八年級上冊數學 期中精選試卷易錯題(Word版 含答案)

八年級上冊數學期中精選試卷易錯題(Word版含答案)八年級數學全等三角形解答題壓軸題(難)1.如圖,ZBAD=ZCAE=90°,AB=AD,AE=AC,AF丄CB,垂足為F?求證：△ABC雯△ADE；求ZFAE的度數;【答案】(1)證明見解析；(2)ZFAE二135。:(3)證明見解析.【解析】【分析】根據己知條件易證zBAC=ZDAE,再由AB=AD,AE=AC，根據SAS即可證得△ABC纟△ADE；已知ZCAE=90°,AC=AE，根據等腰三角形的性質及三角形的內角和定理可得ZE=45°，由(1)知厶BAC雯△DAE,根據全等三角形的性質可得ZBCA=ZE=45°,再求得ZCAF=45°,由ZFAE=ZFAC+ZCAE即可得ZFAE的度數;(3)延長BF到G,使得FG=FB,易證△AFB竺△AFG,根據全等三角形的性質可得AB=AGrZABF=ZG,再由△BAC竺△DAEr可得AB=ADzZCBA=ZEDArCB=EDr所以AG=AD,ZABF=ZCDAf即可得ZG=ZCDAf利用AAS證得△CGA^△CDAr由全等三角形的性質可得CG=CD,所以CG二CB+BF+FG二CB+2BF二DE+2BF?【詳解】(1)?/ZBAD=ZCAE=90°#???ZBAC+ZCAD=90°zZCAD+ZDAE=90°r???ZBAC=ZDAE#在厶BAC和厶DAE中,AB=AD<ZBAC=ZDAE,AC=AE???△BAC雯△DAE(SAS)；(2)JZCAE=90°rAC=AEr???ZE=45°#由(1)知厶BAQaDAEr???ZBCA=ZE=45°,???AF丄BCr???ZCFA=90°r.??zCAF=45°,???ZFAE=ZFAC+ZCAE=45o+90o=135°；(3)延長BF到G,使得FG=FB,???AF丄BG,.??zAFG=ZAFB=90°#在厶AFB和厶AFG中，BF=GFZAFB=ZAFG,AF=AF???△AFB雯△AFG(SAS),AB=AGrZABF=ZG#???△BAC雯△DAEr???AB=ADrZCBA=ZEDArCB=ED,???AG=ADrZABF=ZCDAr???ZG=ZCDA,在厶CGA和厶CDA中，ZGCA=ZDCAZCGA=ZCDA,AG=AD???△CGA雯△CDA,???CG=CD,???CG二CB+BF+FG二CB+2BF二DE+2BF,???CD=2BF+DE?【點睛】本題考查全等三角形的判定與性質，解決第3問需作輔助線，延長BF到G,使得FG=FB,證得△CG臉△CDA是解題的關鍵?2.如圖，/\ABC中，D是BC的中點，過D點的直線GF交AC于F,交&C的平行線BG于G點，DE丄DF,交于點E,連結EG.EF?(1)求證：BG=CF；(2)請你判斷BE+CF與EF的大小關系，并說明理由.【解析】(2)BE+CF>EF,【解析】(2)BE+CF>EF,證明詳見解析【分析】先利用ASA判定△EGD^aCFD,從而得出BG=CF：利用全等的性質可得GD=FD,再有DE丄GF,從而得到EG=EF,兩邊之和犬于第三邊從而得出EE+CF>EF?【詳解】解:(1)TBG〃&C,:.ZDBG=ZDCF.???D為BC的中點,:.BD=CD又???ZBDG=ZCDF,在△BGD與中,ADBG=ZDCFBD=CDZBDG=乙CDF:./\BGD^/\CFD(ASA)?:.BG=CF?(2)BE+CF>EF??:HBGD空/\CFD,:?GD=FD,BG=CF?又TDE丄FG,???EG=EF(垂直平分線到線段端點的距離相等).???在AEBG中，BE+BG>EG.即BE+CF>EF?【點睛】本題考查了三角形全等的判定和性質，要注意判定三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、AAS、ASA、HL.如圖1,在MBC中，ZACB=90J,AC=BC,直線MN經過點C,且4D丄伽

