振動(dòng)的測(cè)量,傅里葉變換,duhamel積分,反應(yīng)譜

..8振動(dòng)的測(cè)量8.1前言有的時(shí)候,一些微小的、不顯著的振動(dòng),會(huì)與結(jié)構(gòu),或者結(jié)構(gòu)的某一部分產(chǎn)生共振,從而將振動(dòng)放大。共振也會(huì)發(fā)生在人的身上,人體的自振頻率大概為7.5Hz,因此次聲〔<20Hz會(huì)對(duì)人體造成傷害。所以說,對(duì)于結(jié)構(gòu)來說,利用合適的裝置或者設(shè)計(jì)來減小這樣的共振是非常有必要的。那么,想要研究如何減小共振,我們首先要知道將要發(fā)生的振動(dòng)的參數(shù)。想要知道這些參數(shù),我們就需要一些儀器來測(cè)量,這些儀器就是我們這章要了解的。首先來看一下一些概念。在結(jié)構(gòu)工程中常常進(jìn)行運(yùn)動(dòng)量〔位移、速度或加速度的測(cè)量,例如地震動(dòng)時(shí)程的測(cè)量；振動(dòng)臺(tái)試驗(yàn)中結(jié)構(gòu)模型的動(dòng)力反應(yīng)的測(cè)量；脈動(dòng)作用下結(jié)構(gòu)物的振動(dòng)的測(cè)量；大橋、超高層結(jié)構(gòu)風(fēng)振的測(cè)量等。用于測(cè)量振動(dòng)量的儀器〔拾振儀主要有三種：加速度位移計(jì)：測(cè)量加速度的時(shí)程〔強(qiáng)震儀。位移計(jì)：測(cè)量位移時(shí)程〔地震儀。速度計(jì)：測(cè)量速度。8.2理論8.2.1運(yùn)動(dòng)方程的建立D’Alembert原理：在質(zhì)點(diǎn)系的運(yùn)動(dòng)的任意瞬間,如果除了實(shí)際作用于每一質(zhì)點(diǎn)的主動(dòng)力和約束反力外,再加上假想的慣性力,則在該瞬間質(zhì)點(diǎn)系將處于假想的平衡狀態(tài),稱之為動(dòng)力平衡狀態(tài)。記Fi、fIi、Si分別為F通常主動(dòng)力Fi包括上圖質(zhì)量塊m所受的主動(dòng)力為F(t)=P(t)慣性力為f由于該體系是約束反力不做功的理想約束體系,故列運(yùn)動(dòng)方程時(shí)僅考慮運(yùn)動(dòng)方向上的受力,此時(shí)的約束反力是沒有的。將上面兩式代入D’Alembert原理表達(dá)式,有m當(dāng)然,建立運(yùn)動(dòng)方程的方法有多種,除了上面介紹的D’Alembert原理之外,還有虛位移原理、Hamilton原理和Lagrange方程,這四種方法對(duì)建立運(yùn)動(dòng)方程是完全等同的,可以推得完全相同的運(yùn)動(dòng)方程。8.2.2Fourier變化法〔頻域分析法最簡(jiǎn)單的測(cè)量?jī)x器模型是一單自由度彈簧-質(zhì)點(diǎn)-阻尼體系,被封閉在一個(gè)剛性盒子里面,如圖所示單自由度體系運(yùn)動(dòng)方程為：m其中：c=2k則〔1式可以寫為：u使用傅里葉變換法〔之后補(bǔ)上介紹,正變換,把問題從時(shí)間域〔自變量為t轉(zhuǎn)變到頻域〔自變量為ω,可得：-UU?下面給出了UωGH(ω)為復(fù)頻反應(yīng)函數(shù),也叫傳遞函數(shù)。相角?ω的含義,在動(dòng)力荷載作用下,有阻尼體系的動(dòng)力反應(yīng)〔位移、速度、加速度一定要滯后動(dòng)力荷載一段時(shí)間,即存在反應(yīng)滯后現(xiàn)象。相角?