垂直于弦的直徑 定理 2021 2022學(xué)年九年級數(shù)學(xué)上冊教學(xué)課件(人教版)

第24章圓人教版九年級(上)數(shù)學(xué)探究新知知識歸納典型例題當(dāng)堂訓(xùn)練課堂小結(jié)導(dǎo)入新課24.1.2(1)

垂直于弦的直徑-定理24.1

圓的有關(guān)性質(zhì)第24章圓人教版九年級(上)數(shù)學(xué)探究新知知識歸納典型例【問題1】把一個圓沿著它的任意一條直徑對折,重復(fù)幾次,你發(fā)現(xiàn)了什么?由此你能得到什么結(jié)論?圓是軸對稱圖形.O任何一條直徑所在直線(或經(jīng)過圓心的直線)都是圓的對稱軸.O【問題2】圓有幾條對稱軸？【結(jié)論1】【結(jié)論2】溫故知新【問題1】把一個圓沿著它的任意一條直徑對折,重復(fù)幾次,你發(fā)現(xiàn)垂直于弦的直徑-垂徑定理01利用垂徑定理解決實(shí)際問題02與垂徑定理有關(guān)的分類討論03知識點(diǎn)垂直于弦的直徑-垂徑定理01利用垂徑定理解決實(shí)際問題02與垂【探究1】如圖,AB是⊙O的一條弦,直徑CD⊥AB,垂足為E.你能發(fā)現(xiàn)圖中有那些相等的線段和劣弧?為什么?線段:AE=BE弧:AC=BC,AD=BD⌒⌒⌒⌒

CD兩側(cè)的兩個半圓重合,點(diǎn)A與點(diǎn)B重合,AE與BE重合,AC和BC,AD與BD重合；⌒⌒⌒⌒·OABDEC或利用△AOE≌△BOE(HL)來證明。理由如下：

把圓沿著直徑CD折疊時,探究新知知識點(diǎn)一垂直于弦的直徑-垂徑定理【探究1】如圖,AB是⊙O的一條弦,直徑CD⊥AB,垂足為E·OABCDE歸納推導(dǎo)格式：∵直徑CD⊥AB(或OD⊥AB)∴AE=BE,垂直于弦的直徑平分弦,并且平分弦所對的兩條弧.

垂徑定理：要點(diǎn)歸納知識點(diǎn)一垂直于弦的直徑-垂徑定理·OABCDE歸納推導(dǎo)格式：∵直徑CD⊥AB(或OD⊥下列圖形是否具備垂徑定理的條件？不是OABCOABCEOABCDE不是是定理中的兩個條件缺一不可①過圓心(直徑)；

②垂直于弦歸納總結(jié)垂徑定理的幾個基本圖形：OABCDEOABCDOABCOABCE要點(diǎn)歸納知識點(diǎn)一垂直于弦的直徑-垂徑定理下列圖形是否具備垂徑定理的條件？不是OABCOABCEOAB【例1】如圖,⊙O的弦AB=8cm,直徑CE⊥AB于D,DC=2cm,

求半徑OC的長.·OABECD解：連接OA，∵直徑CE⊥AB于D，∴設(shè)OC=xcm,則OD=x-2,根據(jù)勾股定理,得解得x=5，即半徑OC的長為5cm.x2=42+(x-2)2，典型例題知識點(diǎn)一垂直于弦的直徑-垂徑定理【例1】如圖,⊙O的弦AB=8cm,直徑CE⊥AB于D,DC1.如圖,OE⊥AB于E,若⊙O的半徑為10cm,OE=6cm,則AB=

