二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值講義-高一上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第一冊

二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值一、復(fù)習(xí)回顧初中階段我們學(xué)了二次函數(shù)的哪些知識？二次函數(shù)的概念；2、二次函數(shù)的解析式有三種形式：一般兩根三頂點；3、二次函數(shù)的圖像畫法、性質(zhì)特征；函數(shù)二次函數(shù)圖像a>0a<0y0xy0x性質(zhì)（1）拋物線開口向上，并向上無限延伸；（2）對稱軸是x=，頂點坐標是；（3）在對稱軸的左側(cè)，即當x<時，y隨x的增大而減??；在對稱軸的右側(cè)，即當x>時，y隨x的增大而增大，（4）拋物線有最低點，當x=時，y有最小值，（1）拋物線開口向下，并向下無限延伸；（2）對稱軸是x=，頂點坐標是（，）；（3）在對稱軸的左側(cè)，即當x<時，y隨x的增大而增大；在對稱軸的右側(cè)，即當x>時，y隨x的增大而減小，簡記左增右減；（4）拋物線有最高點，當x=時，y有最大值，練：求二次函數(shù)的最小值。思考：求函數(shù)在區(qū)間[0，3]上的最值？函數(shù)在區(qū)間上的最小值？函數(shù)在上的最大值。二、二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值研究。（一）、正向型是指已知二次函數(shù)和定義域區(qū)間，求其最值。對稱軸與定義域區(qū)間的相互位置關(guān)系的討論往往成為解決這類問題的關(guān)鍵。此類問題包括以下四種情形：（1）軸定，區(qū)間定；（2）軸定，區(qū)間變；（3）軸變，區(qū)間定；（4）軸變，區(qū)間變。1.軸定區(qū)間定二次函數(shù)是給定的，給出的定義域區(qū)間也是固定的，我們稱這種情況是“定二次函數(shù)在定區(qū)間上的最值”。例1.函數(shù)在區(qū)間[0，3]上的最大值是_________，最小值是_______。解：函數(shù)是定義在區(qū)間[0，3]上的二次函數(shù)，其對稱軸方程是，頂點坐標為（2，2），且其圖象開口向下，顯然其對稱軸在［0，3］上，如圖1所示。函數(shù)的最大值為，最小值為。圖12、軸定區(qū)間變二次函數(shù)是確定的，但它的定義域區(qū)間是隨參數(shù)而變化的，我們稱這種情況是“定函數(shù)在動區(qū)間上的最值”。例2.如果函數(shù)定義在區(qū)間上，求的最小值。解：函數(shù)，其對稱軸方程為，頂點坐標為（1，1），圖象開口向上。如圖1所示，若頂點橫坐標在區(qū)間左側(cè)時，有，此時，當時，函數(shù)取得最小值。圖1如圖2所示，若頂點橫坐標在區(qū)間上時，有，即。當時，函數(shù)取得最小值。圖2如圖3所示，若頂點橫坐標在區(qū)間右側(cè)時，有，即。當時，函數(shù)取得最小值綜上討論，圖33、軸變區(qū)間定二次函數(shù)隨著參數(shù)的變化而變化，即其圖象是運動的，但定義域區(qū)間是固定的，我們稱這種情況是“動二次函數(shù)在定區(qū)間上的最值”。例3.求函數(shù)在上的最大值。解：函數(shù)圖象的對稱軸方程為，應(yīng)分，，即，和這三種情形討論，下列三圖分別為（1）；由圖可知（2）；由圖可知（3）時；由圖可知；即通過以上幾個問題的分析可知，不管是哪種形式的二次函數(shù)的最值總在對稱軸的位置或定義域的兩個端點處取得，而我們要知道二次函數(shù)最值是在這三個位置中的哪個位置，所要做的工作就是去分析圖像，討論對稱軸與定義域的位置關(guān)系。以上問題都是利用解析式和區(qū)間求最值得問題，我們稱之為正向型問題。（二）、逆向型是指已知二次函數(shù)在某區(qū)間上的最值，求函數(shù)或區(qū)間中參數(shù)的取值。例4.已知函數(shù)在區(qū)間上的最大值為4，求實數(shù)a的值。解：（1）若，不符合題意。（2）若則由，得（3）若時，則由，得綜上知或例5.已知二次函數(shù)在區(qū)間上的最大值為3，求實數(shù)a的值。這是一個逆向最值問題，若從求最值入手，需分與兩大類五種情形討論，過程繁瑣不堪。若注意到最大值總是在閉區(qū)間的端點或拋物線的頂點處取到，因此先計算這些點的函數(shù)值，再檢驗其真假，過程就簡明多了。具體解法為：（1）令，得此時拋物線開口向下，對稱軸方程為，且，故不合題意；（2）令，得此時拋物線開口向上，對稱軸方程為，閉區(qū)間的右端點距離對稱軸較遠，故符合題意；（3）若，得此時拋物線開口向下，對稱軸方程為，閉區(qū)間的右端點距離對稱軸較遠，故符合題意。綜上，或解后反思：若函數(shù)圖象的開口方向、對稱軸均不確定，且動區(qū)間所含參數(shù)與確定函數(shù)的參數(shù)一致，可采用先斬后奏的方法，利用二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值只可能在區(qū)間端點、頂點處取得，不妨令之為最值，驗證參數(shù)的資格，進行取舍，從而避開繁難的分類討論，使解題過程簡潔、明了。三、課后小結(jié)：影響二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值主要有三個因素：拋物線的開口方向、對稱軸和區(qū)間的位置。這是我們研究二次函數(shù)在閉區(qū)間上最值得關(guān)鍵。按函數(shù)對稱軸與給定區(qū)間的相對位置關(guān)系的討論。一般分為：對稱軸在區(qū)間的左邊，中間，右邊三種情況.設(shè)，求在上的最大值與最小值。分析：將配方，得頂點為、對稱軸為當時，它的圖象是開口向上的拋物線，數(shù)形結(jié)合可得在[m，n]上的最值：（1）當時，的最小值是的最大值是中的較大者。（2）當時若，由在上是增函數(shù)則的最小值是，最大值是若，由在上是減函數(shù)則的最大值是，最小值