于點￡）,BE丄MN于點、E?易得￡>E=AD+BE（不需要證明）?（1）當直線MV繞點C旋轉到圖2的位置時，其余條件不變，你認為上述結論是否成立？若成立，寫出證明過程；若不成立，請寫出此時DE、AD.施之間的數量關系，并說明理由；（2）當直線MN繞點C旋轉到圖3的位置時，其余條件不變，請直接寫岀此時【分析】⑴DE、AD、BE之間的數量關系是DE=AD-BE.由垂直的性質可得到ZCAD=ZBCE,證得AACD^ACBE,得到AD=CE,CD=BE,即有DE=AD-BE：（2）DE、AD、BE之間的關系是DE=BE-AD.證明的方法與⑴一樣.【詳解】（1）不成立.DE、AD、BE之間的數量關系是DE=AD-BE,理由如下：如圖，AZACD+ZCAD^O0,又ZACD+ZBCE=9O0,AZCAD=ZBCE,在AACD和ZkCBE中，ZADC=ZCEB=90°<ZCAD=ZBCEAC=CB???△ACD空△CBE(AAS),AAD=CE,CD二BE,ADE=CE-CD=AD-BE；(2)結論：DE=BE-AD.VZACB=90°,BE丄CE,AD丄CE,AC=CB,AZACD+ZCAD=90°,又ZACD+ZBCE=9(T,AZCAD=ZBCE,在AACD和ACBE中，ZADC=ZCEB=90°<ZCAD=ZBCE,AC=CB?'?△ADC竺△CEB(AAS),AAD=CE,DUBE,ADE=CD-CE=BE-AD.【點睛】本題考查了旋轉的性質、直角三角形全等的判定與性質，旋轉前后兩圖形全等，對應點到旋轉中心的距離相等，對應點與旋轉中心的連線段所夾的角等于旋轉角.在等邊△ABC中，點D是邊BC上一點?作射線4Q,點B關于射線4D的對稱點為點E?連接CE并延長，交射線AD于點尸??AE與AC的數量關系是:②設ZBAF=a,用&表示ZBCF的大?。?2)如圖，用等式表示線段AF>CF,E尸之間的數量關系，并證嘰【答案】⑴?AB=AE；②ZBCF"；⑵AF-EF=CF,理由見詳解.【解析】【分析】(1〉①根據軸對稱性，即可得到答案；②由軸對稱性，得：AE=AB,ZEAF=ZEAF=Q,由厶ABC是等邊三角形，得AB=AC,ZEAC=ZACE=60。，再根據等腰三角形的性質和三角形內角和等于180。，即可求解；(2)作ZFCG=60"交AD于點G,連接BF,易證AFCG是等邊三角形，得GF=FC,再證AACG^ABCF(SAS),從而得AG=BF,進而可得到結論.【詳解】①???點B關于射線的對稱點為點E,??.AB和AE關于射線AD的對稱，AAB=AE.故答案是:AB=AE；②???點B關于射線AD的對稱點為點E,AAE=AB,ZBAF=ZEAF=G,???^ABC是等邊三角形，.??AB=AC,ZBAC=ZACB=60°,AZEAC=60''-20!,AE=AC,???ZACE=*[180_(60_2q)]=60+a,AZBCF=ZACE-ZACB=60+67-60°=Q.AF-EF=CF,理由如下:作ZFCG=60°交AD于點G,連接EF,VZBAF=ZBCF=<?,ZADB=ZCDF,AZABC=ZAFC=60:>,AAFCG是等邊三角形，.??GF=FC,???^ABC是等邊三角形，ABC=AC,ZACE=60,???ZACG=ZECF=d.在AACG和ABCF中,CA=CB???ZACG=ZBCF,CG=CFAAACG^ABCF(SAS),/?AG=BF,???點B關于射線4D的對稱點為點E,/.AG=BF=EF,VAF-AG=GF,AAF-EF=CF.【點睛】本題主要考查等邊三角形的性質和三角形全等的判定和性質定理，添加輔助線，構造全等三角形，是解題的關鍵.5.已知：AABC,ZA=45‘，ZACB=90'f點D是AC延長線上一點，且AD=>/2+2,?M是線段CD上一個動點，連接BM,延長MB到H,使得=以點B為中心，將線段BH逆時針旋轉45。，得到線段BQ,連接AQ.（1）依題意補全圖形；（2）求證：ZABQ=ZAMB；（3）點N是射線AC上一點，且點/V是點M關于點D的對稱點，連接B/V,如果QA=BN,求線段AB的長.ACD【答案】（1）見解析；（2）證明見解析：（3）=【解析】【分析】（1）根據題意可以補全圖形：（2）根據三角形外角的性質即町證明；(3)作QE丄AB,根據AAS證得?QEB=^BCM,根據HL證得Rf?QEA三Rt@BCN,設法證得AB=2CD,設AC=BC=x,則AB二忑x，CD=—x＞結合已知4D=JI+2，構建方程即可求解.2【詳解】(D補全圖形如下圖所示：解：TZABH是@ABM的一個外角，???ZABH=ZBAM+ZAMB???ZABH=ZHBQ+ZABQ又???