2018年全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽(浙江賽區(qū))初賽試題

44.44.2018年全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽(浙江賽區(qū))初賽試題題號(hào)-一--二二三總分1-89—1415161718得分評(píng)卷人復(fù)查人(2018年3月12日上午9:00—11:00)答題時(shí)注意；1?用圓珠筆或鋼筆作答.?解答書寫時(shí)不要超過裝訂線.?草稿紙不上交.一、選擇題(共8小題，每小題5分，滿分40分.以下每小題均給出了代號(hào)為A,B,C,D的四個(gè)選項(xiàng)，其中有且只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的.請(qǐng)將正確選項(xiàng)的代號(hào)填入題后的括號(hào)里.不填、多填或錯(cuò)填均得零分)1.2.得分評(píng)卷人要使方程組fx+2y=a,的解是一對(duì)異號(hào)的數(shù)，則a的取值范圍是(.2x+3y=2444、(A)-<av3(B)av—(C)a>3(D)av—,或a>3333一塊含30°角的直角三角板(如圖)，它的斜邊AB=8cm，里面空心厶DEF的各邊與厶ABC的對(duì)應(yīng)邊平行，且各對(duì)應(yīng)邊的距離都是1cm,那么△DEF的周長(zhǎng)是()(A)5cm(B)6cm(C)(6-3)cm(D)(33)cm3.將長(zhǎng)為15dm的木棒截成長(zhǎng)度為整數(shù)的三段，使它們構(gòu)成一個(gè)三角形的三邊，則不同的截法有()(A)5種(B)6種(C)7種作拋物線A關(guān)于x軸對(duì)稱的拋物線B，再將拋物線上平移1個(gè)單位，得到的拋物線C的函數(shù)解析式是(D)8種B向左平移2個(gè)單位，向y=2(x1)2-1，則拋物線A所對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式是()(A)y—2(x3)2-2(C)y=「2(x-1)2-2(B)y--2(x3)222(D)y--2(x-1)22111(A)(B)-(C)(D)-2111(A)(B)-(C)(D)-33266.如圖，一枚棋子放在七邊形ABCDEFG的頂點(diǎn)A處，現(xiàn)順時(shí)組成一套教材的概率是（）GCFDE5.書架上有兩套同樣的教材，每套分上、下兩冊(cè)，在這四冊(cè)教材中隨機(jī)抽取兩冊(cè)，恰好針方向移動(dòng)這枚棋子10次，移動(dòng)規(guī)則是：第k次依次移動(dòng)k個(gè)頂點(diǎn).如第一次移動(dòng)1個(gè)頂點(diǎn)，棋子停在頂點(diǎn)B處，第二次移動(dòng)2個(gè)頂點(diǎn)，棋子停在頂點(diǎn)D處.依這樣的規(guī)則，在這10次移動(dòng)的過程中，棋子不可能停到的頂點(diǎn)是（）（A）C,E,F（B）C,E,G（C）C,E（D）E,F一元二次方程ax2bx弋=0@=0）中，若a,b都是偶數(shù)，c是奇數(shù)，則這個(gè)方程（）（A）有整數(shù)根（B）沒有整數(shù)根（C）沒有有理數(shù)根（D）沒有實(shí)數(shù)根如圖所示的陰影部分由方格紙上3個(gè)小方格組成，我們稱這樣的圖案為L(zhǎng)形，那么在由4X5個(gè)小方格組成的方格紙上可以畫出不同位置的L形圖案?jìng)€(gè)數(shù)是（）（A）16（B）32（C）48（D）64、填空題（共6小題，每小題5分，滿分30分）得分評(píng)卷人已知直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)分別為3cm和4cm,那么以兩直角邊為直徑的兩圓公共弦的長(zhǎng)為cm.將一組數(shù)據(jù)按由小到大（或由大到?。