最新高中立體幾何大題20題

(2023江西省〕〔本小題總分值12分〕如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，E，F(xiàn)是線段AB上的兩點(diǎn)，且DE⊥AB，CF⊥AB，AB=12，AD=5，BC=4，DE=4.現(xiàn)將△ADE，△CFB分別沿DE，CF折起，使A，B兩點(diǎn)重合與點(diǎn)G，得到多面體CDEFG.求證：平面DEG⊥平面CFG；〔2)求多面體CDEFG的體積?！窘馕觥俊?〕由可得AE=3，BF=4，那么折疊完后EG=3，GF=4，又因?yàn)镋F=5，所以可得又因?yàn)?可得，即所以平面DEG⊥平面CFG.〔2〕過G作GO垂直于EF，GO即為四棱錐G-EFCD的高，所以所求體積為2023，山東(19)(本小題總分值12分)如圖，幾何體是四棱錐，△為正三角形，.(Ⅰ)求證：；(Ⅱ)假設(shè)∠，M為線段AE的中點(diǎn)，求證：∥平面.解：設(shè)中點(diǎn)為O，連接OC，OE，那么由知，，又，所以平面OCE.所以，即OE是BD的垂直平分線，所以.(II)取AB中點(diǎn)N，連接，∵M(jìn)是AE的中點(diǎn)，∴∥，∵△是等邊三角形，∴.由∠BCD＝120°知，∠CBD＝30°，所以∠ABC＝60°+30°＝90°，即，所以ND∥BC，所以平面MND∥平面BEC，故DM∥平面BEC.2023浙江20．〔此題總分值15分〕如圖，在側(cè)棱錐垂直底面的四棱錐中，的中點(diǎn)，F(xiàn)是平面與直線的交點(diǎn)。證明：求與平面所成的角的正弦值。解析：此題主要考查空間點(diǎn)、線、面位置關(guān)系，線面所成角等根底知識(shí)，同時(shí)考查空間想象能力和推理認(rèn)證能力。因?yàn)樗杂忠驗(yàn)樗运砸驗(yàn)樗杂忠驗(yàn)樵诰匦蔚闹悬c(diǎn)，即所以設(shè)與交點(diǎn)為，連接由知所以所成的角在矩形在直角中，所以與平面所成的角的正弦值是〔2023四川〕18、(本小題總分值12分)正方體中，點(diǎn)M是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)是對(duì)角線的中點(diǎn)，〔Ⅰ〕求證：OM為異面直線與的公垂線；〔Ⅱ〕求二面角的大?。唤猓哼B接AC,取AC中點(diǎn)K，那么K為BD中點(diǎn)，連接OK，因?yàn)辄c(diǎn)M是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴,AM∥∥,∴,∥.由,得.因?yàn)?所以平面∴,∴.又∵與異面直線和都相交，故為異面直線和的公垂線?！?分〕〔Ⅱ〕取的中點(diǎn)N，連接MN，那么MN⊥平面,過點(diǎn)N作NH⊥于H，連接MH，那么由三垂線定理得,從而為二面角的平面角。設(shè),那么，在中，.故二面角的大小為?！?2分〕2023遼寧文〔19〕〔本小題總分值12分〕如圖，棱柱的側(cè)面是菱形，〔Ⅰ〕證明：平面平面；〔Ⅱ〕設(shè)是上的點(diǎn)，且平面，求的值。2023遼寧〔18〕(本小題總分值12分)如圖，直三棱柱，，AA′=1，點(diǎn)M，N分別為和的中點(diǎn)。(Ⅰ)證明：∥平面;(Ⅱ)求三棱錐的體積?！沧刁w體積公式V=Sh,其中S為地面面積，h為高〕【答案與解析】2023，北京〔16〕〔本小題共14分〕如圖，在中，，，分別為，的中點(diǎn)，點(diǎn)為線段上的一點(diǎn)，將沿折起到的位置，使，如圖．〔Ⅰ〕求證：//平面；〔Ⅱ〕求證：；〔Ⅲ〕線段上是否存在點(diǎn)，使⊥平面？說明理由．解：〔Ⅰ〕因?yàn)椋謩e為，的中點(diǎn)，所以//．又因?yàn)槠矫?，所?/平面平面．〔Ⅱ〕由得且//，所以．所以，．所以平面．而平面，所以．又因?yàn)?，所以平面．所以．〔Ⅲ〕線段上存在點(diǎn)，使⊥平面．理由如下：如圖，分別取，的中點(diǎn)，，那么//．又因?yàn)?/，所以//．所以平面即為平面．由〔Ⅱ〕知，平面，所以．又因?yàn)槭堑妊切蔚走叺闹悬c(diǎn)，所以．所以平面．從而平面．故線段上存在點(diǎn)，使得⊥平面．2023天津17.〔本小題總分值13分〕如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，AD⊥PD，BC=1，PC=2，PD=CD=2.〔I〕求異面直線PA與BC所成角的正切值；〔II〕證明平面PDC⊥平面ABCD；〔III〕求直線PB與平面ABCD所成角的正弦值。18．〔此題總分值12分〕如圖，直三棱柱ABC—A1B1C1，，，，E、F分別是棱CC1、AB中點(diǎn)．