教學(xué)第三講單樣本定位問題課件

獨(dú)立性問題第八講獨(dú)立性問題第八講簡介1.對(duì)基于符號(hào)（Kendall）的獨(dú)立性自由分布檢驗(yàn)2.與Kendall統(tǒng)計(jì)量有關(guān)的一個(gè)估計(jì)3.基于Kendall統(tǒng)計(jì)量一個(gè)漸進(jìn)自由分布置信區(qū)間4.基于秩（Spearman）的獨(dú)立性自由分布檢驗(yàn)簡介1.對(duì)基于符號(hào)（Kendall）的獨(dú)立性自由分布檢驗(yàn)第三講單樣本定位問題課件數(shù)據(jù)：我們得到二元觀察值：每n個(gè)主體里面有一個(gè)觀察值假設(shè)：n個(gè)二元觀察值是來自連續(xù)二元總體的隨機(jī)樣本。也就是說，是相互獨(dú)立，且與某連續(xù)的二元總體同分布。我們感興趣的零假設(shè)是：對(duì)所以的（8.1）對(duì)基于符號(hào)（Kendall）的獨(dú)立性自由分布檢驗(yàn)數(shù)據(jù)：我們得到二元觀察值：如果X與Y是獨(dú)立的，則有：對(duì)（8.1）的備擇假設(shè)是變量X與Y之間的相依性，這也是我們最感興趣的。在這里，我們集中通過Kendall群體相關(guān)系數(shù)來測(cè)量相依性類型。我們注意到事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)事件或事件發(fā)生，所以：類似地：（8.2）如果X與Y是獨(dú)立的，則有：對(duì)（8.1）的備擇假設(shè)是變量X與Y所以，在零假設(shè)成立的條件下，即：變量X與Y是獨(dú)立的，則：但是我們注意到并不一定表明變量X與Y是獨(dú)立的。以下介紹符號(hào)（Kendall）的獨(dú)立性自由分布檢驗(yàn)。所以，在零假設(shè)成立的條件下，即：變量X與Y是獨(dú)立的，則：但是為了計(jì)算Kendall樣本相關(guān)統(tǒng)計(jì)量K，我們首先計(jì)算對(duì)符號(hào)統(tǒng)計(jì)量其中：也就是說，以于每對(duì)下標(biāo)如果是正的，我們給1分，如果是負(fù)的，我們給-1分。因此，Kendall統(tǒng)計(jì)量K為：

（8.6）從一對(duì)符號(hào)統(tǒng)計(jì)量相應(yīng)地加1或減1。步驟：為了計(jì)算Kendall樣本相關(guān)統(tǒng)計(jì)量K，我們首先計(jì)算也就是說所以：一：單邊的上尾檢驗(yàn)，相應(yīng)的備擇假設(shè)是：如果，則拒絕零假設(shè)，其中：是第一類錯(cuò)誤概率等于的值，反之，則接受零假設(shè)。二：單邊的下尾檢驗(yàn)，相應(yīng)的備擇假設(shè)是：如果，則拒絕零假設(shè)，反之，則接受零假設(shè)。三：雙邊檢驗(yàn)，相應(yīng)的備擇假設(shè)是：如果，則拒絕零假設(shè)，反之，則接受零假設(shè)。所以：大樣本逼近在零假設(shè)下：大樣本逼近在零假設(shè)下：所以：一：單邊的上尾檢驗(yàn)，相應(yīng)的備擇假設(shè)是：如果，則拒絕零假設(shè)，反之，則接受零假設(shè)。二：單邊的下尾檢驗(yàn)，相應(yīng)的備擇假設(shè)是：如果,則拒絕零假設(shè)，反之，則接受零假設(shè)。三：雙邊檢驗(yàn)，相應(yīng)的備擇假設(shè)是：如果，則拒絕零假設(shè)，反之，則接受零假設(shè)。所以：當(dāng)應(yīng)用大樣本逼近時(shí)，如果在X或Y存在結(jié)時(shí)，則在零假設(shè)下，K的方差變?yōu)椋涸谶@里表示X組不同數(shù)的數(shù)目，表示Y組中不同數(shù)的數(shù)目，是組i