乙HEQ=ZBAM=45°.?.ZABQ=ZAMB過Q作QE丄AB,垂足為E,如下圖:???QE丄AB.?.ZQEB=ZBCM=90°,ZQEB=ZBCM在@QEB和?ECM中,<ZQBE=ZBMCQB=BM.?.?QEB=^BCM(AAS)???EB=CM,QE=BC,在R2QEA和RgBCN中?:QE=BC,QA=EN:.Rt^QEA=R2BCN（HL）:.AE=CN=CM+MD+DN*?*點N是點M關于點D的對稱點，???MD=DN???AE=CM+2MD=EB+2MD??.AB=AE+EB=2EB+2MD=2（EB+MD）=2CD設AC=BC=x,則AB"x，CD=—x>2又?:AD=4^+2,AD=AC+CD=x+—x2：?X+^-X=y/2+22解得：x=2???AE=2忑【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質、三角形外角定理、等腰直角三角形的判定與性質等知識點.熟悉全等三角形的判定方法以及正確作出輔助線、構建方程是解答的關鍵.二、八年級數學軸對稱解答題壓軸題（難）6.在等邊AABC中，點D在BC邊上，點E在AC的延長線上，DCD4（如圖1）.⑴求證：ZBAD=ZEDC,（2）若點E關于直線BC的對稱點為M（如圖2）,連接DM,AM.求證：DA=AM.【答案】（1）見解析：（2）見解析【解析】【分析】（1）根據等邊三角形的性質，得出ZBAC=ZACB=60°,然后根據三角形的內角和和外角性質，進行計算即可.（2）根據軸對稱的性質，町得DH二DA,然后結合（1）可得ZMDC=ZBAD,然后根據三角

形的內角和，求出ZADM二60°即可.【詳解】解：⑴如圖］,AABC是等邊三角形，AZBAC=ZACB=6Q°,:.ZBAD=60Q-ZDAE,ZEDC=60Q?Zf,又?:DE二DA,:.ZE=ZDAE,:.ZBAD=ZEDC.(2)由軸對稱可得，DM=DE,ZEDC=ZMDC,?:DE=DA,:.DM=DA9由⑴可得，ZBAD=ZEDC,:.ZMDC=ZBAD.AABD中，ZBAD^ZADB=180°?Z8=120°,:.ZMDC^ZADB=120Q,:.ZADM=60\??.△ADM是等邊三角形，:.AD=AM.【點睛】本題主要考察了軸對稱和等邊三角形的性質，解題的關鍵是熟練掌握這些性質.7.如圖1,在ZUBC中,ZACB=90l>,AC=-BC,點D為BC的中點，AB二DE,BE//AC.2求證：/\ABC竺ADEB；連結4D、AE、CE,如圖2.求證：CE是ZACB的角平分線：請判斷△ABE是什么特殊形狀的三角形，并說明理由.圖1圖2【答案】(1)詳見解析；(2)①詳見解析；②△ABE是等腰三角形，理由詳見解析.【解析】【分析】由AC//BE,ZACB=90°可得ZDBE=90%由AC二丄BC,D是BC中點可得AC二BD,利用2HL即可證明aABC^ADEB；(2)①由(1)得BE=BC,由等腰直角三角形的性質可得ZBCE=45°,進而可得ZACE=45°,即可得答案;②根據SAS可證明△ACE竺ZXDCE,可得AE=DE,由AB=DE可得AE=AB即可證明ZkABE是等腰三角形.【詳解】(1)VZACB=90°,BE〃AC???ZCBE=90°AAABC和ADEB都是直角三角形TAC二-BC,點D為BC的中點2???AC=BD又TAB二DE???△ABC絲ADEB(H.L.)①由(1)得：aABC^ADEB???BC=EB又VZCBE=90°:.ZBCE=45°:.ZACE=90<,-45°=45°AZBCE=ZACE???CE是ZACB的角平分線②AABE是等腰三角形，理由如下：AC=DC在MCE和ADCE中<AACE=ZBCECE=CEAAACE^ADCE(SAS)?AAE=DE又TAB二DEAAE=AB???△ABE是等腰三角形

