八下壓軸題一次函數(shù)及幾何動點問題教師

八下壓軸題一次函數(shù)及幾何動點問題教師版本八下壓軸題一次函數(shù)及幾何動點問題教師版本15/15八下壓軸題一次函數(shù)及幾何動點問題教師版本八年級下數(shù)學期末壓軸題精選等腰三角形存在性（2017廣西柳州）23．（10分）如圖，在四邊形OABC中，OA∥BC，∠OAB=90°，O為原點，點C的坐標為（2，8），點B的坐標為（24，8），點D從點B出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿BC向點C運動，點E同時從點O出發(fā)，以每秒3個單位長度的速度沿OA向A運動，當點E達到點A時，點D也停止運動，從運動開始，設D（E）點運動的時間為t秒．（1）連接AD，記△ADE得面積為S，求S與t的函數(shù)關系式，寫出t的取值范圍；（2）當t為何值時，四邊形ABDE是矩形；（3）在（2）的條件下，當四邊形ABDE是矩形，在x軸上找一點P，使得△ADP為等腰三角形，直接寫出所有滿足要求的P點的坐標．【解析】（1）依照三角形面積公式計算即可；（2）當BD=AE時，四邊形ABDE是矩形，由此成立方程即可解決問題；（3）分三種狀況：①當AD=AP時，②當DA=DP時，③當PD=PA時，分別求解即可；【解答】解：（1）如圖1中，S=×（24﹣3t）×8=﹣12t+96（0≤t≤8）．（2）∵OA∥BD，∴當BD=AE時，四邊形BDEA是平行四邊形，∵∠OAB=90°，∴四邊形ABDE是矩形，t=24﹣3t，t=6s，∴當t=6s時，四邊形ABDE是矩形．（3）分三種狀況談論：由（2）可知D（18，8），A（24，0），∴AD==10，①當AD=AP時，可得P1（14，0），P2（34，0），②當DA=DP時，可得P3（12，0），③當PD=PA時，設PD=PA=x，在Rt△DP4E中，x2=82+（x﹣6）2，解得x=，∴P4（，0），綜上所述，滿足條件的點P坐標為（14，0）或（34，0）或（12，0）或（，0）；【談論】此題觀察四邊形的綜合題、矩形的判斷和性質(zhì)、等腰三角形的判斷和性質(zhì)、勾股定理等知識，解題的要點是學會用轉(zhuǎn)變的思想思慮問題，學會用分類談論的思想解決問題，屬于中考壓軸題．直角三角形存在性（2017深圳新華）如圖，在平面直角坐標系中，O是坐標原點，平行四邊形的極點C的坐標為（8，8），極點A的坐標為（﹣6，0），邊AB在x軸上，點E為線段AD的中點，點F在線段DC上，且橫坐標為3，直線EF與y軸交于點G，有一動點P以每秒1個單位長度的速度，從點A沿折線A﹣B﹣C﹣F運動，當點P到達點F時停止運動，設點P運動時間為t秒．（1）求直線EF的表達式及點G的坐標；（2）點P在運動的過程中，設△EFP的面積為S（P不與F重合），試求S與t的函數(shù)關系式；（3）在運動的過程中，可否存在點P，使得△PGF為直角三角形？若存在，請直接寫出所有吻合條件的點P的坐標；若不存在，請說明原由．【解析】（1）依照點C的坐標可求出點F的縱坐標，結合題意可得出點F的坐標，過點E作EH⊥x軸于點H，利用△AHE∽△AOD，可求出點E的坐標，進而利用待定系數(shù)法可確定直線EF的解析式，令x=0，可得出點G的坐標．（2）延長HE交CD的延長線于點M，談論點P的地址，①當點P在AB上運動時，②當點P在BC邊上運動時，③當點P在CF上運動時，分別利用面積相減法可求出答案．（3）很明顯在BC上存在兩個點使△PGF為直角三角形，這兩點是經(jīng)過①過點②過點F作FP⊥EF得出來的．【解答】解：（1）∵C（8，8），DC∥x軸，點F的橫坐標為3，

