專練13（30題）（幾何壓軸大題）2022中考數(shù)學(xué)考點(diǎn)必殺500題（廣東專用）（解析版）

2022中考考點(diǎn)必殺500題專練13（幾何壓軸大題）（30道）1.（2022?廣東?廣州大學(xué)附屬中學(xué)ー模）如圖,在直角梯形［中,亜）=呢=90。,18=4,BC=6,AD=8.點(diǎn)尸、0同時(shí)從ス點(diǎn)出發(fā),分別做勻速運(yùn)動(dòng).其中點(diǎn)尸沿イ8、8c向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng),速度為每秒2個(gè)單位,點(diǎn)。沿スハ向終點(diǎn)ハ運(yùn)動(dòng),速度為每秒1個(gè)位、當(dāng)這兩點(diǎn)中有一個(gè)點(diǎn)到達(dá)自己的終點(diǎn)時(shí),另ー個(gè)點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng),設(shè)這兩點(diǎn)從出發(fā)運(yùn)動(dòng)了，秒.圖ー圖ー⑴當(dāng)點(diǎn)尸,S分別為ス8和C。中點(diǎn)時(shí)（如圖ー），連接PS,稱PS為梯形的中位線.試判斷PS與8C,AD的關(guān)系,并證明.（2）當(dāng)0VIV2時(shí),求證:以尸。為直徑的圓與スハ相切（如圖ニ）:⑶以尸。為直徑的圓能否與CD相切?若有可能，求出，的值或?的取值范圍:若不可能,請(qǐng)說明由.【答案】⑴SRSSaaカ。;SP=-（BC+AD）;理由見解析（2）見解析（3）能:，=リニ叵時(shí)，以尸。為直徑的圓與C。相切【解析】【分析】（1）連接CP并延長(zhǎng),交ル4的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,根據(jù)三角形形的中位線性質(zhì)證明即可:（2）當(dāng)0＜，＜2時(shí),根據(jù)直線與圓的關(guān)系解答即可:（3）當(dāng)尸在ス8上時(shí)，即0＜，＜2,顯然不可能和C。相切,當(dāng)尸在8c上時(shí)，即24,45時(shí)，如果圓與C。相切,設(shè)切點(diǎn)為K,連接圓心和に這條線段就是直角梯形尸。。的中位線,由此可用CP,ハ。表示出。に也就可以用含，的式子表示出圓的直徑：如果過/3引イ。的垂線,那么C尸,。。的差,CD,尸。這三者恰好可以根據(jù)勾股定理來得出關(guān)于，的方程,解方程后即可求出，的值.SP〃BC〃AD,SP=-（AD+BC）i理由如下:連接。尸并延長(zhǎng),交功的延長(zhǎng)線于點(diǎn)￡如圖所示:心、尸分別為C。,48的中點(diǎn),團(tuán)SP/OE,SP=、DE,2注BC〃AD,團(tuán)S尸/8C〃A。,?/BC/7AE.mZB=Z/^4E,/BCP=ZAEP,又05Pバ尸,0aBPC^aAPE(AAS),0AE=BC,DE=AD+AE=AD+BC,E)S尸=g(AO+BC)；(2)當(dāng)0<fV2時(shí),過8作B項(xiàng)U。,如圖所示:團(tuán)在直角梯形/18C￡>中,0D=0C=9O°,AB=A,BC=6,AD=8,EWE=AD-BC=8-6=2,噥イ=2,EL4P=2/,AQ=t,APItハ0—=—=2,AQtABAPAEAQmPQA=^BEA=90\附。為直徑,團(tuán)以PQ為宜徑的圓與AD相切.(3)當(dāng)0Vf<2時(shí),以P。為直徑的圓與C。不可能相切:當(dāng)2345時(shí)，設(shè)以尸。為直徑的團(tuán)。與C。相切于點(diǎn)K,如圖所示:則有PC=10-2f,ハ。=8-3OXHDC,120K是梯形PCDQ的中位線，mPQ=2OK=PC+DO^18-3t,在直角梯形PC。。中，PO2=CD2+(DO-CP)2,解得:,二13±行2館3+衣>5,不合題意舍去，22<13-行<5,2【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的綜合題，關(guān)鍵是根據(jù)直角梯形的性質(zhì),解直角三角形的應(yīng)用以及中位線的應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn)解答.2.(2022?廣東?廣州市第四中學(xué)ー模)已知等邊△Z8C邊長(zhǎng)為6,D為邊んB上一點(diǎn),E為直線スC上一點(diǎn),連接。E,將。E繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到線段。ド.⑵若スO=x,スド的最小值為ア,①若x=4,求ッ的值:②直接寫出ツ與x的關(guān)系式.【答案】d)ノ7ノ3+63⑵①2け+2；②y=g(l+G)x(0<%,6)【解析】【分析】(1)設(shè)ス。=2の解直角三角形/。E,表示/E和。E,可得四邊形。EGア是正方形,解直角三角形スGF,表示出スド,即可得出結(jié)果;(2)①作。G0J8,截取。G=/。，作直線G尸交?1C于M,交直線スBアH,可以證明aA￡>E冬及ク。ド,從而得出クDG/=ム=60。，得出點(diǎn)ド的運(yùn)動(dòng)軌跡，然后解直角三角形。GH,再解直角三角形4HM,即可得出結(jié)果:②山①得，點(diǎn)ド的運(yùn)動(dòng)軌跡，然后解直角三角形。GH,再解直角三角形/!〃M,進(jìn)而得出y與x的函數(shù)關(guān)系式.⑴設(shè)AD=2a,.?△ABC是等邊三角形，...NC4B=60°,-.■ZAED=90P,DE=AD-sinZ4BC=2axsin60°=-Jia,4E=；AO=a,.?尸G丄AC,ZFGE=90°,.ZDEG=ZEDF=90°,團(tuán)四邊形DEGF是矩形,\DE=DF,團(tuán)矩形DEPG是正方形,田GE=FG=DE=6a，AG—AE+EG=a+>f3a,在RtEWドG中,由勾股定理得,af=>Jag2+fg2=JJ3a+aj+(/a)=y17+2y/3a1.AF6+2J3a,<76+6」?FG 幣a 3(2)①作DGEL48,截取DG=4D,作直線Gド交/IC于M,交直線イ8于，，如圖所示:團(tuán)ZADG=ZEDF=90°,0ZADG-ZEDG=ZED尸-ZEDG,即ZADE=ZFDG,AD=DG團(tuán)在aADE和aGDF中<^ADE=ZFDG,DE=DF/.△ADE^aGDF(SAS),.\ZDGF=ZA=60°,13點(diǎn)尸在與DG成60。的直線AW上運(yùn)動(dòng),vZGD//=90°,ZDGH=60。,??.ZH=30°,??.ZAA///=180°-ZH-ZA=90°,團(tuán)A￡)=x=4,0DG=AD=4?團(tuán)在Rt團(tuán)。〃G中,ZDGH=60°,ED/7=DGtanZDG/7=4xtan60°=46,AH=AD+DH=4+4y/3,團(tuán)在RtENM"中,N”=30°,AM=；A〃=」x4x(石+リ=2け+2,團(tuán)當(dāng)尸點(diǎn)在“點(diǎn)時(shí),ス尸最小,取=4時(shí)，y的值為2け+2；②由①得,點(diǎn)ド在與。G成60。的直線上運(yùn)動(dòng),vZGD/7=9O°,NOG"=60°,N”=30°,由ZAM”=180°—N”一厶=90°,在RtElGハ”中，DG=AD=x,NDG尸=60°,：.DH=DGtan6O°=>/3x,在RtGWM”中,AH=AD+DH^x+45x,：.AM=：A”=g(x+H)=；(l+5/J)x,r.y=-(1+G)x,(0<x<6).【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形是性質(zhì),全等三角形的判定和性質(zhì),解直角三角形等知識(shí),解決問題的關(guān)鍵是作出輔助線,構(gòu)造全等三角形.3.(2022?廣東?江門市新會(huì)東方紅中學(xué)模擬預(yù)測(cè))有這樣ー類特殊邊角特征的四邊形,它們有“ー組鄰邊相等且對(duì)角互補(bǔ)”,我們稱之為“等對(duì)補(bǔ)四邊形”.B圖1C 圖2 圖3⑴如圖1,四邊形メ中,魴ス0=058=90。,AD=AB,A理!CD于點(diǎn)E,若スE=4,則四邊形ス8CZ)的面積等于.(2)等對(duì)補(bǔ)四邊形中，經(jīng)過兩條相等鄰邊的公共頂點(diǎn)的一條對(duì)角線,必平分四邊形的ー個(gè)內(nèi)角，即如圖2,四邊形ス8CZ5中，AD=DC,團(tuán)4+E)C=18O°,連接8。，求證:8。平分即＜8c.⑶現(xiàn)準(zhǔn)備在某地著名風(fēng)景區(qū)開發(fā)一片國(guó)家稀有動(dòng)物核心保護(hù)區(qū),保護(hù)區(qū)的規(guī)劃圖如圖3所示，該地規(guī)劃部門要求:四邊形ス88是ー個(gè)"等對(duì)補(bǔ)四邊形"，滿足AD=DC,AB+AD^12,血ハ=120。，因地勢(shì)原因，要求30046,求該區(qū)域四邊形ス8co面積的最大值.【答案】⑴9(2)見解析(3)2773【解析】【分析】(1)過A作Aド丄8C,交C8的延長(zhǎng)線于ド，求出四邊形A尸CE是矩形,根據(jù)矩形的性質(zhì)得出，ベ=90°,求出/mE=4A尸=90°-NR4E,根據(jù)ん4s得出AAFBmAA￡D,根據(jù)全等得出AE=A尸=3,S^FB=SMED,求出9,求出Spq邊倒比。=$正方?AfV￡,代入求出即可;(2)如圖1中,連接AC.BD.iiPJVlA,B,C,ハ四點(diǎn)共圓,利用圓周角定理即可解決問題.(3)如圖3中，延長(zhǎng)54到//,使得47=84,連接ハz/,過點(diǎn)。A作。K丄4Z丁K,根點(diǎn)8作8W丄ハ”J-M,8N丄C。「N.設(shè)AB=x.構(gòu)建..次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決問題.(1)解:如圖1,過A作Aド丄BC,交CB的延長(zhǎng)線于ド,AffllQAE丄CD,ZC=90°.\ZA￡D=zTF=ZC=90°,???四邊形AFCE是矩形,/.ZE4E=90°,vZZMB=90°,NZME= =90°— ,在AAFB和MFD中,Z.F=ZAED<NFAB=ZDAE,AB=AD:.\AFB^/HAED(AAS),AE=AF-4,s&江b=^med????四邊形AFCE是矩形,??,四邊形ん尸CE是正方形,..S正方形AFCE=4x4=16，二S四邊形ん*E+=S四邊形遅BCE+SmFR=S正方形八尺苫=16.故答案為:16；⑵解:證明:如圖2中,連接4c.