圖2圖2【點睛】本題考查全等三角形的判定與性質及等腰三角形的判斷與性質，熟練掌握判定定理是解題關鍵.已知'ABC?在圖①中用直尺和圓規(guī)作出zB的平分線和邊的垂直平分線交于點0(保留作圖痕跡，不寫作法).在(1)的條件下，若點D、E分別是邊BC和43上的點，且CD=BE,連接OD、OE求證：OD=OE；如圖②，在(1)的條件下，點E、F分別是AB.FC邊上的點，且的周長等于BC邊的長，試探究ZABC與ZEOF的數量關系，并說明理由.ZABC+2ZEOF=180，理由見解析.ZABC+2ZEOF=180，理由見解析.(3)ZABC與ZEOF的數量關系是【解析】【分析】利用基本作圖作ZABC的平分線；利用基本作圖作BC的垂直平分線，即可完成：如圖，設BC的垂直平分線交BC于G,作0H丄AB于H,用角平分線的性質證明OH=OG,BH=BG,繼而證明EH=DG,然后可證明△OEH三氐ODG,于是可得到OE=OD：作OH丄AB于H,0G丄CB于G,在CB上取CD=BE,利用(2)得到CD=BE,\OEH=\ODG,OE=OD,AEOH=ZDOG,ZABC+ZHOG=180證明ZEOD=AHOG敝有ZABC+ZEOD=180,由厶3￡尸的周長=BC可得到DF=EF,于是可證明NOEF=\OGF，所以有AEOF=ZDOF,然后可得到ZABC與ZEOF的數量關系.【詳解】解：(1)如圖，就是所要求作的圖形；(2)如圖，設BC的垂直平分線交BC于G,作OH丄AB于H,???BO平分ZABC,OH丄AB,OG垂直平分BC,AOH=OGtCG=BG,VOB=OB,???\OBH=\OBG,ABH=BG,VBE=CD,/?EH=BH-BE=BG-CD=CG-CD=DG,在△OEH和AODG中，OH=OG<ZOHE=ZOGD=9Q',EH=DG??.\OEH=\ODG,AOE=OD.（3）ZABC與ZEOF的數量關系是ZABC+2ZEOF=180,理由如卞;如圖②，作OH丄AB于H,OG丄CB于G,在CB上取CD二BE,由(2)可知，因為CD二BE,所以△OEH=\ODG且OE=OD,

???AEOH=ZDOG,ZABC+乙HOG=180,???ZEOD=ZEOG+ZDOG=ZEOG+ZEOH=AHOG,???ZABC+ZEOD=1SO\VA3EF的周長=BE+BF+EF=CD+BF+EF=BCADF=EF,在厶OEF和厶OGF中，OE=OD<EF=FD,OF=OF???\OEF=\OGF,:.ZEOF=ADOF,:?ZEOD=2ZEOF,???ZABC+2ZEOF=ISQ.【點睛】本題考查了角平分線的性質、垂直平分線的性質及全等三角形的判定與性質，還考查了基本作圖.熟練掌握相關性質作出輔助線是解題關鍵，屬綜合性較強的題目，有一定的難度，需要有較強的解題能力.如圖1,在aASC中，ZBAC=90°，點D為AC邊上一點、,連接BD,點E為BD上一點，連接CE，ZCED=ZABD,過點A作4G丄CE,垂足為G,交ED于點⑴求證：ZFAD=2ZABDx(2)如圖2,若AC=CE，點D為AC的中點，求證：AB=AC；⑶在⑵的條件下，如圖3,若EF=3,求線段DF的長.【答案】(1)詳見解析：(2)詳見解析：(3)6【解析】【分析】根據直角三角形的性質可得ZADB=90°-ZABD，ZEFG=90?！猌CED，然后根據三角形的內角和和已知條件即可推出結論：根據直角三角形的性質和已知條件可得進而可得4尸=4￡>，ABFA=Z.CDE，然后即可根據AAS證明AABF^/^CED,可得AB=CE,進一步即可證得結論；（3）連接4E，過點4作4H丄肚交〃￡）延長線于點H,連接CH,如圖4.先根據已知條件、三角形的內角和定理和三角形的外角性質推出ZAED=45°,進而可得AE=AH＞然后即可根據SAS證明氐ABESMCH,進一步即可推出ZCHD=90°,過點4作4K丄￡￡＞于K,易證MKD竺ZkCHD,可得￡＞K=DH，然后即可根據等腰三角形的性質推得DF=2EF,問題即得解決.【詳解】（1）證明：如圖1,-ZBAC=90°,:.ZADB=9Q°-ZABD,-AG丄CE,.\ZFGE=90°,ZEFG=ZAFD=90°-ZCED,:.ZFAD=180。—ZAFD-ZADF=ZCED+ZABD,???/CED=ZABD,.?.ZF'AD=2ZABD;Wl證明：如圖2,ZAFD=90。—ZCED,ZADB=90°-ZABD,ZCED=ZABD，.\ZAFD=ZADF,:.AF=AD^ZBFA=ZCDE,???點D為AC的中點，???AD=CD,AF=CDAABF\CED(AAS),:.AB=CE,vCE=AC,:.AB=AC；(3)解：連接AE,過點A作AH丄AE交延長線于點H,連接CH,如圖4.?SAC=90。