專練13（30題）（幾何壓軸大題）2022中考數學考點必殺500題（廣東專用）（解析版）

2022中考考點必殺500題專練13（幾何壓軸大題）（30道）1.（2022?廣東?廣州大學附屬中學ー模）如圖,在直角梯形［中,亜）=呢=90。,18=4,BC=6,AD=8.點尸、0同時從ス點出發(fā),分別做勻速運動.其中點尸沿イ8、8c向終點C運動,速度為每秒2個單位,點。沿スハ向終點ハ運動,速度為每秒1個位、當這兩點中有一個點到達自己的終點時,另ー個點也停止運動,設這兩點從出發(fā)運動了，秒.圖ー圖ー⑴當點尸,S分別為ス8和C。中點時（如圖ー），連接PS,稱PS為梯形的中位線.試判斷PS與8C,AD的關系,并證明.（2）當0VIV2時,求證:以尸。為直徑的圓與スハ相切（如圖ニ）:⑶以尸。為直徑的圓能否與CD相切?若有可能，求出，的值或?的取值范圍:若不可能,請說明由.【答案】⑴SRSSaaカ。;SP=-（BC+AD）;理由見解析（2）見解析（3）能:，=リニ叵時，以尸。為直徑的圓與C。相切【解析】【分析】（1）連接CP并延長,交ル4的延長線于點E,根據三角形形的中位線性質證明即可:（2）當0＜，＜2時,根據直線與圓的關系解答即可:（3）當尸在ス8上時，即0＜，＜2,顯然不可能和C。相切,當尸在8c上時，即24,45時，如果圓與C。相切,設切點為K,連接圓心和に這條線段就是直角梯形尸。。的中位線,由此可用CP,ハ。表示出。に也就可以用含，的式子表示出圓的直徑：如果過/3引イ。的垂線,那么C尸,。。的差,CD,尸。這三者恰好可以根據勾股定理來得出關于，的方程,解方程后即可求出，的值.SP〃BC〃AD,SP=-（AD+BC）i理由如下:連接。尸并延長,交功的延長線于點￡如圖所示:心、尸分別為C。,48的中點,團SP/OE,SP=、DE,2注BC〃AD,團S尸/8C〃A。,?/BC/7AE.mZB=Z/^4E,/BCP=ZAEP,又05Pバ尸,0aBPC^aAPE(AAS),0AE=BC,DE=AD+AE=AD+BC,E)S尸=g(AO+BC)；(2)當0<fV2時,過8作B項U。,如圖所示:團在直角梯形/18C￡>中,0D=0C=9O°,AB=A,BC=6,AD=8,EWE=AD-BC=8-6=2,噥イ=2,EL4P=2/,AQ=t,APItハ0—=—=2,AQtABAPAEAQmPQA=^BEA=90\附。為直徑,團以PQ為宜徑的圓與AD相切.(3)當0Vf<2時,以P。為直徑的圓與C。不可能相切:當2345時，設以尸。為直徑的團。與C。相切于點K,如圖所示:則有PC=10-2f,ハ。=8-3OXHDC,120K是梯形PCDQ的中位線，mPQ=2OK=PC+DO^18-3t,在直角梯形PC。。中，PO2=CD2+(DO-CP)2,解得:,二13±行2館3+衣>5,不合題意舍去，22<13-行<5,2【點睛】本題主要考查了圓的綜合題，關鍵是根據直角梯形的性質,解直角三角形的應用以及中位線的應用等知識點解答.2.(2022?廣東?廣州市第四中學ー模)已知等邊△Z8C邊長為6,D為邊んB上一點,E為直線スC上一點,連接。E,將。E繞點。順時針旋轉90。得到線段。ド.⑵若スO=x,スド的最小值為ア,①若x=4,求ッ的值:②直接寫出ツ與x的關系式.【答案】d)ノ7ノ3+63⑵①2け+2；②y=g(l+G)x(0<%,6)【解析】【分析】(1)設ス。=2の解直角三角形/。E,表示/E和。E,可得四邊形。EGア是正方形,解直角三角形スGF,表示出スド,即可得出結果;(2)①作。G0J8,截取。G=/。，作直線G尸交?1C于M,交直線スBアH,可以證明aA￡>E冬及ク。ド,從而得出クDG/=ム=60。，得出點ド的運動軌跡，然后解直角三角形。GH,再解直角三角形4HM,即可得出結果:②山①得，點ド的運動軌跡，然后解直角三角形。GH,再解直角三角形/!〃M,進而得出y與x的函數關系式.⑴設AD=2a,.?△ABC是等邊三角形，...NC4B=60°,-.■ZAED=90P,DE=AD-sinZ4BC=2axsin60°=-Jia,4E=；AO=a,.?尸G丄AC,ZFGE=90°,.ZDEG=ZEDF=90°,團四邊形DEGF是矩形,\DE=DF,團矩形DEPG是正方形,田GE=FG=DE=6a，AG—AE+EG=a+>f3a,在RtEWドG中,由勾股定理得,af=>Jag2+fg2=JJ3a+aj+(/a)=y17+2y/3a1.AF6+2J3a,<76+6」?FG 幣a 3(2)①作DGEL48,截取DG=4D,作直線Gド交/IC于M,交直線イ8于，，如圖所示:團ZADG=ZEDF=90°,0ZADG-ZEDG=ZED尸-ZEDG,即ZADE=ZFDG,AD=DG團在aADE和aGDF中<^ADE=ZFDG,DE=DF/.△ADE^aGDF(SAS),.\ZDGF=ZA=60°,13點尸在與DG成60。的直線AW上運動,vZGD//=90°,ZDGH=60。,??.ZH=30°,??.ZAA///=180°-ZH-ZA=90°,團A￡)=x=4,0DG=AD=4?團在Rt團?！℅中,ZDGH=60°,ED/7=DGtanZDG/7=4xtan60°=46,AH=AD+DH=4+4y/3,團在RtENM"中,N”=30°,AM=；A〃=」x4x(石+リ=2け+2,團當尸點在“點時,ス尸最小,取=4時，y的值為2け+2；②由①得,點ド在與。G成60。的直線上運動,vZGD/7=9O°,NOG"=60°,N”=30°,由ZAM”=180°—N”一厶=90°,在RtElGハ”中，DG=AD=x,NDG尸=60°,：.DH=DGtan6O°=>/3x,在RtGWM”中,AH=AD+DH^x+45x,：.AM=：A”=g(x+H)=；(l+5/J)x,r.y=-(1+G)x,(0<x<6).【點睛】本題考查了等邊三角形是性質,全等三角形的判定和性質,解直角三角形等知識,解決問題的關鍵是作出輔助線,構造全等三角形.3.(2022?廣東?江門市新會東方紅中學模擬預測)有這樣ー類特殊邊角特征的四邊形,它們有“ー組鄰邊相等且對角互補”,我們稱之為“等對補四邊形”.B圖1C 圖2 圖3⑴如圖1,四邊形メ中,魴ス0=058=90。,AD=AB,A理!CD于點E,若スE=4,則四邊形ス8CZ)的面積等于.(2)等對補四邊形中，經過兩條相等鄰邊的公共頂點的一條對角線,必平分四邊形的ー個內角，即如圖2,四邊形ス8CZ5中，AD=DC,團4+E)C=18O°,連接8。，求證:8。平分即＜8c.⑶現準備在某地著名風景區(qū)開發(fā)一片國家稀有動物核心保護區(qū),保護區(qū)的規(guī)劃圖如圖3所示，該地規(guī)劃部門要求:四邊形ス88是ー個"等對補四邊形"，滿足AD=DC,AB+AD^12,血ハ=120。，因地勢原因，要求30046,求該區(qū)域四邊形ス8co面積的最大值.【答案】⑴9(2)見解析(3)2773【解析】【分析】(1)過A作Aド丄8C,交C8的延長線于ド，求出四邊形A尸CE是矩形,根據矩形的性質得出，ベ=90°,求出/mE=4A尸=90°-NR4E,根據ん4s得出AAFBmAA￡D,根據全等得出AE=A尸=3,S^FB=SMED,求出9,求出Spq邊倒比。=$正方?AfV￡,代入求出即可;(2)如圖1中,連接AC.BD.iiPJVlA,B,C,ハ四點共圓,利用圓周角定理即可解決問題.(3)如圖3中，延長54到//,使得47=84,連接ハz/,過點。A作。K丄4Z丁K,根點8作8W丄ハ”J-M,8N丄C?！窷.設AB=x.構建..次函數，利用二次函數的性質即可解決問題.(1)解:如圖1,過A作Aド丄BC,交CB的延長線于ド,AffllQAE丄CD,ZC=90°.\ZA￡D=zTF=ZC=90°,???四邊形AFCE是矩形,/.ZE4E=90°,vZZMB=90°,NZME= =90°— ,在AAFB和MFD中,Z.F=ZAED<NFAB=ZDAE,AB=AD:.\AFB^/HAED(AAS),AE=AF-4,s&江b=^med????四邊形AFCE是矩形,??,四邊形ん尸CE是正方形,..S正方形AFCE=4x4=16，二S四邊形ん*E+=S四邊形遅BCE+SmFR=S正方形八尺苫=16.故答案為:16；⑵解:證明:如圖2中,連接4c.

