2020北京數(shù)學(xué)高三一模19題匯編

2020北京數(shù)學(xué)高三一模19匯編1、（2020北京朝陽一模）已知橢圓，圓（為坐標(biāo)原點）.過點且斜率為的直線與圓交于點，與橢圓的另一個交點的橫坐標(biāo)為.（Ⅰ）求橢圓的方程和圓的方程；（Ⅱ）過圓上的動點作兩條互相垂直的直線，，若直線的斜率為且與橢圓相切，試判斷直線與橢圓的位置關(guān)系，并說明理由.2、（2020北京東城一模）已知橢圓，它的上，下頂點分別為，，左，右焦點分別為，，若四邊形為正方形，且面積為.（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）設(shè)存在斜率不為零且平行的兩條直線，與橢圓分別交于點，且四邊形是菱形，求出該菱形周長的最大值.3、（2020北京房山一模）已知橢圓C:x2a（I）求橢圓C的方程和離心率的大??；（II）設(shè)M，N是y軸上不同的兩點，若兩點的縱坐標(biāo)互為倒數(shù)，直線AM與橢圓C的另一個交點為P，直線AN與橢圓C的另一個交點為Q，判斷直線PQ與4、（2020北京豐臺一模）已知函數(shù).（Ⅰ）若曲線在點處的切線斜率為1，求實數(shù)的值；（Ⅱ）當(dāng)時，求證：；（Ⅲ）若函數(shù)在區(qū)間上存在極值點，求實數(shù)的取值范圍.5、（2020北京適應(yīng)一模）已知函數(shù)，.（Ⅰ）求曲線在點處的切線方程；（Ⅱ）求函數(shù)的極小值；（Ⅲ）求函數(shù)的零點個數(shù).6、（2020北京自適應(yīng)一模）已知函數(shù)，實數(shù)．（1）討論函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性；（2）若存在，使得關(guān)于的不等式成立，求實數(shù)的取值范圍．7、（2020北京海淀一模）已知函數(shù)f（I）當(dāng)a=-1①求曲線y=fx②求函數(shù)fx（II）求證：當(dāng)a∈(-2,0)時，曲線y=f8、（2020北京密云一模）已知函數(shù)f(Ⅰ)求曲線y=fx在點(Ⅱ)求函數(shù)fx的單調(diào)區(qū)間(Ⅲ)判斷函數(shù)fx的零點個數(shù)9、（2020北京平谷一模）已知函數(shù)其中a∈R.(I)當(dāng)a=0時,求f(x)在(1,f(1))的切線方程;(II)求證:f(x)的極大值恒大于0.10、（2020北京人大附一模）已知函數(shù)f（Ⅰ）若a=2,求fx在（Ⅱ）求fx在區(qū)間[1,（III）若fx在區(qū)間[1,e]上恰有兩個零點，求11、（2020北京15中一模）．已知函數(shù)f（x）＝lnx﹣ax2+2ax．（Ⅰ）若a＝﹣1，求曲線y＝f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；（Ⅱ）若f（x）≤x恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．12、（2020北京石景山一模）已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦點為F(1,0)，離心率為2（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）證明：直線OM的斜率與l的斜率的乘積為定值；（Ⅲ）延長線段OM與橢圓C交于點P，若四邊形OAPB為平行四邊形，求此時直線l的斜率．13、（2020北京順義一模）已知函數(shù)f（I）當(dāng)a=1時，求曲線y=f（II）若f(x)在區(qū)間(0,+∞)（III）當(dāng)a=-1時，試寫出方程f14、（2020北京通州一模）已知橢圓C：的離心率為，點A(0，1)在橢圓C上．（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）設(shè)O為原點，過原點的直線（不與x軸垂直）與橢圓C交于M、N兩點，直線AM、AN與x軸分別交于點E、F．問：y軸上是否存在定點G，使得∠OGE=∠OFG？若存在，求點G的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．15、（2020北京西城一模）設(shè)函數(shù)f(x(Ⅰ)若曲線y=f(x)在點(2,f(2))(Ⅱ)已知導(dǎo)函數(shù)f'(x)在區(qū)間(1,e)上存在零點,證明:當(dāng)16、（2020北京延慶一模）已知函數(shù)fx=（Ⅰ）當(dāng)a=1時，求曲線y（Ⅱ）若函數(shù)f(x)在[0,+∞)上存在最大值和最小值，求答案：1、解：（Ⅰ）因為圓過點，所以圓的方程為：.