，/.ZBAE=ZCAH,設ZABD=ZCED=a,則ZFAD=2a,ZACG=90。—2a,?：CA=CE,ZAEC=ZEAC=45。+a,.\ZAED=45°,/.ZAHE=45°,:.AE=AH?:AB=AC,??仏ABE空\ACH(SAS),ZAEB=ZAHC=135。，?.ZCHD=90°,過點4作4K丄劭于K,:.ZAKD=ZCHD=90°,-AD=CD,ZADK=ZCDH,:.\AKD竺氐CHD(AAS),DK=DH,???AK丄DF,AF=AD.AE=AHy.?.FK=DK,EK=HK,???DH=EF=3、???DF=6?【點睛】本題考查了直角三角形的性質、三角形的內角和定理、三角形的外角性質、等腰直角三角形的判定和性質、全等三角形的判定和性質以及等腰三角形的性質等知識，考查的知識點多、綜合性強、難度較大，正確添加輔助線、構造等腰直角三角形和全等三角形的模型、靈活應用上述知識是解題的關鍵.如圖，在“WC中，已知AB=AC,AD是BC邊上的中線，點E是AB邊上一動點，點P是AD上的一個動點.（1）若乙BAD=3T，求ZACB的度數；（2）若BC=6、4D=4，AB=5,且CE丄AB時，求CE的長；（3）在（2）的條件下，請直接寫出BP+EP的最小值.2424【答案】（1）ZACB=5y.（2）CE=——?（3）——?55【解析】【分析】（1）由已知得出三角形ABC是等腰三角形，/ACB=/ABC,AD是EC邊的中線，有ADIBC,求出NAEC的度數，即可得出/ACB的度數.（2）根據三角形ABC的面積可得出CE的長②6’，②6’，(3)連接CP,有BP=CP,BP+EP=EPYP,當點E,P,C在同一條直線上時EP+EP有最小值，即CE的長度.【詳解】解：⑴?/AB=AC,.?.ZACB=ZABC,?：AD是BC邊上的中線，ZADB=90,???ZBAD=37,:.ZA3C=90°—37°=53°,:.ZACB=5y.(2)?.?CE丄AB,S”abc=—BC?AD=—AB?CE,22BC=6,AD=49AB=5,3【點睛】本題考查的知識點主要有等腰三角形的“三線合一”，三角形的面枳公式等，充分利用等腰三角形的''三線合一”是解題的關鍵.三、八年級數學整式的乘法與因式分解解答題壓軸題(難)因式分解是多項式理論的中心內容之一，是代數中一種重要的恒等變形，它是學習數學和科學技術不可缺少的基礎知識.在初中階段，它是分式中研究約分、通分、分式的化簡和計算的基礎：利用因式分解的知識，有時可使某些數值計算簡便.因式分解的方法很多，請根據提示完成下面的因式分解并利用這個因式分解解決提出的問題.填空：■■X4+-=(X2Y+X2+-一亍=()2_兀2=()()4L4_64+#=(6，『+()+扌］-_=()()=()x()(叫加弓解決問題，計算：)——7X7——H(.1)<.1)對+X+—12丿<2丿【答案】⑴①V,(1\62+-+6,6(1\62+-+6,62+--612丿12丿【解析】42.5,30.5:(2)1457T【分析】(1)根據完全平方公式和平方差公式計算可得;(2)利用前面所得規(guī)律變形即門J?【詳解】(1)+—-6(1)+—-6=42.5x30.5x2+x+-x2+x+-②62，42.5,30.5:1V62+6+-1V62+6+-2丿I42.5x303x72.5x56.5_30.5x20.5x56.5x42.5145【點睛】本題考查了因式分解的應用；熟練掌握完全平方公式和平方差公式是解題的關鍵.12?閱讀下列因式分解的過程，再回答所提出的問題:l+x+x(x+l)+x(x+l「=(l+x)[l+x+x(l+x)]=(l+x)~(l+x)=(1+x)'.上述分解因式的方法是法.分解1+X+x(x+1)+x(x+1)'+…+x(x+1)2019的結果應為?分解因式：l+x+x(x+l)+x(x+l)‘+???+x(x+l)".【答案】(1)提公因式；(2)(1+X)2020；(3)(1+X廠【解析】【分析】用的是提公因式法；按照(1)中的方法再分解幾個，找了其中的規(guī)律，即可推測出結果；.由(2)中得到的規(guī)律即可推廣到一般情況.【詳解】解：(1)上述分解因式的方法是提公因式法.