⑶解:如圖3中,延長B4到4,使得A〃=AT>,連接?！?過點。A作OK丄4Z于K,過點B作BM丄DH于A/,BN丄CD于N.設A8=x.圖3vZfiAD+ZC=180°,ZBA￡>=120°,/.ZC=60°,.?.Z/M￡>=60°,AD=AH?.,.AAD”是等邊三角形,/.ZH=6O°,.'.Z//=ZC,由(2)可知.5。平分ZA3C,:.ZDBA=ZDBC,??BD=BD，:.^DBH=^DBC,?.ZBDM=4BDN,DH=AD=\2-x,：BMLDH,BNLCD,?.BM=BN、.AH^AB=AB^AD=12,?.BM=BN=BH-sin60°=6帀, =ADsin60°=—(12-x),*-3四邊形ん88=5ム56+5必即=3(12ー。6代+3よ?博(127)=-日ス2+366,03<12-x<6，06<x<9由x=6時,S有最大值,最大值S=27Q.【點睛】本題屬于四邊形綜合題,考查了“鄰等対補四邊形”的定義,解直角三角形,等邊三角形的判定和性質,四點共圓,二次函數的應用等知識,解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題，學會利用參數構建二次函數,利用二次函數的性質解決最值問題,屬于中考壓軸題.4.(2022?廣東江門?ー模)已知，矩形/8co中,48=5,AD=3.點E是射線BC上一動點,將矩形ス88先沿直線スE翻折,點8落在點尸處，展開后再將矩形/J8C。沿直線8ド翻折,點E落在點G處,再將圖形展開,連接Eド、FG、GB,得到四邊形8MG.⑴如圖1,若點ド恰好落在Cの邊上，求線段8E的長:(2)如圖2,若BE=1,直接寫出點ド到8c邊的距離;⑶若山1OG的面積為3,直接寫出四邊形8MG的面積.

?。?0十35萬(3)---或一?—7 3【解析】【分析】(1)連接ス尸,如圖1所示,由矩形,翻折的性質可知スド=/8=5,尸E=8ど,勾股定理得￡>F=〃ド2一ルル2求出ハド的值,在Rtl3cM中,由勾股定理得:CE?+CF2=FE2,計算求解即可;(2)連接ス兒過點ド作于N,交スo于AY,如圖2所示,則仞VEU。，AM=BN,^AFM+^FAM=90°.由翻折的性質得:AF=AB=S,FE=BE=l,QAFE=^ABE=90°,有阪M=0￡7W,證明風4M/岡FNE,AF5有——=——=-,AM=SFN,可知BN=5FN,在RtELVEド中,由勾股定理得:FN2+EN2^FE2.計算求出符FNFE1合要求的解即可;(3)分兩種情況:①點G在矩形/I8C。的內部時，連接ス尸，過G作G/M4。于〃，過點尸作MWC于M交AD丁M,如圖3所示，山0/1。6的面積=g/OxGH=3,求出G”的值，證明四邊形8E尸G是菱形，四邊形G/的ド是矩形,勾股定理得んW=〃尸ー尸に，求出AM的值,同(2)得:O/LWWNE，有;;7=不;；,求得正的值，進而可知BE的值，由四邊形8EFG的面積=8み可計算求解即可:②點G在矩形ス8C。的外部時，連接スド，過G作GWEW。于〃，過點、E作EM3FG于N,過ス作ス朋0FG于M,如圖4所示,同①得:AM=GH=2,FM=>JaF2—FM2?^AMF^FNE,Yj——= ,求れE的值,進而可知BE'的值,FEEN由四邊形BEFG的面積=8fx￡W計算求解即可.⑴解：連接スド,如圖1所示,圖1團四邊形ス5C。是矩形，128=48=5,BC=AD=3,a4SC=0C=HD=9O",由翻折的性質得：AF=AB=5,FE=BE,^DF=yjAF2-AD2=V52-32=4>