cm.2.如圖所示,AB是⊙O的直徑,CD是弦,CD⊥AB于點(diǎn)E,則下列結(jié)論不一定成立的是()A.∠COE=∠DOEB.CE=DEC.D.OE=BE·OABE16·OCDABED基礎(chǔ)訓(xùn)練知識點(diǎn)一垂直于弦的直徑-垂徑定理1.如圖,OE⊥AB于E,若⊙O的半徑為10cm,OE=6c垂直于弦的直徑-垂徑定理01利用垂徑定理解決實(shí)際問題02與垂徑定理有關(guān)的分類討論03知識點(diǎn)垂直于弦的直徑-垂徑定理01利用垂徑定理解決實(shí)際問題02與垂【例2】趙州橋是我國隋代建造的石拱橋,距今約有1400年的歷史是我國古代人民勤勞與智慧的結(jié)晶.它的主橋是圓弧形,它的跨度(弧所對的弦的長)為37m,拱高(弧的中點(diǎn)到弦的距離)為7.23m.求出趙州橋主橋拱的半徑.(結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位).典型例題知識點(diǎn)二利用垂徑定理解決實(shí)際問題【例2】趙州橋是我國隋代建造的石拱橋,距今約有1400年的歷37.4m7.23mABOCE解：如圖,用弧AB表示主橋拱,設(shè)其坐在圓的圓心為O,半徑為R經(jīng)過點(diǎn)O作弦AB的垂線OC,D為垂足,OC與弧AB相交于點(diǎn)C,連接OA.根據(jù)垂徑定理,D是AB的重點(diǎn),C是弧AB的重點(diǎn),CD就是拱高由題設(shè)可知:AB=37cm,CD=7.23cm∴AD=0.5AB=0.5×37=18.5cm，OD=OC-CD=R-7.23在Rt△OAD中,由勾股定理,得OA2=AD2+OD2解得:R≈27.3(m)∴趙州橋的主橋拱半徑約為27.3m典型例題知識點(diǎn)二利用垂徑定理解決實(shí)際問題37.4m7.23mABOCE解：如圖,用弧AB表示主橋拱,如圖,一條公路的轉(zhuǎn)彎處是一段圓弧(即圖中弧CD,點(diǎn)O是弧CD的圓心),其中CD=600m,E為弧CD上的一點(diǎn),且OE⊥CD，垂足為F，EF=90m.求這段彎路的半徑.解:連接OC.OCDEF┗設(shè)這段彎路的半徑為Rm,則OF=(R-90)m.根據(jù)勾股定理，得解得R=545.∴這段彎路的半徑約為545m.基礎(chǔ)訓(xùn)練知識點(diǎn)二利用垂徑定理解決實(shí)際問題如圖,一條公路的轉(zhuǎn)彎處是一段圓弧(即圖中弧CD,點(diǎn)O是弧CD垂直于弦的直徑-垂徑定理01利用垂徑定理解決實(shí)際問題02與垂徑定理有關(guān)的分類討論03知識點(diǎn)垂直于弦的直徑-垂徑定理01利用垂徑定理解決實(shí)際問題02與垂【例3】一弓形弦長為cm,弓形所在的圓的半徑為7cm,則弓形的高為___________.DCOAB圖aCBOAD圖b2cm或12cm典型例題知識點(diǎn)三與垂徑定理有關(guān)的分類討論【例3】一弓形弦長為cm,弓形所在的圓的半徑為7cm,已知⊙O的半徑為10cm,弦AB∥CD,且AB=12cm,CD=16cm,則弦AB和CD之間的距離為__

