二次型及其標準形市公開課一等獎省賽課獲獎?wù)n件

第六章二次型及其標準型

§6.3正定二次型與正定矩陣§6.2化二次型為標準型§6.1二次型及其矩陣表示1二次型及其標準形第1頁引言判別下面方程幾何圖形是什么？作旋轉(zhuǎn)變換代入(1)左邊，化為：見下列圖2二次型及其標準形第2頁3二次型及其標準形第3頁稱為n維(或n元)二次型.定義含有n個變量二次齊次函數(shù)關(guān)于二次型討論永遠約定在實數(shù)范圍內(nèi)進行！4二次型及其標準形第4頁比如：都是二次型。不是二次型。只含有平方項二次型稱為二次型標準形。為二次型標準形。5二次型及其標準形第5頁取則則（1）式能夠表示為二次型用和號表示6二次型及其標準形第6頁7二次型及其標準形第7頁令則其中為對稱矩陣。二次型矩陣表示（重點）注1、對稱矩陣A寫法：A一定是方陣。2、其對角線上元素恰好是系數(shù)。3、系數(shù)二分之一分給可確保8二次型及其標準形第8頁比如：二次型注：二次型對稱矩陣把對稱矩陣稱為二次型矩陣也把二次型稱為對稱矩陣二次型對稱矩陣秩稱為二次型秩二次型定義2：9二次型及其標準形第9頁例1寫出下面二次型f矩陣表示，并求f秩r(f)。解問：在二次型中,如不限制A對稱,A唯一嗎?10二次型及其標準形第10頁定義只含平方項二次型稱為二次型標準形(或法式)。平方項系數(shù)只在中取值標準形

稱為二次型規(guī)范形。11二次型及其標準形第11頁目：對給定二次型找可逆線性變換(坐標變換)：代入(1)式，使之成為標準形稱上面過程為化二次型為標準形。12二次型及其標準形第12頁作業(yè)P189313二次型及其標準形第13頁第六章二次型及其標準型

§6.3正定二次型與正定矩陣§6.2化二次型為標準型§6.1二次型及其矩陣表示14二次型及其標準形第14頁簡記設(shè)若一、非退化線性變換（可逆線性變換）為可逆線性變換。當C是可逆矩陣時,稱15二次型及其標準形第15頁對于二次型，我們討論主要問題是：尋求可逆線性變換，使二次型只含平方項。即二次型經(jīng)過可逆線性變換使得為何研究可逆變換？即經(jīng)過可逆線性變換可化為對于這種矩陣的關(guān)系我們來進行定義16二次型及其標準形第16頁矩陣協(xié)議：證實定理設(shè)A為對稱矩陣，且A與B協(xié)議，則注：協(xié)議依然是一個等價關(guān)系矩陣協(xié)議性質(zhì)：(1)反身性(2)對稱性(3)傳遞性記作17二次型及其標準形第17頁二.化二次型為標準形正交變換法（重點）配方法目標：問題轉(zhuǎn)化為：18二次型及其標準形第18頁回想：此結(jié)論用于二次型所以，19二次型及其標準形第19頁主軸定理(P191定理6.2.1)20二次型及其標準形第20頁1.正交變換法對二次型存在正交變換，使其中為特征值。其中P列向量是A對應(yīng)于特征值n個兩兩正交單位特征向量。定理：21二次型及其標準形第21頁例1用正交變換化二次型為標準型，并求出所用正交變換。解（1）寫出二次型f