^CF=CD-DF=1,在RZ0CE/中,由勾股定理得:CE2+CF2=FE:,即(3-BE)2+12=BE2,解得:：解:連接力ド,過點ド作于M交スD于M,如圖2所示,圖2則MNQAD,AM=BN,團山M/b=H/WE=90°,團西ドM+SE4M=90°,由翻折的性質得:AF=AB=5,FE=BE=1,^L4FE=^ABE=90°,睫[4EW+0EEV=9O°,團團月1M=[3￡7W,^BAMFWFNE,AMAF5團 ==一,FNFE1^AM=5FN,0BN=5尸M在H面陀ド中,由勾股定理得:F,N2+EN2=FE2,即FN2+(5FN-1)2=12,解得:FN=&,或ドN=0(舍去)，即點尸到8c邊的距離為為:分兩種情況:①點G在矩形/8c。的內部時,連接メ尸,過G作G加ハ于〃,過點ド作M№5c于M交AD于M,如圖3所示,則MNQGH,MMMD,MN=CD=S,02JCG的面積メハxG〃=!x3xG"=3,團G〃=2,由翻折的性質得:BG=FG,FE=BE,BG=BE,^BG=FG=FE=BE,團四邊形8EドG是菱形,MG08皿ハ，團四邊形『是平行四邊形,SGHQAD,能!G〃A/=90°,團平行四邊形G〃Mげ是矩形,^FM=GH=2,'SiFN—MN-FM—3,AM—yjAF2-FM2=V52-22=VST?同(2)得:[MMFWFNE,AMAF團 = ,FNFE即叵=巨,3FE7713四邊形BEFG的面積=8ExFN=空!x3="亙!7 7②點G在矩形メBC￡＞的外部時,連接メ尸，過G作于//,過點E作EMSFG于N,過/（作んW0FG于M,如圖4所示,同①得:AM=GH^2,FMバaP-AM?=舊_2?=竝!，^AMF^FNE,AFFM0 = FEENS￡7V=BM=AB+4M=5+2=7,ョ臣，FE7解得:FE=^^-EB￡=^I,3團四邊形BEFG的面積=8&￡ヽ=獨!x7=受包綜上所述,四邊形8EFG的面枳為"マ史或身叵【點睛】本題考查了折疊的性質,三角形相似,勾股定理,菱形、矩形的判定ら性質.解題的關鍵在于對知識的靈活運用.5.（2022?廣東韶關?模擬預測）如圖1,在0/18C中,AB=AC=2,05/C=9O。,點P為8c邊的中點,直線。經過點ん過8作8碓a,垂足為E,過C作垂足為ド，連接PE、PF.（1）當點8、尸在直線。的異側時,延長EP交Cド于點G,猜想線段尸ド和EG的數量關系為；（2）如圖2,直線a繞點ス旋轉,當點8尸在直線a的同側時,若（1）中其它條件不變,（1）中的結論還成立嗎?若成立,請給予證明;若不成立,請說明理由;(3)直線a繞點ス旋轉一周的過程中,當線段尸ド的長度最大時,請判斷四邊形8EFC的形狀,并求出它的面積.【答案】(1)PFjEG；⑵成立，見解析;(3)矩形:4【解析】【分析】(1)證APBEMAPCG(ん4S),得PE=PG,再由直角三角形斜邊上的中線性質即可得出結論;(2)延長EP交アC的延長線于G,同(1)得APBE=APCG(A4S),磊PE=PG,再由直角三角形斜邊上的中線性質即可得出結論；(3)連接AP,由等腰三角形的性質得厶依=90°=NB￡4,設線段A8的中點為M,得點P、￡都在以線段AB為直徑的圓上，當PE=A8=2時，PE取得最大值，此時四邊形BE4P是正方形，則四邊形5EFC是矩形,即可求解.【詳解】PF=；EG,理由如下:,/BE丄a,CF丄a,：.BEHCF,:.ZPBE=APCG,ZPEB=ZPGCt???點P為8C邊的中點,:.PB=PC,:."BEw"CG(AAS),:,PE=PG,-,-CF±af.\ZEFG=90°,???PF丄EG,2故答案為:PF=；EG：(1)中的結論還成立,證明如下:延長￡?交ドC的延長線于G,如圖2所示:同(1)得:^PBE^APCG(AAS),:.PE=PG,,:CFIa,/.ZEFG=90°,:.PF=-EG；2(3)連接AP,如圖3所示:??AB=AC,點尸為3C邊的中點,:.BP=CP,AP1BC.?.ZAPB=90°,設線段A8的中點為M,,/BE丄a,?.Z3E4=90。,...點尸、E都在以線段AB為直徑的圓上,當在:=AB=2時,/>￡取得最大值,此時四邊形8￡"是正方形,則四邊形BEFC是矩形，AE=包AB=y[i，■?四邊形8￡7て1的面積=2正方形BEAP的面積=2xA￡2=2x2=4.BP國3BPG圖2【點睛】本題是四邊形綜合題目,考查了矩形的判定、正方形的判定與性質、全等三角形的判定與性質、等腰宜角三角形的性質、直角三角形斜邊上的中線性質、平行線的判定與性質等知識:本題綜合性強,熟練掌握等腰直角三角形的性質和直角三角形斜邊上的中線性質，證明三角形全等是解題的關鍵,屬于中考?？碱}型.6.（2022?廣東中山?ー模）在如圖平面直角坐標系中，矩形。48c的頂點B的坐標為（4,2）,OA、OC分別落在x軸和ッ軸上，08是矩形的對角線.將團。ス8繞點。逆時針旋轉，使點8落在ッ軸上,得到團。ハE,。。與C8相交于點尸,反比例函數ツ=幺（x>0）的圖象經過點ド，交スB于點G.X（1）求ん的值和點G的坐標;（2）連接尸G,則圖中是否存在與財ドG相似的三角形?若存在，請把它們ーー找出來,并選其中一種進行證明;若不存在,請說明理由;（3）在線段。ス上存在這樣的點尸,使得HPFG是等腰三角形.請直接寫出點尸的坐標.【答案】（1）厶=2,點G的坐標為（4,^-）；（2） 射。5008尸G；QODESEBFG；⑦CB6EBFG,證明詳見解析；（3）點/3的坐標為（4-JFT，〇）或（二，〇）或ヨ回,0）.8 2【解析】【分析】（1）證明團。。ゆ4。8,則エ=要,求得:點ド的坐標為（1，2）,即可求解；ABOA

AO4=—=-（2）團CO/T308尸G；^AOB^BFG-,團?！辏?308ドG；QCBOSBBFG.證00ル施回8尸G：——=-,BG33,BF3 ~即可求解.（3）仔GF=PF、PF=PG、G尸=尸6三種情況,分別求解即可.【詳解】解:（1）團四邊形048c為矩形,點8的坐標為（4,2）,團團OCB=用0ス8=0JBC=90°,OC=AB=2,OA=BC=4,團團。ハ￡是團048旋轉得至リ的,即:^ODE^OAB,團團。。ド=0/108,^COFWAOB,CFOC CF2 ハ「0 = ,0——=—,0c尸=1,ABOA 2 40點戶的坐標為（1,2）,By=-（x>0）的圖象經過點ド,X02=y,得4=2,國點G在ん3上，0點G的橫坐標為4,對于ツ=上,當x=4,得0點G的坐標為（4,I）；（2）^COFWBFG；^AOBWBFG；0OD￡005FG；^CBOWBFG.卜.面對0。ス施魴R7進行證明:0點G的坐標為（4,I）,a4G=05。=。ス=4,CF=1,AB=29図BF=BC-CF=3,BG=AB-AG=-.AB

~BG2AB

~BGAO40=—BF3AOAB0 = ,BFBG團團。ス8=國ド8G=90°,(3)設點尸(zn,0),而點ド(1,2)、點G(4,ラ)，TOC\o"1-5"\h\z945 1貝リy7G2=9+—=—,PF2=(m-1)2+4,PG2=(m-4)2+-,4 4 4當G尸=P尸時,即竺=(wi-1)2+4,解得:m=2土庫(舍去負值);4 2當/^=27時,同理可得:加=";〇當GF=尸G時,同理可得:川=4-Ji"[;綜上,點尸的坐標為(4-JTT,〇)或(￡,〇)或(2セ熾,0).8 2【點睛】本題考查的是反比例函數綜合運用,涉及到旋轉的性質、三角形相似、等腰三角形的性質等,其中(3),要注意分類求解,避免遺漏.7.(2022?廣東廣州?ー模)如圖，在矩形ス88中，AB=6,AD=8,點E是C。邊上的ー個動點(點E不與點C重合),延長ハC到點ド，使EC=2CF,且スド與BE交于點G.(1)當EC=4時，求線段8G的長:(2)設CF=x,I3GM的面積為ア，求y與x的關系式，并求出ッ的最大值:⑶連接。G,求線段。G的最小值.【答案】(1)2広⑵kV⑶融【解析】【分析】

(1)先利用矩形的性質證明AAGB^AFGE(AAS),證得BG=GE,在RABCE利用勾股定理求得8E的長,進而可求解:(2)設カ廠與8c交于點P,過點G作GM丄BC于M,利用相似三角形的判定和性質分別求得GM,PC,PM,最后求得CM,在13GM中利用三角形的面積公式即可求解;(3)過點G作GN丄CD,連接。G,則四邊形CNGM是矩形,在RtADGN中,利用勾股定理求得むユ的最小值,進而得到答案.解:團四邊形ABCD是矩形，48=6,AD=8,13AB=8=6,AD=BC=8,AB\\CD,AD//BC,NBCD=90°,0ZBAG=ZF,WC=2CF,EC=4,0CF=2,⑦EF=CE+CF=6,0EF=AB，又團/AGB=NFGE,EAAGB^AFG￡(A45),國BG=GE,在RMCE中,BE=VBC2+C￡2=V82+42=4>/5>由BG=>BE=2帀;2解:設イド與8c交于點尸,過點G作GM丄BC于M,如圖所示,4 D^CD//AB,中へGEFsAGBA,GEEF

團 = 9BGABEL48=6,EF=CE+CF=2x+x=3x，GE3xx0=—=一BG62⑦GM丄BC,/BCD=90。,團G例〃CE,CEBEBG+GEr9| — — GMBGBG'on2xBG+GE.x即 = =1+—,GMBG2團GM=——,團A〇〃BC,^\\FCP^\FDA，嗚囁，即陰品解得べ熹又團GM〃CE,GMPM團 = 9CFPC4x即2±2

