信號與系統(tǒng)：第五章 離散時間傅立葉變換

1.通過連續(xù)時間傅立葉變換，建立了將連續(xù)時間信號(包括周期、非周期信號)分解為復指數(shù)信號分量的線性組合的方法

2.通過討論傅立葉變換的性質(zhì)，揭示了信號時域特性與頻域特性的關(guān)系。卷積特性是LTI系統(tǒng)頻域分析方法的理論基礎(chǔ)，相乘特性則是通信和信號傳輸領(lǐng)域各種調(diào)制解調(diào)技術(shù)的理論基礎(chǔ)第四章回顧1

3.對LTI系統(tǒng)建立了頻域分析的方法5.

穩(wěn)定的LTI系統(tǒng)可以通過其頻率響應來描述4.對由LCCDE描述的LTI系統(tǒng)，可以很方便地由LCCDE或系統(tǒng)框圖得到其。6.建立了系統(tǒng)互聯(lián)時，系統(tǒng)頻率響應與各子系統(tǒng)頻率響應的關(guān)系2主要內(nèi)容1.離散時間傅立葉變換；2.常用信號的離散時間傅立葉變換對;3.離散時間周期信號的傅立葉變換；4.傅立葉變換的性質(zhì)；5.系統(tǒng)的頻率響應與系統(tǒng)的頻域分析方法；第5章離散時間傅立葉變換（TheDiscrete-TimeFourierTransform）3注釋:CFS(TheContinuous-TimeFourierSeries):

連續(xù)時間傅立葉級數(shù)DFS(TheDiscrete-TimeFourierSeries):

離散時間傅立葉級數(shù)CTFT(TheContinuous-TimeFourierTransform):

連續(xù)時間傅立葉變換

DTFT(TheDiscrete-TimeFourierTransform):

離散時間傅立葉變換4

5.0引言IntroductionDFS與CFS差別：離散時間非周期信號的頻域分解:采用與連續(xù)時間非周期信號頻域分解相同的思路DFS是一個有限項級數(shù)，其系數(shù)具有周期性。5周期信號非周期信號周期無窮大有限長周期延拓離散時間非周期信號的頻域表示方法？離散時間傅立葉級數(shù)在N趨于無窮大時的變化離散時間周期信號的頻域表示？傅立葉級數(shù)65.1非周期信號的表示（RepresentationofAperiodicSignals:TheDiscrete-timeFourierTransform）一.從DFS到DTFT:以離散時間周期性矩形脈沖信號為例7N譜線幅度譜線間隔8當時，周期性矩形脈沖信號將變成為非周期的單個矩形脈沖信號離散譜→幅度無限小的連續(xù)譜9對周期信號

由DFS有即當時所以DTFT定義周期為2π10將其與表達式比較有于是:當時11

表明:離散時間序列可以分解為頻率在2π

區(qū)間上分布的、幅度為的復指數(shù)分量的線性組合。

DTFT對結(jié)論：12觀察：不同數(shù)字角頻率對應信號變化快慢關(guān)系130-π3π2π-2ππ-3π低→高→低低←高←14

二.常用信號的離散時間傅立葉變換通常是復函數(shù)，用它的模和相位表示:1.1516若某系統(tǒng)h[n]=x[n],由圖可以得到:時，高通特性,擺動指數(shù)衰減時，低通特性,單調(diào)指數(shù)衰減2.17結(jié)論:實偶序列實偶函數(shù)183.矩形脈沖:當時，可得到:有同樣的結(jié)論:實偶信號實偶函數(shù)1920兩點比較:1.與對應的周期信號比較離散→連續(xù)0.5212.與對應的連續(xù)時間信號比較非周期→周期22如圖所示:4.三.DTFT的收斂問題

當是無限長序列時，由于的表達式是無窮項級數(shù)，是否收斂？23綜合公式：積分在有限區(qū)間上進行，因此一般不存在收斂問題。若用來近似，不存在吉布斯現(xiàn)象分析公式：收斂條件有兩組則存在，且級數(shù)一致收斂于1.則級數(shù)以均方誤差最小的準則收斂于24考察的收斂過程，如圖所示：25隨著的振蕩頻率變高，起伏的幅度趨小當時，振蕩與起伏將完全消失，不會出現(xiàn)吉伯斯(Gibbs)現(xiàn)象，也不存在收斂問題由圖可知:當以部分復指數(shù)分量之和近似信號時，會出現(xiàn)起伏和振蕩265.2周期信號的DTFT

連續(xù)時間信號（TheFourierTransformforPeriodicSignals）離散時間信號時域離散，頻域以2π為周期，頻域為沖激串27由DFS有因此，周期信號可用DTFT表示為28（對l

展開）29比較:可以看出與連續(xù)時間傅立葉變換中相應的形式是完全一致注意到也以為周期，于是有：30例1.它不一定是周期的。當時才具有周期性如圖所示:31例2.比較:與連續(xù)時間情況下對應的相一致均勻脈沖串325.3離散時間傅立葉變換的性質(zhì)DTFT也有很多與CTFT類似的性質(zhì)，當然也有某些明顯的差別通過對DTFT性質(zhì)的討論，目的在于揭示信號時域和頻域特性之間的關(guān)系(PropertiesoftheDiscrete-TimeFourierTransform)一、周期性(periodic)：比較：這是與CTFT不同的則若33二.線性(linearity):三.時移與頻移(shifiting):若則時移特性頻移特性四.時域反轉(zhuǎn)(reflaction):若則34五.共軛對稱性(symmetryproperties):若則由此可進一步得到以下結(jié)論:即1.若是實信號，則352.若是實偶信號，則于是有:即是實偶函數(shù)3.若是實奇信號，于是有:表明是虛奇函數(shù)364.若則有:說明:這些結(jié)論與連續(xù)時間情況下完全一致六.差分與求和(DifferencingandAccumulation):說明:在DTFT中對應于CTFT中的37例:七.時域內(nèi)插(Interplation):定義為的整數(shù)倍其他38信號的時域與頻域特性之間有一種相反的關(guān)系39例