G作

GP⊥EF，∴OD=CD=8．∴點

F的坐標為（

3，8），∵A（﹣6，0），∴OA=6，∴AD=10，過點

E作

EH⊥x軸于點

H，則△AHE∽△AOD．又∵E為AD的中點，===．∴AH=3，EH=4．∴OH=3．∴點E的坐標為（﹣3，4），設過E、F的直線為y=kx+b，∴∴∴直線EF為y=x+6，令x=0，則y=6，即點G的坐標為（0，6）．（2）延長HE交CD的延長線于點M，則EM=EH=4．∵DF=3，∴S△DEF=×3×4=6，且S平行四邊形ABCD=CD?OD=8×8=64．①當點P在AB上運動時，如圖3，S=S平行四邊形ABCD﹣S△DEF﹣S△APE﹣S四邊形PBCF．AP=t，EH=4，∴S△APE=×4t=2t，S四邊形PBCF=（5+8﹣t）×8=52﹣4t．∴S=64﹣6﹣2t﹣（52﹣4t），即：S=2t+6．②當點P在BC邊上運動時，S=S平行四邊形ABCD﹣S△DEF﹣S△PCF﹣S四邊形ABPE．過點P作PN⊥CD于點N．∵∠C=∠A，sin∠A==，sin∠C=．∵PC=18﹣t，∴PN=PC?sin∠C=（18﹣t）．∵CF=5，∴S△PCF=×5×（18﹣t）=36﹣2t．過點B作BK⊥AD于點K．∵AB=CD=8，∴BK=AB?sin∠A=8×=．∵PB=t﹣8，∴S四邊形ABPE=（t﹣8+5）×∴S=64﹣6﹣（36﹣2t）﹣（