XPM8x

x+6解得PM=(x+2)(x+6)，團CM=PM+PC=32x8x8x(x+2)(x+6)x+6x+2QySy=Sa=-EF.CM=-.3x.——ノAG"2 2 x+212x2x+2ゆ與x的關系式為:y=N,x+2團點E是。ハ邊上的?個動點（點E不與點C重合），CE=2x90O<2x<6,BPO<x<3,_イ" ル?K丄/土12x3?108團當x=3時,ア的椒大值= =——.3+2 5(3)解:過點G作GN丄CO,連接。G,則四邊形CNGM是矩形,中GN=CM=-^—,CN=GM= TOC\o"1-5"\h\zx+2 x+24ス團。N=CO—CN=6 ,x+2在肋ADGN中,DG2=DN2+GN2=(6ー/L1+(通エ令則DG?=(6-/n)2+(令則DG?=(6-/n)2+(2m1=5m—4 ，5丿5團當m==T=9時,"2有最小值為プ,x+25 5團。G的最小值為だお.【點睛】本題考查了矩形的性質,勾股定理,相似三角形的判定和性質等,解題的關鍵是根據題意作出適當的輔助線.8.(2022?廣東?ー模)如圖，正方形ABCD中,點、ド是8c邊上一點,連結AF,以スF為對角線作正方形AEFG,邊ドG與正方形ス8C。的對角線スC相交于點〃，連結OG.(1)證明:(1)證明:EL4FCWL4GD；or[ FC(2)若悪=3,請求出三?的值.rしム rn【答案】⑴證明見解析⑵亭【解析】【分析】(1)由四邊形ABCD，AEFG是正方形,推出四==也,得,由于/DAG=ZCAF,得到AADG^ACAF,ACAF2列比例式即可得到結果:(2)沒BF=k,CF=2k<則AB=8C=3Z,根據勾股定理得到"，AC由于/A"=NACF,ZFAH=ZCAF,于是得到ルA/T/sA4c/,得到比例式即可得到結論.,.?四邊形4BC0,AEFG是正方形，.ADー近AG>/24c2AF2ADAG/.——=——,ACAF?.?ZDAG+NGAC=ZE4C+ZGAC=45°,.\ZDAG=ZCAF,.?.aafcsmgo；BF1,, — FC2設= CF=2k<則AB=BC=3A,AF=7ABコ+BFゝイ。厶)？+A?=y/lOk,AC=母AB=36k,???四邊形ABC￡>,A￡FG是正方形，/.ZAFH^ZACF,ZFAH=ZCAF,..AA/T/sム4c/,.AFFHACCF'.FC_3yf2_3>/5FH曬5【點睛】本題考查了正方形的性質,相似三角形的判定和性質,勾股定理，找準相似三角形是解題的關鍵.(2022?廣東惠州?模擬預測)如圖,在團ABC中，已知A8=AC=5,BC=6,5.0ABC^DEF,將回んBC與團￡>￡7=1重合在一起,團んBC不動,回りEド運動,并且滿足:點E在邊BC上沿8到C的方向運動(點E與8、C不重合),且。E始終經過點A,EF與AC交于息M.(1)求證:SABEWECM⑵探究:在團。Eド運動過程中,重疊部分能否構成等腰三角形?若能，求出BE的長:若不能，請說明理由;⑶當線段AM最短時，求重疊部分的面積.【答案】(1)見詳解;(2)8E的長為1或だ;6(3)當x=3時,4W最短為學,SMEM=1|.【解析】【分析】⑴由48シ1C,根據等邊對等角,可得M=E)C,又由A4851ADEF與三角形外角的性質,易證得團CEAた皿瓦則可證得MB^ECM;⑵首先由西EF=(M=(3C,且明MEX3C,可得スEMM然后分別從ス尾EM與スM=EA/去分析,注意利用全等三角形與相似三角形的性質求解即可求得答案;(3)首先設8E=x,lijA/18￡lM￡CK根據相似三角形的對應邊成比例,易得CM=-1+gx=q(x-3)2+こ,繼而求得スM的值,利用二次函數的性質，即可求得線段/1A7的最小值,繼而求得重疊部分的面積.⑴解:E1AB=4C,0ZB=ZC,0AA￡?C=AD￡F,團/A￡F=NB,又團ZAEF+/CEM=ZAEC=N5+ZBAE,⑦ZBAE=NCEM,