(2)1+X+X(X+1)+X(X+1)-+X(X+1『=(1+A)34-X(X4-l)3=(l+X)41+X+X(X+1)4-X(A4-1)~+X(X+l)3+x(l+=(1+X)44-X(A+1)"=(1+X)'由此可知l+x+x(x+l)+x(x+1)'+???+x(x+1)2019=(1+x)""(3)原式=(l+x)[l+x+x(x+1)]+x(x+1)3+...+x(x+l)n,=(1+x)2(1+x)+x(x+1)3+...+x(x+1)n,=(1+x)3+X(1+X)3+...+X(1+x)n,=(1+x)n+x(x+1)n,=(1+x)n+1.【點睛】本題考查了提公因式法分解因式，找出整式的結構規(guī)律是關鍵，體現了由特殊到一般的數學思想.已知一個三位自然數，若滿足百位數字等于十位數字與個位數字的和，則稱這個數為“和數”，若滿足百位數字等于十位數字與個位數字的平方差，則稱這個數為“諧數”.如果一個數即是"和數”，又是“諧數”，則稱這個數為“和諧數”.例如321,???3=2+1,???321是“和數”，???3=2=1’，二321是“諧數”，二321是“和諧數”.(1)最小的和諧數是—，最大的和諧數是—；(2)證明：任意“諧數”的各個數位上的數字之和一定是偶數：(3)已知〃?=10b+3c+817(0<Z?<7,l<c<4,且也c均為整數)是一個“和數”,請求出所有加.【答案】(1)110；954；(2)見解析；(3)m=880或853或826.【解析】

【分析】根據“和數"與“諧數”的概念求解可得：設“諧數"的百位數字為X、十位數字為y,個位數字為z,根據"諧數"的概念得x=y2-z2=(y+z)(y-z),由x+y+z=(y+z)(y-z)+y+z=(y+z)(y-z+1)及y+z、y-z+1必然一奇一偶可得答案；先判斷出2<b+2<9x10<3c+7<19,據此可得m=10b+3c+817=8xl00+(b+2)xlO+(3c-3),根據“和數"的概念知8=b+2+3c-3,即b+3c=9,從而進一步求解可得.【詳解】最小的和諧數是110,最大的和諧數是954.設：“諧數”的百位數字為兀，十位數字為y,個位數字為z(l<x<9,0<y<9,0<z<9E)‘>Z且均為正數)，由題意知，^=y2-z2=(y+z)(y-z)y+Z=(y+Z)(y-Z)+y+Z=(y+Z)(y-Z+1),zVy+z與)'一Z奇偶性相同，.?.y+z與y—z+l必一奇一偶，???(y+z)()'—z+i)必是偶數，???任意“諧數”的各個數位上的數字之和一定是偶數；V0<Z?<7,A2<Z?+2<9,V1<C<4,A3<3c<12,/.10<3c+7<19，/.〃?=817+10b+3c,=8xl00+(b+l)xl0+(3c+7)=8xl00+(Z?+2)xl0+(3c+7-10)=8xl00+(b+2)xl0+(3c—3),Tm為和數，8=Z?+2+3c—3,即b+3c=9,b=6b=3｛（或C或"c=2--rb=0c=3'?■、Am=880或853或826.【點睛】本題考查因式分解的應用，解題的關鍵是理解題意、熟練掌握“和數"與"諧數"的概念及整式的運算.不等式的性質.對于任意兩個數b的大小比較，有下面的方法：當a—b>0時，一定有a>b,當c/-b=O時，一定有a=b；當a-bvO時，一定有ci<b.反過來也成立.因此，我們把這種比較兩個數大小的方法叫做"求差法".請根據以上材料完成下面的題目：已知：4=2Ty+8y,B=且A>B,試判斷V的符號；已知：a、b、c為三角形的三邊，比較a2+c2-b2和2oc的大小.【答案】⑴y>0：(2)a2+c2-b2<2ac【解析】【分析】根據題意得到2x2y+Sy-Sxy>Q,因式分解得到2y(x-2)‘>0,進而得到y的符號即可：將a2+c2-b2和2ac作差，結合已知及三角形的兩邊之和人于第三邊可求.【詳解】解：(1)因為A>B,所以A-B>0,即2x〉+8y_&yy>0,:.2y(x2+4-4.V)=2y(x-2)2>0,因為(x-2)訂0,Ay>0(2)因為a2-b2+c2-2ac=a2-|-c2-2ac-b2=(a-c)2-b2=(a-c-b)(a-c+b),Ta+b>c,aVb+c,所以(a-c-b)(a-c+b)<0,所以a2-b2+c2-2ac的符號為負.?