┑捻樞蚺帕校幱谧钪虚g位置的數(shù)（當(dāng)數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)是奇數(shù)時(shí)），或最中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)（當(dāng)數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)是偶數(shù)時(shí)）叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).現(xiàn)有一組數(shù)據(jù)共有100個(gè)數(shù)，其中有15個(gè)數(shù)在中位數(shù)和平均數(shù)之間，如果這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和平均數(shù)都不在這100個(gè)數(shù)中，那么這組數(shù)據(jù)中小于平均數(shù)的數(shù)據(jù)占這100個(gè)數(shù)據(jù)的百分比是.AABC中，a,b,c分別是/A、/B、/C的對(duì)邊.已知a=J0,b='2,c=3-2,貝HbsinB+csinC的值等于.12.設(shè)直線y=kxk-1和直線y=（k1）xk（k是正整數(shù)）及x軸圍成的三角形面積為Sk，則S1S2S^rS2006的值是

如圖，正方形ABCD和正方形CGEF的邊長(zhǎng)分別是2和3，且點(diǎn)B,C,G在同一直線上，M是線段AE的中點(diǎn)，連結(jié)MF，貝UMF的長(zhǎng)為.邊長(zhǎng)為整數(shù)的等腰三角形一腰上的中線將其周長(zhǎng)分為1:2的兩部分，那么所有這些等腰三角形中，面FE（第13題）FE（第13題）三、解答題（共4題，分值依次為12分、15.已知a,b,c都是整數(shù)，且a-2b=4,

ab，c2-1=0,求abc的值.12分、12分和14分，滿分50分）得分評(píng)卷人得分得分評(píng)卷人16.做服裝生意的王老板經(jīng)營(yíng)甲、乙兩個(gè)店鋪，每個(gè)店鋪在同一段時(shí)間內(nèi)都能售出A，B兩種款式的服裝合計(jì)30件，并且每售出一件A款式和B款式服裝，甲店鋪獲毛利潤(rùn)分別為30元和40元，乙店鋪獲毛利潤(rùn)分別為27元和36元?某日王老板進(jìn)貨A款式服裝35件，B款式服裝25件?怎樣分配給每個(gè)店鋪各30件服裝，使得在保證乙店鋪獲毛利潤(rùn)不小于950元的前提下，王老板獲取的總毛利潤(rùn)最大？最大的總毛利潤(rùn)是多少?22得分得分評(píng)卷人17.如圖所示，OO沿著凸n邊形AiAA3…An-iAn的外側(cè)(圓和邊相切)作無滑動(dòng)的滾動(dòng)一周回到原來的位置.(1)當(dāng)OO和凸n邊形的周長(zhǎng)相等時(shí)，證明OO自身轉(zhuǎn)動(dòng)了兩圈.(2)當(dāng)OO的周長(zhǎng)是a，凸n邊形的周長(zhǎng)是b時(shí)，請(qǐng)寫出此時(shí)OO自身轉(zhuǎn)動(dòng)的圈數(shù).得分得分評(píng)卷人18.已知二次函數(shù)y=x2(m?1)x「m1.(1)隨著m的變化，該二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)P是否都在某條拋物線上？如果是，請(qǐng)求出該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；如果不是，請(qǐng)說明理由.⑵如果直線y=x?1經(jīng)過二次函數(shù)y=x2-2(m?1)x-m1圖象的頂點(diǎn)P,求此時(shí)m的值.2018年全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽(浙江賽區(qū))初賽試題參考答案、選擇題(共8小題，每小題5分，滿分40分)1、選擇題(共8小題，每小題5分，滿分40分)1答案：D解：解方程組，得.3a斗0,或.Q-2a:>0;2?答案：B3a-4x=6-2ay廠3—"°'即av-或a>3?6-2ac0.3要使方程組的解是一對(duì)異號(hào)的數(shù),（第2題）解：連結(jié)BE,分別過E,F作AC的平行線交BC于點(diǎn)M和N,貝UEM=1,BM=3,MN=4_-1=3-、、3.???