.14cm或2cmODCBA圖1ODCBA圖2FEFE基礎(chǔ)訓(xùn)練知識點(diǎn)三與垂徑定理有關(guān)的分類討論已知⊙O的半徑為10cm,弦AB∥CD,且AB=12cm,C垂徑定理內(nèi)容輔助線垂直于弦的直徑平分弦,并且平分弦所對的兩條弧兩條輔助線連半徑,作弦心距構(gòu)造Rt△利用勾股定理計(jì)算或建立方程.基本圖形及變式圖形課堂小結(jié)垂徑定理內(nèi)容輔助線垂直于弦的直徑平分弦,兩條輔助線構(gòu)造Rt△強(qiáng)化訓(xùn)練OPTION強(qiáng)化訓(xùn)練OPTION1.如圖,⊙O的直徑為10,弦AB=8,P為AB上的一個動點(diǎn),那么OP長的取值范圍是_______________.3cm≤OP≤5cmBAOP拓展提升1.如圖,⊙O的直徑為10,弦AB=8,P為AB上的一個動點(diǎn)2.已知：如圖,在以O(shè)為圓心的兩個同心圓中,大圓的弦AB交小圓于C、D兩點(diǎn).你認(rèn)為AC和BD有什么關(guān)系?為什么?證明：過O作OE⊥AB,垂足為E，則AE=BE,CE=DE.∴AE-CE=BE-DE

即AC=BD..ACDBOE注意：解決有關(guān)弦的問題,常過圓心作弦的弦心距,或作垂直于弦的直徑,它是一種常用輔助線的添法.拓展提升2.已知：如圖,在以O(shè)為圓心的兩個同心圓中,大圓的弦AB交小3.已知：⊙O中弦AB∥CD,求證：AC＝BD.⌒⌒.MCDABON證明：作直徑MN⊥AB.∵AB∥CD，∴MN⊥CD.則AM＝BM，CM＝DM(垂直平分弦的直徑平分弦所對的弧)

AM－CM＝BM－DM∴AC＝BD⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒夾在兩平行弦之間的弧相等。

拓展提升3.已知：⊙O中弦AB∥CD,求證：AC＝BD.⌒⌒.MCD4.如圖,在⊙O中,AB、AC為互相垂直且相等的兩條弦,OD⊥AB于D,OE⊥AC于E,求證四邊形ADOE是正方形．D·OABCE證明:∵OE⊥AC,OD⊥AB,AB⊥AC.∴四邊形ADOE為矩形，又∵AC=AB∴AE=AD∴四邊形ADOE為正方形.∴∠OEA=,∠EAD=∠ODA=90o,拓展提升4.如圖,在⊙O中,AB、AC為互相垂直且相等的兩條弦,OD5.如圖,點(diǎn)A,B是⊙O上兩點(diǎn),AB=8,點(diǎn)P是⊙O上的動點(diǎn)(P不與A,B重合),連接AP,BP,過點(diǎn)O分別作OE⊥AP于E,OF⊥BP于F,EF=___.4OPFEBA拓展提升5.如圖,點(diǎn)A,B是⊙O上兩點(diǎn),AB=8,點(diǎn)P是⊙O上的動點(diǎn)6.在直徑為650mm的圓柱形油槽內(nèi)裝入一些油后,若油面寬AB=600mm,求油的深度。OBAOAB拓展提升6.在直徑為650mm的圓柱形油槽內(nèi)裝入一些油后,若油面寬OABCDDOABC7.已知A、B、C是⊙O上三點(diǎn),且AB=AC,圓心O到BC的距離為3厘米,圓的半徑為5厘米,求AB長.拓展提升OABCDDOABC7.已知A、B、C是⊙O上三點(diǎn),且AB=第24章圓人教版九年級(上)數(shù)學(xué)探究新知知識歸納典型例題當(dāng)堂訓(xùn)練課堂小結(jié)導(dǎo)入新課24.1.2(1)

垂直于弦的直徑-定理24.1

圓的有關(guān)性質(zhì)第24章圓人教版九年級(上)數(shù)學(xué)探究新知知識歸納典型例【問題1】把一個圓沿著它的任意一條直徑對折,重復(fù)幾次,你發(fā)現(xiàn)了什么?由此你能得到什么結(jié)論?圓是軸對稱圖形.O任何一條直徑所在直線(或經(jīng)過圓心的直線)都是圓的對稱軸.O【問題2】圓有幾條對稱軸？【結(jié)論1】【結(jié)論2】溫故知新【問題1】把一個圓沿著它的任意一條直徑對折,重復(fù)幾次,你發(fā)現(xiàn)垂直于弦的直徑-垂徑定理01利用垂徑定理解決實(shí)際問題02與垂徑定理有關(guān)的分類討論03知識點(diǎn)垂直于弦的直徑-垂徑定理01利用垂徑定理解決實(shí)際問題02與垂【探究1】如圖,AB是⊙O的一條弦,直徑CD⊥AB,垂足為E.你能發(fā)現(xiàn)圖中有那些相等的線段和劣弧?為什么?線段:AE=BE弧:AC=BC,AD=BD⌒⌒⌒⌒

