九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

第第7頁(yè)九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)第一章直角三角形邊的關(guān)系一.銳角三角函數(shù)正切:定義：在RtAABC中，銳角ZA的對(duì)邊與鄰邊的比叫做ZA的正切，記作tanA,即tanA=ZA的對(duì)邊；ZA的鄰邊tanA是一個(gè)完整的符號(hào)，它表示ZA的正切，記號(hào)里習(xí)慣省去角的符號(hào)“Z”；tanA沒(méi)有單位，它表示一個(gè)比值，即直角三角形中ZA的對(duì)邊與鄰邊的比；tanA不表示“tan”乘以“A”；初中階段，我們只學(xué)習(xí)直角三角形中，ZA是銳角的正切；tanA的值越大，梯子越陡，ZA越大；ZA越大，梯子越陡，tanA的值越大。正孩：定義：在RtAABC中，銳角ZA的對(duì)邊與斜邊的比叫做ZA的正弦，記作sinA即sinA=仝的對(duì)邊;斜邊余弦：定義：在RtAABC中，銳角ZA的鄰邊與斜邊的比叫做ZA的余弦，記作cosA，即cosA=厶的鄰邊；斜邊銳角A的正弦、余弦和正切都是ZA的三角函數(shù)當(dāng)銳角A變化時(shí)，相應(yīng)的正弦、余弦和正切之也隨之變化。二.特殊角的三角函數(shù)值r30°45°60°sina141—2221cosa——222tana旦31ByTX三.三角函數(shù)的計(jì)算仰角：當(dāng)從低處觀測(cè)高處的目標(biāo)時(shí)，視線與水平線所成的銳角稱為仰角俯角：當(dāng)從高處觀測(cè)低處的目標(biāo)時(shí)，視線與水平線所成的銳角稱為俯角3?規(guī)律：利用特殊角的三角函數(shù)值表，可以看出，（1）當(dāng)角度在0°?90°間變化時(shí)，正弦值、正切值隨著角度的增大（或減?。┒龃螅ɑ驕p?。?；余弦值隨著角度的增大（或減?。┒鴾p?。ɑ蛟龃螅＃?）0WsinaWl,OWcosaWl。4?坡度：如圖2,坡面與水平面的夾角叫做坡角坡角的正切稱為坡度（或坡比）。用字母i表示，即=tanA方位角：從某點(diǎn)的指北方向按順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向的水平角，叫做方位角。如圖3,0A、OB、OC的方位角分別為45°、135°、225°。方向角：指北或指南方向線與目標(biāo)方向線所成的小于90°的水平角，叫做方向角。如圖4，OA、OB、OC、OD的方向角分別是；北偏東30°，南偏東45°（東南方向）、南偏西為60°，北偏西60°。

同角的三角函數(shù)間的關(guān)系:互余關(guān)系sinA=cos(90°—A)、cosA=sin(90°—A)平方關(guān)系：曲缶曲41③商數(shù)關(guān)系：eraAtan#=cosA8?解直角三角形：在直角三角形中，除直角夕卜，一共有五個(gè)元素，即三條邊和二個(gè)銳角。由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的過(guò)程，叫做解直角三角形(須知_條邊)。直角三角形變焦關(guān)系：在厶ABC中，ZC為直角，ZA、ZB、ZC所對(duì)的邊分別為a、b、c,則有⑴三邊之間的關(guān)系：a2+b2=C2；兩銳角的關(guān)系：ZA+ZB=90°；邊與角之間的關(guān)系：cosA=—ccotA=b；a&atanAcotA=b；a&atanA二一,b廠btanB=—asinA=—,csinB=—,ccosB=—c(4)面積公式：S=—a—=—ch(h為C邊上的高);△22a+b—c直角三角形的內(nèi)切圓半徑r=2—直角三角形的外接圓半徑R=2c三角函數(shù)的應(yīng)用教材第18頁(yè)利用三角函數(shù)測(cè)高教材第22頁(yè)第二章二次函數(shù)1?概念：一般地，若兩個(gè)變量X,y之間對(duì)應(yīng)關(guān)系可以表示成y=ax2+bx+c(a、b、c是常數(shù)，aH0)的形式，則稱y是x的二次函數(shù)。