⑶解:如圖3中,延長(zhǎng)B4到4,使得A〃=AT>,連接?！?過點(diǎn)。A作OK丄4Z于K,過點(diǎn)B作BM丄DH于A/,BN丄CD于N.設(shè)A8=x.圖3vZfiAD+ZC=180°,ZBA￡>=120°,/.ZC=60°,.?.Z/M￡>=60°,AD=AH?.,.AAD”是等邊三角形,/.ZH=6O°,.'.Z//=ZC,由(2)可知.5。平分ZA3C,:.ZDBA=ZDBC,??BD=BD，:.^DBH=^DBC,?.ZBDM=4BDN,DH=AD=\2-x,：BMLDH,BNLCD,?.BM=BN、.AH^AB=AB^AD=12,?.BM=BN=BH-sin60°=6帀, =ADsin60°=—(12-x),*-3四邊形ん88=5ム56+5必即=3(12ー。6代+3よ?博(127)=-日ス2+366,03<12-x<6，06<x<9由x=6時(shí),S有最大值,最大值S=27Q.【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題,考查了“鄰等対補(bǔ)四邊形”的定義,解直角三角形,等邊三角形的判定和性質(zhì),四點(diǎn)共圓,二次函數(shù)的應(yīng)用等知識(shí),解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建二次函數(shù),利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決最值問題,屬于中考?jí)狠S題.4.(2022?廣東江門?ー模)已知，矩形/8co中,48=5,AD=3.點(diǎn)E是射線BC上一動(dòng)點(diǎn),將矩形ス88先沿直線スE翻折,點(diǎn)8落在點(diǎn)尸處，展開后再將矩形/J8C。沿直線8ド翻折,點(diǎn)E落在點(diǎn)G處,再將圖形展開,連接Eド、FG、GB,得到四邊形8MG.⑴如圖1,若點(diǎn)ド恰好落在Cの邊上，求線段8E的長(zhǎng):(2)如圖2,若BE=1,直接寫出點(diǎn)ド到8c邊的距離;⑶若山1OG的面積為3,直接寫出四邊形8MG的面積.

?。?0十35萬(3)---或一?—7 3【解析】【分析】(1)連接ス尸,如圖1所示,由矩形,翻折的性質(zhì)可知スド=/8=5,尸E=8ど,勾股定理得￡>F=〃ド2一ルル2求出ハド的值,在Rtl3cM中,由勾股定理得:CE?+CF2=FE2,計(jì)算求解即可;(2)連接ス兒過點(diǎn)ド作于N,交スo于AY,如圖2所示,則仞VEU。，AM=BN,^AFM+^FAM=90°.由翻折的性質(zhì)得:AF=AB=S,FE=BE=l,QAFE=^ABE=90°,有阪M=0￡7W,證明風(fēng)4M/岡FNE,AF5有——=——=-,AM=SFN,可知BN=5FN,在RtELVEド中,由勾股定理得:FN2+EN2^FE2.計(jì)算求出符FNFE1合要求的解即可;(3)分兩種情況:①點(diǎn)G在矩形/I8C。的內(nèi)部時(shí)，連接ス尸，過G作G/M4。于〃，過點(diǎn)尸作MWC于M交AD丁M,如圖3所示，山0/1。6的面積=g/OxGH=3,求出G”的值，證明四邊形8E尸G是菱形，四邊形G/的ド是矩形,勾股定理得んW=〃尸ー尸に，求出AM的值,同(2)得:O/LWWNE，有;;7=不;；,求得正的值，進(jìn)而可知BE的值，由四邊形8EFG的面積=8み可計(jì)算求解即可:②點(diǎn)G在矩形ス8C。的外部時(shí)，連接スド，過G作GWEW。于〃，過點(diǎn)、E作EM3FG于N,過ス作ス朋0FG于M,如圖4所示,同①得:AM=GH=2,FM=>JaF2—FM2?^AMF^FNE,Yj——= ,求れE的值,進(jìn)而可知BE'的值,FEEN由四邊形BEFG的面積=8fx￡W計(jì)算求解即可.⑴解：連接スド,如圖1所示,圖1團(tuán)四邊形ス5C。是矩形，128=48=5,BC=AD=3,a4SC=0C=HD=9O",由翻折的性質(zhì)得：AF=AB=5,FE=BE,^DF=yjAF2-AD2=V52-32=4>