CD兩側(cè)的兩個半圓重合,點(diǎn)A與點(diǎn)B重合,AE與BE重合,AC和BC,AD與BD重合；⌒⌒⌒⌒·OABDEC或利用△AOE≌△BOE(HL)來證明。理由如下：

把圓沿著直徑CD折疊時,探究新知知識點(diǎn)一垂直于弦的直徑-垂徑定理【探究1】如圖,AB是⊙O的一條弦,直徑CD⊥AB,垂足為E·OABCDE歸納推導(dǎo)格式：∵直徑CD⊥AB(或OD⊥AB)∴AE=BE,垂直于弦的直徑平分弦,并且平分弦所對的兩條弧.

垂徑定理：要點(diǎn)歸納知識點(diǎn)一垂直于弦的直徑-垂徑定理·OABCDE歸納推導(dǎo)格式：∵直徑CD⊥AB(或OD⊥下列圖形是否具備垂徑定理的條件？不是OABCOABCEOABCDE不是是定理中的兩個條件缺一不可①過圓心(直徑)；

②垂直于弦歸納總結(jié)垂徑定理的幾個基本圖形：OABCDEOABCDOABCOABCE要點(diǎn)歸納知識點(diǎn)一垂直于弦的直徑-垂徑定理下列圖形是否具備垂徑定理的條件？不是OABCOABCEOAB【例1】如圖,⊙O的弦AB=8cm,直徑CE⊥AB于D,DC=2cm,

求半徑OC的長.·OABECD解：連接OA，∵直徑CE⊥AB于D，∴設(shè)OC=xcm,則OD=x-2,根據(jù)勾股定理,得解得x=5，即半徑OC的長為5cm.x2=42+(x-2)2，典型例題知識點(diǎn)一垂直于弦的直徑-垂徑定理【例1】如圖,⊙O的弦AB=8cm,直徑CE⊥AB于D,DC1.如圖,OE⊥AB于E,若⊙O的半徑為10cm,OE=6cm,則AB=