中X結(jié)的數(shù)目，是組j中Y結(jié)的數(shù)目當(dāng)應(yīng)用大樣本逼近時(shí)，如果在X或Y存在結(jié)時(shí)，則在零假設(shè)下，K的例8.1：金槍魚罐頭和質(zhì)量。表8.1的數(shù)據(jù)是由Rasekh，克萊默，和芬奇（1970年）旨在確定各種因素促成的金槍魚罐頭與質(zhì)量的相對(duì)重要性，并找到客觀的方法來確定質(zhì)量參數(shù)，以及消費(fèi)者的偏愛的一項(xiàng)研究中獲得數(shù)據(jù)的一部分。表8.1提供對(duì)9個(gè)金槍魚罐頭的獵人L明度測(cè)量與小組成績的值。原來的消費(fèi)小組分?jǐn)?shù)很好，很好，很好，公平，窮人，和不能接受的是轉(zhuǎn)換為數(shù)值6，5，4，3，2和1。在表8.1小組積分是80這個(gè)值的平均值。（所以Y隨機(jī)變量是離散的，連續(xù)性的部分假設(shè)A是不滿意。盡管如此，因?yàn)槊總€(gè)Y是80這個(gè)值的平均值，我們不必過度的擔(dān)心偏離假設(shè)）

人們懷疑，獵人L值與小組評(píng)分是正相關(guān)的。因此，我們應(yīng)用單邊的上尾檢驗(yàn)。(8.1)對(duì)為了說明起見，我們考慮了顯著水平。查表我們找到，所以，如果，則拒絕零假設(shè)。例8.1：金槍魚罐頭和質(zhì)量。表8.1的數(shù)據(jù)是由Rasekh表8.19個(gè)金槍魚罐頭的獵人L測(cè)量與小組成績的值標(biāo)簽獵人L值（X）

小組成績（Y）44.42.62.553.35.044.73.644.14.02.860.13.8來源：Rasekh，克萊默，和芬奇（1970年）表8.19個(gè)金槍魚罐頭的獵人L測(cè)量與小組成績的值標(biāo)簽cor.test(x,y,alternative=c("two.sided","less","greater"),method=c("pearson","kendall","spearman"),exact=NULL,conf.level=0.95,...)x,ynumericvectorsofdatavalues.xandymusthavethesamelength.alternativeindicatesthealternativehypothesisandmustbeoneof"two.sided","greater"or"less".Youcanspecifyjusttheinitialletter."greater"correspondstopositiveassociation,"less"tonegativeassociation.methodacharacterstringindicatingwhichcorrelationcoefficientistobeusedforthetest.Oneof"pearson","kendall",or"spearman",canbeabbreviated.exactalogicalindicatingwhetheranexactp-valueshouldbecomputed.UsedforKendall'stauandSpearman'srho.SeetheDetailsforthemeaningofNULL(thedefault).conf.levelconfidencelevelforthereturnedconfidenceinterval.CurrentlyonlyusedforthePearsonproductmomentcorrelationcoefficientifthereareatleast4completepairsofobservations.cor.test(x,y,alternative=cstatisticthevalueoftheteststatistic.

parameterthedegreesoffreedomoftheteststatisticinthecasethatitfollowsatdistribution.p.Valuethep-valueofthetest.estimatetheestimatedmeasureofassociation,withname"cor","tau",or"rho"correspondingtothemethodemployed.

null.valuethevalueoftheassociationmeasureunderthenullhypothesis,always0.

alternativeacharacterstringdescribingthealternativehypothesis.

aconfidenceintervalforthemeasureofassociation.CurrentlyonlygivenforPearson'sproductmomentcorrelationcoefficientincaseofatleast4completepairsofobservations.statisticthevalueox<-c(44.4,45.9,41.9,53.3,44.7,44.1,50.7,45.2,60.1)y<-c(2.6,3.1,2.5,5.0,3.6,4.0,5.2,2.8,3.8)cor.test(x,y,method="kendall",alternative="greater")Kendall'srankcorrelationtaudata:xandyT=26,p-value=0.05972alternativehypothesis:truetauisgreaterthan0sampleestimates:tau0.4444444cor.test(x,y,method="kendall",alternative="greater",exact=FALSE)