小三角形的周長(zhǎng)是MN2MN、.3MN=6cm.答案：C解：能組成三角形的只有(1,7,7)、(2,6,7)、(3,5,7)、(3,6,6)、(4,4,7)、(4,5,6)、(5,5,5)七種.答案：D解：將拋物線C再變回到拋物線A:即將拋物線y=2(x1)2-1向下平移1個(gè)單位，再向右平移2個(gè)單位，得到拋物線y=2(x-1)2-2，而拋物線y=2(x-1)2-2關(guān)于x軸對(duì)稱的拋物線是y=-2(x-1)22.答案：A解：四冊(cè)教材任取兩冊(cè)共有6種不同的取法，取出的兩冊(cè)是一套教材的共有4種不同的取法，故所求概率是-.CF63CF答案：A解：經(jīng)實(shí)驗(yàn)或按下述方法可求得頂點(diǎn)C,E和F棋子不可能停到.設(shè)頂點(diǎn)A,B,C,D,E,F,G分別是第0,1,2,3,4,5,6格，因棋子移動(dòng)了k次后走過的總格數(shù)是12川'k=lkk1,應(yīng)停在第21Akk1-7p格，這里p是整數(shù)，且使0<211^kk1-7pw6,分別取k=1,2,3,4,5,6,7,時(shí)，-kk1-7p=1,3,6,3,1,0,0,發(fā)現(xiàn)第2,4,5格沒有停棋.若7vk<10,設(shè)^7t（t=1,11’2,3)代入可得，—kk1-7p=7^-tt1,由此可知，停棋的情形與k=t22時(shí)相同.故第2,4,5格沒有停棋，即頂點(diǎn)C,E和F棋子不可能停到.答案：B1717.1717.■■634■■634解：假設(shè)有整數(shù)根，不妨設(shè)它的根是2k或2k+1（k為整數(shù)），分別代入原方程得方程兩邊的奇偶性不同的矛盾結(jié)果，所以排除A;若a,b,c分別取4，8，別取4，8，3則排除C，答案：C解：每個(gè)2X2小方格圖形有X2小方格圖形共有12數(shù)是12X4=48.4種不同的畫法，而位置不同的個(gè)，故畫出不同位置的L形圖案?jìng)€(gè)、填空題（共6小題，每小題5分，滿分30分）9.答案:9.答案:125解：不難證明其公共弦就是直角三角形斜邊上的高（設(shè)為h）,則5h=3X4,h=:.510?答案：35%或65%（答對(duì)一個(gè)給3分）解：如果平均數(shù)小于中位數(shù)，那么小于平均數(shù)的數(shù)據(jù)有35個(gè)；如果平均數(shù)大于中位TOC\o"1-5"\h\z數(shù)，那么小于平均數(shù)的數(shù)據(jù)有65個(gè),所以這組數(shù)據(jù)中小于平均數(shù)的數(shù)據(jù)占這100個(gè)數(shù)據(jù)的百分比是35%或65%.11.答案：102丄J2ccba■—==aaa=a=、、10.解：不難驗(yàn)證，2丄J2ccba■—==aaa=a=、、10.bbsinB+csinC=b+ca12.答案:10032007TOC\o"1-5"\h\z解:方程組｛y蠱的解為二1.直線的交點(diǎn)是（卄1）.1—k\o"CurrentDocument"直線y=kx，k-1,y=（k1）xk與x軸的交點(diǎn)分別是（,0）、k1ss$川滋工1-k-k111kk+1=1ss$川滋工1-k-k111kk+1=2kk+1:111i11±1-—+-—+??22334.所以（占，0）.』「■+20062007丿=珂一11003I=2007200713.答案：二2解：連結(jié)DM并延長(zhǎng)交EF于N,則厶ADM◎△ENM,???FN=1,高，所以則FM是等腰直角△DFN的底邊上的.2FM=—.214.答案:15.16.解：設(shè)這個(gè)等腰三角形的腰為x,底為y,分為的兩部分邊長(zhǎng)分別為n和2n,得'x-x+—=2n,2解得15.16.解：設(shè)這個(gè)等腰三角形的腰為x,底為y,分為的兩部分邊長(zhǎng)分別為n和2n,得'x-x+—=2n,2解得丿xx

xn,2y=2n;2nx=—35n

r2匯——（此時(shí)不能構(gòu)成三角形，舍去）,?取■=334nx盲，八3.4nx=W,n3其中n是3的倍數(shù).r，三角形的面積2632n

