2023屆福建省漳州第一中學(xué)高三上學(xué)期第一次階段考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

試卷第=page22頁，共=sectionpages44頁2023屆福建省漳州第一中學(xué)高三上學(xué)期第一次階段考試數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知復(fù)數(shù)滿足，若為純虛數(shù)，則（

）A． B．1 C． D．2【答案】C【分析】先根據(jù)為純虛數(shù)設(shè)出其代數(shù)形式，再利用復(fù)數(shù)的乘法、復(fù)數(shù)相等進行求解.【詳解】因為為純虛數(shù)，所以設(shè)，則由，得，即，所以，解得.故選：C.2．已知集合，，則的所有子集的個數(shù)為（

）A．15 B．16 C．31 D．32【答案】B【分析】先化簡兩個集合，用列舉法表示集合，利用子集個數(shù)的計算公式求解即可【詳解】由題意，，，故，有4個元素，故的所有子集的個數(shù)為：.故選：B3．已知命題：，；命題：，，則下列說法正確的是（

）A．與均為真命題 B．與均為假命題C．與均為真命題 D．與均為真命題【答案】D【分析】首先判斷出命題、的真假，然后可得答案.【詳解】當(dāng)時，的值不存在，所以命題是假命題，當(dāng)時，，所以命題為真命題，所以與均為真命題，故選：D4．把函數(shù)圖象上所有點的縱坐標縮短到原來的（橫坐標不變），再將所得曲線上所有點的橫坐標縮短到原來的（縱坐標不變），最后把所得曲線向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】將的圖象向右平移個單位，再將曲線上所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，然后圖象上所有點的縱坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，從而可求出的解析式.【詳解】因為把函數(shù)圖象上所有點的縱坐標縮短到原來的（橫坐標不變），再將所得曲線上所有點的橫坐標縮短到原來的（縱坐標不變），最后把所得曲線向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，所以將的圖象向右平移個單位，得，再將曲線上所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，得，然后圖象上所有點的縱坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，得，所以，故選：A5．已知，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用誘導(dǎo)公式及二倍角公式計算可得.【詳解】解：因為，所以；故選：A6．如圖，圓與軸的正半軸的交點為，點，在圓上，點的坐標為，點位于第一象限，，若，則A． B．C． D．【答案】D【詳解】試題分析：由于所以三角形為等邊三角形．．【解析】三角恒等變換．7．若，，，則的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用基本不等式和對數(shù)的運算法則得到，再利用指數(shù)函數(shù)單調(diào)性結(jié)合放縮法得到即可求解．【詳解】，，，，，，，，，故選：．8．已知函數(shù)(，）滿足，，且在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，則的值可能是（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【解析】先由題意得出的表達式，易知是奇數(shù)，再根據(jù)選項求出的解析式，判斷在上是否單調(diào)即可.【詳解】解：，關(guān)于對稱，又，關(guān)于對稱，設(shè)的周期為，，而，；對A，當(dāng)時，，又關(guān)于對稱，，解得：，又，，，當(dāng)時，，顯然不單調(diào)，所以A錯誤；對B，是奇數(shù)，顯然不符合；對C，當(dāng)時，，又關(guān)于對稱，，解得：，又，，，當(dāng)時，，顯然單調(diào)，所以C正確；對D，是奇數(shù)，顯然不符合.故選：C.【點睛】方法點睛：求三角函數(shù)的解析式時，由即可求出；確定時，若能求出離原點最近的右側(cè)圖象上升(或下降)的“零點”橫坐標，則令(或)，即可求出，否則需要代入點的坐標，利用一些已知點的坐標代入解析式，再結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)解出和，若對。的符號或?qū)Φ姆秶幸?，則可用誘導(dǎo)公式變換使其符合要求.二、多選題9．設(shè)的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，則角B可以是（

）A． B． C． D．【答案】AB【分析】計算的范圍，由此判斷出正確結(jié)論.【詳解】，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以，所以AB選項正確，CD選項錯誤.故選：AB10．“提丟斯數(shù)列”是18世紀由德國物理學(xué)家提丟斯給出的，具體為，取0，3，6，12，24，48，96，…這樣一組數(shù)，容易發(fā)現(xiàn)，這組數(shù)從第3項開始，每一項是前一項的2倍，將這組數(shù)的每一項加上4，再除以10，就得到“提丟斯數(shù)列”：0．4，0．7，1．0，1．6，2．8，5．2，10．0，…，則下列說法中正確的是（