Kendall'srankcorrelationtaudata:xandyz=1.6681,p-value=0.04765alternativehypothesis:truetauisgreaterthan0sampleestimates:tau0.4444444x<-c(44.4,45.9,41.9,53.3,Kendall相關(guān)系數(shù)也能夠?qū)憺椋何覀円呀?jīng)注意到如果X與Y是獨(dú)立的，則。另一方面，如果，則或比它們的補(bǔ)事件或更有可能發(fā)生。所以，如果，雖然從到與從到有相同（不是相反）符號(hào)，但是從到更有可能改變。去解釋X與Y之間這類關(guān)系作為正關(guān)聯(lián)（用度量）的指示是合理的。類似的，去解釋X與Y之間這類關(guān)系作為負(fù)關(guān)聯(lián)（用度量）的指示是合理的。的解釋：Kendall相關(guān)系數(shù)也能夠?qū)憺椋旱慕忉專簠f(xié)調(diào)對(duì)/不協(xié)調(diào)對(duì).如果,則稱是協(xié)調(diào)的。如果

，則稱是不協(xié)調(diào)的。所以，如果（a）且或（b）且，則是協(xié)調(diào)的，類似地，如果（c）且或（d）且，則是不協(xié)調(diào)的。現(xiàn)在K能夠表示為其中是協(xié)調(diào)對(duì)的數(shù)目，是不協(xié)調(diào)對(duì)的數(shù)目。由于n個(gè)觀察可能有種不同的方式配對(duì)，注意到如果的順序與相同，則是協(xié)調(diào)的，當(dāng)順序不相同時(shí)就是不協(xié)調(diào)的。所以被看作是X與Y之間協(xié)調(diào)的一個(gè)平均測(cè)度，這里的協(xié)調(diào)涉及到順序。Kendall的相關(guān)性度量：Kendall的相關(guān)性度量：如果我們?nèi)?，同時(shí)考慮這里：則K能夠被用做在單變量的隨機(jī)樣本中對(duì)時(shí)間趨勢(shì)的一個(gè)檢驗(yàn)。用K去對(duì)時(shí)間趨勢(shì)進(jìn)行檢驗(yàn)被Mann(1945)所采用。Kendall統(tǒng)計(jì)量K的趨勢(shì)檢驗(yàn)：這里：Kendall統(tǒng)計(jì)量K的趨勢(shì)檢驗(yàn)：步驟：基于統(tǒng)計(jì)量K（8.6）的Kendall群體相關(guān)系數(shù)（8.2）的估計(jì)是：（8.34）統(tǒng)計(jì)量是Kendall樣本秩相關(guān)系數(shù)，它的值大約近似在[-1，1]之間。例8.2(例8.1的繼續(xù))：對(duì)于表8.1的金槍魚罐頭數(shù)據(jù)，我們從（8.34）看到樣本的估計(jì)是：與Kendall統(tǒng)計(jì)量有關(guān)的一個(gè)估計(jì)步驟：與Kendall統(tǒng)計(jì)量有關(guān)的一個(gè)估計(jì)步驟：為了得到帶有置信系數(shù)的一個(gè)漸進(jìn)自由分布的對(duì)稱雙邊置信區(qū)間，我們首先計(jì)算：這里由（8.5）給出。令且定義：這里由（8.34）給出。與點(diǎn)估計(jì)相關(guān)的對(duì)帶有置信系數(shù)的置信區(qū)間為，其中：基于Kendall統(tǒng)計(jì)量一個(gè)漸進(jìn)自由分布置信區(qū)間步驟：基于Kendall統(tǒng)計(jì)量一個(gè)漸進(jìn)自由分布置信區(qū)間所以對(duì)于的大約90%的對(duì)稱置信區(qū)間為所以對(duì)于的大約90%的對(duì)稱置信區(qū)間為假設(shè)：令是來自帶有聯(lián)合分布及邊緣分布與的一個(gè)二元總體的隨機(jī)樣本。在這一節(jié)里，我們轉(zhuǎn)向了相對(duì)于（8.1）零假設(shè)對(duì)變量之間獨(dú)立性的檢驗(yàn)問題。然而，在這里，相對(duì)于零假設(shè)的備擇假設(shè)將不在是關(guān)于相關(guān)系數(shù)（8.1）的陳述。