=t﹣t﹣

．），即S=﹣t+．（8分）③當點P在CF上運動時，∵PC=t﹣18，∴PF=5﹣（t﹣18）=23﹣t．∵EM=4，∴S△PEF=×4×（23﹣t）=46﹣2t．綜上：S=（3）存在．P1（，）．P2（，）．一次函數(shù)與平行四邊形：（2016山西晉中）（1）在直角坐標系中，A（1，2），B（4，0），在圖1中，四邊形ABCD為平行四邊形，請寫出圖中的極點C的坐標（5，2）（2）平面內(nèi)可否存在不相同于圖1的點C，使得以O、A、B、C為極點的四邊形為平行四邊形，請在圖2中畫出滿足狀況的平行四邊形，并在圖中直接標出點C的坐標．（3）如圖3，在直角坐標系中，A（1，2），P是x軸上一動點，在直線y=x上可否存在點Q，使以O、A、P、Q為極點的四邊形為平行四邊形？若存在，畫出所有滿足狀況的平行四邊形，并求出對應的Q的坐標；若不存在，請說明原由．【解析】（1）依照平行四邊形的性質(zhì)對邊相等，即可解決問題．（2）存在．注意有兩種狀況．點C坐標依照平行四邊形的性質(zhì)即可解決．（3）存在．如圖3中所示，平行四邊形AQ1P1O，平行四邊形AOQ2P2，平行四邊形AQ1OP2．點Q的坐標依照平行四邊形的性質(zhì)即可解決．【解答】解：（1）如圖1中，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OB=AC，OB∥AC，∵A（1，2），B（4，0），∴AC=4，∴點C坐標（5，2）．故點C坐標為（5，2）．（2）存在．點C坐標如圖2中所示，（3）存在．如圖3中所示，平行四邊形AQ1P1O，平行四邊形AOQ2P2，平行四邊形AQ1OP2．點Q1（2，2），點Q2（﹣2，﹣2）．【談論】此題觀察四邊形綜合題、點與坐標的關系等知識，解題的要點是學會正確畫出圖形，學會分類談論，不能夠漏解，屬于中考?？碱}型．（2017襄陽）25．（11分）如圖，平面直角坐標系中，直線l：y=﹣x+分別交x軸，y軸于A，B兩點，點C在x軸負半軸上，且∠ACB=30°．（1）求A，C兩點的坐標．（2）若點M從點C出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿射線CB運動，連接AM，設△ABM的面積為S，點M的運動時間為t，求出S關于t的函數(shù)關系式，并寫出自變量的取值范圍．（3）點P是y軸上的點，在坐標平面內(nèi)可否存在點Q，使以A，B，P，Q為極點的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出Q點的坐標；若不存在，說明原由．【解析】（1）由直線方程易得點A的坐標．在直角△BOC中，利用30度所對的直角邊等于斜邊的一半求出BC的長，利用勾股定理求出OC的長，確定出C的坐標即可；（2）先求出∠ABC=90°，分兩種狀況考慮：當M在線段BC上；當M在線段BC延長線上；表示出BM，利用三角形面積公式分別表示出S與t的函數(shù)關系式即可；（3）點P是y軸上的點，在坐標平面內(nèi)存在點Q，使以A、B、P、Q為極點的四邊形是菱形，分兩種狀況，以下列圖，利用菱形的性質(zhì)求出AQ的長，依照AQ與y軸平行獲取Q與A橫坐標相同，求出滿足題意Q得坐標即可．【解答】解：（1）當x=0時，y=；當y=0時，x=1．∴點A坐標為（1，0），點B坐標為（0，），在Rt△BOC中，∠OCB=30°，OB=，∴BC=2．∴OC==3．∴點C坐標為（﹣3，0）．（2）如圖1所示：∵OA=1，OB=，AB=2，∴∠ABO=30°，同理：BC=2，∠OCB=30°，∴∠OBC=60°，∴∠ABC=90°，分兩種狀況考慮：若M在線段BC上時，BC=2，CM=t，可得BM=BC﹣CM=2﹣t，此時S△ABM=BM?AB=×（2﹣t）×2=2﹣t（0≤t＜2）；若M在BC延長線上時，BC=2，CM=t，可得BM=CM﹣BC=t﹣2，此時S△ABM=BM?AB=×（t﹣2）×2=t﹣2（t≥2）；綜上所述，S=；（3）P是y軸上的點，在坐標平面內(nèi)存在點Q，使以A、B、P、Q為極點的四邊形是菱形，如2圖所示，當P在y軸正半軸上，四邊形ABPQ為菱形，①可得AQ=AB=2，且Q與A的橫坐標相同，此時Q坐標為（1，2），②AP=AQ=，Q與A的橫坐標相同，此時Q坐標為（1，），當P在y軸負半軸上，四邊形ABPQ為菱形，①可得AQ=AB=2，且Q與A橫坐標相同，此時Q坐標為（1，﹣2），②BP垂直均分AQ，此時Q坐標為（﹣1，0），綜上，滿足題意Q坐標為（1，2）、（1，﹣2）、（1，）、（﹣1，0）．【談論】此題屬于一次函數(shù)綜合題，涉及的知識有：含30度直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，坐標與圖形性質(zhì)，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，菱形的性質(zhì)，利用了分類談論的思想，熟練掌握待定系數(shù)法是解此題第二問的要點．一次函數(shù)與矩形:（2017重慶江津）26．（12分）如圖，在平面直角坐標系中，一次函數(shù)y=mx+n（m≠0）的圖象與x軸交于點A（﹣3，0），與y軸交于點B，且與正比率函數(shù)y=2x的圖象交于點C（3，6）．（1）求一次函數(shù)y=mx+n的解析式；（2）點P在x軸上，當PB+PC最小時，求出點P的坐標；（3）若點E是直線AC上一點，點F是平面內(nèi)一點，以O、C、E、F四點為極點的四邊形是矩形，請直接寫出點F的坐標．【解析】（1）由A、C坐標，可求得答案；（2）由一次函數(shù)解析式可求得B點坐標，可求得B點關于x軸的對稱點B′的坐標，連接B′C與x軸的交點即為所求的P點，由B′、C坐標可求得直線B′C的解析式，則可求得P點坐標；（3）分兩種狀況分別談論即可①當OC為邊時，四邊形OCFE是矩形，此時EO⊥OC，②當OC為對角線時，四邊形OE′CF′是矩形，此時OE′⊥AC；【解答】解：（1）∵一次函數(shù)y=mx+n（m≠0）的圖象經(jīng)過點A（﹣3，0），點C（3，6），∴，解得，∴一次函數(shù)的解析式為y=x+3．（2）如圖1中，作點P關于x軸的對稱點B′，連接CB′交x軸于P，此時PB+PC的值最?。