0AABE^ECM；(2)解:I3ZAEF=N8=NC,fiZAAffi>ZC,^ZAME>ZAEF,團AEwAM；當AE=EM時,團△ABEtaaECM；0AABE=AECM,0CE=AB=5，^BE=BC-EC=6-5=1；^BE=BC-EC=6-5=1；當んW=￡M當んW=￡M時,則/M4f=N/WE4,?NMAE+/BAE=/MEA+NCEM,即/CAB二/CE4,X0ZC=ZC,^ACAE^ACBA.CEACCACB由CE由CE=%=竺CB6SBE=SBE=6--=—6 6綜合的長為1或リ:6DEDE解:設8七=エ,自へABE?公ECM，CMCE??CM6-x團——=—,即——= BEBAx5團CM=-—+-x=--(x-3)2+-,55 5、ノ5EAA/=5-GA/=-(x-3)2+—,5Vノ5團當x=3時,4W最短為匚,又H當BE=x=3=”C時,點E為BC的中點,0AEXBC,^AE=4AB--BE-=4-此時，Eド丄AC,【點睛】此題考查了相似三角形的判定與性質、全等三角形的判定與性質以及二次函數的最值問題,此題難度較大,注意數形結合思想、分類討論思想與函數思想的應用是解此題的關鍵.（2022?廣東深圳?模擬預測）【知識再現】學完《全等三角形》一章后,我們知道“斜邊和一條直角邊分別相等的兩個直角三角形全等（簡稱Hし定理）"是判定直角三角形全等的特有方法.【簡單應用】如圖（1）,在山＜8c中，^BAC=90°,AB=AC,點、D、E分別在邊スC、ん8上.若CE=BD,則線段スE和線段スハ的數量關系是E,圖(1) 圖。) 備用圖【拓展延伸】在a48c中,SBAC=a(90°<?<180"),/8=4C=機,點。在邊スC上.(1)若點E在邊ス8上,且CE=BD,如圖(2)所示,則線段スE與線段ス。相等嗎?如果相等,請給出證明;如果不相等,請說明理由.(2)若點E在A4的延長線上,且CE=BD.試探究線段メE與線段ス。的數量關系(用含有。、機的式子表示),并說明理由.【答案】【簡單應用】スE=イ。:【拓展延伸】(1)相等，證明見解析;(2)AE-AD^2AC?cos(1800-a),理由見解析【解析】【分析】簡單應用;證明Z??<8。齦應JCE(/〃)，可得結論.拓展延伸；(1)結論:AE=AD,如圖(2)中，過點C作CM曲!交區(qū)4的延長線于A/,過點N作用電。!交。<的延長線于M證明團。比!N(ん!S),推出CM=8MAM=AN,證明/?何CM￡13H/t38N。(“ム)，推出EM=。ル,可得結論.(2)如圖(3)中，結論:AE-AD=2m?cos(180*-a),在ス8上取一點で，使得8。=(7￡\則ル>=/￡.過點C作C淚？!E于7.證明小二ル，,求出Z!T,可得結論.【詳解】簡單應用；解:如圖(1)中，結論:AE=AD.圖⑴理由:00/1=m=90°,AB=AC,BD=CE,皿?危!49Z龍!???ICE(HL),^L4D=AE.故答案為:AE=AD.拓展延伸:(1)結論:AE=AD.圖⑵理由:如圖(2)中,過點C作CM?広ス交A4的延長線于過點N作切電。!交ク的延長線于M團團M=帆=90°,^CAM=^BAN9CA=BA,WCAMWBAN(AAS),eCM=BN,AM=AN,團團レ=[?LV=90°,CE=BD,CM=BN,^Rt^CME^Rt^BND(〃厶)，^EM=DN,^\AM=AN,^AE=AD.(2)如圖(3)中,結論：AE-AD=2m^cos(180°-a).圖⑶理由：在スB上取一點た,使得6Z)=C￡,則ス。=力￡,過點。作。儂上于ア.回CE，=BD,CE=BD,團CE=C￡,0C70E?,0￡T=7F,l?L4r=JC*cos(180°-a)=wcos(180°-a),⑦AE-AD=AE-AE'=2AT=2"”cos(180°-a).【點睛】本題主要考查了全等三角形的性質與判定,等腰三角形的性質與判定,解直角三角形等知識,解題的關鍵在于能夠熟練尋找全等三角形解決問題.(2022?廣東?模擬預測)某數學課外活動小組在學習了勾股定理之后,針對圖1中所示的“由直角三角形三邊向外側作多邊形，它們的面積號,4,S3之間的關系問題”進行了以下探究:類比探究(1)如圖2,在ゆaABC中，BC為斜邊，分別以A8,AC,BC為斜邊向外側作RtAABD,Rt/XACE,Rt^BCF,若N1=N2=N3,則面積ヨ,S2,S3之間的關系式為：推廣驗證(2)如圖3,在用aABC中,8c為斜邊,分別以AB,AC,BC為邊向外側作任意△ABO,^ACE,/XBCF,滿足4=N2=N3,ND=NE=/尸，則(1)中所得關系式是否仍然成立?若成立，請證明你的結論;若不成立，請說明理由:拓展應用(3)如圖4,在五邊形ABCDE中,ZA=Z￡=ZC=105,NABC=90ヽAB=2氐￡>E=2,點尸在んE上，ZABP=3O,PE=五,求五邊形A88E的面積.【答案】(1)$3=5+52；(2)結論成立，證明看解析:(3)6け+7【解析】【分析】(1)由題目已知陽5。、ゆJCE、B5CF,陰均為直角三角形,又因為Zl=Z2=Z3,則有RtA^B。團Rt/\ACE^Rt^BCF,利用相似三角形的面枳比為邊長平方的比,列出等式,找到從面找到面枳之間的關系:(2)在a48ハ、EL4CE、B18Cド中，Z1=Z2=Z3,ZD=ZE=ZF,可以得至リ△AB。團aACE團△8CF,利用相似三角形的面積比為邊長平方的比,列出等式,從而找到面積之間的關系；(3)將不規(guī)則四邊形借助輔助線轉換為熟悉的三角形,過點ス作ス〃丄8尸于點〃，連接尸ハ,BD,由此可知AP=",BP=8”+?”=3+6,即可計算出S*,根據助即建MP00C8。,從而有sAreD=5AABP-(—)2山(2)結論有,SeLSbp+S△ユ最后即可計算出四邊形ス88的面積.【詳解】(1)皿8c是直角三角形,0AB2+AC2=BC2,皿8ハ、GL4CE、!38cド均為直角三角形,且N1=N2=N3,0RtzMBD0Rt/XACESRt^BCF,S.AB2 S,AC25,BC2 5,BC-S. S, S.+S. AC2 AB2 AC2+AB2 BC2 ,S3 S3S3 BC2 BC2BC2 BC20s3=S+S2得證.(2)成立，理由如下:0a48c是直角三角形,AB2+AC2=BC2,0在0J8ハ、0JCE、05c/中，Zl=Z2=Z3,/D=/E=/F,0△AB￡>團aACE0/XBCF,S|__ABj_S、ACj_回S、BC2，S3BC2，￡S、_S]+S、_AC2AB2AC2+AB2BC2S3S3~S3 BC2BC2-BC2 -BC2^'05s=$+52得證.(3)過點ス作AHIBP于點H,連接尸。,BD,0ZAB〃=3O'，AB=20，0AH=石,BH=3、ZBAH=600ZBAP=1O5-0Z//AP=45,^\PH=AH=73,0Ap=6,BP=BH+PH=3+幣,冋c _BPAH_(3+y/3)y/3_3y/3+30PE=忘,ED=2,同PE 竝一石 ED 2 >/3AP ? 3 AB 26 3 'PEED田 =PEED田 = ,APABHZE=Zfi4P=105,^ABP^EDP,0ZEPD=ZAPB=45，PD_PE邪BPAP~~3BPD=90,PD=1+B3走+312 3走+3走+312 3走+12BPPD2.(3+6).(l+6)=3+2G團ZPBO=30團ズA5C=90、ZABP=30□ZDBC=300ZC=105^ABP^\EDP^1CBD團S^BCD=S^BP團S^BCD=S^BP+°4EPD學+竽二2+2石S四邊囪bco=Sabcd+S&w+Saeto+SABPD= + +(2+ )+(3+2^)=6幣+7故最后答案為【點睛】(1)(2)主要考查了相似三角形的性質,若兩三角形相似,則有面積的比值為邊長的平方,根據此性質找到面積與邊長的關系即可;(3)主要考查了不規(guī)則四邊形面積的計算以及(2)的結論，其中合理正確利用

前面得出的結論是解題的關鍵.12.（2022?廣東?模擬預測）如圖,RtGL48c中,0C=9O°,BC=8ctn,AC=6cm.點尸從8出發(fā)沿8ス向ス運動,速度為每秒點E是點8以尸為對稱中心的對稱點,點尸運動的同時,點。從ス出發(fā)沿スC向C運動,速度為每秒2cm,當點。到達頂點C時，P,0同時停止運動,設尸，。兩點運動時間為，秒.⑴當，為何值時,尸。08C?（2）設四邊形尸。C8的面積為ッ,求y關于?的函數關系式;⑶四邊形尸。C8面積能否是m8c面積的ヨ?若能，求出此時，的值;若不能，請說明理由;⑷當，為何值時,皿!￡。為等腰三角形?（直接寫出結果）【答案】⑴，=ミ;（2及=ミドー8/+24；⑶四邊形尸。C8面積能是a48c面積的;，此時，的值為5- ；⑷當，為1?秒三秒ヨ秒時,S4E。為等腰三角形.【解析】【詳解】試題分析:（1）先在Rt0ABe中，由勾股定理求出AB=10,再由BP=t,AQ=2t,得出AP=10-t,然后由PQ3BC,根據平行線分線段成比例定理得出空=と纟,列出比例式獸=3，求解即可;ABAC 10 6（2）根據S pqcb=Saacb-Saapq=yAC*BC-yAP*AQ*sinA,即可得出y關于t的函數關系式;（3）根據四邊形PQCB面積是團ABC面積的丁列出方程くt2?8t+24二1x24,解方程即可;（4）0AEQ為等腰三角形時，分三種情況討論:①AE=AQ；②EA=EQ；③QA=QE,每一種情況都可以列出關于t的方程，解方程即可.試題解析:（1）RtHABC中，00C=9O°,BC=8cm,AC=6cm,0AB=lOcm.團BP=t,AQ=2t,0AP=AB-BP=lO-t.