36S?:.隨著n的增大而增大，故當(dāng)n=3時(shí),對(duì)于S63n2,吐36取最小.4題，分值依次為12分、12分、12分和14分，滿分50分）三、解答題（共（12分）2解：將a=42b代入abc-1=0,—2±*6-2c2b=2b,C都是整數(shù)，???只能取丿22得2b+4b+c-1=0,b3=-29=1；b?=0,C2=—1b1￡a1=4,a2=4,a3=0,a4=0.abC的值有4個(gè)：5,3,-1,-3=0,=1；，月2,，…4分C4=—1相對(duì)應(yīng)故所求（12分）解：設(shè)分配給甲店鋪A款式服裝x件（x取整數(shù)，且5Wxw30），則分配給甲店鋪B款式服裝（30-x）件，分配給乙店鋪A款式服裝（35-x）件，分配給乙店鋪B款式服裝［25-（30-x）］=（x-5）件，總毛利潤(rùn)（設(shè)為y總）為：y總=30x+40（30-x）+27（35-x）+36（x-5）=-x+1965.乙店鋪的毛利潤(rùn)（設(shè)為y乙）應(yīng)滿足：5y乙=27（35-x）+36（x-5）>950，得x>209?對(duì)于y總=-x+1965,y總隨著x的增大而減小，要使y總最大，x必須取最小值，又x>205，故取x=21?即分配給甲店鋪A,B兩種款式服裝分別為21件和9件，9TOC\o"1-5"\h\z分配給乙店鋪A,B兩種款式服裝分別為14件和16件，此時(shí)既保證了乙店鋪獲毛利潤(rùn)不小于950元，又保證了在此前提下王老板獲取的總毛利潤(rùn)最大，3分其最大的總毛利潤(rùn)為：y總最大=-21+1965=1944（元）.2分（12分）解：（1）一個(gè)圓沿著線段的一個(gè)端點(diǎn)無滑動(dòng)地滾動(dòng)到另一個(gè)端點(diǎn)，圓自身轉(zhuǎn)動(dòng)的圈數(shù)=（線段的長(zhǎng)度十圓的周長(zhǎng)）圈.因此若不考慮OO滾動(dòng)經(jīng)過n個(gè)頂點(diǎn)的情況，則OO自身恰好轉(zhuǎn)動(dòng)了一圈.3分YOYAiA2（第17題）現(xiàn)證明，當(dāng)OO在某邊的一端，滾動(dòng)經(jīng)過該端點(diǎn)(即頂點(diǎn))時(shí)，OOYOYAiA2（第17題）如圖所示，設(shè)/AiAn為鈍角，已知AnAi是oO的切線，OO滾動(dòng)經(jīng)過端點(diǎn)Ai后到O0■的位置，此時(shí)A1A2是O0的切線，因此OAi丄AnAi,0A丄AiA2.當(dāng)oo轉(zhuǎn)動(dòng)至oo?時(shí)，則/就是O0自身轉(zhuǎn)動(dòng)的角度.TOC\o"1-5"\h\z+/I，=90o,/、￡+/l'=90o,「?/=h即O0滾動(dòng)經(jīng)過頂點(diǎn)Ai自身轉(zhuǎn)動(dòng)的角度恰好等于頂點(diǎn)Ai的一個(gè)外角.3分對(duì)于頂點(diǎn)是銳角或直角的情況，類似可證.(注：只證明直角的情況，只給2分)T凸n邊形的外角和為360o,???O0滾動(dòng)經(jīng)過n個(gè)頂點(diǎn)自身又轉(zhuǎn)動(dòng)了一圈.3分???O0自身轉(zhuǎn)動(dòng)了兩圈.(2)O0自身轉(zhuǎn)動(dòng)的圈數(shù)是(匕?i)圈.3分a18.(14分)解：(i)該二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)P是在某條拋物線上.2分求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式如下：利用配方，得y=(x+m+i)2一m2-3m，頂點(diǎn)坐標(biāo)是P(-m-i,-m2-3m).2分方法一：分別取m=0,-i,i,得到三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)是Pi(-i,0)、P2(0,2)、2TOC\o"1-5"\h\zP3(-2,-4)，過這三個(gè)頂點(diǎn)的二次函數(shù)的表達(dá)式是y=-x+x+2.3分將頂點(diǎn)坐標(biāo)P(_m-1,-m2-3m)代入y=-x2+x+2的左右兩邊，左邊=-m2-3m,右邊=i(-m-1)?+(—m-1)+2=—m—3m,?左邊=右邊.即無論m取何值，頂