高數(shù)-bit8-4重積分應用

（質心）一、問題的提出其中的元素，記為把定積分的元素法推廣到二重積分的應用中.若要計算的某個量U對于閉區(qū)域D具有可加性

(即當閉區(qū)域D分成許多小閉區(qū)域時，所求量U相應地分成許多部分量，且U等于部分量之和)，并且在閉區(qū)域D內任取一個直徑很小的閉區(qū)域

d

時，相應地部分量可近似地表示為f

(x,y)d

的形式，f

(x,y稱)d為所求量U(

x在,

y)

內d．

這個U

f

(

x,

y)dD，所d求U量的積分表達式為實例

一顆地球的同步軌道通訊的軌道位于地球的赤道平面內，且可近似認為是圓軌道．通訊運行的角速率與地球自轉的角速率相同，即人們看到它在天空不動．若地球半徑取為R，問

距地面的高度h應為多少？通訊

的覆蓋面積是多大？二、曲面的面積hoxz１．設曲面的方程為：

z

f

(

x,

y)以d

邊界為準線，母線平行于z軸的小柱面，截曲面s

為ds；截切平面

為dA，則有dA

ds.在xoy面上的投影區(qū)域為D,如圖，設小區(qū)域d

D,點(x,y)

d

,

為S

上過M

(x,y,f

(x,y))的切平面.dMx(

x,

y)

yzsdAo

d

為dA

在xoy

面上的投影,

d

dA

cos

,,1

f

2

f

2x

y1cos

|

n

||

k

|

,|

n

k

|n

(f

x

,f

y

,1),xoy面的法向量為k

(0,0,1),

故cos

切平面的法向量為?y22x

f

ddA

1

f,2

A

yx1

f

2

f

dD曲面面積公式為：曲面S的面積元素1

(

z

)2

(

z

)2

dxdyx

yA

Dxy３．設曲面的方程為：y

h(z,

x)曲面面積公式為：A

22dzdx.Dzxyxzy1

２．設曲面的方程為：x

g曲面面積公式為：A

22dydz;Dyzxzyx1

同理可得例

1

求球面x2

y2

z2

a2，含在圓柱體x2

y2

ax的那部分面積.1解由對稱性知A

4

A

,D

：

x2

y2

ax1曲面方程

z

a2

x2

y2

,于是22yzzx1

,a2

x2

y2a(

x,

y

0)a2

x2

y2

4

a

dxdy1D

1

a

2

r

2

4aa

cos0

02

drdr

2a2

4a2

.A

4

1

z

2

z

2

dxdyx

yD1面積例2

求由曲面x2

y2

az

和(a

0)所圍xyzoaz

2a

x2

y2的表面積.2a,解

解方程組

z

2a

x2

y2

x2

y2

az得兩曲面的交線為圓周,z

a

x2

y2

a2在xoy平面上的投影域為xyD

:

x2

y2

a2

,a由z

1

(x2

y2

)得axz

2

x

,

z

2

y

,ay1

z2

z2

x

y22

1

2

y

a

a

2x

a2

4x2

4

y2

,

1a由z

2a

x2

y2

知1

z2

z2x

yaxyD

2

,2dxdyxy故S

1

a2

4x2

4

y2

dxdy

da0

a2012a2Da2

4r

2

rdr622

5 5

1).

a

(6三、平面薄片的重(質)心(x,y)設xoy平面上有n個質點，它們分別位于

(x1

,y1

)，(x2

,y2

)，,(xn

,yn

)處，質量分別為m1

,m2

,,mn

．則該質點系的重心的坐標為n

mii

1

mi

xii

1yMMx

,

y

nn

n

mii

1

mi

yii

1xMMxd

,

1ADx

yd

.

1ADy

其中A

dD

(

x,

y)dD當薄片是均勻的，重心稱為形心.

x

(

x,

y)d

y

(

x,

y)dx

D

, y

D

.

(

x,

y)dD由元素法設有一平面薄片，占有xoy面上的閉區(qū)域D

，在點(x,y)處的面密度為(x,y)，假定(x,y)在D

上連續(xù)，平面薄片的重心x

D

,

(

x,

y,

z)dv

x

(

x,

y,

z)dvD

y(

x,

y,

z)dvy

D

,

(

x,

y,

z)dvD由元素法同樣，(x,y,z)處的密度為(x,y,z)連續(xù)，空間物體的重心D(

x,

y,

z)Dz

D

.

(

x,

y,

z)dvD

z

(

x,

y,

z)dv例

3

設平面薄板由y

a(1

cos

t

)

x

a(t

sin

t

)，(0

t

2)與x軸圍成，它的面密度

1，求形心坐標．解先求區(qū)域D

的面積A，

0

t

2，

0

x

2a2aA

02y(

x)dx

0a(1

cos

t)d[a(t

sin

t)]2a2

(1

cos

t)2

dt02

3a

.D2aay(

x)所以形心在x

a上，即x

a

,y

Dydxdy

1Ay(

x

)02a0

1Aydydx02a[

y(

x)]2

dx26a12

a

603[1

cost]