〔1〕判斷直線CF和平面AEB1的位置關(guān)系，并加以證明；〔2〕求四棱錐A—ECBB1的體積．〔1〕解：CF//平面AEB1，……2分證明如下：Zxxk取AB1的中點(diǎn)G，聯(lián)結(jié)EG，F(xiàn)G分別是棱AB、AB1中點(diǎn)……4分又四邊形FGEC是平行四邊形又平面AEB，平面AEB1，平面AEB1?！?分〔2〕解：三棱柱ABC—A1B1C1是直棱柱，平面ABC，又平面ABC平面ECBB1是棱CC1的中點(diǎn)，……12分(本小題總分值12分)如圖，三棱錐A—BPC中，AP⊥PC，AC⊥BC，M為AB中點(diǎn)，D為PB中點(diǎn)，且△PMB為正三角形.〔Ⅰ〕求證：DM//平面APC；〔Ⅱ〕求證：平面ABC⊥平面APC；〔Ⅲ〕假設(shè)BC=4，AB=20，求三棱錐D—BCM的體積.解：〔Ⅰ〕∵M(jìn)為AB中點(diǎn)，D為PB中點(diǎn)，∴MD//AP，又∴MD平面ABC∴DM//平面APC……………3分〔Ⅱ〕∵△PMB為正三角形，且D為PB中點(diǎn)。∴MD⊥PB又由〔Ⅰ〕∴知MD//AP，∴AP⊥PB又AP⊥PC∴AP⊥平面PBC，∴AP⊥BC，又∵AC⊥BC∴BC⊥平面APC，∴平面ABC⊥平面PAC……………8分〔Ⅲ〕∵AB=20∴MB=10∴PB=10又BC=4，∴又MD∴VD-BCM=VM-BCD=………………12分【2023高考全國文19】〔本小題總分值12分〕〔注意：在試題卷上作答無效〕如圖，四棱錐中，底面為菱形，底面，，，是上的一點(diǎn)，?！并瘛匙C明：平面；〔Ⅱ〕設(shè)二面角為，求與平面所成角的大小。解析：【命題意圖】本試題主要是考查了四棱錐中關(guān)于線面垂直的證明以及線面角的求解的運(yùn)用。從題中的線面垂直以及邊長(zhǎng)和特殊的菱形入手得到相應(yīng)的垂直關(guān)系和長(zhǎng)度，并加以證明和求解。解：設(shè),以為原點(diǎn)，為軸，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，那么設(shè)?！并瘛匙C明：由得，所以，，，所以，。所以,，所以平面；〔Ⅱ〕設(shè)平面的法向量為，又，由得，設(shè)平面的法向量為，又，由，得，由于二面角為，所以，解得。所以，平面的法向量為，所以與平面所成角的正弦值為，所以與平面所成角為.27.【2023高考安徽文19】〔本小題總分值12分〕如圖，長(zhǎng)方體中，底面是正方形，是的中點(diǎn)，是棱上任意一點(diǎn)。〔Ⅰ〕證明：；〔Ⅱ〕如果=2，=，,，求的長(zhǎng)?！窘馕觥俊睮〕連接，共面長(zhǎng)方體中，底面是正方形面〔Ⅱ〕在矩形中，得：【2023高考四川文19】(本小題總分值12分)如圖，在三棱錐中，，，，點(diǎn)在平面內(nèi)的射影在上?！并瘛城笾本€與平面所成的角的大??；〔Ⅱ〕求二面角的大小。命題立意：此題主要考查此題主要考查直線與平面的位置關(guān)系，線面角的概念，二面角的概念等根底知識(shí)，考查空間想象能力，利用向量解決立體幾何問題的能力.[解析]〔1〕連接OC.由，所成的角設(shè)AB的中點(diǎn)為D，連接PD、CD.因?yàn)锳B=BC=CA,所以CDAB.因?yàn)榈冗吶切?，不妨設(shè)PA=2，那么OD=1，OP=,AB=4.所以CD=2，OC=.在Rttan.…………6分〔2〕過D作DE于E，連接CE. 由可得，CD平面PAB.據(jù)三垂線定理可知，CE⊥PA，所以，.由〔1〕知，DE=在Rt△CDE中，tan故…………………12分[點(diǎn)評(píng)]此題旨在考查線面位置關(guān)系和二面角的根底概念，重點(diǎn)考查思維能力和空間想象能力，進(jìn)一步深化對(duì)二面角的平面角的求解.求解二面角平面角的常規(guī)步驟：一找〔尋找現(xiàn)成的二面角的平面角〕、二作〔假設(shè)沒有找到現(xiàn)成的，需要引出輔助線作出二面角的平面角〕、三求〔有了二面角的平面角后，在三角形中求出該角相應(yīng)的三角函數(shù)值〕.【2023高考天津文科17】〔本小題總分值13分〕如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，AD⊥PD，BC=1，PC=2，PD=CD=2.〔I〕求異面直線PA與BC所成角的正切值；〔II〕證明平面PDC⊥平面ABCD；〔III〕求直線PB與平面ABCD所成角的正弦值?！