∨?∨( )) ((ppqqr∨?∧∨?∧) ( ) ) =(pqr∧∧∨∧∧?∨∧?∧∨?∧∧∨?∧?∧) (pqr) (pqr) (pqr) (pqr) =mmmmmMMM1∨∨∨∨3 5 6 7=0∧2∧4(p→q)∧(q→r)答：(pqqr→∧→=?∨∧?∨=?∧?∨?∧∨∧?∨∧) ( ) (pq) (qr) (pq) (prqqqr) ( ) ( )=(?∧?∧∨?∨?∧∨?∧∨pqrr( )) (pqqr( ) ) ((ppqr∨?∧∧) )=(?∧?∧∨?∧?∧?∨?∧∧∨∧∧pqr) (pqr) (pqr) (pqr)=mmmmMMMM0∨∨∨1 3 7=2∨4∨5∨68.求下列公式的主合取范式，再用主合取范式求主析取范式：(p∧q)→q答：(pq∧→=?∧∨=?∨?∨==∨∨∨)q (pqqpqq) 1mmmm0 1 2 3為重言式。(pq?→)r答：(pq?→=?∧∨?∧?∨=?∧∧??∧?∨)r ((pq) (pqr)) ((pq) (pqr)) =((?∨?∧∨∨=?∨?∨∧∨∨pq) (pqr)) (pqr) (pqrMM)=0∧6 =mmmmmm1∨∨∨∨∨2 3 4 5 7?→∧∧(rppq)答：?→∧∧=∧?∧∧(rppqrppq) =MMMMMMMM0∧∧1 2∧3∧4∧5∧6∧7=0因此為矛盾式.9.用真值表求下面的公式的主析取范式.(pq∨∨?∧) (pr)答：公式的真值表如下：pqr?ppq∨?∧pr(pq∨∨?∧) (pr)00010000011011010110101111111000101101010111001011110101其成真賦值為001,010,011,100,101,110,111，所以其主析取范式為mmmmmmm1∨∨∨∨∨∨2 3 4 5 6 7(pq→→??) (p q)答：公式的真值表如下：pq?qpq→p??q(pq→→??) (p q)001100010111101011110100 (pq→→??=∧?∨?∨?∧∨) (p q) (pq) ((pq) (pq)) =(?∧∨∧?pq) (pq)故其成真賦值為001，010.所以其主析取范式為mm1∨2.10.用真值表求下面公式的主合取范式.(pqr∧∨)答：(pqrprqr∧∨=∨∧∨)()()=MMM0∧2∧4(pqqr→∧→)()答：(pqqr→∧→=?∨∧?∨)()(pq)(qr)=MMMM2∧4∧5∧611.用真值表求下面公式的主析取范式和主合取范式.（1）(pqr∨∧)（2）p→∨∨(pqr)（3）?→?∧?(qp)ppqr(pqr∨∧)p→∨∨(pqr)?→?∧?(q p) p000010001010010010011110100010101110110010111110 答：（1）由真值表可得成真賦值為011,101,111，故主析取范式為mmm3∨∨5 7，主合取范式為MMMMM0∧∧1 2∧4∧6（2）由真值表可得無成假賦值，故主析取范式為mmmmmmmm0∨∨∨∨∨∨∨1 2 3 4 5 6 7，主合取范式為1.（3）由真值表可得無成真賦值，故主析取范式為0，主合取范式為MMMM0∧∧1 2∧3.12.已知公式A含3個命題變項pqr,,，并且它的成真賦值為000，011，110，求A的主合取范式和主析取范式.答：由題意得，A的主主合取范式為MMMMM1∧2∧4∧5∧7，主析取范式mmm0∨∨3 6.13.已知公式A含3個命題變項pqr,,，并且它的成真賦值為000，011，110，求A的主合取范式和主析取范式.答：由題意得，A的主主合取范式為MMMM2∧3∧6∧7，主析取范式mmmm0∨∨∨1 5 7.14.已知公式A含n個命題變相pp1,2,......,pn，并且無成假賦值，求A的主合取范式.答：A的主合取范式為1..15.用主析取范式判斷下列公式是否等值：(pqr→→) 與q→→(pr)答：(pq→→=∧?∨)rpqr( )=mmmmm1∨∨∨∨3 4 5 7q→→=?∨?∨(pr) pqr=mmmmmmm0∨∨∨∨∨∨1 2 3 4 5 7所以上述公式不等值.?∧(pq)與?∨(pq)答：?∧=?∨?(pq) pq =mmm0∨∨1 2 ?∨=?∧?(pq) pq=m016.用主合取范式判斷下列公式是否等值.p→→(qr)與?∧∨(pqr)答：p→→=(qrM) 6 ?∧∨(pqrM) = 6p→→(qr)與(pq→→)r 答：p→→=(qrM) 6 (pq→→)rMMM= 0∧2∧617.將下列公式化成與之等值且僅含{?∧∨,,}中聯(lián)結(jié)詞的公式：?→?∧(pq((qr)))答：?→?∧(p(q(qr)))=??∨?∧(pq((qr))) =p∧??∧( (qr)) =p∧??∨∧∧∨?∧((qqr( )) (q(qr)))(pq∧∨?) r答：(pq∧∨?) r，原式已滿足題目要求.p??(qr)答：p??=→?∧?→(qr) (p(qr)) ((r) p) =(?∨?∨∧∨?p((qrqr) ( )))∧??∨∧∨?∨(((qrqr) ( ))p)18.將下列公式化成與之等值且僅含{?∧,}中聯(lián)結(jié)詞的公式：（1）pqr∧?∧?答：此公式已經(jīng)符合題目要求.(prq?∧)答：(prq?∧=)((prrpq→∧→)())∧ =((?∨∧?∨pr) (rpq))∧ =((?∧?∧?∧?∧pr) (rpq))(pqrq→∧∨())答：(p→∧∨=?∨∧∨(qrq))(pqr())p=?∧?∧∨(p(qr))p =?