在這一節(jié)里，我們感興趣的備擇假設(shè)將很少具體的解釋，相當(dāng)于變量之間正關(guān)聯(lián)或負(fù)關(guān)聯(lián)很一般（但是很模糊）的概念?；谥龋⊿pearman）的獨(dú)立性自由分布檢驗(yàn)假設(shè)：基于秩（Spearman）的獨(dú)立性自由分布檢驗(yàn)步驟：為了計(jì)算Spearman秩相關(guān)系數(shù)，我們首先從最小到最大排列n個(gè)觀察值，令表示在這個(gè)順序下的秩。類似地，從最小到最大排列n個(gè)觀察值，令表示在這個(gè)順序下的秩.Spearman(1904)秩相關(guān)系數(shù)被定義為：步驟：所以：一：單邊的上尾檢驗(yàn)，相應(yīng)的備擇假設(shè)是：X與Y正相關(guān)。如果，則拒絕零假設(shè)，其中：是第一類錯(cuò)誤概率等于的值，反之，則接受零假設(shè)。二：單邊的下尾檢驗(yàn)，相應(yīng)的備擇假設(shè)是：X與Y負(fù)相關(guān)。如果，則拒絕零假設(shè)，反之，則接受零假設(shè)。三：雙邊檢驗(yàn)，相應(yīng)的備擇假設(shè)是：X與Y不是獨(dú)立的。如果，則拒絕零假設(shè)，反之，則接受零假設(shè)。所以：大樣本逼近在零假設(shè)下：大樣本逼近在零假設(shè)下：所以：一：單邊的上尾檢驗(yàn)，相應(yīng)的備擇假設(shè)是：X與Y正相關(guān)。如果，則拒絕零假設(shè)，反之，則接受零假設(shè)。二：單邊的下尾檢驗(yàn)，相應(yīng)的備擇假設(shè)是：X與Y負(fù)相關(guān)。如果，則拒絕零假設(shè)，反之，則接受零假設(shè)。三：雙邊檢驗(yàn)，相應(yīng)的備擇假設(shè)是：X與Y不是獨(dú)立的。如果，則拒絕零假設(shè)，反之，則接受零假設(shè)。所以：當(dāng)應(yīng)用大樣本逼近時(shí)，如果在X或Y存在結(jié)時(shí)，則在零假設(shè)下，用以下的代替中的：在這里表示X組不同數(shù)的數(shù)目，表示Y組中不同數(shù)的數(shù)目，是組i中X結(jié)的數(shù)目，是組j中Y結(jié)的數(shù)目.當(dāng)應(yīng)用大樣本逼近時(shí)，如果在X或Y存在結(jié)時(shí)，則在零假設(shè)下，用以例8.5：脯氨酸和膠原肝硬化。Kershenobich，F(xiàn)ierro，與Rojkind（1970年）研究了在人類肝硬化中游離脯氨酸和膠原蛋白含量之間的關(guān)系。表8.9中的數(shù)據(jù)是基于來自7個(gè)病人肝硬化的肝臟的一個(gè)分析，每個(gè)具有病理診斷的門脈性肝硬化。例8.5：脯氨酸和膠原肝硬化。Kershenobich，我們感興趣的是判斷在肝硬化的肝臟中總膠原含量與游離脯氨酸之間是否存在正關(guān)聯(lián)?？偰z原含量游離脯氨酸病人（mg/g肝的干重）(mol/g肝的干重)17.12.827.12.937.22.848.32.659.43.5610.54.6711.45.0來源：Kershenobich，F(xiàn)ierro，與Rojkind（1970年）表8.9肝硬化患者的游離脯氨酸和總膠原含量我們感興趣的是判斷在肝硬化的肝臟中總膠原含量與游離脯氨酸之間>x<-c(7.1,7.1,7.2,8.3,9.4,10.5,11.4)>y<-c(2.8,2.9,2.8,2.6,3.5,4.6,5.0)>cor.test(x,y,method="spearman",alternative="g")Spearman'srankcorrelationrhodata:xandyS=16.8,p-value=0.03996alternativehypothesis:truerhoisgreaterthan0sampleestimates:rho0.7Warningmessage:Cannotcomputeexactp-valueswithtiesin:cor.test.default(x,y,method="spearman",alternative="g")>x<-c(7.1,7.1,7.2,8.3,9.4,10.與的關(guān)系：則有：與的關(guān)系：則有：