dt65

.所求形心坐標為65(a,

).由于區(qū)域關于直線x

a對稱，四、平面薄片的轉動慣量一質量為m的質點，到直線或點的距離為d,則

I=md

為質點對直線或點的轉動慣量.設xoy平面上有n個質點，它們分別位于

(x1

,y1

)，(x2

,y2

)，,(xn

,yn

)處，質量分別為

m1

,m2

,,mn

．則該質點系對于x軸和

y

軸的轉動慣量依次為i

ii

1xI

2m

y

，n

ni

iyI

i

12m

x

.222inm

(

x

y

).I

o

i

ii

1質點系對于原點的轉動慣量設有一平面薄片，占有xoy面上的閉區(qū)域D

，在點(x,y)處的面密度為(x,y)，假定(x,y)在D

上連續(xù)，平面薄片對于x軸和

y

軸及原點的轉動慣量為薄片對于x軸的轉動慣量

Ix

y

(

x,

y)d

,2D薄片對于y軸的轉動慣量

I

y

x

(

x,

y)d

.2D薄片對于原點的轉動慣量Io

(

x

y

)(

x,

y)d

.2

2DI

x

(

y

z

)(

x,

y,

z)dv,2

2DI

y

(z

x

)(

x,

y,

z)dv.2

2DIz

(

x

y

)(

x,

y,

z)dv.2

2D同樣，設有一空間物體，占有空間區(qū)域D

，在點(x,y,z)處的密度為(x,y,z)，假定(x,y,z)在D

上連續(xù)，空間物體對于x軸、y

軸和z

軸及原點的轉動慣量為對于x軸的轉動慣量對于y

軸的轉動慣量Io

(

x

y

z

)(

x,

y,

z)dv.2

2

2D對于z軸的轉動慣量對于原點的轉動慣量例4

設一均勻的直角三角形薄板，兩直角邊長分別為a

、b

，求這三角形對其中任一直角邊的轉動慣量.解設三角形的兩直角邊分別在x軸和y

軸上，如圖aboyx對y軸的轉動慣量為I

y

x

dxdy,2Dbbx2dx

0a(1

y

)0

dya3b

.121同理：對x軸的轉動慣量為DxI

12y2dxdy

1

ab3

.例5

已知均勻矩形板（面密度為常數(shù)

）的長和寬分別為b

和h，計算此矩形板對于通過其形心且分別與一邊平行的兩軸的轉動慣量.解先求形心DADAx

1

xdxdy

,

y

1

ydxdy

.區(qū)域面積A

b

h,建立坐標系如圖oyx因為矩形板均勻,hbb由對稱性知形心坐標

x

,2hy

2將坐標系平移如圖對u軸的轉動慣量oyxhbuvoDuI

v

dudv2

2

2

h2

hb2

b2duv

dv.12bh3

對v軸的轉動慣量DvI

.12u2dudv

b

h3設有一平面薄片，占有xoy面上的閉區(qū)域D

，在點(x,y)處的面密度為(x,y)，假定(x,y)在D

上連續(xù)，計算該平面薄片對位于z

軸上的點M0

(0,0,a)處的單位質點的引力．(a

0)五、平面薄片對質點的引力(

x,

y)x322d

,(

x2

y2

a )Fx

fD(

x,

y)

y322d

,(

x2

y2

a

)DyF

ff

為引力常數(shù)322d

.(

x,

y)(

x

y2

a2

)DzF

afF

{Fx

,

Fy

,

Fz

},薄片對z

軸上單位質點的引力例6

求面密度為常量、半徑為R的均勻圓形薄片：

x2

y2

R2，

z

0對位于

z

軸上的點M0

(0,0,a)處的單位質點的引力．(a

0)解由積分區(qū)域的對稱性知Fx

Fy

0,d(

x,

y)(

x

y

a )DzF

af32222d

afD32(

x

y

a )1222oyzxFrdrd

afR022(r

a

)203211R2

a21

.a

2fa所求引力為1R2

a21

.a0,

0,

2fa同樣，設有一空間物體，占有空間區(qū)域D

，在點(x,y,z)處的密度為(x,y,z)，假定(x,y,z)在D

上連續(xù)，計算該空間物體對位于點P(a,b,c)處的質量為m

的質點的引力．物體對質點的引力F

{Fx

,Fy

,Fz

},f

為引力常數(shù)32Dx[(

x

a)2

(

y

b)2

(z

c)2

)]F

fm

(

x

a)(

x,

y,

z)

dv,32Dy[(

x

a)2

(

y

b)2

(z

c)2

)]F

fm

(

y

b)(

x,

y,

z)

dv,32Dz[(

x

a)2

(

y

b)2

(z

c)2

)]F

fm

(z

c)(

x,

y,

z)

dv.幾何應用：曲面的面積物理應用：重心、轉動慣量、對質點的引力（注意審題，熟悉相關物理知識）六、小結作業(yè)P1991(1)，(2)，(4);

2，3;

4（1）P2008(1)（2）;

9(2);

13;

16思考題求位于兩圓r

a

cos

,r

bcos之間的均勻薄片的重心.(0

a

b)b

xyo

a思考題解答薄片關于x

軸對稱則

y

0,

d

xdx

D

D

Db

cos

0

a

cos

r

cos

rdr22

d43

8

(b

a

)

(b2

a2

)

3.2(b

a)

ba

a2b2一、求錐面z

曲面面積.x

2

y

2

被柱面z

2