0PQ0BC,APAQTOC\o"1-5"\h\z團 = ?ABAC10-r2t0 =—,10 6解得t哈:0Si，ii：pQCB=SzsACB-SAAPQ=yAC*BC-yAP?AQ?sinA1 8 4 40y=-x6x8--x(10-2t)?2t?—=24—t(10-2t)=-t2-8t+24,2 10 5 54即y關于t的函數關系式為y=-t2-8t+24；_ 3(3)四邊形PQCB面積能是［3ABe面積的ヌ,理由如下:由題意,得4, 3-t2-8t+24=-x24,整理,得t2-10t+12=0,解得ti=5-jil，t2=5+JB（不合題意舍去）.故四邊形PQCB面積能是0ABe面枳的丁此時t的值為5ー如:（4）I3AEQ為等腰三角形時,分三種情況討論:①如果AE=AQ,那么10-2t=2t,解得t=|：②如果EA=EQ,那么（10-2t）x9=t,解得t=岑:③如果QA=QE,那么2tx4=5-t,解得t=亨.故當t為1"秒、イ秒、得秒時,I3AEQ為等腰三角形.考點:相似形綜合題.（2021?廣東惠州?二模）如圖，在RtzUBC中，酎CB=90°,/C=8,BC=6,CZM48于點ハ.點尸從點ハ出發(fā)，沿線段OC向點C運動，點。從點C出發(fā),沿線段。（向點ズ運動，兩點同時出發(fā),速度都為每秒1個單位長度，當點P運動到C時，兩點都停止.設運動時間為f秒.⑴求線段CD的長:⑵設AC尸。的面積為S,求S與，之間的函數關系式,并確定在運動過程中是否存在某ー時刻，,使得SaCPQ：SNBC=9：100?若存在,求出，的值;若不存在,則說明理由.⑶是否存在某ー時刻，，使得ACP0為等腰三角形?若存在，求出所有滿足條件的，的值:若不存在，則說明理由.【答案】⑴線段C。的長為4.8(2)S=-—，2+—，:當，=く或，=3時,S^CPQ：5AJ5C=9：100(3)存在,當，為2.4或石或萬?時,團。5。為等腰三角形【解析】【分析】(1)利用勾股定理可求出ス8長,再用等積法就可求出線段C。的長:(2)過點尸作打加C,垂足為〃,通過三角形相似即可用，的代數式表示尸〃,從而可以求出S與，之間的函數關系式;利用SaCP。:SMBC=9：100建立，的方程，解方程即可解決問題:(3)可分三種情況進行討論;由C0=CP可建立關于，的方程,從而求出，；由/尸C或0c=0P不能宜接得到關于，的方程,可借助于等腰三角形的三線合一及三角形相似,即可建立關于，的方程,從而求出解:如圖1,0a4CS=9O°,AC=8,BC=6,EU5=10,^CD^AB,^^BC=^BC?AC=^AB?CD,13線段C。的長為4.8；(2)解:①過點尸作ア/位!C,垂足為〃,如圖2所示.由題可知。尸=厶CQ=t,則。尸=4.8-6團a4c8=團。。8=90°,00//CP=9O°-0DCB=05,0P//0JC,團團?！ㄊ?90°,

00C/7P005CJ,ポL區(qū)ACABPH國——=PH國——=4.8ゼ10曲”嗡於。。で%昨精條キ）=-|ん條②存在某ー時刻，,使得S1cP。:S/8C=9：100.E558C=!x6x8=24,且SaCP0：SJ8C=9：100,2,48團(--r+—z).24=9：100.5 25整理得:5尸-24/+27=0.即(5/-9)(/-3)=0.解得:，=ヌ或Z=3.00</<4.8,9團當，=ニ或/=3時,SaCPQ：SaABC=9：100；⑶解:存在.①若。0=C尸,如圖1,貝リf=4.87,解得:1=2.4；②若ひQ=PC,如圖2所示.mPQ=PC,PmQC,ZQH=CH=^QC=^,mCHP^BCA.CHCP團 = ,BCABt團ク4.8—，，6iO

144解得;」55144解得;」③若QC=QP,過點。作0￡0CP,垂足為￡,如圖3所示.綜上所述:當f為2.4或ミ?或行時,團CP。為等腰三角形.【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質、等腰三角形的性質、一元二次方程的應用、勾股定理等知識,具有一定的綜合性,而利用等腰三角形的三線合一巧妙地將兩腰相等轉化為底邊上的兩條線段相等是解決第三小題的關鍵.（2021?廣東云浮?ー模）如圖,四邊形イ8C。和四邊形GH〃都是正方形,點E同時是邊8c和H/的中點,點尸是邊イ。的中點,點K是邊G/的中點,連接8H,FK.A A FG\KJBHEI圖1DA 《 DAJc3^7^マ/憶圖2/⑴如圖1,當印與8C在同一條直線上時，直接寫出8”與五K的數量關系和位置關系:（2）正方形ス8C￡?固定不動,將圖1中的正方形G"〃繞點E順時針旋轉a（O°4aV9O。）角,如圖2所示,判斷（1）中的結論是否仍然成立,若成立,請加以證明:若不成立,說明理由:⑶正方形ス8CZ）固定不動,將圖1中的正方形GHIJ繞點、E旋轉a（O04a490。）角,作W丄BC于點ム設BL=x,線段ス8,BH,HG,GK,KF,用所圍成的圖形面積為S.當んB=6,m=2時，求S關于x的函數關系式,并寫出相應的x的取值范圍.［答案】⑴8〃與FK的數量關系為尸K=28〃,位置關系為FKSBH⑵仍然成立,8〃與FK的數量關系不變，FK=2BH,位置關系不變F施BH,證明見解析（3）S=-x+—?變量ズ的取值范圍是KW5【解析】【分析】（1）,根據正方形的性質和中點定義，可知』8=8C,GH=H1,BE=EC,EH=E1,進而得出8"=/C,再根據FK=AB-GH,可得答案.（2）,先連接尸ど,KE,再根據兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形形似，得出EB~aKEF,進而得出-=—=-?即可得出數量關系.再延長尸K,交8c于",延長8〃,交FM丁N,由①可得田〃8￡=I水FE,KFEF2進而得出!38MW=9O。，即可得出位置關系.（3）,分兩種情況:第一:當正方形G"〃繞點E順時針旋轉a時,表示以,再求出5矩琢期,S矩形。.，表示“F￡K，再根據aBE〃?aEEK,得出=；S#EK，最后根據$=S矩形ABEF+S/￡K -S矩形GHEK列出關系式，并求出取值范圍.第二：當正方形G/〃ノ繞點E逆時針旋轉a時,與第一類似，再根據S=S矩形ABEF-SムFEK+SaBEH-S矩形GHEK列出關系式,并求出自變量取值范圍，最后確定答案即可.⑴解:BH與ドK的數量關系為FK=2BH,位置關系為FKQBH.根據題意可知48=8C,GH=HI,BE=EC,EH=El,WH=BE-HE,IC=EC-EI,即BH=1C.^FK=AB-GH=BC-H1=BH+IC=2BH.當正方形繞點E旋轉a（0°<a<90°）角時，其數量和位置關系不變先證FK=2BH連接/T,KERFHF1由題意可得到——=——=一,ME8=0KE〃=9O。FEKE2可得13HEB+⑦FEH司KEF+MEH^EHEB=^KEFSAHEB-AKEFHBBE10==一KFEF2即FK=2BH②再證FKZBH延長ドK,交BC于M,延長8〃,交FM干N由①可得M8E=0X7芯^WBE^FMB^FE-^MB=9QamBNM=90°即FKSBH鮎〃與FK的數量關系不變,FK=2BH,位.置關系不變FKS1BH正方形GH〃繞點E旋轉a(0Wa490。),有以下兩種情況:當正方形GH/ノ繞點E順時針旋轉a時,E￡=x-3.

如圖,S矩吻也.=6x3=18,S^FEK=^xEF￡L=3（x-3）=3x-9QaBEHfFEK、丄4丄40S△ア瓶國SaBEH=スSaFEK3 9 37因此S=S矩形毎町+S4FEK-S^BEH-S矩形GHEK=S矩形am尸十~S.FEK-S矩形GHEK=スス+彳自變量x的取值范圍是3WxW5當正方形G"む繞點E逆時針旋轉a時,￡Z=3-x.