∧?∧∧?((p(qr)) p)19.將下列公式化成與之等值且僅含{?∨,}中聯(lián)結(jié)詞的公式.(?∨?∧pqr)答：(?∨?∧=???∨?∨?pqr)((pq)r)(p→∧?∧∧(qpqr))答：(p→∧?∧∧=???∨??∨(qpqr))((p(qp))∨?∨?qr)（3）pqr∧∧?答：pqr∧∧?=??∨?∨(pqr)20．將下列公式化成與之等值且僅含{?，→}中聯(lián)結(jié)詞的公式：（1）(p∧q)∨r（2）(p→?q)∧r（3）(p∧q)?r答：(pqr∧∨???∨?∨??→?∨?→?→) (pqr) (p qr) (p qr)(2)(p→?∧qr)答：(p→?∧???→?∨???→?→?qr) ((p q) r) ((p q) r)(3)(pq∧?)r答：(pq∧????∨?→∧→??∨?)r((pq)rr) ( (pq)) ?????∨?→∨?→??∨?(((pqr) ) (r (pq))) ???→?→→?→?→?(((p qr) ) (r (p q)))21．證明：(p↑q)?(q↑p)，(p↓q)?(q↓p).(p↑(q↑r))?((p↑q)↑r)，(p↓(q↓r))?((p↓q)↓r).證明：(1)pq↑??∧??∧?↑(pq) (qp)qp；pq↓??∨??∨?↓(pq) (qp)qp(2)令p=0,q=0,r=1則pqr↑↑=( ) 1,(pqr↑↑=) 0，pqr↓↓=( ) 1,(pqr↓↓=) 0.，可知 (pqr↑↑?( )) ((pqrpqr↑↑) )(，↓↓?( )) ((pqr↓↓) ).22.從表2.6中，找出與下列公式等值的真值函數(shù)：（1）p↑q （2）p↓q （3）(p∧?q)∨(?p∧q)（4）?(p→q)答：(1)F14(2);(2)F8(2);(3)F6(2);(4)F2(2)23．設(shè)A、B、C為任意的命題公式，證明：等值關(guān)系有自反性：A?A等值關(guān)系有對稱性：若A?B,則B?A等值關(guān)系有傳遞性：若A?B且B?C，則A?C答：(1)AA??→∧→?→??∨?(AAAA) ( )AA AA1 (2)BA???∨∧?∨??∨∧?∨??(BA) (AB) (AB) (BA)AB(3) 若ABBC?且??→∧→∧→∧→(ABBABCCB) ( ) ( ) ( ) ?→∧→∧→∧→?→∧→(ABBCCBBA) ( ) ( ) ( ) (ACCA) ( )??AC即AC?24．設(shè)A、B為任意的命題公式，證明：???A B當且僅當AB?答：????∨?∧∨??→∧→??A B(ABBA) ( ) (ABBA) ( ) AB.因此???A B當且僅當AB?。25．設(shè)A、B、C為任意的命題公式，（1）若A∨C?B∨C，舉例說明A?B不一定成立。（2）若A∧C?B∧C，舉例說明A?B不一定成立。由（1）、（2）可知，聯(lián)結(jié)詞∨與∧不滿足消去率。 答：(1)設(shè)ApBq=∨1,=∧0,Cr=∨1，則AC∨=?∨=1BC1 ，但AB=1,=0，二者不等價。 （2）設(shè)ApBq=∨1,=∧0,Cr=∨0，則AC∧=?∧=0 BC0，但AB=1,=0，二者不等價。26．在上題（25）中，若已知A∨C?B∨C，在什么條件下，A?B一定成立？又若已知A∧C?B∧C，在什么條件下，A?B一定成立？解：若C=0;則ACBC∨?∨，AB?一定成立。若C=1；則ACBC∧?∧，AB?一定成立。27．某電路中有一個燈泡和三個開關(guān)A、B、C。已知在且僅在下述四種情況下燈亮：（1）C的扳鍵向上，A、B的扳鍵向下。（2）A的扳鍵向上，B、C的扳鍵向下。（3）B、C的扳鍵向上，A的扳鍵向下。（4）A、B的扳鍵向上，C的扳鍵向下。設(shè)F為1表示燈亮，p、q、r分別表示A、B、C的扳鍵向上。求F的主析取范式。在聯(lián)結(jié)詞完備集{?，∧}上構(gòu)造F。（c）在聯(lián)結(jié)詞完備集{?，→，?}上構(gòu)造F。答：（a）由題意知，燈亮的情況如下： F?∧?∧?∨?∧?∧∨?∧∧∨∧∧?(pqr) (pqr) (pqr) (pqr) ?mmmm1∨∨∨3 4 6F?∧?∧?∨?∧?∧∨?∧∧∨∧∧?(pqr) (pqr) (pqr) (pqr) ????∧∧?∧?((pr) (pr))F??∧?∧pqr28.一個排隊線路，輸入為A、B、C，其輸出分別為FA、FB、FC.本線路中，在同一時間只能有一個信號通過，若同時有兩個或兩個以上信號申請輸出時，則按A、B、C的順序輸出，寫出FA、FB、FC在聯(lián)結(jié)詞完備集{?∨，}中的表達式.答：p：A輸入，q：B輸入，r：C輸入.有題意可得： FA?∧?∧?∨∧?∧∨∧∧?∨∧∧(pqr) (pqr) (pqr) (pqr) ?∧?∨∧?(pq) (pq) p FB??∧∧?∨?∧∧??∧(pqr) (pqr) pqFC??∧∧pqr29.在某班班委成員的選舉中，已知王小紅、李強、丁金生3位同學(xué)被選進了班委會.該班的甲、乙、丙三名學(xué)生預(yù)言：甲說：王小紅為班長，李強為生活委員.乙說：丁金生為班長，王小紅為生活委員.丙說：李強為班長，王小紅為學(xué)習委員.班委會分工名單公布后發(fā)現(xiàn)，甲、乙、丙三人都恰好猜對了一半.問王小紅、李強、丁金生各任何職（用等值等演求解）？