實(shí)際是反映結(jié)構(gòu)體系位移相對(duì)于動(dòng)力荷載的反應(yīng)滯后時(shí)間,從下圖可以補(bǔ)充：傅立葉變換Fourier變換的定義為U其中,Uω稱為位移ut根據(jù)Fourier變換的性質(zhì),速度和加速度的Fourier變換為-∞8.3振動(dòng)測(cè)量?jī)x器8.3.1加速度計(jì)〔強(qiáng)震儀加速度計(jì)測(cè)量的是加速度,在基底加速度作用下儀器質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為式〔1：m實(shí)際要測(cè)量的加速度運(yùn)動(dòng)時(shí)程是任意變化的,包含在一定的頻段分布的一系列簡(jiǎn)諧分量,我們可以先分析儀器對(duì)一個(gè)簡(jiǎn)諧分量的測(cè)量。儀器基底加速度時(shí)程：u為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng),其中ug0為地面運(yùn)動(dòng)加速度的振幅。帶入上式,可得儀器質(zhì)點(diǎn)的相對(duì)位移uu=-下面僅討論ut的振幅u作為一種測(cè)量?jī)x器,其測(cè)量的對(duì)象的單位可以不同,但一定要成比例。由上式可知,儀器記錄值u0與被測(cè)量的地面加速度值之間的關(guān)系變化由動(dòng)力放大系數(shù)Rd決定,而動(dòng)力放大系數(shù)Rd是由ω的函數(shù),觀察不同阻尼比時(shí)動(dòng)力放大系數(shù)曲線圖〔下圖可以發(fā)現(xiàn),當(dāng)ζ=0.7時(shí),在頻段0≤ω≤0.5范圍即在以上的頻段范圍內(nèi),儀器反應(yīng)的振幅u0,或者說是對(duì)于不同的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng),儀器的記錄與儀器要測(cè)量的加速的振幅成線性關(guān)系。這時(shí)可以用儀器反應(yīng)u來度量要測(cè)量的加速的。為了保證加速的不同簡(jiǎn)諧分量的頻率ω都滿足0≤ω≤0.5,可以采用提高ωn的方法來實(shí)現(xiàn),因?yàn)棣豱=k/m,一般情況下,質(zhì)量m不變,可以采用提高加速度計(jì)中的彈簧剛度k的方法來實(shí)現(xiàn)提高ωn的目的。8.3.2位移計(jì)〔地震儀位移計(jì)是用來測(cè)量?jī)x器基底的位移量,設(shè)任意一個(gè)簡(jiǎn)諧位移為u其中ug0為地面運(yùn)動(dòng)位移振幅,將ugt=-ω2ug0sinωtu相對(duì)位移反應(yīng)的振幅為：u與加速度計(jì)的原理相同,我們希望在所測(cè)量的振動(dòng)頻率范圍內(nèi),對(duì)于不同的頻率分量均有u0和ug0之間的比例系數(shù)ωωn2Rd接近常量。下圖由圖可以看出,當(dāng)阻尼比ζ=0.5時(shí),在頻率范圍ωωn>1時(shí),ωωn2Rd接近于常數(shù),因此可以用位移計(jì)來測(cè)量頻率范圍在ω>ωn頻段范圍內(nèi)的位移量。為了保證被測(cè)位移的頻率滿足ω>ωn,可通過降低儀器自振頻率ωn的第十章反應(yīng)譜10.1前言地震動(dòng)引起地面的運(yùn)動(dòng),并通過地面的運(yùn)動(dòng),是結(jié)構(gòu)也產(chǎn)生振動(dòng)。因此,在地震中,結(jié)構(gòu)上所受的荷載是由于其支座的運(yùn)動(dòng)而產(chǎn)生的。地面的運(yùn)動(dòng)有三個(gè)平動(dòng)分量和三個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)分量,但是由于測(cè)量水平的限制,轉(zhuǎn)動(dòng)分量很難測(cè)得,而平動(dòng)的分量可以由加速度計(jì)測(cè)得。相對(duì)于平動(dòng)分量來說,轉(zhuǎn)動(dòng)分量很小,因此在對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行抗震分析的時(shí)候,轉(zhuǎn)動(dòng)分量忽略不計(jì)。