自變量x的取值范圍是全體實(shí)數(shù)。在寫二次函數(shù)的關(guān)系式時(shí)，一定要尋找兩個(gè)變量之間的等量關(guān)系，列出相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，并確定自變量的取值范圍。圖像性質(zhì)：(1)二次函數(shù)y=ax2的圖象：是一條頂點(diǎn)在原點(diǎn)且關(guān)于y軸對(duì)稱的拋物線。y=ax2(a豐0)是二次函數(shù)y=ax2+bx+c的特例，此時(shí)常數(shù)b=c=0.(2)拋物線的描述：開(kāi)口方向、對(duì)稱性、y隨x的變化情況、拋物線的最高(或最低)點(diǎn)、拋物線與x軸的交點(diǎn)。函數(shù)的取值范圍是全體實(shí)數(shù)；拋物線的頂點(diǎn)在(0,0),對(duì)稱軸是y軸(或稱直線x=0)。當(dāng)a>0時(shí)，拋物線開(kāi)口向上，并且向上方無(wú)限伸展。當(dāng)aVO時(shí)，拋物線開(kāi)口向下，并且向下方無(wú)限伸展。函數(shù)的增減性：

A、當(dāng)a>0時(shí)fx<0時(shí),y隨x增大而減小;[x>0時(shí),y隨x增大而增大.B、當(dāng)aVO時(shí)fx<0時(shí),y隨x增大而增大;[x>0時(shí),y隨x增大而減小當(dāng)la丨越大，拋物線開(kāi)口越??；當(dāng)丨a|越小，拋物線的開(kāi)口越大。最大值或最小值：當(dāng)a>0，且x=O時(shí)函數(shù)有最小值，最小值是0；當(dāng)aVO,且x=0時(shí)函數(shù)有最大值，最大值是O。（3）二次函數(shù)y=ax2+c的圖象：是一條頂點(diǎn)在y軸上且與y軸對(duì)稱的拋物線，二次函數(shù)y二ax2+C的圖象中，a的符號(hào)決定拋物線的開(kāi)口方向，|a|決定拋物線的開(kāi)口程度大小，c決定拋物線的頂點(diǎn)位置，即拋物線位置的高低。b（4）二次函數(shù)y二ax2+bx+c的圖象：是以直線x=-—為對(duì)稱軸，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（丄，4ac-b2）2a2a4a的拋物線。（開(kāi)口方向和大小由a來(lái)決定）|a|的越大，拋物線的開(kāi)口程度越小，越靠近對(duì)稱軸y軸，y隨x增長(zhǎng)（或下降）速度越快；|a|的越小，拋物線的開(kāi)口程度越大，越遠(yuǎn)離對(duì)稱軸y軸，y隨x增長(zhǎng)（或下降）速度越慢。（5）二次函數(shù)y二ax2+bx+c的圖象與y=ax2的圖象的關(guān)系：y—ax2+bx+c的圖象可以由y=ax2的圖象平移得到：（利用頂點(diǎn)坐標(biāo)）（6）二次函數(shù)y二a（x-h）2+k的圖象：是以直線x=h為對(duì)稱軸，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（h,k）的拋物線。（開(kāi)口方向和大小由a來(lái)決定）（7）二次函數(shù)y二ax2+bx+c的性質(zhì)：二次函數(shù)y二ax2+bx+c配方成y=a（x+—）2+4ac-b2則拋物線的TOC\o"1-5"\h\z2a4ab對(duì)稱軸：x=--2a頂點(diǎn)坐標(biāo)：（丄，4ac-b2）2a4abb增減性：若a>0，當(dāng)x〈-一時(shí)，y隨x的增大而減小；當(dāng)x>-一時(shí)，y隨x的增大而增大。2a2a若a〈0,則當(dāng)x<-—時(shí)，y隨x的增大而增大；當(dāng)x>-—時(shí)，y隨x的增大而減小。