答：設(shè)p：王小紅為班長，q：李強為生活委員r：丁金生為班長，s：王小紅為生活委員t：李強為班長，w：王小紅為學(xué)習委員由題意得，p、q有且只有一個為真，r、s有且只有一個為真，t、w有且只有一個為真.若p為真，則q為假，那么r為假，則s為真，這樣p與s矛盾，因此這種假設(shè)行不通.若p為假，則q為真，那么t為假，則w為真，則s為假，所以r為真，因此王小紅、李強、丁金生的職位分別是：學(xué)習委員、生活委員、班長.30.某公司要從趙、錢、孫、李、周五名新畢業(yè)的大學(xué)生中選派一些人出國學(xué)習.選派必須滿足以下條件：若趙去，錢也去.李、周兩人中必有一人去.錢、孫兩人中去且僅去一人.孫、李兩人同去或同不去.若周去，則趙、錢也同去.用等值演算法分析該公司如何選派他們出國？答：設(shè)p：派趙去，q：派錢去，r：派李去，s：派孫去，t：派周去首先以條件（2）為基礎(chǔ)，有三種情況：1若周去，李不去，由條件（5）得則趙、錢同去，由條件（3）得那么孫不去，符合5個條件，即pqrst∧∧?∧?∧.2若李去，周不去，由條件（4）得則孫去，從而由條件（3）得錢不去，而由條件（1）得趙也不去，即?∧?∧∧∧?pqrst.3若周、李都去，那么由條件（4）得則孫去，由條件（5）得趙、錢都去，這樣孫和錢都去，與條件（3）矛盾，因此這種情況不存在.習題三1.從日常生活或數(shù)學(xué)中的各種推理中，構(gòu)造兩個滿足附加律的推理定律，并將它們符號化。例如：“若2是偶數(shù)，則2是偶數(shù)或3是奇數(shù)”。令p:2是偶數(shù)，q:3是奇數(shù)，則該附加律符號為p?p∨q。解：（1）“若3是素數(shù)，則3是素數(shù)或5是奇數(shù)”。令p：3是素數(shù)，q：5是奇數(shù)，則該附加律符號化為p?p∨q（2）“若明天不下雨，則明天不下雨或明天下雪”。令p：明天下雨，q：明天下雪，則該附加律符號化為?p??p∨q。2.從日常生活或數(shù)學(xué)的各種推理中，構(gòu)造兩個滿足化簡律的推理定律，并將它們符號化。例如：“我去過海南島和新疆，所以我去過海南島”。令p：我去過海南島，q:我去過新疆，則該化簡律符號化為p∧q?p。解：（1）“6能被2和3整除，所以6能被2整除”。令p：6能被2整除，p：6能被2整除，q：6能被3整除，則該化簡律符號化為p∧q?p。（2）“小明會彈琴和跳舞，所以小明會彈琴”。令p：小明會彈琴，q：小明會跳舞，則該化簡律符號化為p∧q?p。3.隨意構(gòu)造三個滿足假言推理定律的推理，并將它們符號化。例如：“如果2是素數(shù)，則雪是黑色的，2是素數(shù)，所以雪是黑色的”。令p:2是素數(shù)，q：雪是黑色的，該假言推理定律符號化為(p→q)∧p?q。解：（1）“如果小明會跳舞，則他會彈琴，小明會跳舞，所以他會彈琴”。令p：小明會彈琴，q：小明會跳舞，該假言推理定律符號化為(p→q)∧p?q?！叭绻?是奇數(shù)，則明天下雨，3是奇數(shù)，所以明天下雨”。令p：3是奇數(shù)，q：明天下雨，該假言推理定律符號化為(p→q)∧p?q?！叭绻魈烨缣?，則小明去游泳，明天晴天，所以小明去游泳”。令p：明天晴天，q：小明去游泳，該假言推理定律符號化為(p→q)∧p?q。4.參照1,2,3題，請構(gòu)造滿足拒取式、析取三段論、假言三段論、等價三段論、構(gòu)造性二難等推理定律的實例各一個，并將它們符號化。解：（1）拒取式：“明天是周末，小明就休息，小明沒有休息，所以明天不是周末”。令p：明天周末，q：小明休息。該拒取式定律符號化為(p→q)∧?q??p。析取三段論：“小明會彈琴或跳舞，小明不會跳舞，所以小明會彈琴”。令p：小明會彈琴，q：小明會跳舞，該析取三段式定律符號化為(p∨q)∧?q?p。假言三段論：“明天要是周末，小明明天休息，小明要是明天休息，他就會去游泳，所以，明天要是周末，小明就去游泳”。令p：明天是周末，q：小明明天休息，t：小明去游泳，該假言三段論定律符號化為(p→q)∧(q→t)?p→t。等價三段論：“2是素數(shù)當且僅當3是奇數(shù)，3是奇數(shù)當且僅當4是偶數(shù)，所以2是素數(shù)當且僅當4是偶數(shù)”。令p：2是素數(shù)，q：3是奇數(shù)，t：4是偶數(shù)，該等價三段論定律符號化為(p?q)∧(q?t)?p?t。構(gòu)造性二難：“明天是周一，小明就要上學(xué)，明天是周末，小明就要去游泳，明天是周末或者周一，所以小明去上學(xué)或者去游泳”。令p：明天是周一，q小明要上學(xué)，s：明天是周末，t：小明要去游泳，該構(gòu)造性二難定律符號化為(p→q)∧(s→t)∧(p∨s)?(q∨t)。破壞性二難：“明天是周一，小明就要上學(xué)，明天是周末，小明就要去游泳，小明沒有去上學(xué)或者小明沒有去游泳，所以明天不是周一或者明天不是周末”。令p：明天是周一，q小明要上學(xué)，s：明天是周末，t：小明要去游泳，該構(gòu)造性二難定律符號化為(p→q)∧(s→t)∧(?q∨?t)?(?p∨?s)。5.分別寫出德摩定律、吸收律所產(chǎn)生的推理定律（每個等值式產(chǎn)生兩條推理定律）。解：的摩定律1：?(A∨B)??A∧?B產(chǎn)生的推理定律：（1）?(A∨B)??A∧?B（2）?A∧?B??(A∨B)的摩定律2：?(A∧B)??A∨?B產(chǎn)生的推理定律：（1）?