排列與組合.版塊四.排列數(shù)組合數(shù)的計(jì)算與證明.學(xué)生版

PAGE排列數(shù)組合數(shù)的計(jì)算與證明排列數(shù)組合數(shù)的計(jì)算與證明知識(shí)內(nèi)容知識(shí)內(nèi)容1．基本計(jì)數(shù)原理⑴加法原理分類計(jì)數(shù)原理：做一件事，完成它有類辦法，在第一類辦法中有種不同的方法，在第二類辦法中有種方法，……，在第類辦法中有種不同的方法．那么完成這件事共有種不同的方法．又稱加法原理．⑵乘法原理分步計(jì)數(shù)原理：做一件事，完成它需要分成個(gè)子步驟，做第一個(gè)步驟有種不同的方法，做第二個(gè)步驟有種不同方法，……，做第個(gè)步驟有種不同的方法．那么完成這件事共有種不同的方法．又稱乘法原理．⑶加法原理與乘法原理的綜合運(yùn)用如果完成一件事的各種方法是相互獨(dú)立的，那么計(jì)算完成這件事的方法數(shù)時(shí)，使用分類計(jì)數(shù)原理．如果完成一件事的各個(gè)步驟是相互聯(lián)系的，即各個(gè)步驟都必須完成，這件事才告完成，那么計(jì)算完成這件事的方法數(shù)時(shí)，使用分步計(jì)數(shù)原理．分類計(jì)數(shù)原理、分步計(jì)數(shù)原理是推導(dǎo)排列數(shù)、組合數(shù)公式的理論基礎(chǔ)，也是求解排列、組合問題的基本思想方法，這兩個(gè)原理十分重要必須認(rèn)真學(xué)好，并正確地靈活加以應(yīng)用．2．排列與組合⑴排列：一般地，從個(gè)不同的元素中任取個(gè)元素，按照一定的順序排成一列，叫做從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的一個(gè)排列．（其中被取的對(duì)象叫做元素）排列數(shù)：從個(gè)不同的元素中取出個(gè)元素的所有排列的個(gè)數(shù)，叫做從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的排列數(shù)，用符號(hào)表示．排列數(shù)公式：，，并且．全排列：一般地，個(gè)不同元素全部取出的一個(gè)排列，叫做個(gè)不同元素的一個(gè)全排列．的階乘：正整數(shù)由到的連乘積，叫作的階乘，用表示．規(guī)定：．⑵組合：一般地，從個(gè)不同元素中，任意取出個(gè)元素并成一組，叫做從個(gè)元素中任取個(gè)元素的一個(gè)組合．組合數(shù)：從個(gè)不同元素中，任意取出個(gè)元素的所有組合的個(gè)數(shù)，叫做從個(gè)不同元素中，任意取出個(gè)元素的組合數(shù)，用符號(hào)表示．組合數(shù)公式：，，并且．組合數(shù)的兩個(gè)性質(zhì)：性質(zhì)1：；性質(zhì)2：．（規(guī)定）⑶排列組合綜合問題解排列組合問題，首先要用好兩個(gè)計(jì)數(shù)原理和排列組合的定義，即首先弄清是分類還是分步，是排列還是組合，同時(shí)要掌握一些常見類型的排列組合問題的解法：1．特殊元素、特殊位置優(yōu)先法元素優(yōu)先法：先考慮有限制條件的元素的要求，再考慮其他元素；位置優(yōu)先法：先考慮有限制條件的位置的要求，再考慮其他位置；2．分類分步法：對(duì)于較復(fù)雜的排列組合問題，常需要分類討論或分步計(jì)算，一定要做到分類明確，層次清楚，不重不漏．3．排除法，從總體中排除不符合條件的方法數(shù)，這是一種間接解題的方法．4．捆綁法：某些元素必相鄰的排列，可以先將相鄰的元素“捆成一個(gè)”元素，與其它元素進(jìn)行排列，然后再給那“一捆元素”內(nèi)部排列．5．插空法：某些元素不相鄰的排列，可以先排其它元素，再讓不相鄰的元素插空．6．插板法：個(gè)相同元素，分成組，每組至少一個(gè)的分組問題——把個(gè)元素排成一排，從個(gè)空中選個(gè)空，各插一個(gè)隔板，有．7．分組、分配法：分組問題（分成幾堆，無序）．有等分、不等分、部分等分之別．一般地平均分成堆（組），必須除以！，如果有堆（組）元素個(gè)數(shù)相等，必須除以！8．錯(cuò)位法：編號(hào)為1至的個(gè)小球放入編號(hào)為1到的個(gè)盒子里，每個(gè)盒子放一個(gè)小球，要求小球與盒子的編號(hào)都不同，這種排列稱為錯(cuò)位排列，特別當(dāng)，3，4，5時(shí)的錯(cuò)位數(shù)各為1，2，9，44．關(guān)于5、6、7個(gè)元素的錯(cuò)位排列的計(jì)算，可以用剔除法轉(zhuǎn)化為2個(gè)、3個(gè)、4個(gè)元素的錯(cuò)位排列的問題．1．排列與組合應(yīng)用題，主要考查有附加條件的應(yīng)用問題，解決此類問題通常有三種途徑：①元素分析法：以元素為主，應(yīng)先滿足特殊元素的要求，再考慮其他元素；②位置分析法：以位置為主考慮，即先滿足特殊位置的要求，再考慮其他位置；③間接法：先不考慮附加條件，計(jì)算出排列或組合數(shù)，再減去不符合要求的排列數(shù)或組合數(shù)．求解時(shí)應(yīng)注意先把具體問題轉(zhuǎn)化或歸結(jié)為排列或組合問題；再通過分析確定運(yùn)用分類計(jì)數(shù)原理還是分步計(jì)數(shù)原理；然后分析題目條件，避免“選取”時(shí)重復(fù)和遺漏；最后列出式子計(jì)算作答．2．具體的解題策略有：①對(duì)特殊元素進(jìn)行優(yōu)先安排；②理解題意后進(jìn)行合理和準(zhǔn)確分類，分類后要驗(yàn)證是否不重不漏；③對(duì)于抽出部分元素進(jìn)行排列的問題一般是先選后排，以防出現(xiàn)重復(fù)；④對(duì)于元素相鄰的條件，采取捆綁法；對(duì)于元素間隔排列的問題，采取插空法或隔板法；⑤順序固定的問題用除法處理；分幾排的問題可以轉(zhuǎn)化為直排問題處理；⑥對(duì)于正面考慮太復(fù)雜的問題，可以考慮反面．⑦對(duì)于一些排列數(shù)與組合數(shù)的問題，需要構(gòu)造模型．典例分析典例分析排列數(shù)組合數(shù)的簡單計(jì)算對(duì)于滿足的正整數(shù)，（）A．B．C．D．計(jì)算______．計(jì)算，；計(jì)算______，_______．計(jì)算，；計(jì)算，，，，．已知，求的值．解不等式證明：．解方程．解不等式．解方程：解不等式：．設(shè)表示不超過的最大整數(shù)（如，），對(duì)于給定的，定義，，則當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值域是（）A． B．C． D．組合數(shù)恒等于（）A．B．C．D．已知，求、的值．排列數(shù)組合數(shù)公式的應(yīng)用已知，求的值．若，則_______若，則 證明：證明：．求證：．證明：．證明：．求證：；計(jì)算：，證明：．（其中）解方程確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．規(guī)定/r