cm.2.如圖所示,AB是⊙O的直徑,CD是弦,CD⊥AB于點(diǎn)E,則下列結(jié)論不一定成立的是()A.∠COE=∠DOEB.CE=DEC.D.OE=BE·OABE16·OCDABED基礎(chǔ)訓(xùn)練知識點(diǎn)一垂直于弦的直徑-垂徑定理1.如圖,OE⊥AB于E,若⊙O的半徑為10cm,OE=6c垂直于弦的直徑-垂徑定理01利用垂徑定理解決實(shí)際問題02與垂徑定理有關(guān)的分類討論03知識點(diǎn)垂直于弦的直徑-垂徑定理01利用垂徑定理解決實(shí)際問題02與垂【例2】趙州橋是我國隋代建造的石拱橋,距今約有1400年的歷史是我國古代人民勤勞與智慧的結(jié)晶.它的主橋是圓弧形,它的跨度(弧所對的弦的長)為37m,拱高(弧的中點(diǎn)到弦的距離)為7.23m.求出趙州橋主橋拱的半徑.(結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位).典型例題知識點(diǎn)二利用垂徑定理解決實(shí)際問題【例2】趙州橋是我國隋代建造的石拱橋,距今約有1400年的歷37.4m7.23mABOCE解：如圖,用弧AB表示主橋拱,設(shè)其坐在圓的圓心為O,半徑為R經(jīng)過點(diǎn)O作弦AB的垂線OC,D為垂足,OC與弧AB相交于點(diǎn)C,連接OA.根據(jù)垂徑定理,D是AB的重點(diǎn),C是弧AB的重點(diǎn),CD就是拱高由題設(shè)可知:AB=37cm,CD=7.23cm∴AD=0.5AB=0.5×37=18.5cm，OD=OC-CD=R-7.23在Rt△OAD中,由勾股定理,得OA2=AD2+OD2解得:R≈27.3(m)∴趙州橋的主橋拱半徑約為27.3m典型例題知識點(diǎn)二利用垂徑定理解決實(shí)際問題37.4m7.23mABOCE解：如圖,用弧AB表示主橋拱,如圖,一條公路的轉(zhuǎn)彎處是一段圓弧(即圖中弧CD,點(diǎn)O是弧CD的圓心),其中CD=600m,E為弧CD上的一點(diǎn),且OE⊥CD，垂足為F，EF=90m.求這段彎路的半徑.解:連接OC.OCDEF┗設(shè)這段彎路的半徑為Rm,則OF=(R-90)m.根據(jù)勾股定理，得解得R=545.∴這段彎路的半徑約為545m.基礎(chǔ)訓(xùn)練知識點(diǎn)二利用垂徑定理解決實(shí)際問題如圖,一條公路的轉(zhuǎn)彎處是一段圓弧(即圖中弧CD,點(diǎn)O是弧CD垂直于弦的直徑-垂徑定理01利用垂徑定理解決實(shí)際問題02與垂徑定理有關(guān)的分類討論03知識點(diǎn)垂直于弦的直徑-垂徑定理01利用垂徑定理解決實(shí)際問題02與垂【例3】一弓形弦長為cm,弓形所在的圓的半徑為7cm,則弓形的高為___________.DCOAB圖aCBOAD圖b2cm或12cm典型例題知識點(diǎn)三與垂徑定理有關(guān)的分類討論【例3】一弓形弦長為cm,弓形所在的圓的半徑為7cm,已知⊙O的半徑為10cm,弦AB∥CD,且AB=12cm,CD=16cm,則弦AB和CD之間的距離為__

.14cm或2cmODCBA圖1ODCBA圖2FEFE基礎(chǔ)訓(xùn)練知識點(diǎn)三與垂徑定理有關(guān)的分類討論已知⊙O的半徑為10cm,弦AB∥CD,且AB=12cm,C垂徑定理內(nèi)容輔助線垂直于弦的直徑平分弦,并且平分弦所對的兩條弧兩條輔助線連半徑,作弦心距構(gòu)造Rt△利用勾股定理計(jì)算或建立方程.基本圖形及變式圖形課堂小結(jié)垂徑定理內(nèi)容輔助線垂直于弦的直徑平分弦,兩條輔助線構(gòu)造Rt△強(qiáng)化訓(xùn)練OPTION強(qiáng)化訓(xùn)練OPTION1.如圖,⊙O的直徑為10,弦AB=8,P為AB上的一個動點(diǎn),那么OP長的取值范圍是_______________.3cm≤OP≤5cmBAOP拓展提升1.如圖,⊙O的直徑為10,弦AB=8,P為AB上的一個動點(diǎn)2.已知：如圖,在以O(shè)為圓心的兩個同心圓中,大圓的弦AB交小圓于C、D兩點(diǎn).你認(rèn)為AC和BD有什么關(guān)系?為什么?證明：過O作OE⊥AB,垂足為E，則AE=BE,CE=DE.∴AE-CE=BE-DE

即AC=BD..ACDBOE注意：解決有關(guān)弦的問題,常過圓心作弦的弦心距,或作垂直于弦的直徑,它是一種常用輔助線的添法.拓展提升2.已知：如圖,在以O(shè)為圓心的兩個同心圓中,大圓的弦AB交小3.