矩陣(2)求出A全部特征值及其對應(yīng)標準正交特征向量22二次型及其標準形第22頁而它們所對應(yīng)標準正交特征向量為(3)寫出正交變換取正交矩陣則得所欲求正交變換即23二次型及其標準形第23頁（4）寫出標準型。易知經(jīng)上述正交變換后所得二次型標準型24二次型及其標準形第24頁2.解二次型矩陣為25二次型及其標準形第25頁3）對每個基礎(chǔ)解系進行Schmidt正交化、再單位化：26二次型及其標準形第26頁作正交變換X=QY，則注：正交變換化為標準形優(yōu)點：在幾何中，能夠保持曲線（曲面）幾何形狀不變。27二次型及其標準形第27頁2.配方法⑴同時含有平方項與交叉項情形。例2用配方法將以下二次型經(jīng)可逆線性變換化為標準形。解：28二次型及其標準形第28頁令二次型標準形為所求可逆線性變換為即29二次型及其標準形第29頁為標準形,并求出所作可逆線性變換.例3用配方法化二次型解令⑵只含交叉項情形。30二次型及其標準形第30頁即令則二次型標準形為31二次型及其標準形第31頁所用可逆線性變換為32二次型及其標準形第32頁思索題：1、(1)協(xié)議且相同；(2)協(xié)議但不相同；(3)不協(xié)議但相同；(4)不協(xié)議且不相同；33二次型及其標準形第33頁以上說明：注意：2.在變換二次型時，要求所作線性變換是可逆.34二次型及其標準形第34頁定理二次型必可化為規(guī)范形。證設(shè)二次型f(x)=xTAx(r(A)=r)經(jīng)正交變換化為:(思索為何一定可化為上面形式？)再做一次可逆線性變換則f化為思索：在可互化二次型中最簡單是什么？在對稱矩陣協(xié)議等價類中最簡單矩陣是什么？35二次型及其標準形第35頁思索并回答(1)二次型標準形唯一嗎？(2)二次型標準形中平方項個數(shù)與二次型秩有何關(guān)系？與二次型矩陣非零特征值個數(shù)有何關(guān)系？(3)設(shè)CTAC=D(C可逆，D是對角陣)，D對角元是A特征值嗎？假如C是正交矩陣又怎樣？(4)設(shè)4階對稱矩陣A特征值為0,2,2,-3,A二次型規(guī)范形是什么？36二次型及其標準形第36頁例4解化為標準形。求A特征值求二次型矩陣37二次型及其標準形第37頁求A規(guī)范正交特征向量單位化38二次型及其標準形第38頁得正交基礎(chǔ)解系單位化求正交變換矩陣39二次型及其標準形第39頁寫出二次型標準形用正交變換，二次型f化為標準形為40二次型及其標準形第40頁例5設(shè)二次型經(jīng)正交變換化為標準形求(1)a,b;(2)正交變換矩陣Q.解二次型矩陣為由題意由相同矩陣性質(zhì)得，從而41二次型及其標準形第41頁解得A與D有相同特征值，分別為求得它們對應(yīng)特征向量(正交)為再單位化并排成矩陣即得所求正交變換矩陣42二次型及其標準形第42頁作業(yè)P1942P204443二次型及其標準形第43頁第六章二次型及其標準型

§6.3正定二次型與正定矩陣§6.2化二次型為標準型§6.1二次型及其矩陣表示44二次型及其標準形第44頁§6.3正定二次型本節(jié)討論二次型分類問題.重點是正定二次型.在n維二次型中,假如兩個二次型xTAx和yTBy能夠互化，即則稱這兩個二次型等價。這相當于即在n階對稱矩陣中A與B協(xié)議等價。我們把等價二次型分為同一類。相當于對稱矩陣協(xié)議等價類。45二次型及其標準形第45頁什么條件決定兩個二次型等價？我們知道,等價二次型有相同秩,也就是標準形中平方項個數(shù)相等.但秩相等兩個二次型不一定等價.比如與不可能等價.因為不存在可逆矩陣C滿足因為46二次型及其標準形第46頁慣性定理(P196定理6.3.1)

在二次型標準形中，正項個數(shù)與負項個數(shù)保持不變。或者說二次型規(guī)范形是唯一。二次型標準形中正項個數(shù)稱為二次型正慣性指數(shù),負項個數(shù)稱為二次型負慣性指數(shù).設(shè)二次型f秩為r,正慣性指數(shù)為p,則負慣性指為r–p.f規(guī)范形為

慣性定理指出：兩個二次型是否等價，被其秩和正慣性指數(shù)唯一確定。47二次型及其標準形第47頁

假如n維二次型f(x)=xTAx其標準形系數(shù)全為正，則稱之為正定二次型，二次型矩陣A稱為正定矩陣；假如標準形中系數(shù)全為負，則稱之為負定二次型，二次型矩陣稱為負定矩陣。定義化標準形化規(guī)范形正定二次型為

正定矩陣就是特征值全大于零對稱矩陣，也是與單位矩陣協(xié)議對稱矩陣。

顯然，假如f負定，則–f正定，以后只需討論正定二次型(正定矩陣)。48二次型及其標準形第48頁定理

二次型f(x)=xTAx正定充要條件是對任意x≠0，都有f(x)=xTAx>0.

(注：書上以后者為定義)證設(shè)必要性：設(shè)f正定，即對任意x≠0，則，故充分性：反證。假如有某個，取,與矛盾。49二次型及其標準形第49頁定理(霍爾維茨定理)對稱矩陣A為正定充要條件是：A各階主子式全為正，即50二次型及其標準形第50頁判別二次型是否正定.它各階次序主子式故上述二次型是正定.例1f矩陣為解51二次型及其標準形第51頁例2解判別二次型是否正定.二次型矩陣為即知A是正定矩陣，故此二次型為正定二次型.求得其特征值52二次型及其標準形第52頁判別二次型正定性.例3解二次型矩陣它各階次序主子式A是負定矩陣，二次型是負定二次型。或者，判別－Ａ為正定.53二次型及其標準形第53頁例4與矩陣協(xié)議矩陣是()A特征值是兩正一負。54二次型及其標準形第54頁是正定二次型？解二次型矩陣為A次序主子式為：所以當