如圖,S%窗朝=6x3=18,SsFEK=^xEFEL=3（3-x）=9-3x0aBEHfFEK,BE~FE團S&BEH=スS&FEK又（3S矩形ghek=2x1=2_ 3 9 37因此S=S矩形小「ーSqfek+SaBEH-S矩形GHEK=S矩形^efース^FEK、矩形GHEK=スス+自變量x的取值范圍是14x<3.綜上所述，S=『ペ—【點睛】這是一道關于正方形的綜合問題,考查了正方形的性質,相似三角形的性質和判定,旋轉的性質,求一次函數的關系式及自變量取值范圍等.15.（2021?廣東廣州三模）△4為等腰三角形,48=XC,點ハ為ル48。所在平面內一點.圖2⑴若ノ砌C=120°,圖2⑴若ノ砌C=120°,①如圖1,當點。在8c邊上，BD=AD,求證:DC=2BD；②如圖2,當點。在△Z8C外，ZADB=120a,AD=2,BD=4,連接C。，求C。的長;⑵如圖3,當點ハ在△/8C外,且ノス。8=90°,以ス。為腰作等腰三角形△ス。&/DAE=NBAC,AD=AE,直線DE交BC于點ド,求證:點Z：?是8c中點.【答案】⑴①證明見解析;②2J萬（2）證明見解析【解析】【分析】（1）①由等腰三角形的性質可求a48c=の!。8=30。=團歷!。，可得皿C=90。，由含30。的直角三角形的性

質可求解;②如圖2,以ス8,4C為邊作等邊!2等邊EL4CH,以4),8。為邊作等邊西ハ￡,等邊回8DG,連接G”,過點E作￡W00G,交G。的延長線于N,由“S4sM可證mハ施EHG8,WAC^EAH,可得ス。=GH=2,2L4C8=I2BG”=12O。,DC=EH,由宜角三角形的性質可得M9=ラ￡>￡=1,NE=^DN=小,在Rt固VE”中,由勾股定理可求￡77,即可;(2)如圖3通過證明a(。硒加8。,可得H/lZ)E=a48C,可證んD、B、ド四點共圓,可求勖ル!=90。,由等腰三角形的性質可證點F是BC中點.解:①證明:00A4c=120。，AB=AC0EL4BC=I3JCS=3O°^BD=AD皿8。=血￡>=30。IWMC=90。0CD=Z4￡>12cz)=280②如圖2,以スB,4C為邊作等邊EW8〃，等邊?4CH,以4),80為邊作等邊出!。E,等迦3BDG,連接GH,過點E作ENBiDG,交GD的延長線TN,mBDG和團48”都是等邊三角形田BD=BG=DG=4,AB=BH,WBG=QABH=60t=^BGD^ABD^GBH在團4。8和0/7G8中

BD=BG^\\zDBG=AABH[AB=BH^ADBWiGB(SAS)勲D=GH=2,^L4DB=^BGH=120°WDGB-^BGH=180°團點G,H,。三點共線0￡>H=4+2=6^ADE和胡CH都是等邊三角形^AC=AH,勲E=AD=DE=2,^DAE=^1CAH=^EDA=60°W>AC=^EAH同理SZMCffilfXH(SAS)由DC=EH^BDG=^EDN=60°,EN&DG團0￡)硒=30°^ND—^DE—l,NE=gDN=6^HN=DH+DN=7^EN2+NH~=幣+49=2岳0CD=EH=2岳.連接ス/7,如圖3所示:D圖3mDAE^'SiBAC,AD=AE,AB=ACADAE團 = ABACmADE^ABC

^ADE=^ABEL4、ハ、B、尸四點共圓0(35/^=180°-EL4P5=180°-90°=90°^AFS\BCEU5=JC0BF=CF團點ド是8c中點.【點睛】本題考查了等腰三角形的性質,等邊三角形的性質,三角形全等,勾股定理,三角形相似,四點共圓等知識.解題的關鍵在于對知識的靈活運用.16.（2021?廣東廣州?ー模）如圖1,正方形ABC。的對角線相交于點。,延長〇。到點G,延長OC到點E,連接AG,DE.使。G=連接AG,DE.使。G=2OD,OE=2OC,以。G,?！隇榕R邊做正方形OEFG,（1）探究AG與。E的位置關系與數量關系，并證明:圖2備用圖（2）固定正方形ABC。，以點。為旋轉中心，將圖1中的方形OEFG逆時針轉〃。（〇<〃<180）得到正方形。耳耳G,如圖2,①在旋轉過程中，當NOAG=90。時，求”的值:②在旋轉過程中,設點爲到直線AC的距離為ん若正方形ABC。的邊長為1,請直接寫出d的最大值與最小值，不必說明理由.【答案】（1）DE=AG,?！陙Aス6,證明見解析;（2）①30或150；②d的最大值為"十④,"的最小值為在二也【解析】【分析】（1）延長E。交AGデ點”,易證公OG=ADOE,得至リムGO=N?！?。,然后運用等量代換證明/AHE=90。即可;（2）①在旋轉過程中,N。4G成為直角有兩種情況:〃。由。。增大到90。過程中,當/OA&=90。時,?=30,“由90增大到180過程中,當/OAG|=90。時，“=150；②連接,設直線招。交直線AQ作正方形ABCO的外接圖。0,在旋轉過程中,E用的位置有以下兩種情況:第一種情況,”]E岡在NOgG內時,Z￡,G,H=45°+ZOG,A,第二種情況:當E用在NOE￡外時，NE￡H=45。ーNOG,A,根據解直角三角形可得イ=2sinNE￡H,當/&G用最大時,"最大;當/耳"〃最小時，メ最小:運用勾股定理即uj"求得"的最大值和最小值.【詳解】解:（1）AG±DEfAG=DE.證明:如圖1,延長瓦）交スG于點”，圖1,??點。是正方形ABCD兩對角線的交點,：,OA=OC=OD,OA1OD.:.ZAOG=ZDOE=90°,\OG=2ODtOE=2OC./.OG=OE,在AAOG和ADOE中,[OA=OD(厶OG=NOOE,[OG=OE.*.MOG=ADOE(5A5),/.AG=DE,ZAGO=ZDEOt???NAGO+NG40=9O°,??.ZGAO+ZDEO=90°,.\ZA/7E=90°,?.AG丄OE,故んG丄ハE,AG=DE\（2）①在旋轉過程中,NOAG|=90。有兩種情況:G1(0)〃由〇增大到90過程中,當/04G|=9O。時,?.Q=O?=：OG=；OG,nA1..,在RtAOAG］中,sinNAG|O=W，=上,OGr2:.NAGQ=30。,,.?〇A丄〇。,。ス丄んG，:.ODHAG\,ZDOG,=ZAG,〇=30〇,即k=30；(0)〃由90增大到180過程中,當N。4G1=90。時,同理可求/8OG=30。,/.ZDOG,=180°-30°=150°,r.w=150；綜上所述,當/。4G=90。時,〃=30或!50.②如圖3,d的最｝（值為E1H=D%+DH=與+當=丑早ユ,如圖4,d的最小值為E.H=DE.-DH 誣二也,理由如下:如圖3、圖4所示,連接爲。,設直線耳。交直線4q于〃,作正方形ABCD的外接圓。。,圖3 圖4仿照（1）的證明,可證得。E丄AG,即在旋轉過程中,NgHG|=90。保持不變,所以4=耳H.在旋轉過程中,片”的位置有以下兩種情況:第一種情況,當￡”在/OgG內時,=45°+ZOG,A.如圖3所示,第二種情況:當在NOE￡外時,ZE,G1//=45°-ZOG1A,如圖3所示，vOG,=2OD=BD=逐AB=-J2,Efi、=2.在Rt△E、HG、中，vsinZE,G,//= =日,:.d=2sinNE1G用,所以,當ノ爲a”最大時,d最大;當/E￡H最小時,メ最小;設點。到AQ的距離為m，則sinN0。A=ステ=マIC/OyJ2由上式可知，當m取最大值時，NOQA取最大值.在旋轉過程中，當爲。與〇〇相切，即/O46=90。時，加取最大值.此時，NOaA取最大值，從而/EQ用取最大值或最小值.由①可知,當N。4G=90。時,NOGA=30。,在（1）中，已證得AAOGぶAD。片,且ZA〃〃=90。,.?.四邊形AO￡）〃為正方形，,-.DH=AO=—,二.DE,=AG,=ホ日-（與2=孚>，d的最大值為E因=+OH=遠+也=?+6,1 2 2 2d的最小值為E,H=DE,-DH =瓜ー。.' ' 2 2 2【點睛】本題主要考査了正方形的性質、全等三角形的判定與性質、銳角三角函數、旋轉變換的性質的綜合運用,有一定的綜合性,熟練掌握旋轉變換性質、全等三角形判定和性質等相關知識,靈活運用分類討論思想和數形結合思想是解題關鍵.17.(2021?廣東廣州?二模)如圖，矩形中，AB=4,A￡>=8,點E是邊AB上的一點，點ド是邊8c延長線上的一點，且AE=2CF.連接AC,交Eド于點。,過E作EP丄/C,垂足為P.D(1)求證:aDAEsaDC尸;(2)求證:OP長為定值;(3)記AC與。E的交點為0,當時，直接寫出此時A尸的長.【答案】(1)見解析:(2)見解析:(3)空-25【解析】【分析】(1)根據兩邊的比相等且夾角相等，證明:4DAES4DCF：(2)如圖1,作輔助線,構建相似:.角形，得aEOG^aFOC,列比例式，再根據勾股定理得AC的長,根「Q AC AD pp 1據等角的正切相等可知:tanNCAO=tan/ACB=tanNAGE=tanNA￡P=-,即一=—=——=—=一,AD EG EP PG 2得￡G=4CF, AP=m(m>0),OC=n(n>0),則PE=2m,PG=4m?代入比例式可得0G=4OC=4〃,從而得結論;(3)證明△AEa-^Cハ。,列比例式可得結論.【詳解】(1)證明:在矩形A8CO中,AB=CD=4,NDAE=NDCB=90。,??.N￡)Cr=90。,.?.NDAE=NDCF,vAE=2CF,AD=BC=S,AEAD = =2,CFCD