(A∧B)??A∨?B（2）?A∨?B??(A∧B)吸收律1：A∨(A∧B)?A產(chǎn)生的推理定律：（1）A∨(A∧B)?A（2）A?A∨(A∧B)吸收律2：A∧(A∨B)?A產(chǎn)生的推理定律：（1）A∧(A∨B)?A（2）A?A∧(A∨B)6.判斷下列推理是否正確。先將簡單命題符號化，再寫出前提、結(jié)論、推理的形式結(jié)構(gòu)（以蘊涵式的形式給出）和判斷過程（至少給出兩種判斷方法）：若今天是星期一，則明天是星期三。今天是星期一，所以明天是星期三。若今天是星期一，則明天是星期二。明天是星期二，所以今天是星期一。若今天是星期一，則明天是星期三。明天不是星期三，所以今天不是星期一。若今天是星期一，則明天是星期二。今天不是星期一，所以明天不是星期二。若今天是星期一，則明天是星期二或星期三。今天是星期一當且僅當明天是星期三。今天不是星期一，所以明天不是星期三。解：（1）設(shè)p：今天是星期一，q：明天是星期三，推理的形式結(jié)構(gòu)為(p→q)∧p→q，判斷該推理是否正確，即判斷(p→q)∧p→q是否為重言式，不難看出，該式滿足假言推理定律，所以推理正確。設(shè)p：今天是星期一，q：明天是星期二，推理的形式結(jié)構(gòu)為(p→q)∧q→p。(p→q)∧q→p?(?p∨q)∧q→p等值演算法： ，可見該式不是重言式，所以推理不正確。?q→p?p∨?q(p→q)∧q→p?(?p∨q)∧q→p主析取范式法：?q→p ，從而可知不是重言式，故推理不正確。?p∨?q?M1?m0∨m2∨m3設(shè)p：今天是星期一，q：明天是星期三，推理的形式結(jié)構(gòu)為(p→q)∧?q→?p，判斷該推理是否正確，即判斷(p→q)∧?q→?p是否為重言式，不難看出，該式滿足拒取式定律，所以推理正確。設(shè)p：今天是星期一，q：明天是星期二，推理的形式結(jié)構(gòu)為(p→q)∧?p→?q。(p→q)∧?p→?q?(?p∨q)∧?p→?q等值演算法：?((?p∧?p)∨(q∧?p))→?q，可見該式不是重言式，所以推理不??p→?q?p∨?q正確。(p→q)∧?p→?q?(?p∨q)∧?p→?q?((?p∧?p)∨(q∧?p))→?q主析取范式法： ，從而可知不是重言式，故推理不正確。??p→?q?p∨?q?M1?m0∨m2∨m3設(shè)p：今天是星期一，q：明天是星期二，r：明天是星期三。推理的形式結(jié)構(gòu)為p→q∨r。p→(q∨r)??p∨q∨r?M4?m0∨m1∨m2∨m3∨m4∨m5∨m6∨m7，由此可知p→(q∨s)不為重言式，故推理不正確。顯然該式不是重言式，所以推理不正確。設(shè)p：今天是星期一，r：明天是星期三，推理的形式結(jié)構(gòu)為(p?r)∧?p→?r。(p?r)∧?p→?r??((p→r)∧(r→p)∧?p)∨?r??(?p∨r)∨?(?r∨p)∨p∨?r，由此可知不為重言式，故推理不正確。?(p∧?r)∨(?p∧r)∨p∨?r?p∨(?p∧r)∨?r?p?m4∨m5∨m6∨m77.在下面各推理中沒給出結(jié)論。請對于每個推理前提給出兩個結(jié)論，使其中之一是有效的，而另一個不是有效的：前提：p→q，q→r前提：(p∧q)→r，?r，q前提：p→(q→r)，p，q解：（1）結(jié)論1：p→r為有效的（假言三段論）結(jié)論2：p為無效的。結(jié)論1：?(p∧q)是有效的（拒取式）結(jié)論2：p是無效的結(jié)論1：(q→r)是有效的（假言三段論）結(jié)論2：r是無效的8.在下面各推理中沒給出結(jié)論，請對于每個推理前提給出兩個結(jié)論，使其中之一是有效的，而另一個不是有效的。只有天氣熱，我才去游泳。我正在游泳，所以……只有天氣熱，我就去游泳。我沒去游泳，所以……除非天氣熱并且我有時間，我才去游泳。天氣不熱或我沒時間，所以……解：設(shè)p：天氣熱，q：我去游泳前提：q→p,q結(jié)論1：p，有效結(jié)論（假言推理）結(jié)論2：?p，無效結(jié)論設(shè)p：天氣熱，q：我去游泳。前提：p→q,?q結(jié)論1：?p，有效結(jié)論（拒取式）結(jié)論2：p，無效結(jié)論設(shè)p：天氣熱，q：我有時間，r：我去游泳。前提：r→(p∧q),?p∨?q結(jié)論1：?r，有效結(jié)論（拒取式）結(jié)論2：r，無效結(jié)論。9.用三種方法（真值表法，等值演算法，主析取范式法）證明下面推理是正確的：若a是奇數(shù)，則a不能被2整除。若a是偶數(shù)，則a能被2整除。因此，如果a是偶數(shù)，則a不是奇數(shù)。解：設(shè)p：a是奇數(shù)，q：a能被2整除，r：a是偶數(shù)。推理的形式結(jié)構(gòu)為(p→?q)∧(r→q)→(r→?p)（*）。下面用三種方法證明該式為重言式：真值表法：pqr(p→?q)∧(r→q)(r→?p)*000011001111010011011011100011101101110111111101由真值表可知（*）為重言式，故推理是正確的。等值演算法：(p→?q)∧(r→q)→(r→?p)?(?p∨?q)∧(?r∨q)→(?r∨?p)?(p∧q)∨(?q∧r)∨?p∨?r?((p∧q)∨?p)∨((?q∧r)∨?r)(交換律，結(jié)合律)?