幾何輔助線之手拉手模型初三

..手拉手模型教學(xué)目標(biāo):1：理解手拉手模型的概念,并掌握其特點(diǎn)2：掌握手拉手模型的應(yīng)用知識梳理：1、等邊三角形條件：△OAB,△OCD均為等邊三角形結(jié)論：；；導(dǎo)角核心：2、等腰直角三角形條件：△OAB,△OCD均為等腰直角三角形結(jié)論：；；導(dǎo)角核心：3、任意等腰三角形條件：△OAB,△OCD均為等腰三角形,且∠AOB=∠COD結(jié)論：；；核心圖形：核心條件：；；典型例題：例1:在直線ABC的同一側(cè)作兩個(gè)等邊三角形△ABD和△BCE,連接AE與CD,證明：〔1△ABE≌△DBC；〔2AE=DC；〔3AE與DC的夾角為60°；〔4△AGB≌△DFB；〔5△EGB≌△CFB；〔6BH平分∠AHC；GF∥AC例2：如果兩個(gè)等邊三角形△ABD和△BCE,連接AE與CD,證明：〔1△ABE≌△DBC；〔2AE=DC；〔3AE與DC的夾角為60°；〔4AE與DC的交點(diǎn)設(shè)為H,BH平分∠AHC例3：如果兩個(gè)等邊三角形△ABD和△BCE,連接AE與CD,證明：〔1△ABE≌△DBC；〔2AE=DC；〔3AE與DC的夾角為60°；〔4AE與DC的交點(diǎn)設(shè)為H,BH平分∠AHC例4：如圖,兩個(gè)正方形ABCD和DEFG,連接AG與CE,二者相交于H問：〔1△ADG≌△CDE是否成立？〔2AG是否與CE相等？〔3AG與CE之間的夾角為多少度？〔4HD是否平分∠AHE？例5：如圖兩個(gè)等腰直角三角形ADC與EDG,連接AG,CE,二者相交于H.問〔1△ADG≌△CDE是否成立？〔2AG是否與CE相等？〔3AG與CE之間的夾角為多少度？〔4HD是否平分∠AHE？例6：兩個(gè)等腰三角形ABD與BCE,其中AB=BD,CB=EB,∠ABD=∠CBE,連接AE與CD.問〔1△ABE≌△DBC是否成立？〔2AE是否與CD相等？〔3AE與CD之間的夾角為多少度？〔4HB是否平分∠AHC？例7：如圖,分別以△ABC的邊AB、AC同時(shí)向外作等腰直角三角形,其中AB=AE,AC=AD,∠BAE=∠CAD=90°,點(diǎn)G為BC中點(diǎn),點(diǎn)F為BE中點(diǎn),點(diǎn)H為CD中點(diǎn)。探索GF與GH的位置及數(shù)量關(guān)系并說明理由。例8：如圖1,已知∠DAC=90°,△ABC是等邊三角形,點(diǎn)P為射線AD任意一點(diǎn)〔P與A不重合,連結(jié)CP,將線段CP繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段CQ,連結(jié)QB并延長交直線AD于點(diǎn)E.〔1如圖1,猜想∠QEP=_______°；〔2如圖2,3,若當(dāng)∠DAC是銳角或鈍角時(shí),其它條件不變,猜想∠QEP的度數(shù),選取一種情況加以證明；〔3如圖3,若∠DAC=135°,∠ACP=15°,且AC=4,求BQ的長．例9：在△ABC中,,點(diǎn)D是射線CB上的一動(dòng)點(diǎn)〔不與點(diǎn)B、C重合,以AD為一邊在AD的右側(cè)作△ADE,使,,連接CE．1如圖1,當(dāng)點(diǎn)D在線段CB上,且時(shí),那么_______度；〔2設(shè),．①如圖2,當(dāng)點(diǎn)D在線段CB上,時(shí),請你探究與之間的數(shù)量關(guān)系,并證明你的結(jié)論；②如圖3,當(dāng)點(diǎn)D在線段CB的延長線上,時(shí),請將圖3補(bǔ)充完整,并直接寫出此時(shí)與之間的數(shù)量關(guān)系．〔3結(jié)論：與之間的數(shù)量關(guān)系是____________．例10：在中,,,BD為斜邊AC上的中線,將繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)<>得到,其中點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)E,點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)F,BE與FC相交于點(diǎn)H.〔1如圖1,直接寫出BE與FC的數(shù)量關(guān)系：____________;〔2如圖2,M、N分別為EF、BC的中點(diǎn).求證：__________;〔3連接BF,CE,如圖3,直接寫出在此旋轉(zhuǎn)過程中,線段BF、CE與AC之間的數(shù)量關(guān)系：.當(dāng)堂練習(xí)：1：在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,點(diǎn)D在射線BC上〔與B、C兩點(diǎn)不重合,以AD為邊作正方形ADEF,使點(diǎn)E與點(diǎn)B在直線AD的異側(cè),射線BA與射線CF相交于點(diǎn)G．若點(diǎn)D在線段BC上,①依題意補(bǔ)全圖1；②判斷BC與CG的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系,并加以證明；2：已知：如圖,點(diǎn)為線段上一點(diǎn),、是等邊三角形．、分別是、的高．求證：．3：如圖,已知和都是等邊三角形,、、在一條直線上,試說明與相等的理由．4：已知,如圖,是正方形內(nèi)一點(diǎn),且,求的度數(shù)．5：如圖所示,是等邊中的一點(diǎn),,,,試求的邊長.6：在Rt△ABC中,,D是AB的中點(diǎn),DE⊥BC于E,連接CD．〔1如圖1,如果,那么DE與CE之間的數(shù)量關(guān)系是___________．〔2如圖2,在〔1的條件下,P是線段CB上一點(diǎn),連接DP,將線段DP繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,得到線段DF,連接BF,請猜想DE、BF、BP三者之間的數(shù)量關(guān)系,并證明你的結(jié)論．〔3如圖3,如果〔,P是射線CB上一動(dòng)點(diǎn)〔不與B、C重合,連接DP,將線段DP繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)2α,得到線段DF,連接BF,請直接寫出DE、BF、BP三者之間的數(shù)量關(guān)系〔不需證明．課后練習(xí)：1：在中,,,將線段BC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段BD．〔1如圖1,直接寫出的大小〔用含的式子表示；〔2如圖2,,,判斷的形狀并加以證明；〔3在〔2的條件下,連結(jié)DE,若,求的值2：如圖,△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,邊BA繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α角得到線段BP,連結(jié)PA,PC,過點(diǎn)P作PD⊥AC于點(diǎn)D．〔1如圖1,若α=60°,求∠DPC的度數(shù)；〔2如圖2,若α=30°,直接寫出∠DPC的度數(shù)；〔3如圖3,若α=150°,依題意補(bǔ)全圖,并求∠DPC的度數(shù)．3：在△ABC中,,將線段AC繞著點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段CD,旋轉(zhuǎn)角為,且,連接AD、BD．〔1如圖1,當(dāng),時(shí),的大小為_________；〔2如圖2,當(dāng),時(shí),求的大??；〔3已知∠BAC的大小為,若的大小與〔2中的結(jié)果相同,請直接寫出的大小4：如圖1,正方形與正方形的邊在一條直線上,正方形以點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),設(shè)旋轉(zhuǎn)角為,在旋轉(zhuǎn)過程中,兩個(gè)正方形只有點(diǎn)重合,其它頂點(diǎn)均不重合,連接．