獨(dú)立性問題第八講獨(dú)立性問題第八講簡介1.對(duì)基于符號(hào)（Kendall）的獨(dú)立性自由分布檢驗(yàn)2.與Kendall統(tǒng)計(jì)量有關(guān)的一個(gè)估計(jì)3.基于Kendall統(tǒng)計(jì)量一個(gè)漸進(jìn)自由分布置信區(qū)間4.基于秩（Spearman）的獨(dú)立性自由分布檢驗(yàn)簡介1.對(duì)基于符號(hào)（Kendall）的獨(dú)立性自由分布檢驗(yàn)第三講單樣本定位問題課件數(shù)據(jù)：我們得到二元觀察值：每n個(gè)主體里面有一個(gè)觀察值假設(shè)：n個(gè)二元觀察值是來自連續(xù)二元總體的隨機(jī)樣本。也就是說，是相互獨(dú)立，且與某連續(xù)的二元總體同分布。我們感興趣的零假設(shè)是：對(duì)所以的（8.1）對(duì)基于符號(hào)（Kendall）的獨(dú)立性自由分布檢驗(yàn)數(shù)據(jù)：我們得到二元觀察值：如果X與Y是獨(dú)立的，則有：對(duì)（8.1）的備擇假設(shè)是變量X與Y之間的相依性，這也是我們最感興趣的。在這里，我們集中通過Kendall群體相關(guān)系數(shù)來測(cè)量相依性類型。我們注意到事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)事件或事件發(fā)生，所以：類似地：（8.2）如果X與Y是獨(dú)立的，則有：對(duì)（8.1）的備擇假設(shè)是變量X與Y所以，在零假設(shè)成立的條件下，即：變量X與Y是獨(dú)立的，則：但是我們注意到并不一定表明變量X與Y是獨(dú)立的。以下介紹符號(hào)（Kendall）的獨(dú)立性自由分布檢驗(yàn)。所以，在零假設(shè)成立的條件下，即：變量X與Y是獨(dú)立的，則：但是為了計(jì)算Kendall樣本相關(guān)統(tǒng)計(jì)量K，我們首先計(jì)算對(duì)符號(hào)統(tǒng)計(jì)量其中：也就是說，以于每對(duì)下標(biāo)如果是正的，我們給1分，如果是負(fù)的，我們給-1分。因此，Kendall統(tǒng)計(jì)量K為：

（8.6）從一對(duì)符號(hào)統(tǒng)計(jì)量相應(yīng)地加1或減1。步驟：為了計(jì)算Kendall樣本相關(guān)統(tǒng)計(jì)量K，我們首先計(jì)算也就是說所以：一：單邊的上尾檢驗(yàn)，相應(yīng)的備擇假設(shè)是：如果，則拒絕零假設(shè)，其中：是第一類錯(cuò)誤概率等于的值，反之，則接受零假設(shè)。二：單邊的下尾檢驗(yàn)，相應(yīng)的備擇假設(shè)是：如果，則拒絕零假設(shè)，反之，則接受零假設(shè)。三：雙邊檢驗(yàn)，相應(yīng)的備擇假設(shè)是：如果，則拒絕零假設(shè)，反之，則接受零假設(shè)。所以：大樣本逼近在零假設(shè)下：大樣本逼近在零假設(shè)下：所以：一：單邊的上尾檢驗(yàn)，相應(yīng)的備擇假設(shè)是：如果，則拒絕零假設(shè)，反之，則接受零假設(shè)。二：單邊的下尾檢驗(yàn)，相應(yīng)的備擇假設(shè)是：如果,則拒絕零假設(shè)，反之，則接受零假設(shè)。三：雙邊檢驗(yàn)，相應(yīng)的備擇假設(shè)是：如果，則拒絕零假設(shè)，反之，則接受零假設(shè)。所以：當(dāng)應(yīng)用大樣本逼近時(shí)，如果在X或Y存在結(jié)時(shí)，則在零假設(shè)下，K的方差變?yōu)椋涸谶@里表示X組不同數(shù)的數(shù)目，表示Y組中不同數(shù)的數(shù)目，是組i

中X結(jié)的數(shù)目，是組j中Y結(jié)的數(shù)目當(dāng)應(yīng)用大樣本逼近時(shí)，如果在X或Y存在結(jié)時(shí)，則在零假設(shè)下，K的例8.1：金槍魚罐頭和質(zhì)量。表8.1的數(shù)據(jù)是由Rasekh，克萊默，和芬奇（1970年）旨在確定各種因素促成的金槍魚罐頭與質(zhì)量的相對(duì)重要性，并找到客觀的方法來確定質(zhì)量參數(shù)，以及消費(fèi)者的偏愛的一項(xiàng)研究中獲得數(shù)據(jù)的一部分。表8.1提供對(duì)9個(gè)金槍魚罐頭的獵人L明度測(cè)量與小組成績的值。原來的消費(fèi)小組分?jǐn)?shù)很好，很好，很好，公平，窮人，和不能接受的是轉(zhuǎn)換為數(shù)值6，5，4，3，2和1。在表8.1小組積分是80這個(gè)值的平均值。（所以Y隨機(jī)變量是離散的，連續(xù)性的部分假設(shè)A是不滿意。盡管如此，因?yàn)槊總€(gè)Y是80這個(gè)值的平均值，我們不必過度的擔(dān)心偏離假設(shè)）