因為過點且斜率為的直線方程為，又因為過點，所以.因為直線與橢圓相交的另一個交點坐標(biāo)為，所以，解得.所以橢圓的方程為.（Ⅱ）直線與橢圓相切.理由如下：設(shè)圓上動點，所以.依題意，設(shè)直線：.由得.因為直線與橢圓相切，所以.所以.所以.因為，所以.所以.設(shè)直線：，由得.則.所以直線與橢圓相切………14分2、解：（Ⅰ）因為，所以.因為四邊形為正方形，且面積為,所以，.所以，.所以橢圓.…………4分（Ⅱ）設(shè)平行直線，，不妨設(shè)直線與交于，由，得，化簡得：，其中，即.所以，，由橢圓的對稱性和菱形的中心對稱性，可知，所以，，，，所以.所以當(dāng)且僅當(dāng)時，的最大值為.此時四邊形周長最大值為.…………14分3、解：（Ⅰ）依題意得，所以橢圓的方程為，離心率的大?。á颍┮驗?，是軸上不同的兩點，兩點的縱坐標(biāo)互為倒數(shù)，設(shè)，坐標(biāo)為，，則，由，得直線的方程為整理得或得交點的縱坐標(biāo)為同理交點的縱坐標(biāo)為所以，直線與軸平行解法二：設(shè)直線的方程為，直線的方程為令得，坐標(biāo)為，同理坐標(biāo)為因為，是軸上不同的兩點，兩點的縱坐標(biāo)互為倒數(shù)，所以整理得或得交點的縱坐標(biāo)為同理得所以，直線與軸平行.解法三：設(shè)直線的方程為，直線的方程為令得坐標(biāo)為，同理坐標(biāo)為因為，是軸上不同的兩點，兩點的縱坐標(biāo)互為倒數(shù)，所以代入橢圓方程得或所以 得交點的縱坐標(biāo)為同理得所以，直線與軸平行.4、解：（Ⅰ）因為，所以.由題知，解得.…………4分（Ⅱ）當(dāng)時，，所以.當(dāng)時，，在區(qū)間上單調(diào)遞減；當(dāng)時，，在區(qū)間上單調(diào)遞增；所以是在區(qū)間上的最小值.所以.…………8分（Ⅲ）由（Ⅰ）知，.若，則當(dāng)時，，在區(qū)間上單調(diào)遞增，此時無極值.若，令，則.因為當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增.因為，而，所以存在，使得.和的情況如下：因此，當(dāng)時，有極小值.綜上，的取值范圍是.…………15分5、解：(1)定義域為：R切點為在處的切線方程為：.(2)令，解得：（）在、單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.在處取得極小值為.(3)由（2）知的極大值為,，，函數(shù)的零點個數(shù)為1.6、【解答】解：（1）．，，令，可得，（舍．①當(dāng)時，．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間，上的單調(diào)遞增；②當(dāng)時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減．（2）存在，使得不等式成立存在，使得不等式成立，令，，，，，，在遞減，在，遞增，，依題意只需即可．令，，可得．在遞增，在遞減，且（2）．實數(shù)的取值范圍，，．7、【解析】（I）①切線方程為y②f'x=ex所以，當(dāng)x變化時，f'x與x(-∞,0)0(0,1)f-0+f↘↗所以f（II）當(dāng)a∈(-2,0)時，曲線y=f(x方法一：F①當(dāng)x∈(0,1)時，ex所以Fx在(0,1)②當(dāng)x∈1,+∞所以Fx在1,+∞綜上可知：Fx在(0,+∞)又因為F由零點存在定理可知：Fx=ex所以當(dāng)a∈(-2,0)時，曲線y=f方法二：F'x設(shè)gg'x?x0∈(1所以gx，g0,x(g-0+g↘極小值↗g因為1x0所以F(x)F1e=e1FF根據(jù)零點存在性定理可得一定存在一個x1，所以當(dāng)a∈(-2,0)時，曲線y=f8、（Ⅰ）解：因為，，所以． ， 又因為， 所以切線方程為. （Ⅱ）解：因為， （1）當(dāng)時因為，所以的單調(diào)增區(qū)間是，無單調(diào)減區(qū)間.（2）當(dāng)時令，則．=1\*GB3①當(dāng)時，與在上的變化情況如下：—0+↘↗所以的單調(diào)減區(qū)間是，單調(diào)增區(qū)間是．②當(dāng)時，與在上的變化情況如下：+0—↗↘所以的單調(diào)增區(qū)間是，單調(diào)減區(qū)間是．綜上所述，當(dāng)時，的單調(diào)增區(qū)間是，無單調(diào)減區(qū)間；當(dāng)時，的單調(diào)減區(qū)間是，單調(diào)增區(qū)間是；當(dāng)時，的單調(diào)增區(qū)間是，單調(diào)減區(qū)間是．