(?p∨q)∨(?q∨?r)??p∨(q∨?q)∨?r?1構(gòu)造證明法：前提：(p→?q),(r→q)結(jié)論：(r→?p)證明：①p→?q前提引入②q→?p①置換③r→q前提引入④r→?p③②假言三段論主析取范式法由方法2可以得知推理的形式結(jié)構(gòu)（*）的主析取范式為(*)?m0∨m1∨m2∨m3∨m4∨m5∨m6∨m7，則（*）為重言式，推理正確。10.用兩種方法（真值表法，主析取范式法）證明下面推理不正確：如果a,b兩數(shù)之積是負數(shù)，則a,b之中恰有一個是負數(shù)。a,b兩數(shù)之積不是負數(shù)，所以a,b中無負數(shù)。真值表法：pqr(qr∧?∨?∧) (qr)p→∧?∨?∧(qr) (qr)?∧?qrA00001110011100010110001101001000011101110111011011110001推理不正確主析取范式法：(p→∧?∨?∧∨?∧∧?→?∧?((qr) (qr)) (qr)) p) (qr)??∨∧?∨?∧∧?→?∧?(pqr( ) (qr) p(qr))??→?∧?p(qr)?∨?∧?p(qr)?∨∨∨∨mmmmm0 4 5 6 7由于主析取范式只含有5個極小項，所以（3.8）不是重言式，推理不正確。11.填充下面推理證明中沒有寫出的推理規(guī)則。前提：?p∨q，?q∨r，r→s，p結(jié)論：s證明:①p前提引入②?p∨q前提引入③q析取三段論④?q∨r前提引入⑤r析取三段論⑥r(nóng)→s前提引入⑦s假言推理12.填充下面推理證明中沒有寫出的推理規(guī)則。前提：p→(q→r)，q→(r→s)結(jié)論：(p∧q)→s證明：①p∧q附加前提引入②p化簡規(guī)則③q 化簡規(guī)則④p→(q→r) 前提引入⑤q→r 前提引入⑥r(nóng) ③⑤假言推理⑦q→(r→s) 前提引入⑧r→s ③⑦假言推理⑨s ⑥⑧假言推理13.前提：?(p→q)∧q，p∨q，r→s結(jié)論1：r結(jié)論2：s結(jié)論3：r∨s證明從此前提出發(fā)，推出結(jié)論1，結(jié)論2，結(jié)論3的推理都是正確的。證明從此前提出發(fā)，推任何結(jié)論的推理都是正確的。（1）證明：結(jié)論1： ((?→∧∧∨∧→→pqq) ) (pqrs) ( )r ?∧?∧∧∨∧→→(pqq)(pqrs)( )r ?∧∨∧→→0(pqrs)( )r?→0r?1結(jié)論2： ((?→∧∧∨∧→→pqq) ) (pqrs) ( )s ?∧?∧∧∨∧→→(pqq)(pqrs)( )s ?∧∨∧→→0(pqrs)( )s?→0s?1結(jié)論3： ((?→∧∧∨∧→→∨pqq) ) (pqrs) ( )rs ?∧?∧∧∨∧→→∨(pqq)(pqrs)( )rs ?∧∨∧→→∨0(pqrs)( )rs?→∨0rs?1（2）證明：設(shè)任何可能的結(jié)論為*,則： ((?→∧∧∨∧→→pqq) ) (pqrs) ( ) * ?∧?∧∧∨∧→→(pqq)(pqrs)( ) * ?∧∨∧→→0(pqrs)( ) * ?→0 *?114.在自然系統(tǒng)p中構(gòu)造下面推理的證明：前提：p→(q→r)，p，q結(jié)論：r∨s前提：p→q，?(q∧r)，r結(jié)論：?p前提：p→q結(jié)論：p→(p∧q)前提：p→q，q→s，s→t，t∧r結(jié)論：p∧q前提：p→r，q→s，s→tt∧r結(jié)論：r∧s前提：?p∨r，?q∨sp∧q結(jié)論：t→(r∨s)（1）證明（1）p→→(qr)前提引入（2）p前提引入（3）qr→（1）（2）假言推理（4）q前提引入（5）r(3)(4)假言推理（6）rs∨（2）證明（5）附加（1）?∧(qr)前提引入（2）?∨?qr（1）置換（3）r前提引入（4）?q（2）（3）析取三段論（5）pq→前提引入（6）?p（3）證明（4）（5）拒取式（1）pq→前提引入（2）?∨pq（1）置換(?∨∧?∨pq) (pp)（2）置換?∨∧pqp( ) （3）置換 （5）p→∧(pq) （4）置換（4）證明 （1）(stts→∧→) ( )前提引入 （2）ts→ （1）置換 （3）tr→ （2）換件 （4）tr∧ 前提引入 （5）t （4）化簡 （6）s （3）（5）假言推理 （7）qs? 前提引入 （8）(qssq→∧→) ( )（7）置換（9）sq→（8）化簡 （10） q（6）（9）假言推理 （11） qp→前提引入 （12） p（10）（11）假言推理 （13） pq∧（5）證明（10）（12）合?。?）pq∧前提引入（2）p（1）化簡（3）q（1）化簡（4）pr→前提引入（5）r（2）（4）假言推理（6）qs→前提引入（7）s（3）（6）假言推理（8）rs∧（6）證明（5）（7）合取（1）pq∧前提引入（2）p（1）化簡（3）q（1）化簡（4）?∨pr前提引入（5）r（2）（4）析取三段論（6）?∨qs前提引入（7）s（3）（6）析取三段論（8）rs∧（5）（7）合取 （9）?∨∧trs( )（8）附加 （10） t→∧(rs)（9）置換15.在自然推里系統(tǒng)p中用附加前提法證明下面各推理：前提：p→(q→r)，s→p，q結(jié)論：s→r前提：(p∨q)→(r∧s)，(s∨t)→u結(jié)論：p→u證明 （1）s 附加前提引入 （2）sp→ 前提引入 （3）p （1）（2）假言推理 （4）p→→(qr) 前提引入 （5）qr→ （3）（4）假言推理 （6）q 前提引入 （7）r （5）（6）假言推理證明 （1）p 附加前提引入 （2）pq∨ （1）附加(pq∨→∧) (rs) 前提引入 （4）rs∧ （2）（3）假言推理 （5）s （4）化簡 （6）st∨ （5）附加 （7）(st∨→)u 前提引入 （8）u （6）（7）假言推理16.