^CF=CD-DF=1,在RZ0CE/中,由勾股定理得:CE2+CF2=FE:,即(3-BE)2+12=BE2,解得:：解:連接力ド,過點(diǎn)ド作于M交スD于M,如圖2所示,圖2則MNQAD,AM=BN,團(tuán)山M/b=H/WE=90°,團(tuán)西ドM+SE4M=90°,由翻折的性質(zhì)得:AF=AB=5,FE=BE=1,^L4FE=^ABE=90°,睫[4EW+0EEV=9O°,團(tuán)團(tuán)月1M=[3￡7W,^BAMFWFNE,AMAF5團(tuán) ==一,FNFE1^AM=5FN,0BN=5尸M在H面陀ド中,由勾股定理得:F,N2+EN2=FE2,即FN2+(5FN-1)2=12,解得:FN=&,或ドN=0(舍去)，即點(diǎn)尸到8c邊的距離為為:分兩種情況:①點(diǎn)G在矩形/8c。的內(nèi)部時(shí),連接メ尸,過G作G加ハ于〃,過點(diǎn)ド作M№5c于M交AD于M,如圖3所示,則MNQGH,MMMD,MN=CD=S,02JCG的面積メハxG〃=!x3xG"=3,團(tuán)G〃=2,由翻折的性質(zhì)得:BG=FG,FE=BE,BG=BE,^BG=FG=FE=BE,團(tuán)四邊形8EドG是菱形,MG08皿ハ，團(tuán)四邊形『是平行四邊形,SGHQAD,能!G〃A/=90°,團(tuán)平行四邊形G〃Mげ是矩形,^FM=GH=2,'SiFN—MN-FM—3,AM—yjAF2-FM2=V52-22=VST?同(2)得:[MMFWFNE,AMAF團(tuán) = ,FNFE即叵=巨,3FE7713四邊形BEFG的面積=8ExFN=空!x3="亙!7 7②點(diǎn)G在矩形メBC￡＞的外部時(shí),連接メ尸，過G作于//,過點(diǎn)E作EMSFG于N,過/（作んW0FG于M,如圖4所示,同①得:AM=GH^2,FMバaP-AM?=舊_2?=竝!，^AMF^FNE,AFFM0 = FEENS￡7V=BM=AB+4M=5+2=7,ョ臣，F(xiàn)E7解得:FE=^^-EB￡=^I,3團(tuán)四邊形BEFG的面積=8&￡ヽ=獨(dú)!x7=受包綜上所述,四邊形8EFG的面枳為"マ史或身叵【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì),三角形相似,勾股定理,菱形、矩形的判定ら性質(zhì).解題的關(guān)鍵在于對(duì)知識(shí)的靈活運(yùn)用.5.（2022?廣東韶關(guān)?模擬預(yù)測(cè)）如圖1,在0/18C中,AB=AC=2,05/C=9O。,點(diǎn)P為8c邊的中點(diǎn),直線。經(jīng)過點(diǎn)ん過8作8碓a,垂足為E,過C作垂足為ド，連接PE、PF.（1）當(dāng)點(diǎn)8、尸在直線。的異側(cè)時(shí),延長(zhǎng)EP交Cド于點(diǎn)G,猜想線段尸ド和EG的數(shù)量關(guān)系為；（2）如圖2,直線a繞點(diǎn)ス旋轉(zhuǎn),當(dāng)點(diǎn)8尸在直線a的同側(cè)時(shí),若（1）中其它條件不變,（1）中的結(jié)論還成立嗎?若成立,請(qǐng)給予證明;若不成立,請(qǐng)說明理由;(3)直線a繞點(diǎn)ス旋轉(zhuǎn)一周的過程中,當(dāng)線段尸ド的長(zhǎng)度最大時(shí),請(qǐng)判斷四邊形8EFC的形狀,并求出它的面積.【答案】(1)PFjEG；⑵成立，見解析;(3)矩形:4【解析】【分析】(1)證APBEMAPCG(ん4S),得PE=PG,再由直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)即可得出結(jié)論;(2)延長(zhǎng)EP交アC的延長(zhǎng)線于G,同(1)得APBE=APCG(A4S),磊PE=PG,再由直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)即可得出結(jié)論；(3)連接AP,由等腰三角形的性質(zhì)得厶依=90°=NB￡4,設(shè)線段A8的中點(diǎn)為M,得點(diǎn)P、￡都在以線段AB為直徑的圓上，當(dāng)PE=A8=2時(shí)，PE取得最大值，此時(shí)四邊形BE4P是正方形，則四邊形5EFC是矩形,即可求解.【詳解】PF=；EG,理由如下:,/BE丄a,CF丄a,：.BEHCF,:.ZPBE=APCG,ZPEB=ZPGCt???點(diǎn)P為8C邊的中點(diǎn),:.PB=PC,:."BEw"CG(AAS),:,PE=PG,-,-CF±af.\ZEFG=90°,???PF丄EG,2故答案為:PF=；EG：(1)中的結(jié)論還成立,證明如下:延長(zhǎng)￡?交ドC的延長(zhǎng)線于G,如圖2所示:同(1)得:^PBE^APCG(AAS),:.PE=PG,,:CFIa,/.ZEFG=90°,:.PF=-EG；2(3)連接AP,如圖3所示:??AB=AC,點(diǎn)尸為3C邊的中點(diǎn),:.BP=CP,AP1BC.?.ZAPB=90°,設(shè)線段A8的中點(diǎn)為M,,/BE丄a,?.Z3E4=90。,...點(diǎn)尸、E都在以線段AB為直徑的圓上,當(dāng)在:=AB=2時(shí),/>￡取得最大值,此時(shí)四邊形8￡"是正方形,則四邊形BEFC是矩形，AE=包AB=y[i，■?四邊形8￡7て1的面積=2正方形BEAP的面積=2xA￡2=2x2=4.BP國(guó)3BPG圖2【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題目,考查了矩形的判定、正方形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰宜角三角形的性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)、平行線的判定與性質(zhì)等知識(shí):本題綜合性強(qiáng),熟練掌握等腰直角三角形的性質(zhì)和直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵,屬于中考?？碱}型.6.（2022?廣東中山?ー模）在如圖平面直角坐標(biāo)系中，矩形。48c的頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4,2）,OA、OC分別落在x軸和ッ軸上，08是矩形的對(duì)角線.將團(tuán)。ス8繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)8落在ッ軸上,得到團(tuán)。ハE,。。與C8相交于點(diǎn)尸,反比例函數(shù)ツ=幺（x>0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)ド，交スB于點(diǎn)G.X（1）求ん的值和點(diǎn)G的坐標(biāo);（2）連接尸G,則圖中是否存在與財(cái)ドG相似的三角形?若存在，請(qǐng)把它們ーー找出來,并選其中一種進(jìn)行證明;若不存在,請(qǐng)說明理由;（3）在線段。ス上存在這樣的點(diǎn)尸,使得HPFG是等腰三角形.請(qǐng)直接寫出點(diǎn)尸的坐標(biāo).【答案】（1）厶=2,點(diǎn)G的坐標(biāo)為（4,^-）；（2） 射。5008尸G；QODESEBFG；⑦CB6EBFG,證明詳見解析；（3）點(diǎn)/3的坐標(biāo)為（4-JFT，〇）或（二，〇）或ヨ回,0）.8 2【解析】【分析】（1）證明團(tuán)。。ゆ4。8,則エ=要,求得:點(diǎn)ド的坐標(biāo)為（1，2）,即可求解；ABOA

AO4=—=-（2）團(tuán)CO/T308尸G；^AOB^BFG-,團(tuán)?！辏?308ドG；QCBOSBBFG.證00ル施回8尸G：——=-,BG33,BF3 ~即可求解.（3）仔GF=PF、PF=PG、G尸=尸6三種情況,分別求解即可.【詳解】解:（1）團(tuán)四邊形048c為矩形,點(diǎn)8的坐標(biāo)為（4,2）,團(tuán)團(tuán)OCB=用0ス8=0JBC=90°,OC=AB=2,OA=BC=4,團(tuán)團(tuán)。ハ￡是團(tuán)048旋轉(zhuǎn)得至リ的,即:^ODE^OAB,團(tuán)團(tuán)。。ド=0/108,^COFWAOB,CFOC CF2 ハ「0 = ,0——=—,0c尸=1,ABOA 2 40點(diǎn)戶的坐標(biāo)為（1,2）,By=-（x>0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)ド,X02=y,得4=2,國(guó)點(diǎn)G在ん3上，0點(diǎn)G的橫坐標(biāo)為4,對(duì)于ツ=上,當(dāng)x=4,得0點(diǎn)G的坐標(biāo)為（4,I）；（2）^COFWBFG；^AOBWBFG；0OD￡005FG；^CBOWBFG.卜.面對(duì)0。ス施魴R7進(jìn)行證明:0點(diǎn)G的坐標(biāo)為（4,I）,a4G=05。=。ス=4,CF=1,AB=29図BF=BC-CF=3,BG=AB-AG=-.AB

~BG2AB

~BGAO40=—BF3AOAB0 = ,BFBG團(tuán)團(tuán)。ス8=國(guó)ド8G=90°,(3)設(shè)點(diǎn)尸(zn,0),而點(diǎn)ド(1,2)、點(diǎn)G(4,ラ)，TOC\o"1-5"\h\z945 1貝リy7G2=9+—=—,PF2=(m-1)2+4,PG2=(m-4)2+-,4 4 4當(dāng)G尸=P尸時(shí),即竺=(wi-1)2+4,解得:m=2土庫(kù)(舍去負(fù)值);4 2當(dāng)/^=27時(shí),同理可得:加=";〇當(dāng)GF=尸G時(shí),同理可得:川=4-Ji"[;綜上,點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(4-JTT,〇)或(￡,〇)或(2セ熾,0).8 2【點(diǎn)睛】本題考查的是反比例函數(shù)綜合運(yùn)用,涉及到旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、三角形相似、等腰三角形的性質(zhì)等,其中(3),要注意分類求解,避免遺漏.7.(2022?廣東廣州?ー模)如圖，在矩形ス88中，AB=6,AD=8,點(diǎn)E是C。邊上的ー個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)E不與點(diǎn)C重合),延長(zhǎng)ハC到點(diǎn)ド，使EC=2CF,且スド與BE交于點(diǎn)G.(1)當(dāng)EC=4時(shí)，求線段8G的長(zhǎng):(2)設(shè)CF=x,I3GM的面積為ア，求y與x的關(guān)系式，并求出ッ的最大值:⑶連接。G,求線段。G的最小值.【答案】(1)2広⑵kV⑶融【解析】【分析】

(1)先利用矩形的性質(zhì)證明AAGB^AFGE(AAS),證得BG=GE,在RABCE利用勾股定理求得8E的長(zhǎng),進(jìn)而可求解:(2)設(shè)カ廠與8c交于點(diǎn)P,過點(diǎn)G作GM丄BC于M,利用相似三角形的判定和性質(zhì)分別求得GM,PC,PM,最后求得CM,在13GM中利用三角形的面積公式即可求解;(3)過點(diǎn)G作GN丄CD,連接。G,則四邊形CNGM是矩形,在RtADGN中,利用勾股定理求得むユ的最小值,進(jìn)而得到答案.解:團(tuán)四邊形ABCD是矩形，48=6,AD=8,13AB=8=6,AD=BC=8,AB\\CD,AD//BC,NBCD=90°,0ZBAG=ZF,WC=2CF,EC=4,0CF=2,⑦EF=CE+CF=6,0EF=AB，又團(tuán)/AGB=NFGE,EAAGB^AFG￡(A45),國(guó)BG=GE,在RMCE中,BE=VBC2+C￡2=V82+42=4>/5>由BG=>BE=2帀;2解:設(shè)イド與8c交于點(diǎn)尸,過點(diǎn)G作GM丄BC于M,如圖所示,4 D^CD//AB,中へGEFsAGBA,GEEF

團(tuán) = 9BGABEL48=6,EF=CE+CF=2x+x=3x，GE3xx0=—=一BG62⑦GM丄BC,/BCD=90。,團(tuán)G例〃CE,CEBEBG+GEr9| — — GMBGBG'on2xBG+GE.x即 = =1+—,GMBG2團(tuán)GM=——,團(tuán)A〇〃BC,^\\FCP^\FDA，嗚囁，即陰品解得べ熹又團(tuán)GM〃CE,GMPM團(tuán) = 9CFPC4x即2±2