人們懷疑，獵人L值與小組評(píng)分是正相關(guān)的。因此，我們應(yīng)用單邊的上尾檢驗(yàn)。(8.1)對(duì)為了說明起見，我們考慮了顯著水平。查表我們找到，所以，如果，則拒絕零假設(shè)。例8.1：金槍魚罐頭和質(zhì)量。表8.1的數(shù)據(jù)是由Rasekh表8.19個(gè)金槍魚罐頭的獵人L測(cè)量與小組成績的值標(biāo)簽獵人L值（X）

小組成績（Y）44.42.62.553.35.044.73.644.14.02.860.13.8來源：Rasekh，克萊默，和芬奇（1970年）表8.19個(gè)金槍魚罐頭的獵人L測(cè)量與小組成績的值標(biāo)簽cor.test(x,y,alternative=c("two.sided","less","greater"),method=c("pearson","kendall","spearman"),exact=NULL,conf.level=0.95,...)x,ynumericvectorsofdatavalues.xandymusthavethesamelength.alternativeindicatesthealternativehypothesisandmustbeoneof"two.sided","greater"or"less".Youcanspecifyjusttheinitialletter."greater"correspondstopositiveassociation,"less"tonegativeassociation.methodacharacterstringindicatingwhichcorrelationcoefficientistobeusedforthetest.Oneof"pearson","kendall",or"spearman",canbeabbreviated.exactalogicalindicatingwhetheranexactp-valueshouldbecomputed.UsedforKendall'stauandSpearman'srho.SeetheDetailsforthemeaningofNULL(thedefault).conf.levelconfidencelevelforthereturnedconfidenceinterval.CurrentlyonlyusedforthePearsonproductmomentcorrelationcoefficientifthereareatleast4completepairsofobservations.cor.test(x,y,alternative=cstatisticthevalueoftheteststatistic.

parameterthedegreesoffreedomoftheteststatisticinthecasethatitfollowsatdistribution.p.Valuethep-valueofthetest.estimatetheestimatedmeasureofassociation,withname"cor","tau",or"rho"correspondingtothemethodemployed.

null.valuethevalueoftheassociationmeasureunderthenullhypothesis,always0.

alternativeacharacterstringdescribingthealternativehypothesis.

aconfidenceintervalforthemeasureofassociation.CurrentlyonlygivenforPearson'sproductmomentcorrelationcoefficientincaseofatleast4completepairsofobservations.statisticthevalueox<-c(44.4,45.9,41.9,53.3,44.7,44.1,50.7,45.2,60.1)y<-c(2.6,3.1,2.5,5.0,3.6,4.0,5.2,2.8,3.8)cor.test(x,y,method="kendall",alternative="greater")Kendall'srankcorrelationtaudata:xandyT=26,p-value=0.05972alternativehypothesis:truetauisgreaterthan0sampleestimates:tau0.4444444cor.test(x,y,method="kendall",alternative="greater",exact=FALSE)

Kendall'srankcorrelationtaudata:xandyz=1.6681,p-value=0.04765alternativehypothesis:truetauisgreaterthan0sampleestimates:tau0.4444444x<-c(44.4,45.9,41.9,53.3,Kendall相關(guān)系數(shù)也能夠?qū)憺椋何覀円呀?jīng)注意到如果X與Y是獨(dú)立的，則。另一方面，如果，則或比它們的補(bǔ)事件或更有可能發(fā)生。所以，如果，雖然從到與從到有相同（不是相反）符號(hào)，但是從到更有可能改變。去解釋X與Y之間這類關(guān)系作為正關(guān)聯(lián)（用度量）的指示是合理的。類似的，去解釋X與Y之間這類關(guān)系作為負(fù)關(guān)聯(lián)（用度量）的指示是合理的。的解釋：Kendall相關(guān)系數(shù)也能夠?qū)憺椋旱慕忉專簠f(xié)調(diào)對(duì)/不協(xié)調(diào)對(duì).如果,則稱是協(xié)調(diào)的。如果