°?a2+c2—b2<2ac【點睛】本題考查了作差法比較兩個式子的人小以及因式分解，解題的關鍵是理解題中的“求差法”比較兩個數的大小，并熟練掌握因式分解的方法.在現今“互聯網+”的時代，密碼與我們的生活已經緊密相連，密不可分.而諸如“123456”、生口等簡單密碼又容易被破解，因此利用簡單方法產生一組容易記憶的6位數密碼就很有必要了.有一種用“因式分解法產生的密碼，方便記憶，其原理是：將一個多項式分解因式，如多項式：X3+2/-X-2因式分解的結果為(x-1)(x+l)(x+2),當x=18時，x-1=17,x+l=19,x+2=20,此時可以得到數字密碼171920.根據上述方法，當x=21,y=7時，對于多項式^-xy2分解因式后可以形成哪些數字密碼？(寫出兩個)若多項式*+<m-3n)x2-nx-21因式分解后，利用本題的方法，當x=27時可以得到其中一個密碼為242834,求m、門的值.【答案】(1)可以形成的數字密碼是：212814.21142&(2)m的值是56,n的值是

17.【解析】【分析】先將多項式進行因式分解，然后再根據數字密碼方法形成數字密碼即可；(2)設“+(m-3n)x2-nx-21=(x+p)(x+q)(x+r),當x=27時可以得到其中一個密碼為242834,得到方程解出p、q、r,然后回代入原多項式即可求得m、n【詳解】x3-xy2=x(x2-y2)=x<x+y)(x-y),當x=21,y=7時，x+y=28,x-y=14,???可以形成的數字密碼是:212814、211428；設*+(m-3n)x2-nx-21=(x+p)(x+q)(x+r),???當x=27時可以得到其中一個密碼為242834,A27+p=24,27+q=28,27+r=34,解得，P~~3,Q—1?r=7,/.x3+(m-3n)x2-nx-21=(x-3)(x+1)(x+7),Ax3+(m-3n)x2-nx-21=x3+5x2-17x-21,m-3z?=5z=56一"=一17'八I?=17即m的值是56,"的值是17.【點睛】本題屬于閱讀理解題型，考查知識點以因式分解為主，本題第一問關鍵在于理解題目中給到的數字密碼的運算規(guī)則，第二問的關鍵在于能夠將原多項式設成(x+p)(x+q)(x+r),解出p、q、r四、八年級數學分式解答題壓軸題(難)TOC\o"1-5"\h\ziMX+1..2x已知：M=,N=.2x+l當兀>0時，判斷M—N與0的關系，并說明理由；設尸芻N?M當尸3時，求X的值；若X是整數，求y的正整數值.【答案】(1)見解析；(2)①1；②4或3或1【解析】【分析】(1)作差后,根據分式方程的加減法法則計算即可；(2)(DffiM、N代入整理得到八解分式方程即可；2②把瘵形為：y=2+——,由于x為整數，y為整數z則x+l可以取±1,±2r然后——檢x+l

驗即可?【詳解】(1)當X>0時tM-N>0.理由如下：x+12x2x+1(x—l)-x+12x2x+1(x—l)-2(x+l)???x>Qt:.(x-l)2>or2(x+l)>0,???(「廠>0.M-N>0.2(x+l)(2)依題意，得：尸二+二=彳斗.X+lX+1X+1①當y=3，即斗1=3時，解得：.經檢驗，是原分式方程的解，???當尸3X+1時，X的值是1?②尸2x+4x+1②尸2x+4x+1-蘭—2+丄X+1X+12???X、y是整數，二一是整數，二X+1可以取±2?x+12當x+l=l，即x=0時，y=2+-j-=4>02當x+1…時，即2-2時，y=2-了=0(舍去);2當x+l=2時，即x=l時，y=2+—=3>0;22當x+l=-2時，即x=-3時，y=2+(—-)=1>0;—2綜上所述:當*為整數時，y的正整數值是4或3或1.【點睛】本題考查了分式的加減法及解方式方程?確定x+1的取值是解答(2)②的關鍵.我們知道，假分數可以化為整數與真分數的和的形式，例如：-在分式中，對于只含有一個字母的分式，當分子的次數大于或等于分母的次數時，我們稱之為“假分式”；當分子的次數小于分母的次數時，我們稱之為“真分式”?y—3V*2例如：像——，…這樣的分式是假分式；像一,x+3x-3x-3r—3—，???這樣的分式是真分式.類似的，假分式也可以化為整式與真分式的和(差)的形式.例如：將分式二蘭二2拆分成一個整式與一個真分式的和(差)的形式.