對(duì)一個(gè)結(jié)構(gòu)來說,在彈性范圍內(nèi),它的響應(yīng)是由于地面的一個(gè)平動(dòng)分量產(chǎn)生的,對(duì)于一個(gè)結(jié)構(gòu)體系來說,就是這些分量的和。由于結(jié)構(gòu)的自振頻率是未知的,在設(shè)計(jì)的時(shí)候需要多次迭代才能求出來。所以,結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)者就需要反應(yīng)譜的幫助了。10.2傅立葉譜將振動(dòng)的信號(hào)〔或任意變化的函數(shù)分解為簡(jiǎn)諧振動(dòng)〔三角函數(shù)的過程稱為傅里葉分解。得到振幅和相位隨頻率變化的關(guān)系稱為傅里葉譜,包括振幅譜和相位譜,統(tǒng)稱為頻譜,完成分解的運(yùn)算稱為傅立葉變化。傅里葉譜全面描述了地震動(dòng)過程的頻譜特征,包括了各頻率分量的相位及幅值信息。因此,從兩個(gè)傅里葉譜可以反推出地震動(dòng)的時(shí)程,而功率譜和反應(yīng)譜則不行。傅立葉譜是復(fù)數(shù),由實(shí)部和虛部組成,他的模稱為幅值譜,幅角為相位譜。X假設(shè)地面運(yùn)動(dòng)的加速度在t?(0,X則強(qiáng)震下傅立葉振幅譜和相位譜可以用下式定義X?10.3反應(yīng)譜單自由度體系在給定的地震作用下某個(gè)最大反應(yīng)與體系自振周期的關(guān)系曲線稱為該反應(yīng)的地震反應(yīng)譜。10.3.1Duhamel積分〔1單位脈沖反應(yīng)函數(shù)單位脈沖：作用時(shí)間很短,沖量等于1的荷載,實(shí)際上就是數(shù)學(xué)中的特殊函數(shù)—δ函數(shù)。δ函數(shù)的定義為δ和0在t=τ時(shí)刻一個(gè)單位脈沖Pt=δt作用在單自由度體系上,使結(jié)構(gòu)的質(zhì)點(diǎn)獲得一個(gè)單位muτ+ε=τu由于脈沖作用時(shí)間很短,當(dāng)ε→0時(shí),由單位脈沖引起質(zhì)點(diǎn)的位移為零,即u求體系在單位脈沖下的反應(yīng),即是求解單位脈沖作用后的自由振動(dòng)問題。將初始條件uτ=1m和uτu所以有阻尼體系單位脈沖反應(yīng)函數(shù)為h〔2對(duì)任意荷載的反應(yīng)我們可以把荷載分解為一系列脈沖,獲得每一個(gè)脈沖下結(jié)構(gòu)的反應(yīng),最后疊加得到結(jié)構(gòu)的總反應(yīng)。如果已經(jīng)將作用于結(jié)構(gòu)體系的外荷載Pτ離散成一系列脈沖,首先計(jì)算其中任一脈沖Pτdτ的動(dòng)力反應(yīng)du在任意時(shí)間t結(jié)構(gòu)的反應(yīng),就是在t之前所有脈沖作用下的反應(yīng)之和為u將〔21式代入上式,可以求解阻尼體系動(dòng)力反應(yīng)的Duhamel積分公式u其中ωD=10.3.2反應(yīng)譜法前面介紹了一些結(jié)構(gòu)動(dòng)力反應(yīng)分析的方法,可以對(duì)結(jié)構(gòu)地震反應(yīng)問題展開分析計(jì)算。當(dāng)?shù)卣饎?dòng)較小時(shí),結(jié)構(gòu)處于線彈性范圍,可以采用時(shí)域的Duhamel積分法,或頻域的Fourier變換方法獲得地震下結(jié)構(gòu)的反應(yīng),并根據(jù)得到的結(jié)構(gòu)最大變形最大內(nèi)力進(jìn)行抗震設(shè)計(jì)。