實變函數(shù)重點題集

iiiii(A)凡外側(cè)度為零的合都可測（）可測集的何子集都可測(C)開集和閉集都是波雷耳集（D）波雷耳集都可測二填題(3分×5=15分)1CBA2設(shè)E是，ssE'=

E,E3設(shè)是R

n

中點集，如對任一點集T都有m*

(E)

*

()，則稱是可測4(x)可測的充要條件是它可以表成一列簡函數(shù)的極限函數(shù)5()為上的有限函數(shù)果對于a的一切分劃|f(x)f()|iii一有界數(shù)集則稱()為差函數(shù)。1設(shè)E

1

，若E稠密集，則CE是無處稠密集。錯2、若mE0，則一定是可數(shù)集.錯誤例如：E是集，則mE，但，故其為不可集3若x)可測函數(shù)，x)必是可測函數(shù)。錯誤二、2.下列說法不正確的是()(A)的任一領(lǐng)域內(nèi)都有E中窮多個點，P是E的聚點0(B)的任一領(lǐng)域內(nèi)至少有一個中異于P點，則是聚點0(C)存在E中點列，則P是E的聚點n0(D)內(nèi)點必是聚點3.下列斷言(B是正確的。（A）任意個開集的交是開集；(B)任意個閉集的交是閉集(C)任意個閉集的并是閉集；以上都不；4.下列斷言中(C)是錯誤的。（A）零測集是可測集；（B）可數(shù)個測集的并是零測集（C）任意個零測集的并是零測集；（D）零測的任意子集是可測集；1設(shè),],1,2,，則lim_________。nnn2、設(shè)為Cantor，則P，，P3設(shè)是一列可測集，m______mSi4魯津定理：5設(shè)()為數(shù)，如果稱()續(xù)函數(shù)。答案：

2c；0；

3

4設(shè)fx)是E上ae.有的可測函數(shù)，則對任意

0，存在閉子集E使得f)在E上是連續(xù)函，且mE\E)1/

。

nnnkkk1kknnnkkk1kko

的任意有限個開間b,,ii要()(a)iiiiii1由于0,10,1，故不存使和之間1對應(yīng)的映射。錯誤2可數(shù)個零測度集之和集仍為零度集。正確3..收斂的函數(shù)列必依測度收斂錯誤4連續(xù)函數(shù)一定是有界變差函數(shù)錯誤2.(6分)設(shè)

使m*

()

，則是可集。證明任何正整數(shù)n條件存在開集GE使m*(G)令G是n可測集，又m*()m*()對一切整數(shù)n成立，因而m*()，即MGE是一零測度集所以也可測.由G)知，E測。（8分設(shè)函數(shù)列f((n在有界集“基本上致收斂于f()證明：f().收于f(x)。證明：因為f(x在E上“基本上”一致收斂x)，所以對于任意的Z在可測集，f(x在上一致收斂于f(x)mE\)E*上處處收斂到f(xm(*)(E\)mE\)k所以m(E*)…1設(shè)集合M，則MNN2、設(shè)為Cantor，則Pc，mP，。

令*f(x)在knk，k=1,23設(shè)是R

n

中點集，如對任一點集T都有m*

(E)

*

()，則稱是L可測的4、葉果洛夫定理：設(shè)m()f}是E上一列斂于一個e限的函數(shù)f的可測函數(shù)，則任意在子集E，使{f}在E上一致斂且m(E\E)。5、設(shè)f()在E上可測，則f(x)在E上積的充要條是|(x)|在可積.1任意多個開集之交集仍為開集不成立反例設(shè)G=(為開集但不是開集.

1n

),n=1,2,

每個2、若0，則E定是可數(shù)集。不成立；設(shè)是Cantor集則mE，，故其為不可集。3..收斂的函數(shù)列必依測度收斂不成立4連續(xù)函數(shù)一定是有界變差函數(shù)不成立1分）試證(0,1)~證明：記(0,1)有理數(shù)全體Qrr,},令22/

1nn001nn00i

()

r2r)rnnn)[0理數(shù)，

是）)~[0,]2設(shè)()是(值連續(xù)函數(shù)則對任意常數(shù)，{x|f(x}是一開集.證明:E,即f().因f（）續(xù)，故x，f(x.0即(x)所以是E的內(nèi)點.由x的任意性的每一個點都是內(nèi)點,從而E為開集01、設(shè)f()是任意常a{xf(x)}閉集。證明：EE中的互異點列{},使limx;,fx)a;nf(x在(x)f(x)a;;E是閉集.3分設(shè)(x)是測集的非負(fù)可積函數(shù)，g)是的可測函數(shù)且(xf(x)，則g(x)也是上的可函數(shù)。證明：(f(，x)f(),gx)f()dxdxf(x是可測nEE集E的非負(fù)可積函數(shù)limx)f()dx是上的可積函數(shù)EE同理，(x)也是上的可積函數(shù).()是E上的可積函數(shù)。1設(shè)P為Cantor集則（C）（A）P(B)mP(C)P'(D)PP5.設(shè)()[a,]的有界變差函數(shù),則下面不成立的是(D)(A)f()在[ab]上L可(B)()在[a,]上R積(C)f'(x[ab]上L可積(x)在[a,]上對連續(xù)2、設(shè)ER,若,則E是閉集若EE，則是開集；若E'則E是備集.5(x)為a上的有函數(shù)如果對于a,的一切劃分使|f(x)f(x)|ii一有界數(shù)集則稱f)為差函數(shù)。1、A為可數(shù)集，B為至多可數(shù)集，則AB是可數(shù)集；成立20

成立為[1]的全體有理點集有mE0