）A．“提丟斯數(shù)列”是等比數(shù)列B．“提丟斯數(shù)列”的第99項為C．“提丟斯數(shù)列”的前31項和為D．“提丟斯數(shù)列”中，不超過20的有8項【答案】BCD【分析】記“提丟斯數(shù)列”為數(shù)列，推導(dǎo)出等比數(shù)列，由等比數(shù)列的性質(zhì)、通項公式和前項和公式對選項一一判斷即可得出答案.【詳解】記“提丟斯數(shù)列”為數(shù)列，則當(dāng)時，，當(dāng)時，，符合該式，當(dāng)時，不符合上式，故，故A錯誤；，故B正確；“提丟斯數(shù)列”的前31項和為，故C正確；令，即，得，又，故不超過20的有8項，故D正確．故選：BCD．11．已知，若函數(shù)在處取得極小值，則下列結(jié)論正確的是（

）A．當(dāng)時， B．當(dāng)時，C． D．【答案】AD【分析】求導(dǎo)，得到的兩個根，再利用函數(shù)在處取得極小值和的圖象判定選項A、B的正確性，再利用不等式的性質(zhì)判定C、D的正確性.【詳解】函數(shù)的定義域為，且，令，得或，要使函數(shù)在處取得極小值，需要在處的左側(cè)臨近區(qū)域，在處的右側(cè)臨近區(qū)域；對于A：當(dāng)時，的圖象為開口向上的拋物線，則需，解得，即選項A成立；對于B：當(dāng)時，的圖象為開口向下的拋物線，則需，解得，即選項B不成立；對于C：當(dāng)時，；當(dāng)時，，即選項C不成立；對于D：當(dāng)時，；當(dāng)時，，即選項D成立.故選：AD.12．已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．函數(shù)的一個周期為 B．函數(shù)在上單調(diào)遞增C．函數(shù)的最大值為 D．函數(shù)圖象關(guān)于直線對稱【答案】ABD【分析】根據(jù)函數(shù)的周期性定義判斷A，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性及三角函數(shù)的單調(diào)性判斷B，取特殊值法可判斷C，由的關(guān)系可判斷D.【詳解】由知，A正確；由在上單調(diào)遞增及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知，在上單調(diào)遞增，由在上單調(diào)遞減，可知在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，故B正確；當(dāng)時，，故函數(shù)的最大值取不是，故C錯誤；關(guān)于直線對稱，故D正確.故答案為：ABD三、填空題13．已知非零向量，滿足，，則______.【答案】【分析】由垂直關(guān)系可得，從而可得，代入條件即可得到結(jié)果.【詳解】∵，∴，即又，∴，解得.故答案為：14．若f（x）是R上的偶函數(shù)，且在（0，）上單調(diào)遞減，則函數(shù)f（x）的解析式可以為f（x）=___________.（寫出符合條件的一個即可）【答案】-（答案不唯一）【分析】根據(jù)奇偶函數(shù)與增減函數(shù)的定義直接得出結(jié)果.【詳解】若，則，故f（x）為偶函數(shù)，且易知f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，故f（x）在（0，）上單調(diào)遞減，符合條件.故答案為：.15．設(shè)數(shù)列的通項公式為，記數(shù)列的前項和為，若對任意的，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍為_____.【答案】【分析】先利用裂項抵消法求得，再將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為，進而通過解一元二次不等式進行求解.【詳解】因為，所以，則；對任意的，不等式恒成立，則，即，解得或，即實數(shù)的取值范圍為.故答案為：.16．在單調(diào)遞增，則的范圍是__________．【答案】【分析】由求導(dǎo)公式和法則求出，由題意可得在區(qū)間上恒成立，設(shè)，從而轉(zhuǎn)化為，結(jié)合變量的范圍，以及取值范圍，可求得其最大值，從而求得結(jié)果.【詳解】，則，因為函數(shù)在上單調(diào)增，可得在上恒成立，即，令，則，，所以，因為在上是增函數(shù)，所以其最大值為，所以實數(shù)的取值范圍是.【點睛】該題考查的是有關(guān)函數(shù)在給定區(qū)間上是增函數(shù)，求參數(shù)的取值范圍的問題，涉及到的知識點有導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系，恒成立問題向最值問題轉(zhuǎn)換，注意同角的正余弦的和與積的關(guān)系.四、解答題17．在①，②，③這三個條件中任選一個，補充到下面的問題中，若問題中的三角形存在，求出的面積的值；若問題中的三角形不存在，說明理由.問題：是否存在，它的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且，，？【答案】見解析【分析】利用正弦定理轉(zhuǎn)化為，結(jié)合余弦定理可得，結(jié)合，可得.