在自然推理系統(tǒng)p中用歸謬法證明下面推理：前提：p→?q，?r∨qr∧?s結(jié)論：?p前提：p∨q，p→r，q→s結(jié)論：r∨s（1）證明（1）p結(jié)論否定引入（2）p→?q前提引入（3）?q（2）（1）假言推理（4）?∨rq前提引入（5）?r（3）（4）析取三段論（6）r∧?s前提引入（7）r（6）化簡（8）?∧rr（2）證明（5）（7）合?。?）?∨(rs)結(jié)論否定引入 （2）?∧?r s(1)置換（3）?r（2）化簡（4）?s（2）化簡（5）pr→前提引入（6）?p（3）（5）拒取式（7）qs→前提引入（8）?q（4）（7）拒取式（9）?∧?pq（9）置換 （10） qp∨前提引入 （11） ?∨∧∨(pq) (pq)（10）（11）合取17.在自然系統(tǒng)p中構(gòu)造下面推理的證明：只要A曾到過受害者房間并且11點前沒離開，A就犯了謀殺罪。A曾到過受害者房間，如果A在11點以前離開，看門人會看見他?？撮T人沒有看見他，所以A犯了謀殺罪。設(shè)p:A到過受害者房間q:A在11點前離開r:A是謀殺嫌疑犯s:看門人看見A前提：(pq∧?→)rpqss, ,→?,結(jié)論：r證明（1）qs→前提引入（2）?s前提引入（3）?q（2）（1）拒取式（4）p前提引入（5）pq∧?（3）（4）合取（6）(pq∧?→)r前提引入（7）r（5）（6）假言推理18.在自然系統(tǒng)p中構(gòu)造下面各推理的證明：(1)如果今天是星期六，我們就要去頤和園或圓明園玩。如果頤和園游人太多，我們就不去頤和園玩。今天是星期六，頤和園游人太多，所以我們?nèi)A明園玩。(2)如果小王是理科學(xué)生，則他的數(shù)學(xué)成績一定很好。如果小王不是文科生，則他一定是理科生。小王的數(shù)學(xué)成績不好，所以小王是文科學(xué)生。(1)設(shè)p:今天是星期六q:我們到頤和園玩r:我們到圓明園玩s:頤和園游人太多前提：p→∨(qrs),→?qps, ,結(jié)論：r證明：（1） s→?q前提引入（2） s前提引入（3） ?q（1）（2）假言推理（4） p前提引入（5） p→∨(qr)前提引入（6） qr∨（4）（5）假言推理（7） r（3）（6）析取三段論(2)設(shè)p:小王是理科學(xué)生q:小王數(shù)學(xué)成績好r:小王是文科學(xué)生前提：pqrpq→?→?, ,結(jié)論：r證明：(1)pq→前提引入(2)?q前提引入(3)?p（1）（2）拒取式(4)?→rp前提引入(5)r習題四1.將下列命題0元謂詞符號化：（1）小王學(xué)習過英語和法語。(3)(4)拒取式除非李建是東北人，否則他一定怕冷。2大于3僅當2大于4.3不是偶數(shù)。2或3是素數(shù)。解（1）設(shè)一元謂詞Fx():小王學(xué)習過x。a：英語，b：法語。（1）中命題符號化為0元謂詞的蘊含式：FaFb()∧()。設(shè)一元謂詞Fx():x是東北人。Gx()：x怕冷。a:李建。符號化為?Fa()→Ga()。設(shè)二元謂詞Gxy(,)：x大于y；abc:2, :3,:4.符號化為：GabGac(,)→(,).設(shè)一元謂詞Fx():x不是偶數(shù)。a：3。命題符號化為0元謂詞的蘊含式：Fa()。設(shè)一元謂詞Fx():x是素數(shù)。a：2，b：3.符號化為FaFb()∨()。2.在一階邏輯中將下面命題符號化，并分別討論個體域限制為（a）,(b)條件時命題的真值：凡有理數(shù)都能被2整除。有的有理數(shù)都能被2整除。其中（a）個體域為有理數(shù)集合。（b）個體域為實數(shù)集合。解:Fxx():能被2整除；Gxx():是整數(shù)。（a)(1)?xFx(),真值為0，（2）?xFx()真值為1.（b)（1）?xGxFx(()→())真值為0，（2）?xGxFx(()∧())，真值為1.3.在一階邏輯中將下列命題符號化，并分別討論個體域限制為（a）(b）條件時的命題的真值：(1)對任意的x，均有x2?=+2 (x2)(x+2)。(2)存在x，使得x+=5 9。(a)個體域為自然數(shù)集合。(b)個體域為實數(shù)集合。解：設(shè)Fxx():2?=+2 (x2)(x+2),Gxx():+=5 9（a)(1)?xFx(),真值為0，（2）?xGx()真值為1.（b)(1)?xFx(),真值為1，（2）?xGx()真值為1.4.在一階邏輯中將下列命題符號化：沒有不能表示成分數(shù)的有理數(shù)。在北京賣菜的人不全是外地人。烏鴉都是黑色的。（4）有的人天天鍛煉身體。解：(1)??xFx( ()∧?Gx())或者?xFxGx( ()→())，其中Fxx():是有理數(shù)，Gxx():能表示成分數(shù)(2)??xFxGx(()→())或?xFx( ()∧?Gx())，其中Fxx():在北京賣菜，Gxx():是外地人(3)?xFxGx( ()→())，其中Fxx():是烏鴉，Gxx():是黑色的；(4)?xFxGx( ()∧())，其中Fxx():是人，Gxx():天天鍛煉身體。