當(dāng)?shù)卣饎?dòng)較強(qiáng)時(shí),結(jié)構(gòu)反應(yīng)可能進(jìn)入塑性,需要用到時(shí)域逐步積分法進(jìn)行彈塑性反應(yīng)分析。我們僅討論結(jié)構(gòu)線彈性地震反應(yīng)問題,采用Duhamel積分法介紹地震反應(yīng)譜。地震作用的特點(diǎn)是地震動(dòng)過程非常復(fù)雜,隨時(shí)間不規(guī)則、快速變化。設(shè)地震加速度時(shí)程為ugt,其特點(diǎn)為：第一階段,振幅快速增長(zhǎng)；第二階段,相對(duì)地震作用下結(jié)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)方程為m地震等效荷載為Peqt=-mu觀察上式可以發(fā)現(xiàn),對(duì)于給定的地震動(dòng)ug,結(jié)構(gòu)的地震反應(yīng)僅與結(jié)構(gòu)的阻尼比ζ和自振頻率ωn有關(guān)。換句話說,對(duì)于大小尺寸不同的結(jié)構(gòu),當(dāng)結(jié)構(gòu)阻尼比當(dāng)阻尼比較小時(shí),ωD≈ωnu則最大位移反應(yīng)為：S質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于地面的速度為：u+則質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于地面的最大速度反應(yīng)為：S+在實(shí)際工程中,我們比較看重的是結(jié)構(gòu)的絕對(duì)加速度ut+ug(t),從單指點(diǎn)體系的u+將上面求得的utu+由于低阻尼體系,ωD≈u則點(diǎn)相對(duì)于地面的最大加速度反應(yīng)為：S以上,我們求得了Sd、SvS當(dāng)阻尼比給定時(shí),結(jié)構(gòu)對(duì)任一地震的最大相對(duì)位移反應(yīng)、最大相對(duì)速度和最大絕對(duì)加速度反應(yīng)僅由ωn決定。工程中,一般習(xí)慣采用結(jié)構(gòu)的自振周期Tn=2π/ωELC波絕對(duì)加速度譜相對(duì)速度反譜位移反應(yīng)譜10.3.3影響地震反應(yīng)譜的因素影響地震反應(yīng)譜的因素有兩點(diǎn),一是體系阻尼比,二是地震動(dòng)?！?體系阻尼比體系阻尼比越大,地震反應(yīng)譜加速度反應(yīng)越小,地震反應(yīng)譜值也越小?！?地震動(dòng)不同的地震動(dòng)將會(huì)有不同的地震反應(yīng)譜,大家都知道地震動(dòng)特性的三要素：振幅、頻譜、持時(shí)。振幅越大,地震反應(yīng)譜值越大,但是地震動(dòng)振幅僅對(duì)地震反應(yīng)譜值有影響,且呈線性比例關(guān)系。地面運(yùn)動(dòng)的各種頻率與加速度幅值的對(duì)應(yīng)關(guān)系場(chǎng)地越軟,地震震中距越大,地震反應(yīng)譜峰值對(duì)應(yīng)的周期也越長(zhǎng)。所以說,地震動(dòng)頻譜對(duì)地震反應(yīng)譜的形狀有影響。持時(shí)對(duì)地震反應(yīng)譜影響不大。10.3.4地震反應(yīng)譜的特點(diǎn)〔1阻尼比對(duì)反應(yīng)譜影響很大,不僅能降低結(jié)構(gòu)反應(yīng)的幅值,而且可以削平不少峰值,使反應(yīng)譜曲線變得平緩?！?對(duì)于加速度反應(yīng)譜,當(dāng)結(jié)構(gòu)的周期小于某個(gè)值時(shí),幅值隨周期急劇增大,大于某個(gè)值時(shí),快速下降,當(dāng)T≥3s時(shí),加速度反應(yīng)譜值下降緩慢?！?對(duì)于速度反應(yīng)譜,當(dāng)結(jié)構(gòu)周期小于某個(gè)值時(shí)幅值隨周期增大,隨后趨于常數(shù)?！?