〔1當(dāng)正方形旋轉(zhuǎn)至如圖2所示的位置時(shí),求證：；

〔2當(dāng)點(diǎn)在直線上時(shí),連接,直接寫出的度數(shù)；

〔3如圖3,如果,求點(diǎn)到的距離5：將等腰和等腰按圖1方式放置,,AD邊與AB邊重合,,．將繞點(diǎn)A逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度,BD的延長線交直線CE于點(diǎn)P．

〔1如圖2,BD與CE的數(shù)量關(guān)系是__________,位置關(guān)系是__________；

〔2在旋轉(zhuǎn)的過程中,當(dāng)時(shí),求出CP的長；

〔3在此旋轉(zhuǎn)過程中,求點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路線長．6：△ABC中,,AH⊥BC于點(diǎn)H,將△AHC繞點(diǎn)H逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后,點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)D,直線BD與直線AC交于點(diǎn)E,連接EH．〔1如圖1,當(dāng)∠BAC為銳角時(shí),①求證：BE⊥AC；②求∠BEH的度數(shù)；〔2當(dāng)∠BAC為鈍角時(shí),請依題意用實(shí)線補(bǔ)全圖2,并用等式表示出線段EC,ED,EH之間的數(shù)量關(guān)系．7：如圖1,在和中,,,,點(diǎn)在上,是線段的中點(diǎn),連接、．