5.在一階邏輯中將下列命題符號化：(1)所有的火車都比輪船跑得快。(2)有的火車比有的汽車快。(3)不存在比所有火車都快的汽車。(4)說凡是汽車就比火車慢是不對的。解：??xyFxGyHxy( ()∧()→(,))，其中Fxx():是火車，Gyy():是輪船，Hxyx(,):比y快；??xyFxGyHxy( ()∧()∧(,))，其中Fxx():是火車，Gyy():是汽車，Hxyx(,):比y快；??xGx(()∧?yFy(()→Hxy(,))，其中Fxx():是火車，Gyy():是汽車，Hxyx(,):比y快；??xGx( ()→?yFy( ()→Hxy(,))，其中Fxx():是火車，Gyy():是汽車，Hxyx(,):比y慢；6.在下列命題符號化，個體域為實數(shù)集合R，并指出各命題的真值：（1）對所有的x，都存在y，使得xy*=0。存在著x，對所有y都有xy*=0。對所有的x，都存在y，使得yx=+1。對所有的x和y，都有yxxy*=*。對任意的x和y，都有yxxy*=+。對任意的x，存在y，使得xy2+<2 0。解：各命題符號化如下：??xyxy(*=0)，??xyxy(*=0)，??=+xyyx( 1)，??xyyxxy(*=*)，??xyyxxy(*=+)，（6）??xyxy(2+<2 0)。7.將下列各公式翻譯成自然語言，個體域為整數(shù)集Z,并判斷各命題的真假：(1)????=xyzxyz()(2)??xyxy(*=1)(3)???+=xyzxyz()解：（1）對所有整數(shù)x和y，存在整數(shù)z，使得xyz?=，為真命題。（2）對任意整數(shù)x，存在整數(shù)y，使得xy*=1，為假命題。（3),存在整數(shù)x，使得對任意整數(shù)y與z，均有xyz+=，為假命題。8.指出下列公式中的指導(dǎo)變元，量詞的轄域，各個體變項的自由出現(xiàn)和約束出現(xiàn)：?xFxGxy( ()→(,))?xFxy(,)→?yGxy(,)??xyFxyGyz( (,)∧(,))∨?xHxyz(,,)解：指導(dǎo)變元為x，全稱量詞?的轄域為FxGxy()→(,)。其中x是約束出現(xiàn)的，y是自由出現(xiàn)的。蘊含式前件?xFxy(,)中，指導(dǎo)變元為x，全稱量詞?的轄域為Fxy(,)，其中x是約束出現(xiàn)的，y是自由出現(xiàn)的。在??xyFxyGyz( (,)∧(,))，指導(dǎo)變元為x和y，轄域為(FxyGyz(,)∧(,))，其中x和y約束出現(xiàn)的，而z是自由出現(xiàn)的。在?zHxyz(,,)中，指導(dǎo)變元為z，轄域為Hxyz(,,)，其中z約束出現(xiàn)的，而xy,是自由出現(xiàn)的。9.給定解釋I如下：個體域DI為實數(shù)集合R.DI中特定元素a=0特定函數(shù)fxyxyxyD(,)=?,,∈I特定謂詞FxyxyGxyxyxyD(,):=, (,):<,,∈I.說明下列公式在I下的含義，并指出各公式的真值：(1).??xyGxy((,)→?Fxy(,))(2)??xyFfxyaGxy( ((,),)→(,))(3)??xyGxy( (,)→?Ffxya((,),))(4)??xyGfxyaFxy(((,),)→(,))解：??xyxy((<)→≠(xy)) ,即對任意的實數(shù)x和y，若xy<，則xy≠。??xyxy((?=0)→(xy<)),即對任意的實數(shù)x和y，若xy?=0，則xy<。（3）??xyxy((<)→?≠(xy0)),即對任意的實數(shù)x和y，若xy<，則xy?≠0。（4）??xyxy((?<0)→(xy=)),即對任意的實數(shù)x和y，若xy?<0，則xy=。其中（1）（3）真值為1，（2）（4）真值為0。10.給定解釋I如下：個體域D=N（N為自然數(shù)集合）D中特定元素a=2.D上函數(shù)fxyxygxyxy(,)=+, (,)=*.D上謂詞Fxyxy(,):=.說明下列各式在I的含義，并討論其真值：(1).?xFgxax((,),)??xyFfxay( ((,),)→Ffyax((,),)).???xyzFfxyz((,),).?xFfxxgxx((,),(,)).解：各式在I下的解釋為：?=xxx( 2)，即對任意的自然數(shù)x，有xx=2；??xyx((+=2y)→(y+=2x))，即對任意的自然數(shù)x和y，如果有x+=2y，則有y+=2x。???+=xyzxyz( )，即對任意的自然數(shù)x和y，存在z，使xyz+=；?xxx(2=2)，即存在的自然數(shù)x，使2xx=2。其中（1）（2）真值為0，（3）（4）真值為1。11.判斷下列各式的類型：(1).Fxy(,)→((GxyFxy,)→(,))(2)?xFx( ()→Fx())→?yGy( ()∧?Gy()).(3)??xyFxy(,)→??xyFxy(,).(4)??xyFxy(,)→??xyFxy(,).(5)??xyFxy( (,)→Fyz(,)).(6)??(xFx()→?yGy())∧?yGy().解：其中（1）（4）為永真式，（2）（6）為矛盾式，（3）（5）為可滿足式，但不是永真式。12.設(shè)I為一個任意的解釋，在解釋I下，下面哪些公式一定是命題？