連（0，3），C（3，6）∴B′（﹣3，0），∴直線CB′的解析式為y=3x﹣3，令y=0，獲取x=1，∴P（1，0）．（3）如圖，①當OC為邊時，四邊形OCFE是矩形，此時EO⊥OC，∵直線OC的解析式為y=2x，∴直線OE的解析式為y=﹣x，由，解得，∴E（﹣2，1），∵EO=CF，OE∥CF，∴F（1，7）．②當OC為對角線時，四邊形OE′CF′是矩形，此時OE′⊥AC，∴直線OE′的解析式為y=﹣x，由，解得，∴E′（﹣，），∵OE′=CF′，OE′∥CF′，∴F′（，），綜上所述，滿足條件的點F的坐標為（1.7）或（，）．【談論】此題觀察一次函數(shù)綜合題、軸對稱最短問題、矩形的判斷和性質(zhì)等知識，解題的要點是學會利用對稱解決最短問題，學會用分類談論的思想思慮問題，屬于中考壓軸題．一次函數(shù)與正方形如圖（1），四邊形AOBC是正方形，點C的坐標是（，0），（1）求點A的坐標點和正方形AOBC的面積；（2）將正方形繞點O順時針旋轉(zhuǎn)45°，求旋轉(zhuǎn)后的正方形與原正方形的重疊部分的面積；（3）如圖（2），動點P從點O出發(fā)，沿折線O﹣A﹣C﹣B方向以1個單位/每秒勻速運動；另一動點Q從點C出發(fā)，沿折線C﹣B﹣O﹣A方向以2個單位/每秒勻速運動．P、Q兩點同時出發(fā)，當Q運動到點A時P、Q同時停止運動．設運動時間為t秒，可否存在這樣的t值，使△OPQ成為等腰三角形？若存在，直接寫出t的值；若不存在，請說明原由．【解析】（1）連接AB，依照△OCA為等腰三角形可得AD=OD的長，進而得出點A的坐標，則得出正方形AOBC的面積；（2）依照旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得OA′的長，進而得出A′C，A′E，再求出頭積即可；（3）存在，從Q點在不相同的線段上運動狀況，可分為三種：①當Q點在BC上時，使OQ=QP，則有OP=2BQ，而OP=t，BQ=4﹣2t，列式可得出t；②當Q點在OB上時，使OQ=OP，而OP=t，OQ=8﹣2t，列式可得出t；③當Q點在OA上時，使OQ=PQ，列式可得出t．【解答】解：（1）如圖1，連接AB，與OC交于點D，由△OCA為等腰Rt△，得AD=OD=OC=2，故點A的坐標為（2，2），故正方形AOBC的面積為：×4×4=16；（2）如圖1，旋轉(zhuǎn)后可得OA′=OB=4，則A′C=4﹣4，而可知∠CA′E=90°，∠OCB=45°，故△A′EC是等腰直角三角形，則A′E=A′C=4﹣4，故S四邊形OA’EB=S△OBC﹣S△A’EC=16﹣16．（3）存在，從Q點在不相同的線段上運動狀況，可分為三種：①如圖2，當Q點在BC上時，使OQ=QP，QM為OP的垂直均分線，則有OP=2OM=2BQ，而OP=t，BQ=4﹣2t，則t=2（4﹣2t），解得：t=．②如圖3，當Q點在OB上時，使OQ=OP，而OP=t，OQ=8﹣2t，則t=8﹣2t，解得：t=．③當Q點在OA上時，如圖4，使OQ=PQ，t2﹣24t+96=0，解得：t=12+4（舍去），t=12﹣4．【談論】此題觀察了正方形的性質(zhì)，等腰三角形的判斷以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，是中考壓軸題，綜合性較強，難度較大．四邊形綜合（1）（2017武漢新洲）如圖，正方形ABCD中，P為AB邊上任意一點，AE⊥DP于E，點F在DP的延長線上，且EF=DE，連接AF、BF，∠BAF的均分線交DF于G，連接GC．（1）求證：△AEG是等腰直角三角形；（2）求證：AG+CG=DG．【解析】（1）依照線段垂直均分線的定義獲取AF=AD，依照等腰三角形的性質(zhì)、角均分線的定義證明即可；（2）作CH⊥DP，交DP于H點，證明△ADE≌△DCH（AAS），獲取CH=DE，DH=AE=EG，證明CG=GH，AG=DH，計算即可．【解答】（1）證明：∵DE=EF，AE⊥DP，∴AF=AD，∴∠AFD=∠ADF，∵∠ADF+∠DAE=∠PAE+∠DAE=90°，∴∠AFD=∠PAE，∵AG均分∠BAF，∴∠FAG=∠GAP．∵∠AFD+∠FAE=90°，∴∠AFD+∠PAE+∠FAP=90°∴2∠GAP+2∠PAE=90°，即∠GAE=45°，∴△AGE為等腰直角三角形；（2）證明：作CH⊥DP，交DP于H點，∴∠DHC=90°．∵AE⊥DP，∴∠AED=90°，∴∠AED=∠DHC．∵∠ADE+∠CDH=90°，∠CDH+∠DCH=90°，∴∠ADE=∠DCH．∵在△ADE和△DCH中，，∴△ADE≌△DCH（AAS），∴CH=DE，DH=AE=EG．∴EH+EG=EH+HD，即GH=ED，∴GH=CH．∴CG=GH．∵AG=EG，∴AG=DH，∴CG+AG=GH+HD，∴CG+AG=（GH+HD），即CG+AG=DG．（2）（2017天津）24．（8分）如圖（1），正方形ABCD的對角線AC，BD訂交于點O，E是AC上一點，連接EB，過點A作AM⊥BE，垂足為M，AM與BD訂交于點F．（1）求證：OE=OF；（2）如圖（2）若點E在AC的延長線上，AM⊥BE于點M，AM交DB的延長線于點F，其他條件不變，結論“OE=OF”還成立嗎？若是成立，請給出證明；若是不成立，請說明原由．Rt△AOF，獲取OE=OF．【解答】解：（1）∵四邊形ABCD是正方形．∴∠BOE=∠AOF=90°，OB=OA．又∵AM⊥BE，∴∠MEA+∠MAE=90°=∠AFO+∠MAE，∴∠MEA=∠AFO．在△BOE和△AOF中，∵，∴△BOE≌△AOF．∴OE=OF．（2）OE=OF成立．∵四邊形ABCD是正方形，∴∠BOE=∠AOF=90°，OB=OA．又∵AM⊥BE，∴∠F+∠MBF=90°，∠E+∠OBE=90°，又∵∠MBF=∠OBE，∴∠F=∠E．在△BOE和△AOF中，∵，∴△BOE≌△AOF．∴OE=OF．【談論】此題主要觀察正方形的性質(zhì)和全等三角形的判斷與性質(zhì)，將待求線段放到兩個三角形中，經(jīng)過證明三角形全等獲取對應邊相等是解題的要點．動點問題：（1）（2017黃石大冶）如圖1，正方形ABCD的邊長為6cm，點F從點B出發(fā)，沿射線AB方向以1cm/秒的速度搬動，點E從點D出發(fā)，向點A以1cm/秒的速度搬動（不到點A）．設點E，F(xiàn)同時出發(fā)搬動