若選擇①，可得，利用面積公式可求解；若選擇②，利用均值不等式可判定無解；若選擇③，結(jié)合正弦定理、面積公式可得解.【詳解】因為，所以由正弦定理，得，即，即，所以，又，所以，因為，所以，即（ⅰ），選擇①：因為，所以由（?。?，得，即，所以，所以滿足條件的三角形存在，且.選擇②：因為，所以，這與②矛盾，所以滿足條件的三角形不存在.選擇③：因為，所以由正弦定理，得，代入（?。?，，因為，，所以滿足條件的三角形存在，且.18．已知數(shù)列為等差數(shù)列，且，.(1)求數(shù)列的通項公式及前項和；(2)求數(shù)列的前項和.【答案】(1)，(2)，【分析】（1）根據(jù)題意，由等差數(shù)列的通項公式，求出和，計算可得結(jié)果；（2）由（1）的結(jié)論可得數(shù)列的前4項均為負數(shù)，從第5項開始都為非負數(shù)．據(jù)此分2種情況求出，綜合可得答案.【詳解】(1)設(shè)的公差為，則，解得，所以，.(2)由，得，所以當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以，.19．在四棱錐中，底面是矩形，側(cè)面底面，，，且四棱錐的體積為.(1)在圖中畫出平面與平面的交線，寫出畫法并說明理由；(2)求直線與平面所成角的正弦值.【答案】(1)答案見解析(2)【分析】（1）過點做的平行線，即可得到直線；理由，根據(jù)條件，先證平面，即可得到，從而得到結(jié)論.（2）取的中點，連接，根據(jù)四棱錐的體積求得，然后分別以，，的方向為軸，軸，軸的正方向建立空間直角坐標系，求得平面的法向量，即可得到線面角的正弦值.【詳解】(1)在平面內(nèi)過點作的平行線，直線即直線理由如下：因為是矩形，所以，又因為平面，平面，所以平面，因為平面與平面的交線為，平面，所以，又因為是平面與平面的公共點，所以，而過點且與平行的直線有且只有一條，所以直線即直線.(2)取的中點，連接，因為，所以，因為側(cè)面底面，側(cè)面底面，平面，所以平面，因為四棱錐的體積為，所以，即，因為，所以，所以，作于，則，，兩兩垂直，分別以，，的方向為軸，軸，軸的正方向建立空間直角坐標系，則，，，，，，，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，得，所以直線與平面所成角的正弦值為.20．漳州是福建省重點城市，它不僅有著深厚的歷史.積淀與豐富的民俗文化，更有著眾多旅游景點，每年來漳州參觀旅游的人數(shù)不勝數(shù)，其中八卦樓與古城被稱為兩張名片.為合理配置旅游資源，現(xiàn)對已游覽八卦樓景點的游客進行隨機問卷調(diào)查，若不游玩古城記1分，若繼續(xù)游玩古城記2分，每位游客選擇是否游覽古城景點的概率均為，游客之間選擇意愿相互獨立.(1)從游客中隨機抽取3人，記總得分為隨機變量，求的分布列；(2)（?。┤魪挠慰椭须S機抽取人，記總得分恰為的概率為，求數(shù)列的前10項和；（ⅱ）在對所有游客進行隨機問卷調(diào)查過程中，記已調(diào)查過的累計得分恰為的概率為，探討與之間的關(guān)系，并求數(shù)列的通項公式.【答案】(1)分布列見解析(2)（i）；（ii）與的關(guān)系見解析，，.【分析】（1）的可能取值為3，4，5，6，計算對應(yīng)的概率值，列出分布列；（2）（?。┯深}意可得，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，即得解；（ⅱ）可得，即，所以是首項為，公比為的等比數(shù)列，求解即可.【詳解】(1)的可能取值為3，4，5，6.，，，.所以的分布列為3456(2)（?。┛偟梅智榈母怕?，所以數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，前10項和.（ⅱ）已調(diào)查過的累計得分恰為的概率為，當(dāng)時，得不到分的情況只有先得分，再得2分，概率為，所以，即，所以.因為，所以，所以是首項為，公比為的等比數(shù)列，所以，所以.21．已知直線與拋物線相切且與橢圓交于、兩點.(1)若直線的斜率為，請比較與的大?。?2)為坐標原點，求面積的最大值.【答案】(1)(2)【分析】（1）設(shè)出直線方程，聯(lián)立直線與拋物線的方程，得到關(guān)于的一元二次方程，利用判別式為0得到，聯(lián)立直線與橢圓的方程，得到關(guān)于的一元二次方程，利用判別式大于0得到，消去即可求解；（2）利用弦長公式求得，再利用點到直線的距離公式求出到直線的距離，進而求出三角形的面積，再利用基本不等式求其最值.【詳解】(1)設(shè)直線的方程為，代入，得，因為與拋物線相切，所以，即

①將代入，得，因為直線與橢圓有兩個交點，所以，即

②①代入②，得，所以(2)易得直線l斜率必存在，結(jié)合（1）設(shè)，，則，所以，且到直線的距離，所以當(dāng)且僅當(dāng)③時，“=”成立，由①③解得，，經(jīng)檢驗滿足②，此時面積的最大值為.22．已知函數(shù)，（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）令，若存在，且時，，證明：.【答案】（1）答案見解析；（2）證明見解析.【分析】(1)求函數(shù)的定義域和導(dǎo)數(shù)，分和兩種情況，結(jié)合導(dǎo)數(shù)可求出函數(shù)的單調(diào)性.(2