「△DAE?ふDCF；圖1???/AEG=NB=90°,厶GE=AACB^EOG^^FOC,在/?/“18。中,AB=4,「△DAE?ふDCF；圖1???/AEG=NB=90°,厶GE=AACB^EOG^^FOC,在/?/“18。中,AB=4,BC=8,?.AC=742+82=4お，:EPLAC,\ZAEP+ABAC=90°,??ZCAD+^BAC=90°,\ZAEP=ZCAD,1 CD\tanACAD=tanZACB=tanZAGE=tanZAEP=-,即J2 ADAE_AP_PE1EG~EP~PG~2.EG=2AEf,AE=2CF,,EG=4CF,設AP=m(m>0),OC=n{n>0),則PE—2m,PG=4m,.fEOGs厶FOC,EGOGA—=—=4,CFOC\OG=4OC=4n,AC=AP+PG+OG+OC=/n+4m+4〃+〃=4石?4小??〃[+〃= 5?.OP=PG+OG=4m+4n=^^-5所以。尸是一個定值:⑶如圖2,?.?哈；”=%增考,圖2由(2)知:AP=m(m>0),AE=>/5m,.AE//CD,.,.△AEQs^cDQ,.AE_AQCD~CQ'4好.?.冬=一解得い=述±2,4 4おぎ-m 50<y/5m<4，.”,4帀..0<〃1< ，/.AP=亜ー2.【點睛】本題考查了矩形的性質,三角形相似的判斷和性質,三角函數,熟練掌握三角形相似的判定定理,靈活運用三角函數的定義是解題的關鍵.18.（2021?廣東惠州?二模）如圖,在RtZ^ABC中,ZACB=90°,AC=8,BC=6,CD丄AB于點D.點P從點。出發(fā)，沿線段。C向點C運動,點。從點C出發(fā)，沿線段C4向點A運動，兩點同時出發(fā)，速度都為每秒1個單位長度，當點尸運動到C時，兩點都停止.設運動時間為r秒.（1）求線段C。的長;（2）設aCPQ的面積為S,求S與，之間的函數關系式,并確定在運動過程中是否存在某ー時刻，,使得5想做:5。叱=9:100?若存在,求出，的值:若不存在,則說明理由;（3）是否存在某ー時刻，，使得aCPQ為等腰三角形?若存在,求出所有滿足條件的，的值;若不存在,請說明理由.【答案】（1）4.8；（2）Sq。=ーミ，~+港，；ミ秒或3秒;（3）存在，2.4秒或^1秒或?秒【解析】【分析】（1）利用勾股定理可求出ス8長,再用等積法就可求出線段C。的長.（2）過點P作尸M朋C,垂足為，,通過三角形相似即可用，的代數式表示從而可以求出S與，之間的函數關系式;利用必“。:S^ABC=9：100建立，的方程,解方程即可解決問題.（3）可分三種情況進行討論:由C0=CP可建立關于，的方程,從而求出，;由P￡?=PC或。。=0尸不能直接得到關于，的方程,可借助于等腰三角形的三線合一及三角形相似,即可建立關于，的方程,從而求出，.【詳解】解:（1）如圖1,vZACB=90°,AC=8,BC=6,：.AB=10,CDA.AB,..SViar=-BCAC=-ABCD,v/lot2 2，cd=BCMC=6x8=4AB10團線段C。的長為4.8；（2）過點P作P4丄AC,垂足為如圖2所示.由題可知。P=，，CQ=t,則CP=4.8-，，vZACB=ZCDB=90°,こZHCP=900-ZDCB=ZB,-PHLAC.1/CHP=90°,ZCHP=ZACB,.-.AO/P^ABCA,.PHPCAC*AB1.PH4.8-Z8 10??.PH?3,255.?.Sw'Lcq.ph.L("ー3]=二メ+竺，:QQ2 2(255丿5 25存在某ー時刻t,使得%皿:%8c=9:100,5mbc=—x6x8=24J且S^CPq:SMBC=9:1(X),竺’:24=9:100,整理得:5產—24f+27=0,即(5f-9)Q-3)=0,解得:，す或f=3,?.?〇4f44.8,團當f=ニ秒或/=3秒時,Sy:SMBC=9:100；圖2（3）存在①若CQ=C尸,如圖1,則t=4.8—?,解得:￡=2.4,②若PQ=PC,如圖2所示,?;PQ=PC,PH丄QC,：.QH=CH=-QC=-t?；aCHPs&BCA,CHCP團=—,BCABt團う4.8-，,6 10解得;，=三,③若QC=QP,過點。作。E丄CP,垂足為E,如圖3所示,同理可得:，=打,綜上所述:當/為2.4秒或ラ秒或ヨ秒時,厶ケ。為等腰三角形.【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質、等腰三角形的性質、一元二次方程的應用、勾股定理等知識,具有一定的綜合性,而利用等腰三角形的三線合一巧妙地將兩腰相等轉化為底邊上的兩條線段相等是解決第三小題的關鍵.（2021?廣東梅州?二模）如圖，在四邊形A8C。和町中,AB//CD,CD>AB,點C在EB上,ZABC=ZEBF=90°,AB=BE=8cm,BC=BF=6cm,延長。C交EF于點M,點尸從點A出發(fā),沿AC方向勻速運動，速度為2cm/s:同時，點。從點M出發(fā),沿M尸方向勻速運動,速度為lcm/s.過點尸作G，丄AB于點Z/,交8于點G.設運動時間為，(s)(0</<5).(1)作QN丄Aド于點N,若t=3(s)時,則/W=；QN=.(2)連接。C,QH,設三角形CQ"的面積為S(cm=),求S關于f的函數關系式;(3)點。在運動過程中，是否存在某ー時刻，,使點。在/C4F的平分線上?若存在，求出，的值;若不存在，請說明理由.【答案】(1)—cm；—cm.(2)S=廠+5，h—；(3)存在,t=—5 5 25 2 6【解析】【分析】(1)當，=3時,PA=6cm,MQ=3cm,求出QF=/cm,再解直角二角形即可:(2)利用解直角三角形和運動時間表示出QV=6ーヌハAH=ゴ,再利用面積和差即可求:⑶連接。,延長AC交マ于K,證aABC回△砥ド,表示出。MKQ長,再根據角平分線的性質列方程即可.【詳解】解:（1）EZABC=ZEBF=90°,AB=BE=8cm,BC=BF=6cm, BEEC4^AC=yjAB2+BC2=10cm?EF=>JBF2+BE2=10cm?CE=2cm,sinF=—=—=EFEM5團EM=—cm,25 9當ナ=3時,PA=6cm,MQ=3cm,QF=10---3=—cm,團sin/團sin/尸A"=—ACPH~AP^PH=—cm.5TOC\o"1-5"\h\z.萬。N4 18sinF= =—,QN=—cmQF59 51/m18 18故答案カ:—cm；—cm.(2