，則稱是不協(xié)調(diào)的。所以，如果（a）且或（b）且，則是協(xié)調(diào)的，類似地，如果（c）且或（d）且，則是不協(xié)調(diào)的。現(xiàn)在K能夠表示為其中是協(xié)調(diào)對(duì)的數(shù)目，是不協(xié)調(diào)對(duì)的數(shù)目。由于n個(gè)觀察可能有種不同的方式配對(duì)，注意到如果的順序與相同，則是協(xié)調(diào)的，當(dāng)順序不相同時(shí)就是不協(xié)調(diào)的。所以被看作是X與Y之間協(xié)調(diào)的一個(gè)平均測(cè)度，這里的協(xié)調(diào)涉及到順序。Kendall的相關(guān)性度量：Kendall的相關(guān)性度量：如果我們?nèi)?，同時(shí)考慮這里：則K能夠被用做在單變量的隨機(jī)樣本中對(duì)時(shí)間趨勢(shì)的一個(gè)檢驗(yàn)。用K去對(duì)時(shí)間趨勢(shì)進(jìn)行檢驗(yàn)被Mann(1945)所采用。Kendall統(tǒng)計(jì)量K的趨勢(shì)檢驗(yàn)：這里：Kendall統(tǒng)計(jì)量K的趨勢(shì)檢驗(yàn)：步驟：基于統(tǒng)計(jì)量K（8.6）的Kendall群體相關(guān)系數(shù)（8.2）的估計(jì)是：（8.34）統(tǒng)計(jì)量是Kendall樣本秩相關(guān)系數(shù)，它的值大約近似在[-1，1]之間。例8.2(例8.1的繼續(xù))：對(duì)于表8.1的金槍魚罐頭數(shù)據(jù)，我們從（8.34）看到樣本的估計(jì)是：與Kendall統(tǒng)計(jì)量有關(guān)的一個(gè)估計(jì)步驟：與Kendall統(tǒng)計(jì)量有關(guān)的一個(gè)估計(jì)步驟：為了得到帶有置信系數(shù)的一個(gè)漸進(jìn)自由分布的對(duì)稱雙邊置信區(qū)間，我們首先計(jì)算：這里由（8.5）給出。令且定義：這里由（8.34）給出。與點(diǎn)估計(jì)相關(guān)的對(duì)帶有置信系數(shù)的置信區(qū)間為，其中：基于Kendall統(tǒng)計(jì)量一個(gè)漸進(jìn)自由分布置信區(qū)間步驟：基于Kendall統(tǒng)計(jì)量一個(gè)漸進(jìn)自由分布置信區(qū)間所以對(duì)于的大約90%的對(duì)稱置信區(qū)間為所以對(duì)于的大約90%的對(duì)稱置信區(qū)間為假設(shè)：令是來自帶有聯(lián)合分布及邊緣分布與的一個(gè)二元總體的隨機(jī)樣本。在這一節(jié)里，我們轉(zhuǎn)向了相對(duì)于（8.1）零假設(shè)對(duì)變量之間獨(dú)立性的檢驗(yàn)問題。然而，在這里，相對(duì)于零假設(shè)的備擇假設(shè)將不在是關(guān)于相關(guān)系數(shù)（8.1）的陳述。在這一節(jié)里，我們感興趣的備擇假設(shè)將很少具體的解釋，相當(dāng)于變量之間正關(guān)聯(lián)或負(fù)關(guān)聯(lián)很一般（但是很模糊）的概念?；谥龋⊿pearman）的獨(dú)立性自由分布檢驗(yàn)假設(shè)：基于秩（Spearman）的獨(dú)立性自由分布檢驗(yàn)步驟：為了計(jì)算Spearman秩相關(guān)系數(shù)，我們首先從最小到最大排列n個(gè)觀察值，令表示在這個(gè)順序下的秩。類似地，從最小到最大排列n個(gè)觀察值，令表示在這個(gè)順序下的秩.Spearman(1904)秩相關(guān)系數(shù)被定義為：步驟：所以：一：單邊的上尾檢驗(yàn)，相應(yīng)的備擇假設(shè)是：X與Y正相關(guān)。