已知，求012345678901234012345678901234567894001234-2-1012綜上，可以得到41八.頻域微分(DifferentioninFrequency):九.Parseval定理:稱為的能量譜密度函數(shù)。比較:在DFS中有稱為周期信號的功率譜425.4卷積特性(TheConvolutionProperty)

若則該特性提供了對LTI系統(tǒng)進行頻域分析的理論基礎(chǔ)即是系統(tǒng)的頻率特性43例:求和特性445.5相乘性質(zhì)（TheMultiplicationProperty)如果則由于和都是以為周期的，因此上述卷積稱為周期卷積45例:465.6傅立葉變換的性質(zhì)及基本變換對列表（自學）475.7對偶性（Duality）一.DFS的對偶由于本身也是以N為周期的序列，當然也可以將其展開成DFS形式即:或48即:利用對偶性可以很方便的將DFS在時域得到的性質(zhì)，通過對偶得到頻域相應的性質(zhì)這表明：序列的DFS系數(shù)就是49例1:從時移到頻移利用時移性質(zhì):由對偶性:—<頻移特性>50例2:由卷積特性到相乘特性由時域卷積性質(zhì):由對偶性:DFS的卷積特性—<時域相乘>51二.DTFT與CFS間的對偶由知是一個以為周期的連續(xù)函數(shù),如果在時域構(gòu)造一個以為周期的連續(xù)時間信號則可以將其表示為CFS形式:由DTFT有：52

利用這一對偶關(guān)系，可以將DTFT的若干特性對偶到CFS中去；或者反之比較和的表達式可以看出表明：若則53例:從CFS的時域微分到DTFT的頻域微分CFS的時域微分特性若則DTFT的頻域微分特性54例:從CFS的卷積特性到DTFT的相乘特性再由對偶性：由CFS的卷積特性DTFT的相乘特性55可以將對偶關(guān)系歸納為如下圖表:連續(xù)時間傅里葉級數(shù)離散時間傅里葉級數(shù)連續(xù)時間傅里葉變換離散時間傅里葉變換56信號在時域的特性和在頻域的特性之間存在：時域的周期性頻域的離散性時域的非周期性頻域的連續(xù)性時域的離散性頻域的周期性時域的連續(xù)性頻域的非周期性575.8由LCCDE表征的系統(tǒng)

相當廣泛而有用的一類離散時間LTI系統(tǒng)可以由一個線性常系數(shù)差分方程（LCCDE）來表征:一.由LCCDE描述的系統(tǒng)的頻率響應:進而對做變換而求得方法一:可以從求解時的差分方程得到（SystemsCharacterizedbyLinearConstant-CoefficientDifferenceEquations）58方法二:可以通過求出時方程的解而因為是LTI系統(tǒng)的特征函數(shù),得到此時的方法三:對方程兩邊進行DTFT變換，可得到:59

可見是一個有理函數(shù)。當需要得到時,往往是先從方程得到進而通過反變換得到二.系統(tǒng)的頻率響應:

刻畫了LTI系統(tǒng)的頻域特征，它是系統(tǒng)單位脈沖響應的傅立葉變換。60這說明:穩(wěn)定系統(tǒng)可以由其頻率響應來描述。

由所表征的系統(tǒng)應該是穩(wěn)定系統(tǒng)如果，則存在但并非所有的LTI系統(tǒng)都一定存在頻率響應61三.由方框圖描述的系統(tǒng):DD通過對圖中兩個加法器的輸出列方程可得到:62由上式可得：63四.LTI系統(tǒng)的頻域分析方法:2.根據(jù)系統(tǒng)的描述，求得系統(tǒng)的頻率響應1.對輸入信號做傅立葉變換，求得3.根據(jù)卷積特性得到。4.對做傅立葉反變換得到系統(tǒng)的響應做傅立葉變換或反變換的主要方法是部分分式展開、利用傅立葉變換的性質(zhì)和常用的變換對645.9小結(jié)Summary通過對DTFT性質(zhì)的討論，揭示了離散時間信號時域與頻域特性的關(guān)系。不僅看到有許多性質(zhì)在CTFT中都有相對應的結(jié)論，而且它們也存在一些重要的差別，例如DTFT總是以2π為周期的。本章與第4章平行地討論了DTFT，討論的基本思路和方法與第4章完全對應，得到的許多結(jié)論也很類似。65對偶性的討論為進一步認識連續(xù)時間信號、離散時間信號、周期信號與非周期信號頻域描述的幾種工具之間的內(nèi)在聯(lián)系，提供了重要的理論根據(jù)。深入理解并恰當運用對偶性，對深刻掌握CFS、DFS、CTFT、DTFT的本質(zhì)關(guān)系有很大幫助通過卷積特性的討論，對LTI系統(tǒng)建立了頻域分析的方法。同樣地，相乘特性的存在則為離散時間信號的傳輸技術(shù)提供了理論基礎(chǔ)66與連續(xù)時間LTI系統(tǒng)一樣，對由LCCDE或由方框圖描述的LTI系統(tǒng)，可以很方便的由方程或方框圖得到系統(tǒng)的頻率響應函數(shù)H(ejω)，