t秒．（1）在點E，F(xiàn)搬動過程中，連接CE，CF，EF，則△CEF的形狀是（2）如圖2，連接EF，設EF交BD于點M，當t=2時，求AM的長；

，向來保持不變；（3）如圖3，點G，H分別在邊AB，CD上，且GH=3cm，連接EF，當EF與GH的夾角為45°，求t的值．【解答】解：（1）等腰直角三角形．原由以下：如圖1，在正方形ABCD中，DC=BC，∠D=∠ABC=90°．依題意得：DE=BF=t．在△CDE與△CBF中，，∴△CDE≌△CBF（SAS），∴CF=CE，∠DCE=∠BCF，∴∠ECF=∠BCF+∠BCE=∠DCE+∠BCE=∠BCD=90°，∴△CEF是等腰直角三角形．故答案是：等腰直角三角形．（2）如圖2，過點E作EN∥AB，交BD于點N，則∠NEM=∠BFM．∴∠END=∠ABD=∠EDN=45°，∴EN=ED=BF．在△EMN與△FMB中，，∴△EMN≌△FMB（AAS），∴EM=FM．Rt△AEF中，AE=4，AF=8，∴=EF==4，∴AM=EF=2；（3）如圖3，連接CE，CF，EF與GH交于P．由（1）得∠CFE=45°，又∠EPQ=45°，∴GH∥CF，又∵AF∥DC，∴四邊形GFCH是平行四邊形，∴CF=GH=3，在Rt△CBF中，得BF===3，t=3．【談論】此題觀察了四邊形綜合題．解題過程中，涉及到了平行四邊形的判斷與性質(zhì)，全等三角形的判斷與性質(zhì)以及勾股定理的應用．解答該類題目時，要巧妙的作出輔助線，成立幾何模型，利用特其他四邊形的性質(zhì)（也許全等三角形的性質(zhì)）獲取相關線段間的數(shù)量關系，進而解決問題．（2）（2017成都金堂）28．（12分）如圖，邊長為a正方形OABC的邊OA、OC在坐標軸上．在x軸上線段PQ=a（Q在A的右邊），P從A出發(fā)，以每秒1個單位的速度向O運動，當點P到達點O時停止運動，運動時間為t．連接PB，過P作PB的垂線，過Q作x軸的垂線，兩垂線訂交于點D．連接BD交y軸于點E，連接PD交y軸于點F，連接PE．（1）求∠PBD的度數(shù)．（