窘馕觥俊睮〕是與所成角在中，異面直線與所成角的正切值為〔II〕面面平面平面〔III〕過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接平面平面面是直線與平面所成角在中，在中，得：直線與平面所成角的正弦值為【2023高考新課標(biāo)文19】〔本小題總分值12分〕如圖，三棱柱ABC－A1B1C1中，側(cè)棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=eq\f(1,2)AA1，D是棱AA1的中點(diǎn)(Ｉ)證明：平面BDC1⊥平面BDC〔Ⅱ〕平面BDC1分此棱柱為兩局部，求這兩局部體積的比.CCBADC1A1解析：此題主要考查空間線線、線面、面面垂直的判定與性質(zhì)及幾何體的體積計(jì)算，考查空間想象能力、邏輯推理能力，是簡(jiǎn)單題.解：〔Ⅰ〕由題設(shè)知BC⊥,BC⊥AC，,∴面,又∵面，∴,由題設(shè)知,∴=,即,又∵,∴⊥面,∵面，∴面⊥面；〔Ⅱ〕設(shè)棱錐的體積為，=1，由題意得，==，由三棱柱的體積=1，∴=1:1，∴平面分此棱柱為兩局部體積之比為1:1.【2102高考北京文16】〔本小題共14分〕如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°，D，E分別為AC，AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F為線段CD上的一點(diǎn)，將△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如圖2。(I)求證：DE∥平面A1CB；(II)求證：A1F⊥BE；(III)線段A1B上是否存在點(diǎn)Q，使A1C⊥平面DEQ？說明理由。解析：此題第二問是對(duì)根本功的考查，對(duì)于知識(shí)掌握不牢靠的學(xué)生可能不能順利解決。第三問的創(chuàng)新式問法，難度比擬大。解：〔1〕因?yàn)镈,E分別為AC,AB的中點(diǎn)，所以DE∥BC.又因?yàn)镈E平面A1CB,所以DE∥平面A1CB.〔2〕由得AC⊥BC且DE∥BC,所以DE⊥AC.所以DE⊥A1D,DE⊥CD.所以DE⊥平面A1DC.而A1F平面A1DC,所以DE⊥A1F.又因?yàn)锳1F⊥CD,所以A1F⊥平面BCDE.所以A1F⊥BE〔3〕線段A1B上存在點(diǎn)Q,使A1C⊥平面DEQ.理由如下：如圖，分別取A1C,A1B的中點(diǎn)P,Q,那么PQ∥BC.又因?yàn)镈E∥BC,所以DE∥PQ.所以平面DEQ即為平面DEP.由〔2〕知DE⊥平面A1DC,所以DE⊥A1C.又因?yàn)镻是等腰三角形DA1C底邊A1C的中點(diǎn)，所以A1C⊥DP,所以A1C⊥平面DEP,從而A1C⊥平面DEQ.故線段A1B上存在點(diǎn)Q,使得A1C⊥平面DEQ.【2023高考陜西文18】〔本小題總分值12分〕直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1，=〔Ⅰ〕證明;〔Ⅱ〕AB=2，BC=，求三棱錐 的體積【解析】〔Ⅰ〕如圖，連結(jié),是直三棱柱，=，平面,故．又，四邊形是正方形，，又，平面，故．〔Ⅱ〕，，．由〔Ⅰ〕知，平面，S△·=．【2023高考遼寧文18】(本小題總分值12分)如圖，直三棱柱，，AA′=1，點(diǎn)M，N分別為和的中點(diǎn)。(Ⅰ)證明：∥平面;(Ⅱ)求三棱錐的體積?！沧刁w體積公式V=Sh,其中S為地面面積，h為高〕解析：此題以三棱柱為載體主要考查空間中的線面平行的判定、棱錐體積的計(jì)算，考查空間想象能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力，難度適中?！窘馕觥俊?〕〔法一〕連結(jié)，由三棱柱為直三棱柱，所以為中點(diǎn).又因?yàn)闉橹悬c(diǎn)所以，又平面平面，因此……6分〔法二〕取的中點(diǎn)為P，連結(jié)MP，NP，∵分別為和的中點(diǎn)，∴MP∥,NP∥,∴MP∥面,NP∥面,∵,∴面MPN∥面，∵M(jìn)N面，∴MN∥面.(Ⅱ)〔解法一〕連結(jié)BN，由題意⊥,面∩面=,∴⊥⊥面NBC，∵==1,∴.(解法2)【2023高考江蘇16】〔14分〕不同于點(diǎn)〕，且為的中點(diǎn)．求證：〔1〕平面平面；〔2〕直線平面．【考點(diǎn)】直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系?！窘馕觥俊?〕要證平面平面，只要證平面上的平面即可。它可由證得?！?〕要證直線平面，只要證∥平面上的即可?！敬鸢浮孔C明：〔1〕∵平面。又∵平面，。又∵平面，平面。又∵平面，平面平面。〔2〕∵為的中點(diǎn)，。又∵平面，且平面，。又∵平面，，平面。