方法一：解：由分母為x+3,可設x'+2x-5=(x+3)(x+a)+b則由+2%-5=(x+3)(x+a)+b=x1+ax+3x+3a+b=+(a+3)x+(3a+b)對于任意X,上述等式均成立，@+3=2(a=-l???和;l解得初c[3a+b=-5[b=-2.x2+2_x_5_(x+3)(x-1)-2_(x+3)(x-1)2開]2x+3x+3x+3x+3x+3這樣，分式xh就被拆分成一個整式與一個真分式的和（差）的形式.x+3方法二：解：x2+2x-5x2+3x-x-3-2x2+2x-5x2+3x-x-3-2x(x+3)-(x+3)-2x(x+3)x+32x+3x+3x+3x-1-x+3x+3x+32x+3這樣，分式xh就拆分成一個整式與一個真分式的和（差）的形式.x+3r2_7r-3（1）請仿照上面的方法，選擇其中一種方法將分式一拆分成一個整式與一個真X-1分式的和（差）的形式；（2）已知整數x使分式11的值為整數,求出滿足條件的所有整數x的值.x+29【答案】（1）X-6:（2）x=-l或-3或11或-15.x-1【解析】【分析】（1）先變形—7—3=——6-9,由“真分式”的定義，仿照例題即可得出結X—1X—1論；（2）先把分式化為真分式，再根據分式的值為整數確定整數x的值.【詳解】“八x2-lx-3x2-x-6x+6-9解：（1）=X—1X—1x（x-l）-6（x-l）-9x-1x-12〒+5x-11_2x'+4x+x+2-13x+2x+22x(x+2)+(x+2)—13772=2x+l-13=2x+l-137+2???x是整數，2「+x—11也是整數,x+2/.x+2=l或x+2=-l或x+2=13或x+2=-13,Ax=-1或-3或11或-15.【點睛】本題考查了逆用整式和分式的加減法對分式進行變形.解決本題的關鍵是理解真分式的定義對分子進行拆分.某快遞公司有甲、乙、丙三個機器人分配快件，甲單獨完成需要x小時，乙單獨完成需要y小時，丙單獨完成需要z小時.（1）求甲單獨完成的時間是乙丙合作完成時間的幾倍？（2）若甲單獨完成的時間是乙丙合作完成時間的a倍，乙單獨完成的時間是甲丙合作完成時間的b倍，丙單獨完成的時間是甲乙合作完成時間的c倍，求亠+亠+亠的a+lb+1c+1值.【答案】（1）甲單獨完成的時間是乙丙合作完成時間的丄匸』倍；（2）1【解析】分析：（1）先求出乙丙合作完成時間，再用甲單獨完成的時間除以乙丙合作完成時間即可求解；（2）根據“甲單獨作完成的天數為乙丙合作完成天數的a倍S可得亠1,運用比—十—例的基本性質、等式的性質及分式的基本性質可得丄=——-——：同理，根據“乙單a+1xy+yz+xzixz獨作完成的天數為甲、丙合作完成天數的b倍匕可得一=——-——：根據“丙單獨b+1xy+yz+xz1xy作完成的天數為甲、乙合作完成天數的c倍”，可得一=:,將它們分別代入c+1xy+yz+xz所求代數式，即可得出結果.詳解：（1）x4-[14-（—+—）]yzxy+xzyzxy+xz答：甲單獨完成的時間是乙丙合作完