XPM8x

x+6解得PM=(x+2)(x+6)，團(tuán)CM=PM+PC=32x8x8x(x+2)(x+6)x+6x+2QySy=Sa=-EF.CM=-.3x.——ノAG"2 2 x+212x2x+2ゆ與x的關(guān)系式為:y=N,x+2團(tuán)點(diǎn)E是。ハ邊上的?個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)E不與點(diǎn)C重合），CE=2x90O<2x<6,BPO<x<3,_イ" ル?K丄/土12x3?108團(tuán)當(dāng)x=3時(shí),ア的椒大值= =——.3+2 5(3)解:過點(diǎn)G作GN丄CO,連接。G,則四邊形CNGM是矩形,中GN=CM=-^—,CN=GM= TOC\o"1-5"\h\zx+2 x+24ス團(tuán)。N=CO—CN=6 ,x+2在肋ADGN中,DG2=DN2+GN2=(6ー/L1+(通エ令則DG?=(6-/n)2+(令則DG?=(6-/n)2+(2m1=5m—4 ，5丿5團(tuán)當(dāng)m==T=9時(shí),"2有最小值為プ,x+25 5團(tuán)。G的最小值為だお.【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì),勾股定理,相似三角形的判定和性質(zhì)等,解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意作出適當(dāng)?shù)妮o助線.8.(2022?廣東?ー模)如圖，正方形ABCD中,點(diǎn)、ド是8c邊上一點(diǎn),連結(jié)AF,以スF為對(duì)角線作正方形AEFG,邊ドG與正方形ス8C。的對(duì)角線スC相交于點(diǎn)〃，連結(jié)OG.(1)證明:(1)證明:EL4FCWL4GD；or[ FC(2)若悪=3,請(qǐng)求出三?的值.rしム rn【答案】⑴證明見解析⑵亭【解析】【分析】(1)由四邊形ABCD，AEFG是正方形,推出四==也,得,由于/DAG=ZCAF,得到AADG^ACAF,ACAF2列比例式即可得到結(jié)果:(2)沒BF=k,CF=2k<則AB=8C=3Z,根據(jù)勾股定理得到"，AC由于/A"=NACF,ZFAH=ZCAF,于是得到ルA/T/sA4c/,得到比例式即可得到結(jié)論.,.?四邊形4BC0,AEFG是正方形，.ADー近AG>/24c2AF2ADAG/.——=——,ACAF?.?ZDAG+NGAC=ZE4C+ZGAC=45°,.\ZDAG=ZCAF,.?.aafcsmgo；BF1,, — FC2設(shè)= CF=2k<則AB=BC=3A,AF=7ABコ+BFゝイ。厶)？+A?=y/lOk,AC=母AB=36k,???四邊形ABC￡>,A￡FG是正方形，/.ZAFH^ZACF,ZFAH=ZCAF,..AA/T/sム4c/,.AFFHACCF'.FC_3yf2_3>/5FH曬5【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì),相似三角形的判定和性質(zhì),勾股定理，找準(zhǔn)相似三角形是解題的關(guān)鍵.(2022?廣東惠州?模擬預(yù)測(cè))如圖,在團(tuán)ABC中，已知A8=AC=5,BC=6,5.0ABC^DEF,將回んBC與團(tuán)￡>￡7=1重合在一起,團(tuán)んBC不動(dòng),回りEド運(yùn)動(dòng),并且滿足:點(diǎn)E在邊BC上沿8到C的方向運(yùn)動(dòng)(點(diǎn)E與8、C不重合),且。E始終經(jīng)過點(diǎn)A,EF與AC交于息M.(1)求證:SABEWECM⑵探究:在團(tuán)。Eド運(yùn)動(dòng)過程中,重疊部分能否構(gòu)成等腰三角形?若能，求出BE的長(zhǎng):若不能，請(qǐng)說明理由;⑶當(dāng)線段AM最短時(shí)，求重疊部分的面積.【答案】(1)見詳解;(2)8E的長(zhǎng)為1或だ;6(3)當(dāng)x=3時(shí),4W最短為學(xué),SMEM=1|.【解析】【分析】⑴由48シ1C,根據(jù)等邊對(duì)等角,可得M=E)C,又由A4851ADEF與三角形外角的性質(zhì),易證得團(tuán)CEAた皿瓦則可證得MB^ECM;⑵首先由西EF=(M=(3C,且明MEX3C,可得スEMM然后分別從ス尾EM與スM=EA/去分析,注意利用全等三角形與相似三角形的性質(zhì)求解即可求得答案;(3)首先設(shè)8E=x,lijA/18￡lM￡CK根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例,易得CM=-1+gx=q(x-3)2+こ,繼而求得スM的值,利用二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求得線段/1A7的最小值,繼而求得重疊部分的面積.⑴解:E1AB=4C,0ZB=ZC,0AA￡?C=AD￡F,團(tuán)/A￡F=NB,又團(tuán)ZAEF+/CEM=ZAEC=N5+ZBAE,⑦ZBAE=NCEM,