(1).?xFxy(,)→?yGxy(,).?xFxGx( ()→())∧?yFyHy( ()∧())..??xyFxy( (,)→?yGxy(,)).?xFxGxHy( ()∧()∧())（2）（3）一定是命題，因為他們是閉式。13.給出下列各公式一個成真的解釋，一個成假的解釋。(1).?xFxGx( ()∨())(2)?xFxGxHx( ()∧()∧())(3)?xFx( ()∧?yGyHxy( ()∧(,)))解：(1).令x是全體正整數(shù)。成真的情況是：Fx()：x是偶數(shù)，Gxx():是奇數(shù)。成假的情況是：Fx()：x是偶數(shù)，Gxx():是素數(shù)。(2).令x是全體正整數(shù)，。成真的情況是：Fx()：x能被2整除，Gxx():能被3整除，Hxx():能被5整除。則存在30能被，2，3，5整除。成假的情況是：Fx()：x是偶數(shù)，Gxx():是素數(shù)，Hxx():能被5整除。不存在一個數(shù)既是偶數(shù)又是素數(shù)同時還能被5整除。(1).令x是全體正整數(shù)，y是全體偶數(shù)。成真的情況是：Fx()：x是奇數(shù)，Gyy():能被2整除，Hxyxy(,):比大。則對任意偶數(shù)y，都存在一個大于y的奇數(shù)。成假的情況是：Fx()：x是偶數(shù)，Gyy():能被2整除，Hxyxy(,):比小。則對偶數(shù)2，不存在一個小于2的偶數(shù)。14.證明下面的公式既不是永真式也不是矛盾式：(1).?xFx( ()→?yGyHxy(()∧(,)))(2)??xyFxGy( ()∧()→Hxy(,)))解：(1),成真的情況是：Fx()：x是正偶數(shù)，Gyy():是非1的正整數(shù)，Hxyx(,):能被y整除且xy≠。則對任意一個正偶數(shù)x，都存在2，整除x。矛盾的情況：Fx()：x是偶數(shù)，Gyy():是非1的正整數(shù)，Hxyx(,):能被y整除且xy≠。則對任意一個正數(shù)x（比如3），不一定存在不等于x的整數(shù)，整除x。(2).成真的情況：Fx()：x能被2整除，Gyy():能被3整除，Hxyxy(,):*能被6整除.成假的情況是：Fx()：x能被2整除，Gyy():能被4整除，Hxyxy(,):*能被6整除.15.（1）給出一個非閉式的永真式。（2）給出一個非閉式的永假式。（3）給出一個非閉式的可滿足式，但不是永真式。解：(FxGxFxGx()→())∧()→()，它是重言式(ABAB→∧→) 的代換實例。?(Fx()→Fx())，它是矛盾式?→(AA)的代換實例。?xFxy( (,)→Fyx(,))習題五1.設(shè)個體域D={a，b，c}，在D中消去公式?xFx( ()∧?yGy())的量詞。甲、乙用了不同的演算過程：甲的演算過程如下: ?xFx( ()∧?yGy()) ??xFxGaGbGc( ()∧( ()∨()∨())) ?(FaGaGbGc()∧( ()∨()∨()))∧(FbGaGbGc()∧( ()∨()∨()))∧(FcGaGbGc()∧( ()∨()∨()))?(FaFbFc()∧()∧())∧(GaGbGc()∨()∨())乙的演算過程如下： ?xFx( ()∧?yGy())??xFx()∧?yGy()?(FaFbFc()∧()∧())∧(GaGbGc()∨()∨())顯然，乙的演算過程簡單，試指出乙在推演過程中的關(guān)鍵步驟。答：乙在演算中的關(guān)鍵步驟是，開始利用量詞轄域收縮與擴張等值式，將量詞的轄域縮小，從而簡化了演算。2.設(shè)個體域D={a，b，c}，消去下列各式的量詞：??xyFxGy(()∧())??xyFxGy(()∨())（3）?xFx()→?yGy()（4）?xFxy((,)→?yGy())答：1)(()FaFbFc∧()∧())∧(()GaGbGc∨()∨())(FaFbFc()∧()∧())∧(GaGbGc()∧()∧())(()FaFbFc∧()∧())→(()GaGbGc∧()∧())(FayFbyFcy(,)∨(,)∨(,))→(GaGbGc()∨()∨())3．設(shè)個體域D={1,2}，請給出兩種不同的解釋I1和I2，使得下面公式在I1下都是真命題，而在I2下都是假命題。?xFx(()→Gx())?xFxGx(()∧())答：解釋為I1：F（x），x是偶數(shù)，G（x）x是素數(shù)解釋為I2：F（x），x是奇數(shù)，G（x）x是素數(shù)4．給定公式AxFx=?()→?xFx()在解釋I1中，個體域D1={a}，證明公式A在I1下的真值為1。在解釋I2中，個體域D2={a1，a2，…，an}，n≥2，A在I2下的真值還一定是1嗎？為什么？答：1.在I1下，?xFx()→?xFx()?FaFa()→()??FaFa()∨()?1在I2下，?xFx()→?xFx()?(FaFa(1)∨(2)....∨Fan( ))→(FaFa(1)∧(2).....∧Fan( ))為可滿足式，但不是永真式。設(shè)F（x）:x為奇數(shù)，此時蘊含式前件為真，后件為假，故蘊含式真值為0。若將F（x）改為令F（x），x為整數(shù)，則蘊含式的前件后件均為真，則真值為1。問題的關(guān)鍵是n≥2，n項的析取為真，只需要其中的一項為真，而不能保證所有的項為真。5．給定解釋I如下：（a）個體域D={3，4}；fx()為f(3)=4,fx()=3;Fxy(,)為F(3,3)=F(4,4)=0,F(3,4)=F