2a2a若a〈0,則當(dāng)x=-—時(shí)，y最2a最大若a〈0,則當(dāng)x=-—時(shí)，y最2a最大4ac-b24a最值：若a>0,則當(dāng)x=-云時(shí)，y最小確定二次函數(shù)的表達(dá)式：（待定系數(shù)法）（1）一般式：y=ax2+bx+c(2)頂點(diǎn)式：y二a(x-h)2+k（2）交點(diǎn)式：y=a（x-x）（x-x）12二次函數(shù)的應(yīng)用：教材第46頁(yè)幾何方面教材第48頁(yè)應(yīng)用題二次函數(shù)與一元二次方程（1）二次函數(shù)y二ax2+bx+c的圖象（拋物線）與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)x,x是對(duì)應(yīng)一12二次方程a2+bx+c=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根（2）拋物線與x軸的交點(diǎn)情況可以由對(duì)應(yīng)的一元二次方程的根的判別式判定：b2—4ac>0<===>拋物線與X軸有2個(gè)交點(diǎn)；b2—4ac=0<===>拋物線與x軸有1個(gè)交點(diǎn)；b2—4ac<0<===>拋物線與x軸有0個(gè)交點(diǎn)（無(wú)交點(diǎn)）；（3）當(dāng)b2-4ac>0時(shí)，設(shè)拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)為A、B,則這兩個(gè)點(diǎn)之間的距離:b2-4ac八化簡(jiǎn)后即為：IAB1=（b2-4ac>0）這就是拋物線與x軸的兩交點(diǎn)之間的距離公式。IaI第三章圓圓的定義：描述性定義：在一個(gè)平面內(nèi)，線段0A繞它固定的一個(gè)端點(diǎn)0旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn)A隨之旋轉(zhuǎn)所形成的圓形叫做圓；固定的端點(diǎn)0叫做圓心；線段0A叫做半徑；以點(diǎn)0為圓心的圓，記作00,讀作“圓0”集合性定義：圓是平面內(nèi)到定點(diǎn)距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合。其中定點(diǎn)叫做圓心，定長(zhǎng)叫做圓的半徑，圓心定圓的位置，半徑定圓的大小，圓心和半徑確定的圓叫做定圓。對(duì)圓的定義的理解：①圓是一條封閉曲線，不是圓面；圓由兩個(gè)條件唯一確定：一是圓心（即定點(diǎn)），二是半徑（即定長(zhǎng)）。點(diǎn)與圓的位置關(guān)系及其數(shù)量特征：如果圓的半徑為r，點(diǎn)到圓心的距離為d，則點(diǎn)在圓上〈===>d=r;點(diǎn)在圓內(nèi)〈===>d〈r;點(diǎn)在圓外〈===>d>r.其中點(diǎn)在圓上的數(shù)量特征是重點(diǎn)，它可用來(lái)證明若干個(gè)點(diǎn)共圓，方法就是證明這幾個(gè)點(diǎn)與一個(gè)定點(diǎn)、的距離相等。圓的對(duì)稱性：（1）與圓相關(guān)的概念：弦和直徑：弦：連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦。直徑：經(jīng)過(guò)圓心的弦叫做真徑。弧、半圓、優(yōu)弧、劣?。夯。簣A上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧，簡(jiǎn)稱弧，用符號(hào)表示，以CD為端點(diǎn)的弧記為“UD”，讀作“圓弧CD”或“弧CD”。半圓：直徑的兩個(gè)端點(diǎn)分圓成兩條弧，每一條弧叫做半．圓．。優(yōu)?。捍笥诎雸A的弧叫做優(yōu)．弧．。劣?。盒∮诎雸A的弧叫做劣．?。?。（為了區(qū)別優(yōu)弧和劣弧，優(yōu)弧用三個(gè)字母表示。）弓形：弦及所對(duì)的弧組成的圖形叫做弓形。同心圓：圓心相同，半徑不等的兩個(gè)圓叫做同心圓。等圓：能夠完全重合的兩個(gè)圓叫做等圓，半徑相等的兩個(gè)圓是等圓。等?。涸谕瑘A或等圓中，能夠互相重合的弧叫做等弧。圓心角：頂點(diǎn)在圓心的角叫做圓心角.弦心距:從圓心到弦的距離叫做弦心距.（2）.圓是軸對(duì)稱圖形，直徑所在的直線是它的對(duì)稱軸，圓有無(wú)數(shù)條對(duì)稱軸。