0AABE^ECM；(2)解:I3ZAEF=N8=NC,fiZAAffi>ZC,^ZAME>ZAEF,團(tuán)AEwAM；當(dāng)AE=EM時(shí),團(tuán)△ABEtaaECM；0AABE=AECM,0CE=AB=5，^BE=BC-EC=6-5=1；^BE=BC-EC=6-5=1；當(dāng)んW=￡M當(dāng)んW=￡M時(shí),則/M4f=N/WE4,?NMAE+/BAE=/MEA+NCEM,即/CAB二/CE4,X0ZC=ZC,^ACAE^ACBA.CEACCACB由CE由CE=%=竺CB6SBE=SBE=6--=—6 6綜合的長(zhǎng)為1或リ:6DEDE解:設(shè)8七=エ,自へABE?公ECM，CMCE??CM6-x團(tuán)——=—,即——= BEBAx5團(tuán)CM=-—+-x=--(x-3)2+-,55 5、ノ5EAA/=5-GA/=-(x-3)2+—,5Vノ5團(tuán)當(dāng)x=3時(shí),4W最短為匚,又H當(dāng)BE=x=3=”C時(shí),點(diǎn)E為BC的中點(diǎn),0AEXBC,^AE=4AB--BE-=4-此時(shí)，Eド丄AC,【點(diǎn)睛】此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及二次函數(shù)的最值問題,此題難度較大,注意數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想與函數(shù)思想的應(yīng)用是解此題的關(guān)鍵.（2022?廣東深圳?模擬預(yù)測(cè)）【知識(shí)再現(xiàn)】學(xué)完《全等三角形》一章后,我們知道“斜邊和一條直角邊分別相等的兩個(gè)直角三角形全等（簡(jiǎn)稱Hし定理）"是判定直角三角形全等的特有方法.【簡(jiǎn)單應(yīng)用】如圖（1）,在山＜8c中，^BAC=90°,AB=AC,點(diǎn)、D、E分別在邊スC、ん8上.若CE=BD,則線段スE和線段スハ的數(shù)量關(guān)系是E,圖(1) 圖。) 備用圖【拓展延伸】在a48c中,SBAC=a(90°<?<180"),/8=4C=機(jī),點(diǎn)。在邊スC上.(1)若點(diǎn)E在邊ス8上,且CE=BD,如圖(2)所示,則線段スE與線段ス。相等嗎?如果相等,請(qǐng)給出證明;如果不相等,請(qǐng)說明理由.(2)若點(diǎn)E在A4的延長(zhǎng)線上,且CE=BD.試探究線段メE與線段ス。的數(shù)量關(guān)系(用含有。、機(jī)的式子表示),并說明理由.【答案】【簡(jiǎn)單應(yīng)用】スE=イ。:【拓展延伸】(1)相等，證明見解析;(2)AE-AD^2AC?cos(1800-a),理由見解析【解析】【分析】簡(jiǎn)單應(yīng)用;證明Z??<8。齦應(yīng)JCE(/〃)，可得結(jié)論.拓展延伸；(1)結(jié)論:AE=AD,如圖(2)中，過點(diǎn)C作CM曲!交區(qū)4的延長(zhǎng)線于A/,過點(diǎn)N作用電。!交。<的延長(zhǎng)線于M證明團(tuán)。比!N(ん!S),推出CM=8MAM=AN,證明/?何CM￡13H/t38N。(“ム)，推出EM=。ル,可得結(jié)論.(2)如圖(3)中，結(jié)論:AE-AD=2m?cos(180*-a),在ス8上取一點(diǎn)で，使得8。=(7￡\則ル>=/￡.過點(diǎn)C作C淚？!E于7.證明小二ル，,求出Z!T,可得結(jié)論.【詳解】簡(jiǎn)單應(yīng)用；解:如圖(1)中，結(jié)論:AE=AD.圖⑴理由:00/1=m=90°,AB=AC,BD=CE,皿?危!49Z龍!???ICE(HL),^L4D=AE.故答案為:AE=AD.拓展延伸:(1)結(jié)論:AE=AD.圖⑵理由:如圖(2)中,過點(diǎn)C作CM?広ス交A4的延長(zhǎng)線于過點(diǎn)N作切電。!交ク的延長(zhǎng)線于M團(tuán)團(tuán)M=帆=90°,^CAM=^BAN9CA=BA,WCAMWBAN(AAS),eCM=BN,AM=AN,團(tuán)團(tuán)レ=[?LV=90°,CE=BD,CM=BN,^Rt^CME^Rt^BND(〃厶)，^EM=DN,^\AM=AN,^AE=AD.(2)如圖(3)中,結(jié)論：AE-AD=2m^cos(180°-a).圖⑶理由：在スB上取一點(diǎn)た,使得6Z)=C￡,則ス。=力￡,過點(diǎn)。作。儂上于ア.回CE，=BD,CE=BD,團(tuán)CE=C￡,0C70E?,0￡T=7F,l?L4r=JC*cos(180°-a)=wcos(180°-a),⑦AE-AD=AE-AE'=2AT=2"”cos(180°-a).【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定,等腰三角形的性質(zhì)與判定,解直角三角形等知識(shí),解題的關(guān)鍵在于能夠熟練尋找全等三角形解決問題.(2022?廣東?模擬預(yù)測(cè))某數(shù)學(xué)課外活動(dòng)小組在學(xué)習(xí)了勾股定理之后,針對(duì)圖1中所示的“由直角三角形三邊向外側(cè)作多邊形，它們的面積號(hào),4,S3之間的關(guān)系問題”進(jìn)行了以下探究:類比探究(1)如圖2,在ゆaABC中，BC為斜邊，分別以A8,AC,BC為斜邊向外側(cè)作RtAABD,Rt/XACE,Rt^BCF,若N1=N2=N3,則面積ヨ,S2,S3之間的關(guān)系式為：推廣驗(yàn)證(2)如圖3,在用aABC中,8c為斜邊,分別以AB,AC,BC為邊向外側(cè)作任意△ABO,^ACE,/XBCF,滿足4=N2=N3,ND=NE=/尸，則(1)中所得關(guān)系式是否仍然成立?若成立，請(qǐng)證明你的結(jié)論;若不成立，請(qǐng)說明理由:拓展應(yīng)用(3)如圖4,在五邊形ABCDE中,ZA=Z￡=ZC=105,NABC=90ヽAB=2氐￡>E=2,點(diǎn)尸在んE上，ZABP=3O,PE=五,求五邊形A88E的面積.【答案】(1)$3=5+52；(2)結(jié)論成立，證明看解析:(3)6け+7【解析】【分析】(1)由題目已知陽(yáng)5。、ゆJCE、B5CF,陰均為直角三角形,又因?yàn)閆l=Z2=Z3,則有RtA^B。團(tuán)Rt/\ACE^Rt^BCF,利用相似三角形的面枳比為邊長(zhǎng)平方的比,列出等式,找到從面找到面枳之間的關(guān)系:(2)在a48ハ、EL4CE、B18Cド中，Z1=Z2=Z3,ZD=ZE=ZF,可以得至リ△AB。團(tuán)aACE團(tuán)△8CF,利用相似三角形的面積比為邊長(zhǎng)平方的比,列出等式,從而找到面積之間的關(guān)系；(3)將不規(guī)則四邊形借助輔助線轉(zhuǎn)換為熟悉的三角形,過點(diǎn)ス作ス〃丄8尸于點(diǎn)〃，連接尸ハ,BD,由此可知AP=",BP=8”+?”=3+6,即可計(jì)算出S*,根據(jù)助即建MP00C8。,從而有sAreD=5AABP-(—)2山(2)結(jié)論有,SeLSbp+S△ユ最后即可計(jì)算出四邊形ス88的面積.【詳解】(1)皿8c是直角三角形,0AB2+AC2=BC2,皿8ハ、GL4CE、!38cド均為直角三角形,且N1=N2=N3,0RtzMBD0Rt/XACESRt^BCF,S.AB2 S,AC25,BC2 5,BC-S. S, S.+S. AC2 AB2 AC2+AB2 BC2 ,S3 S3S3 BC2 BC2BC2 BC20s3=S+S2得證.(2)成立，理由如下:0a48c是直角三角形,AB2+AC2=BC2,0在0J8ハ、0JCE、05c/中，Zl=Z2=Z3,/D=/E=/F,0△AB￡>團(tuán)aACE0/XBCF,S|__ABj_S、ACj_回S、BC2，S3BC2，￡S、_S]+S、_AC2AB2AC2+AB2BC2S3S3~S3 BC2BC2-BC2 -BC2^'05s=$+52得證.(3)過點(diǎn)ス作AHIBP于點(diǎn)H,連接尸。,BD,0ZAB〃=3O'，AB=20，0AH=石,BH=3、ZBAH=600ZBAP=1O5-0Z//AP=45,^\PH=AH=73,0Ap=6,BP=BH+PH=3+幣,冋c _BPAH_(3+y/3)y/3_3y/3+30PE=忘,ED=2,同PE 竝一石 ED 2 >/3AP ? 3 AB 26 3 'PEED田 =PEED田 = ,APABHZE=Zfi4P=105,^ABP^EDP,0ZEPD=ZAPB=45，PD_PE邪BPAP~~3BPD=90,PD=1+B3走+312 3走+3走+312 3走+12BPPD2.(3+6).(l+6)=3+2G團(tuán)ZPBO=30團(tuán)ズA5C=90、ZABP=30□ZDBC=300ZC=105^ABP^\EDP^1CBD團(tuán)S^BCD=S^BP團(tuán)S^BCD=S^BP+°4EPD學(xué)+竽二2+2石S四邊囪bco=Sabcd+S&w+Saeto+SABPD= + +(2+ )+(3+2^)=6幣+7故最后答案為【點(diǎn)睛】(1)(2)主要考查了相似三角形的性質(zhì),若兩三角形相似,則有面積的比值為邊長(zhǎng)的平方,根據(jù)此性質(zhì)找到面積與邊長(zhǎng)的關(guān)系即可;(3)主要考查了不規(guī)則四邊形面積的計(jì)算以及(2)的結(jié)論，其中合理正確利用

前面得出的結(jié)論是解題的關(guān)鍵.12.（2022?廣東?模擬預(yù)測(cè)）如圖,RtGL48c中,0C=9O°,BC=8ctn,AC=6cm.點(diǎn)尸從8出發(fā)沿8ス向ス運(yùn)動(dòng),速度為每秒點(diǎn)E是點(diǎn)8以尸為對(duì)稱中心的對(duì)稱點(diǎn),點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)的同時(shí),點(diǎn)。從ス出發(fā)沿スC向C運(yùn)動(dòng),速度為每秒2cm,當(dāng)點(diǎn)。到達(dá)頂點(diǎn)C時(shí)，P,0同時(shí)停止運(yùn)動(dòng),設(shè)尸，。兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，秒.⑴當(dāng)，為何值時(shí),尸。08C?（2）設(shè)四邊形尸。C8的面積為ッ,求y關(guān)于?的函數(shù)關(guān)系式;⑶四邊形尸。C8面積能否是m8c面積的ヨ?若能，求出此時(shí)，的值;若不能，請(qǐng)說明理由;⑷當(dāng)，為何值時(shí),皿!￡。為等腰三角形?（直接寫出結(jié)果）【答案】⑴，=ミ;（2及=ミドー8/+24；⑶四邊形尸。C8面積能是a48c面積的;，此時(shí)，的值為5- ；⑷當(dāng)，為1?秒三秒ヨ秒時(shí),S4E。為等腰三角形.【解析】【詳解】試題分析:（1）先在Rt0ABe中，由勾股定理求出AB=10,再由BP=t,AQ=2t,得出AP=10-t,然后由PQ3BC,根據(jù)平行線分線段成比例定理得出空=と纟,列出比例式獸=3，求解即可;ABAC 10 6（2）根據(jù)S pqcb=Saacb-Saapq=yAC*BC-yAP*AQ*sinA,即可得出y關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式;（3）根據(jù)四邊形PQCB面積是團(tuán)ABC面積的丁列出方程くt2?8t+24二1x24,解方程即可;（4）0AEQ為等腰三角形時(shí)，分三種情況討論:①AE=AQ；②EA=EQ；③QA=QE,每一種情況都可以列出關(guān)于t的方程，解方程即可.試題解析:（1）RtHABC中，00C=9O°,BC=8cm,AC=6cm,0AB=lOcm.團(tuán)BP=t,AQ=2t,0AP=AB-BP=lO-t.