9、解：（I）由f得f=-[=當(dāng)a=0時，f1則fx在(1,f化簡得：y=1（II）f'x=0,得x=2①當(dāng)a=-2時，f'x≤0所以，函數(shù)fx無極值.·············②當(dāng)a＞-2時，x(-∞,--(-2(2,+∞)f-0+0-f↘極小值↗極大值↘···········11分fx的極大值為f2=③當(dāng)a＜-2時，x(-∞,2)2(2,--(-f-0+0-f↘極小值↗極大值↘···········14分fx的極大值為f-a綜上，fx的極大值恒大于0···············110、解：（I）affx在(1,f1（II）由f由a>0及定義域為(0,+∞)，令f'(x①若a≤1,即0<a≤1,在(1,e)上，因此,f(x)在區(qū)間②若1<a<e,即1<a<e2,f'(x)>0，f(③若a≥e,即a≥e2,在(1,因此,f(x)在區(qū)間綜上，當(dāng)0<a≤1時，fminx當(dāng)a≥e2時，(III)由（II）可知當(dāng)0<a≤1或a≥e2時，當(dāng)1<a<e2時，要使1所以，a的取值范圍為e,1211、解：（I）函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞）．當(dāng)a＝﹣1時，f（x）＝lnx+x2﹣2x．∴，f′（0）＝1，且f（1）＝﹣1．所以曲線y＝f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為y﹣（﹣1）＝x﹣1，即x﹣y﹣2＝0．（II）若f（x）≤x恒成立，即f（x）﹣x≤0恒成立．設(shè)g（x）＝f（x）﹣x＝lnx﹣ax2+（2a﹣1）x．只要g（x）max≤0即可；g′（x）＝＝﹣．①當(dāng)a＝0時，令g′（x）＝0，得x＝1．x，g′（x），g（x）變化情況如下表：x（0，1）1（1，+∞）g′（x）+0﹣g（x）↗極大值↘所以g（x）max＝g（1）＝﹣1＜0，故滿足題意．②當(dāng)a＞0時，令g′（x）＝0，得x＝﹣（舍），或x＝1；x，g′（x），g（x）變化情況如下表：x（0，1）1（1，+∞）g′（x）+0﹣g（x）↗極大值↘所以g（x）max＝g（1）＝a﹣1≤0，得0＜a≤1．③當(dāng)a＜0時，存在，滿足g（2﹣）＝ln（2﹣）＞0，所以f（x）＜0不能恒成立，所以a＜0不滿足題意．綜上，實數(shù)a的取值范圍為[0，1]．12、解：（Ⅰ）由已知c=1又a2=b所以橢圓方程為x22+y（Ⅱ）設(shè)直線l的方程為y聯(lián)立x22+2k2+1x則x1+x2=所以xM所以kOM所以kOM×k（III）若四邊形OAPB為平行四邊形，則OA+所以xyp應(yīng)為點P在橢圓上，所以(4解得k2=所以當(dāng)四邊形OAPB為平行四邊形時，直線l的斜率為k=±13、（I）a=1時，（或在這里求的f'x=∴f0=所求切線方程為y=x（II）方法一：f若fx=ex-x2在(0,+∞)即a≤ex2設(shè)gx=ex令g'x當(dāng)x∈(0,1)時，g'x<0,當(dāng)x∈(1,+∞)時，g'x>0,所以函數(shù)gx的最小值為g1=所以a∈(-∞,e方法二：f若fx=ex-x2在等價于(設(shè)hx=當(dāng)x∈(0,+∞)時，ex分類討論：①當(dāng)2a≤1，即a≤所以hx=ex-所以a≤12時，滿足②當(dāng)2a>1,即a>1當(dāng)x∈(0,ln2a)當(dāng)x∈(ln2a,+∞)所以函數(shù)hx的最小值為hln由2a(1-ln2a)≥0綜上：a∈(-∞,e（III）2個-------14分14、解：（Ⅰ）由題意得，………………1分b=1,又解得………………4分所以橢圓方程為………………5分（Ⅱ）設(shè)，由題意及橢圓的對稱性可知………………6分則直線AM的方程為………………7分直線AN的方程為………………8分則E點坐標(biāo)為，F(xiàn)點坐標(biāo)為………………10分假設(shè)存在定點G（0，n）使得∠OGE=∠OFG，即tan∠OGE=tan∠OFG（也可以轉(zhuǎn)化為斜率來求）………………11分即即………………12分即所以………………13分所以存在點坐標(biāo)為滿足條件.………………14分15、解（1）∵f'即f'2（2）∵∵x>0,令hx=0得x∵f'x在(1,e由此可知x(1,a(f-0+f減極小增∴fx在(1,a∴f=設(shè)gg∴ga在(2,2∴當(dāng)x∈(1,e16、（Ⅰ）解：.切線的斜率；曲線在原點處的切線方程為：.……………5分（Ⅱ）……………7分（1）當(dāng)則……………9分0（0，）（）0遞增遞減法1：……………10分在恒成立，.