圓是中心對(duì)稱圖形，對(duì)稱中心為圓心。定理：在同圓或等圓中,相等的圓心角所對(duì)的弧相等、所對(duì)的弦相等、所對(duì)的弦心距相等。推論:在同圓或等圓中,如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相等,那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等.垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧。推論：平分一般弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧。說(shuō)明：根據(jù)垂徑定理與推論可知對(duì)于一個(gè)圓和一條直線來(lái)說(shuō)，如果具備：①過(guò)圓心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所對(duì)的優(yōu)弧；⑤平分弦所對(duì)的劣弧。上述五個(gè)條件中的任何兩個(gè)條件都可推出其他三個(gè)結(jié)論。圓周角和圓心角的關(guān)系:（1）圓周角：:頂點(diǎn)在圓上,并且兩邊都與圓相交的角,叫做圓周角.（2）圓周角定理:圓周角的度數(shù)等于它所對(duì)弧上的的圓心角度數(shù)的一半.推論1:同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等。推論2:直徑所對(duì)的圓周角是直角；90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑；（3）圓內(nèi)接四邊形：若四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)圓上,這個(gè)四邊形叫做圓內(nèi)接四邊形.圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì):圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ);6確定圓的條件:（1）理解確定一個(gè)圓必備兩個(gè)條件:圓心和半徑,圓心決定圓的位置,半徑?jīng)Q定圓的大小.經(jīng)過(guò)一點(diǎn)可以作無(wú)數(shù)個(gè)圓,經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)也可以作無(wú)數(shù)個(gè)圓,其圓心在這個(gè)兩點(diǎn)線段的垂直平分線上.（2）經(jīng)過(guò)三點(diǎn)作圓要分兩種情況:經(jīng)過(guò)同一直線上的三點(diǎn)不能作圓.經(jīng)過(guò)不在同一直線上的三點(diǎn)，能且僅能作一個(gè)圓.定理:不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓.（尺規(guī)作圖教材第85頁(yè)）三角形的外接圓、三角形的外心。（1）三角形的外接圓:經(jīng)過(guò)一個(gè)三角形三個(gè)頂點(diǎn)的圓叫做這個(gè)三角形的外接圓.（2）三角形的外心:三角形外接圓的圓心叫做這個(gè)三角形的外心.（3）三角形的外心的性質(zhì):三角形外心到三頂點(diǎn)的距離相等.直線與圓的位置關(guān)系（1）相交:直線與圓有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，叫做直線和圓相交，這時(shí)直線叫做圓的割線.（2）相切:直線和圓有惟一公共點(diǎn)時(shí)，叫做直線和圓相切，這時(shí)直線叫做圓的切線，惟一的公共點(diǎn)做切點(diǎn).（3）相離:直線和圓沒(méi)有公共點(diǎn)時(shí)，叫做直線和圓相離.（4）直線與圓的位置關(guān)系的數(shù)量特征:設(shè)。0的半徑為r,圓心0到直線的距離為d；①d〈r<===>直線L和。0相交.d=r