0PQ0BC,APAQTOC\o"1-5"\h\z團(tuán) = ?ABAC10-r2t0 =—,10 6解得t哈:0Si，ii：pQCB=SzsACB-SAAPQ=yAC*BC-yAP?AQ?sinA1 8 4 40y=-x6x8--x(10-2t)?2t?—=24—t(10-2t)=-t2-8t+24,2 10 5 54即y關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式為y=-t2-8t+24；_ 3(3)四邊形PQCB面積能是［3ABe面積的ヌ,理由如下:由題意,得4, 3-t2-8t+24=-x24,整理,得t2-10t+12=0,解得ti=5-jil，t2=5+JB（不合題意舍去）.故四邊形PQCB面積能是0ABe面枳的丁此時(shí)t的值為5ー如:（4）I3AEQ為等腰三角形時(shí),分三種情況討論:①如果AE=AQ,那么10-2t=2t,解得t=|：②如果EA=EQ,那么（10-2t）x9=t,解得t=岑:③如果QA=QE,那么2tx4=5-t,解得t=亨.故當(dāng)t為1"秒、イ秒、得秒時(shí),I3AEQ為等腰三角形.考點(diǎn):相似形綜合題.（2021?廣東惠州?二模）如圖，在RtzUBC中，酎CB=90°,/C=8,BC=6,CZM48于點(diǎn)ハ.點(diǎn)尸從點(diǎn)ハ出發(fā)，沿線段OC向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)。從點(diǎn)C出發(fā),沿線段。（向點(diǎn)ズ運(yùn)動(dòng)，兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā),速度都為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到C時(shí)，兩點(diǎn)都停止.設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為f秒.⑴求線段CD的長(zhǎng):⑵設(shè)AC尸。的面積為S,求S與，之間的函數(shù)關(guān)系式,并確定在運(yùn)動(dòng)過程中是否存在某ー時(shí)刻，,使得SaCPQ：SNBC=9：100?若存在,求出，的值;若不存在,則說明理由.⑶是否存在某ー時(shí)刻，，使得ACP0為等腰三角形?若存在，求出所有滿足條件的，的值:若不存在，則說明理由.【答案】⑴線段C。的長(zhǎng)為4.8(2)S=-—，2+—，:當(dāng)，=く或，=3時(shí),S^CPQ：5AJ5C=9：100(3)存在,當(dāng)，為2.4或石或萬?時(shí),團(tuán)。5。為等腰三角形【解析】【分析】(1)利用勾股定理可求出ス8長(zhǎng),再用等積法就可求出線段C。的長(zhǎng):(2)過點(diǎn)尸作打加C,垂足為〃,通過三角形相似即可用，的代數(shù)式表示尸〃,從而可以求出S與，之間的函數(shù)關(guān)系式;利用SaCP。:SMBC=9：100建立，的方程，解方程即可解決問題:(3)可分三種情況進(jìn)行討論;由C0=CP可建立關(guān)于，的方程,從而求出，；由/尸C或0c=0P不能宜接得到關(guān)于，的方程,可借助于等腰三角形的三線合一及三角形相似,即可建立關(guān)于，的方程,從而求出解:如圖1,0a4CS=9O°,AC=8,BC=6,EU5=10,^CD^AB,^^BC=^BC?AC=^AB?CD,13線段C。的長(zhǎng)為4.8；(2)解:①過點(diǎn)尸作ア/位!C,垂足為〃,如圖2所示.由題可知。尸=厶CQ=t,則。尸=4.8-6團(tuán)a4c8=團(tuán)。。8=90°,00//CP=9O°-0DCB=05,0P//0JC,團(tuán)團(tuán)?！ㄊ?90°,

00C/7P005CJ,ポL區(qū)ACABPH國(guó)——=PH國(guó)——=4.8ゼ10曲”嗡於。。で%昨精條キ）=-|ん條②存在某ー時(shí)刻，,使得S1cP。:S/8C=9：100.E558C=!x6x8=24,且SaCP0：SJ8C=9：100,2,48團(tuán)(--r+—z).24=9：100.5 25整理得:5尸-24/+27=0.即(5/-9)(/-3)=0.解得:，=ヌ或Z=3.00</<4.8,9團(tuán)當(dāng)，=ニ或/=3時(shí),SaCPQ：SaABC=9：100；⑶解:存在.①若。0=C尸,如圖1,貝リf=4.87,解得:1=2.4；②若ひQ=PC,如圖2所示.mPQ=PC,PmQC,ZQH=CH=^QC=^,mCHP^BCA.CHCP團(tuán) = ,BCABt團(tuán)ク4.8—，，6iO

144解得;」55144解得;」③若QC=QP,過點(diǎn)。作0￡0CP,垂足為￡,如圖3所示.綜上所述:當(dāng)f為2.4或ミ?或行時(shí),團(tuán)CP。為等腰三角形.【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、一元二次方程的應(yīng)用、勾股定理等知識(shí),具有一定的綜合性,而利用等腰三角形的三線合一巧妙地將兩腰相等轉(zhuǎn)化為底邊上的兩條線段相等是解決第三小題的關(guān)鍵.（2021?廣東云浮?ー模）如圖,四邊形イ8C。和四邊形GH〃都是正方形,點(diǎn)E同時(shí)是邊8c和H/的中點(diǎn),點(diǎn)尸是邊イ。的中點(diǎn),點(diǎn)K是邊G/的中點(diǎn),連接8H,FK.A A FG\KJBHEI圖1DA 《 DAJc3^7^マ/憶圖2/⑴如圖1,當(dāng)印與8C在同一條直線上時(shí)，直接寫出8”與五K的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系:（2）正方形ス8C￡?固定不動(dòng),將圖1中的正方形G"〃繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a（O°4aV9O。）角,如圖2所示,判斷（1）中的結(jié)論是否仍然成立,若成立,請(qǐng)加以證明:若不成立,說明理由:⑶正方形ス8CZ）固定不動(dòng),將圖1中的正方形GHIJ繞點(diǎn)、E旋轉(zhuǎn)a（O04a490。）角,作W丄BC于點(diǎn)ム設(shè)BL=x,線段ス8,BH,HG,GK,KF,用所圍成的圖形面積為S.當(dāng)んB=6,m=2時(shí)，求S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式,并寫出相應(yīng)的x的取值范圍.［答案】⑴8〃與FK的數(shù)量關(guān)系為尸K=28〃,位置關(guān)系為FKSBH⑵仍然成立,8〃與FK的數(shù)量關(guān)系不變，F(xiàn)K=2BH,位置關(guān)系不變F施BH,證明見解析（3）S=-x+—?變量ズ的取值范圍是KW5【解析】【分析】（1）,根據(jù)正方形的性質(zhì)和中點(diǎn)定義，可知』8=8C,GH=H1,BE=EC,EH=E1,進(jìn)而得出8"=/C,再根據(jù)FK=AB-GH,可得答案.（2）,先連接尸ど,KE,再根據(jù)兩邊成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形形似，得出EB~aKEF,進(jìn)而得出-=—=-?即可得出數(shù)量關(guān)系.再延長(zhǎng)尸K,交8c于",延長(zhǎng)8〃,交FM丁N,由①可得田〃8￡=I水FE,KFEF2進(jìn)而得出!38MW=9O。，即可得出位置關(guān)系.（3）,分兩種情況:第一:當(dāng)正方形G"〃繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a時(shí),表示以,再求出5矩琢期,S矩形。.，表示“F￡K，再根據(jù)aBE〃?aEEK,得出=；S#EK，最后根據(jù)$=S矩形ABEF+S/￡K -S矩形GHEK列出關(guān)系式，并求出取值范圍.第二：當(dāng)正方形G/〃ノ繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)a時(shí),與第一類似，再根據(jù)S=S矩形ABEF-SムFEK+SaBEH-S矩形GHEK列出關(guān)系式,并求出自變量取值范圍，最后確定答案即可.⑴解:BH與ドK的數(shù)量關(guān)系為FK=2BH,位置關(guān)系為FKQBH.根據(jù)題意可知48=8C,GH=HI,BE=EC,EH=El,WH=BE-HE,IC=EC-EI,即BH=1C.^FK=AB-GH=BC-H1=BH+IC=2BH.當(dāng)正方形繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)a（0°<a<90°）角時(shí)，其數(shù)量和位置關(guān)系不變先證FK=2BH連接/T,KERFHF1由題意可得到——=——=一,ME8=0KE〃=9O。FEKE2可得13HEB+⑦FEH司KEF+MEH^EHEB=^KEFSAHEB-AKEFHBBE10==一KFEF2即FK=2BH②再證FKZBH延長(zhǎng)ドK,交BC于M,延長(zhǎng)8〃,交FM干N由①可得M8E=0X7芯^WBE^FMB^FE-^MB=9QamBNM=90°即FKSBH鮎〃與FK的數(shù)量關(guān)系不變,FK=2BH,位.置關(guān)系不變FKS1BH正方形GH〃繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)a(0Wa490。),有以下兩種情況:當(dāng)正方形GH/ノ繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a時(shí),E￡=x-3.

如圖,S矩吻也.=6x3=18,S^FEK=^xEF￡L=3（x-3）=3x-9QaBEHfFEK、丄4丄40S△ア瓶國(guó)SaBEH=スSaFEK3 9 37因此S=S矩形毎町+S4FEK-S^BEH-S矩形GHEK=S矩形am尸十~S.FEK-S矩形GHEK=スス+彳自變量x的取值范圍是3WxW5當(dāng)正方形G"む繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)a時(shí),￡Z=3-x.