對(duì)于位移反應(yīng)譜,幅值隨周期增大。〔5土質(zhì)條件對(duì)反應(yīng)譜形狀有很大的影響,土質(zhì)越松軟,地震反應(yīng)譜峰值對(duì)應(yīng)的周期也越長(zhǎng)。小結(jié)：結(jié)構(gòu)的最大地震反應(yīng),對(duì)于高頻結(jié)構(gòu)來說,主要取決于地面運(yùn)動(dòng)的加速度；對(duì)于中頻結(jié)構(gòu)來說,主要取決于地面運(yùn)動(dòng)的最大速度；對(duì)于低頻結(jié)構(gòu)來說,只要取決于地面運(yùn)動(dòng)的最大位移。10.3.5設(shè)計(jì)反應(yīng)譜地震反應(yīng)譜直接用于結(jié)構(gòu)的抗震設(shè)計(jì)有一定的困難,所以需要有專門的可供結(jié)構(gòu)抗震設(shè)計(jì)用的反應(yīng)譜,我們稱之為設(shè)計(jì)反應(yīng)譜。F=m〔1地震系數(shù)k=ugmaxg,可以將地震動(dòng)振幅烈度每增加一度,地震系數(shù)大致增加一倍。〔2體系最大加速度的放大系數(shù)ββ那么,對(duì)于給定的加速度記錄ug,和結(jié)構(gòu)的阻尼比ζ,那么可以用上式計(jì)算出對(duì)應(yīng)不同的結(jié)構(gòu)自振周期T的動(dòng)力系數(shù)β值S對(duì)比兩個(gè)公式,可以看出,地面最大加速度ut對(duì)于給定的地震是一個(gè)常數(shù),所以β-T的曲線形式與擬加速度反應(yīng)譜的曲線的形狀是完全一致的,只是縱坐標(biāo)的數(shù)值不同。β-T曲線的縱坐標(biāo)為Saugmax,而擬加速度反應(yīng)譜回顧一下,地震反應(yīng)譜是現(xiàn)階段計(jì)算地震作用的基礎(chǔ),通過反應(yīng)譜把隨時(shí)程變化的地震作用轉(zhuǎn)化為等效側(cè)向力。對(duì)于單自由度體系,把慣性力看作反映地震對(duì)結(jié)構(gòu)體系影響的等效力,用它對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行抗震驗(yàn)算。F=α=kβ為水平地震影響系數(shù)。上面講過,β-T的曲線形式與擬加速度反應(yīng)譜的曲線的形狀是完全一致的,只是縱坐標(biāo)的數(shù)值不同,由于對(duì)于給定的地震〔或者設(shè)防烈度,地震系數(shù)k為常數(shù),所以呢,α-T的曲線形式與擬加速度反應(yīng)譜的曲線的形狀是完全一致的,其縱坐標(biāo)為k?S但是,由于地震的隨機(jī)性,同一地點(diǎn)、相同地震烈度的前后兩次地震記錄的地面運(yùn)動(dòng)加速度曲線時(shí)程ug(t)也有很大不同。因此在進(jìn)行工程設(shè)計(jì)時(shí),僅用某一次的ug(t)所得到的反應(yīng)譜曲線SaT或者αT作為設(shè)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)計(jì)算①取確定的阻尼比ζ=0.05,因?yàn)榇蠖鄶?shù)實(shí)際建筑結(jié)構(gòu)的阻尼比在0.05左右,即考慮阻尼比對(duì)地震反應(yīng)譜的影響。②按場(chǎng)地、震中距將地震動(dòng)記錄分類,即考慮地震動(dòng)頻譜的影響因素。③計(jì)算每一類地震動(dòng)記錄動(dòng)力系數(shù)的平均值,即考慮類別相同的不同地震記錄的地震反應(yīng)譜的變異性。β綜合考慮上述因素后,根據(jù)統(tǒng)一場(chǎng)地所得到的強(qiáng)震地面運(yùn)動(dòng)加速度記錄ug(t)分別計(jì)算出它的反應(yīng)譜曲線,然