如圖,S%窗朝=6x3=18,SsFEK=^xEFEL=3（3-x）=9-3x0aBEHfFEK,BE~FE團(tuán)S&BEH=スS&FEK又（3S矩形ghek=2x1=2_ 3 9 37因此S=S矩形小「ーSqfek+SaBEH-S矩形GHEK=S矩形^efース^FEK、矩形GHEK=スス+自變量x的取值范圍是14x<3.綜上所述，S=『ペ—【點(diǎn)睛】這是一道關(guān)于正方形的綜合問題,考查了正方形的性質(zhì),相似三角形的性質(zhì)和判定,旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),求一次函數(shù)的關(guān)系式及自變量取值范圍等.15.（2021?廣東廣州三模）△4為等腰三角形,48=XC,點(diǎn)ハ為ル48。所在平面內(nèi)一點(diǎn).圖2⑴若ノ砌C=120°,圖2⑴若ノ砌C=120°,①如圖1,當(dāng)點(diǎn)。在8c邊上，BD=AD,求證:DC=2BD；②如圖2,當(dāng)點(diǎn)。在△Z8C外，ZADB=120a,AD=2,BD=4,連接C。，求C。的長(zhǎng);⑵如圖3,當(dāng)點(diǎn)ハ在△/8C外,且ノス。8=90°,以ス。為腰作等腰三角形△ス。&/DAE=NBAC,AD=AE,直線DE交BC于點(diǎn)ド,求證:點(diǎn)Z：?是8c中點(diǎn).【答案】⑴①證明見解析;②2J萬（2）證明見解析【解析】【分析】（1）①由等腰三角形的性質(zhì)可求a48c=の!。8=30。=團(tuán)歷!。，可得皿C=90。，由含30。的直角三角形的性

質(zhì)可求解;②如圖2,以ス8,4C為邊作等邊!2等邊EL4CH,以4),8。為邊作等邊西ハ￡,等邊回8DG,連接G”,過點(diǎn)E作￡W00G,交G。的延長(zhǎng)線于N,由“S4sM可證mハ施EHG8,WAC^EAH,可得ス。=GH=2,2L4C8=I2BG”=12O。,DC=EH,由宜角三角形的性質(zhì)可得M9=ラ￡>￡=1,NE=^DN=小,在Rt固VE”中,由勾股定理可求￡77,即可;(2)如圖3通過證明a(。硒加8。,可得H/lZ)E=a48C,可證んD、B、ド四點(diǎn)共圓,可求勖ル!=90。,由等腰三角形的性質(zhì)可證點(diǎn)F是BC中點(diǎn).解:①證明:00A4c=120。，AB=AC0EL4BC=I3JCS=3O°^BD=AD皿8。=血￡>=30。IWMC=90。0CD=Z4￡>12cz)=280②如圖2,以スB,4C為邊作等邊EW8〃，等邊?4CH,以4),80為邊作等邊出!。E,等迦3BDG,連接GH,過點(diǎn)E作ENBiDG,交GD的延長(zhǎng)線TN,mBDG和團(tuán)48”都是等邊三角形田BD=BG=DG=4,AB=BH,WBG=QABH=60t=^BGD^ABD^GBH在團(tuán)4。8和0/7G8中

BD=BG^\\zDBG=AABH[AB=BH^ADBWiGB(SAS)勲D=GH=2,^L4DB=^BGH=120°WDGB-^BGH=180°團(tuán)點(diǎn)G,H,。三點(diǎn)共線0￡>H=4+2=6^ADE和胡CH都是等邊三角形^AC=AH,勲E=AD=DE=2,^DAE=^1CAH=^EDA=60°W>AC=^EAH同理SZMCffilfXH(SAS)由DC=EH^BDG=^EDN=60°,EN&DG團(tuán)0￡)硒=30°^ND—^DE—l,NE=gDN=6^HN=DH+DN=7^EN2+NH~=幣+49=2岳0CD=EH=2岳.連接ス/7,如圖3所示:D圖3mDAE^'SiBAC,AD=AE,AB=ACADAE團(tuán) = ABACmADE^ABC

^ADE=^ABEL4、ハ、B、尸四點(diǎn)共圓0(35/^=180°-EL4P5=180°-90°=90°^AFS\BCEU5=JC0BF=CF團(tuán)點(diǎn)ド是8c中點(diǎn).【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì),等邊三角形的性質(zhì),三角形全等,勾股定理,三角形相似,四點(diǎn)共圓等知識(shí).解題的關(guān)鍵在于對(duì)知識(shí)的靈活運(yùn)用.16.（2021?廣東廣州?ー模）如圖1,正方形ABC。的對(duì)角線相交于點(diǎn)。,延長(zhǎng)〇。到點(diǎn)G,延長(zhǎng)OC到點(diǎn)E,連接AG,DE.使。G=連接AG,DE.使。G=2OD,OE=2OC,以。G,?！隇榕R邊做正方形OEFG,（1）探究AG與。E的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系，并證明:圖2備用圖（2）固定正方形ABC。，以點(diǎn)。為旋轉(zhuǎn)中心，將圖1中的方形OEFG逆時(shí)針轉(zhuǎn)〃。（〇<〃<180）得到正方形。耳耳G,如圖2,①在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)NOAG=90。時(shí)，求”的值:②在旋轉(zhuǎn)過程中,設(shè)點(diǎn)爲(wèi)到直線AC的距離為ん若正方形ABC。的邊長(zhǎng)為1,請(qǐng)直接寫出d的最大值與最小值，不必說明理由.【答案】（1）DE=AG,?！陙Aス6,證明見解析;（2）①30或150；②d的最大值為"十④,"的最小值為在二也【解析】【分析】（1）延長(zhǎng)E。交AGデ點(diǎn)”,易證公OG=ADOE,得至リムGO=N。￡。,然后運(yùn)用等量代換證明/AHE=90。即可;（2）①在旋轉(zhuǎn)過程中,N。4G成為直角有兩種情況:〃。由。。增大到90。過程中,當(dāng)/OA&=90。時(shí),?=30,“由90增大到180過程中,當(dāng)/OAG|=90。時(shí)，“=150；②連接,設(shè)直線招。交直線AQ作正方形ABCO的外接圖。0,在旋轉(zhuǎn)過程中,E用的位置有以下兩種情況:第一種情況,”]E岡在NOgG內(nèi)時(shí),Z￡,G,H=45°+ZOG,A,第二種情況:當(dāng)E用在NOE￡外時(shí)，NE￡H=45。ーNOG,A,根據(jù)解直角三角形可得イ=2sinNE￡H,當(dāng)/&G用最大時(shí),"最大;當(dāng)/耳"〃最小時(shí)，メ最小:運(yùn)用勾股定理即uj"求得"的最大值和最小值.【詳解】解:（1）AG±DEfAG=DE.證明:如圖1,延長(zhǎng)瓦）交スG于點(diǎn)”，圖1,??點(diǎn)。是正方形ABCD兩對(duì)角線的交點(diǎn),：,OA=OC=OD,OA1OD.:.ZAOG=ZDOE=90°,\OG=2ODtOE=2OC./.OG=OE,在AAOG和ADOE中,[OA=OD(厶OG=NOOE,[OG=OE.*.MOG=ADOE(5A5),/.AG=DE,ZAGO=ZDEOt???NAGO+NG40=9O°,??.ZGAO+ZDEO=90°,.\ZA/7E=90°,?.AG丄OE,故んG丄ハE,AG=DE\（2）①在旋轉(zhuǎn)過程中,NOAG|=90。有兩種情況:G1(0)〃由〇增大到90過程中,當(dāng)/04G|=9O。時(shí),?.Q=O?=：OG=；OG,nA1..,在RtAOAG］中,sinNAG|O=W，=上,OGr2:.NAGQ=30。,,.?〇A丄〇。,。ス丄んG，:.ODHAG\,ZDOG,=ZAG,〇=30〇,即k=30；(0)〃由90增大到180過程中,當(dāng)N。4G1=90。時(shí),同理可求/8OG=30。,/.ZDOG,=180°-30°=150°,r.w=150；綜上所述,當(dāng)/。4G=90。時(shí),〃=30或!50.②如圖3,d的最｝（值為E1H=D%+DH=與+當(dāng)=丑早ユ,如圖4,d的最小值為E.H=DE.-DH 誣二也,理由如下:如圖3、圖4所示,連接爲(wèi)。,設(shè)直線耳。交直線4q于〃,作正方形ABCD的外接圓。。,圖3 圖4仿照（1）的證明,可證得。E丄AG,即在旋轉(zhuǎn)過程中,NgHG|=90。保持不變,所以4=耳H.在旋轉(zhuǎn)過程中,片”的位置有以下兩種情況:第一種情況,當(dāng)￡”在/OgG內(nèi)時(shí),=45°+ZOG,A.如圖3所示,第二種情況:當(dāng)在NOE￡外時(shí),ZE,G1//=45°-ZOG1A,如圖3所示，vOG,=2OD=BD=逐AB=-J2,Efi、=2.在Rt△E、HG、中，vsinZE,G,//= =日,:.d=2sinNE1G用,所以,當(dāng)ノ爲(wèi)a”最大時(shí),d最大;當(dāng)/E￡H最小時(shí),メ最小;設(shè)點(diǎn)。到AQ的距離為m，則sinN0。A=ステ=マIC/OyJ2由上式可知，當(dāng)m取最大值時(shí)，NOQA取最大值.在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)爲(wèi)。與〇〇相切，即/O46=90。時(shí)，加取最大值.此時(shí)，NOaA取最大值，從而/EQ用取最大值或最小值.由①可知,當(dāng)N。4G=90。時(shí),NOGA=30。,在（1）中，已證得AAOGぶAD。片,且ZA〃〃=90。,.?.四邊形AO￡）〃為正方形，,-.DH=AO=—,二.DE,=AG,=ホ日-（與2=孚>，d的最大值為E因=+OH=遠(yuǎn)+也=?+6,1 2 2 2d的最小值為E,H=DE,-DH =瓜ー。.' ' 2 2 2【點(diǎn)睛】本題主要考査了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、銳角三角函數(shù)、旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)的綜合運(yùn)用,有一定的綜合性,熟練掌握旋轉(zhuǎn)變換性質(zhì)、全等三角形判定和性質(zhì)等相關(guān)知識(shí),靈活運(yùn)用分類討論思想和數(shù)形結(jié)合思想是解題關(guān)鍵.17.(2021?廣東廣州?二模)如圖，矩形中，AB=4,A￡>=8,點(diǎn)E是邊AB上的一點(diǎn)，點(diǎn)ド是邊8c延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且AE=2CF.連接AC,交Eド于點(diǎn)。,過E作EP丄/C,垂足為P.D(1)求證:aDAEsaDC尸;(2)求證:OP長(zhǎng)為定值;(3)記AC與。E的交點(diǎn)為0,當(dāng)時(shí)，直接寫出此時(shí)A尸的長(zhǎng).【答案】(1)見解析:(2)見解析:(3)空-25【解析】【分析】(1)根據(jù)兩邊的比相等且夾角相等，證明:4DAES4DCF：(2)如圖1,作輔助線,構(gòu)建相似:.角形，得aEOG^aFOC,列比例式，再根據(jù)勾股定理得AC的長(zhǎng),根「Q AC AD pp 1據(jù)等角的正切相等可知:tanNCAO=tan/ACB=tanNAGE=tanNA￡P(guān)=-,即一=—=——=—=一,AD EG EP PG 2得￡G=4CF, AP=m(m>0),OC=n(n>0),則PE=2m,PG=4m?代入比例式可得0G=4OC=4〃,從而得結(jié)論;(3)證明△AEa-^Cハ。,列比例式可得結(jié)論.【詳解】(1)證明:在矩形A8CO中,AB=CD=4,NDAE=NDCB=90。,??.N￡)Cr=90。,.?.NDAE=NDCF,vAE=2CF,AD=BC=S,AEAD = =2,CFCD

「△DAE?ふDCF；圖1???/AEG=NB=90°,厶GE=AACB^EOG^^FOC,在/?/“18。中,AB=4,「△DAE?ふDCF；圖1???/AEG=NB=90°,厶GE=AACB^EOG^^FOC,在/?/“18。中,AB=4,BC=8,?.AC=742+82=4お，:EPLAC,\ZAEP+ABAC=90°,??ZCAD+^BAC=90°,\ZAEP=ZCAD,1 CD\tanACAD=tanZACB=tanZAGE=tanZAEP=-,即J2 ADAE_AP_PE1EG~EP~PG~2.EG=2AEf,AE=2CF,,EG=4CF,設(shè)AP=m(m>0),OC=n{n>0),則PE—2m,PG=4m,.fEOGs厶FOC,EGOGA—=—=4,CFOC\OG=4OC=4n,AC=AP+PG+OG+OC=/n+4m+4〃+〃=4石?4小??〃[+〃= 5?.OP=PG+OG=4m+4n=^^-5所以。尸是一個(gè)定值:⑶如圖2,?.?哈；”=%增考,圖2由(2)知:AP=m(m>0),AE=>/5m,.AE//CD,.,.△AEQs^cDQ,.AE_AQCD~CQ'4好.?.冬=一解得い=述±2,4 4おぎ-m 50<y/5m<4，.”,4帀..0<〃1< ，/.AP=亜ー2.【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì),三角形相似的判斷和性質(zhì),三角函數(shù),熟練掌握三角形相似的判定定理,靈活運(yùn)用三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵.18.（2021?廣東惠州?二模）如圖,在RtZ^ABC中,ZACB=90°,AC=8,BC=6,CD丄AB于點(diǎn)D.點(diǎn)P從點(diǎn)。出發(fā)，沿線段。C向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng),點(diǎn)。從點(diǎn)C出發(fā)，沿線段C4向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，速度都為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度，當(dāng)點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)到C時(shí)，兩點(diǎn)都停止.設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為r秒.（1）求線段C。的長(zhǎng);（2）設(shè)aCPQ的面積為S,求S與，之間的函數(shù)關(guān)系式,并確定在運(yùn)動(dòng)過程中是否存在某ー時(shí)刻，,使得5想做:5。叱=9:100?若存在,求出，的值:若不存在,則說明理由;（3）是否存在某ー時(shí)刻，，使得aCPQ為等腰三角形?若存在,求出所有滿足條件的，的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.【答案】（1）4.8；（2）Sq。=ーミ，~+港，；ミ秒或3秒;（3）存在，2.4秒或^1秒或?秒【解析】【分析】（1）利用勾股定理可求出ス8長(zhǎng),再用等積法就可求出線段C。的長(zhǎng).（2）過點(diǎn)P作尸M朋C,垂足為，,通過三角形相似即可用，的代數(shù)式表示從而可以求出S與，之間的函數(shù)關(guān)系式;利用必“。:S^ABC=9：100建立，的方程,解方程即可解決問題.（3）可分三種情況進(jìn)行討論:由C0=CP可建立關(guān)于，的方程,從而求出，;由P￡?=PC或。。=0尸不能直接得到關(guān)于，的方程,可借助于等腰三角形的三線合一及三角形相似,即可建立關(guān)于，的方程,從而求出，.【詳解】解:（1）如圖1,vZACB=90°,AC=8,BC=6,：.AB=10,CDA.AB,..SViar=-BCAC=-ABCD,v/lot2 2，cd=BCMC=6x8=4AB10團(tuán)線段C。的長(zhǎng)為4.8；（2）過點(diǎn)P作P4丄AC,垂足為如圖2所示.由題可知。P=，，CQ=t,則CP=4.8-，，vZACB=ZCDB=90°,こZHCP=900-ZDCB=ZB,-PHLAC.1/CHP=90°,ZCHP=ZACB,.-.AO/P^ABCA,.PHPCAC*AB1.PH4.8-Z8 10??.PH?3,255.?.Sw'Lcq.ph.L("ー3]=二メ+竺，:QQ2 2(255丿5 25存在某ー時(shí)刻t,使得%皿:%8c=9:100,5mbc=—x6x8=24J且S^CPq:SMBC=9:1(X),竺’:24=9:100,整理得:5產(chǎn)—24f+27=0,即(5f-9)Q-3)=0,解得:，す或f=3,?.?〇4f44.8,團(tuán)當(dāng)f=ニ秒或/=3秒時(shí),Sy:SMBC=9:100；圖2（3）存在①若CQ=C尸,如圖1,則t=4.8—?,解得:￡=2.4,②若PQ=PC,如圖2所示,?;PQ=PC,PH丄QC,：.QH=CH=-QC=-t?；aCHPs&BCA,CHCP團(tuán)=—,BCABt團(tuán)う4.8-，,6 10解得;，=三,③若QC=QP,過點(diǎn)。作。E丄CP,垂足為E,如圖3所示,同理可得:，=打,綜上所述:當(dāng)/為2.4秒或ラ秒或ヨ秒時(shí),厶ケ。為等腰三角形.【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、一元二次方程的應(yīng)用、勾股定理等知識(shí),具有一定的綜合性,而利用等腰三角形的三線合一巧妙地將兩腰相等轉(zhuǎn)化為底邊上的兩條線段相等是解決第三小題的關(guān)鍵.（2021?廣東梅州?二模）如圖，在四邊形A8C。和町中,AB//CD,CD>AB,點(diǎn)C在EB上,ZABC=ZEBF=90°,AB=BE=8cm,BC=BF=6cm,延長(zhǎng)。C交EF于點(diǎn)M,點(diǎn)尸從點(diǎn)A出發(fā),沿AC方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為2cm/s:同時(shí)，點(diǎn)。從點(diǎn)M出發(fā),沿M尸方向勻速運(yùn)動(dòng),速度為lcm/s.過點(diǎn)尸作G，丄AB于點(diǎn)Z/,交8于點(diǎn)G.設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，(s)(0</<5).(1)作QN丄Aド于點(diǎn)N,若t=3(s)時(shí),則/W=；QN=.(2)連接。C,QH,設(shè)三角形CQ"的面積為S(cm=),求S關(guān)于f的函數(shù)關(guān)系式;(3)點(diǎn)。在運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在某ー時(shí)刻，,使點(diǎn)。在/C4F的平分線上?若存在，求出，的值;若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】(1)—cm；—cm.(2)S=廠+5，h—；(3)存在,t=—5 5 25 2 6【解析】【分析】(1)當(dāng)，=3時(shí),PA=6cm,MQ=3cm,求出QF=/cm,再解直角二角形即可:(2)利用解直角三角形和運(yùn)動(dòng)時(shí)間表示出QV=6ーヌハAH=ゴ,再利用面積和差即可求:⑶連接。,延長(zhǎng)AC交マ于K,證aABC回△砥ド,表示出。MKQ長(zhǎng),再根據(jù)角平分線的性質(zhì)列方程即可.【詳解】解:（1）EZABC=ZEBF=90°,AB=BE=8cm,BC=BF=6cm, BEEC4^AC=yjAB2+BC2=10cm?EF=>JBF2+BE2=10cm?CE=2cm,sinF=—=—=EFEM5團(tuán)EM=—cm,25 9當(dāng)ナ=3時(shí),PA=6cm,MQ=3cm,QF=10---3=—cm,團(tuán)sin/團(tuán)sin/尸A"=—ACPH~AP^PH=—cm.5TOC\o"1-5"\h\z.萬。N4 18sinF= =—,QN=—cmQF59 51/m18 18故答案カ:—cm；—cm.(2