導學案 曲邊梯形面積與定積分

曲邊梯形面積與定積分導學案【學習要求】1．了解“以直代曲”、“以不變代變”的思想方法．2．會求曲邊梯形的面積及變力所做的功．【學法指導】曲邊梯形的面積體現(xiàn)了“以直代曲”的思想，將曲邊梯形的面積轉化為求“直邊圖形”的面積.【知識要點】1．曲邊梯形：曲線與和所圍成的圖形，通常叫做曲邊梯形．2．曲邊三角形或曲邊梯形的面積：S＝____________克服彈簧的拉力的變力所做的功：W＝____________.【問題探究】探究點一求曲邊梯形的面積問題1如何計算下列兩圖形的面積？問題2如圖，如何求由拋物線y＝x2與直線x＝1，y＝0所圍成的平面圖形的面積S?思考1圖中的圖形與我們熟悉的“直邊圖形”有什么區(qū)別？思考2能否將求曲邊梯形面積的問題轉化為求“直邊圖形”的面積問題？(歸納主要步驟)思考3在“近似代替”中，如果認為函數(shù)f(x)＝x2在區(qū)間[eq\f(i－1,n)，eq\f(i,n)](i＝1,2，…，n)上的值近似地等于右端點eq\f(i,n)處的函數(shù)值f(eq\f(i,n))，用這種方法能求出S的值嗎？若能求出，這個值也是eq\f(1,3)嗎？取任意ξi∈[eq\f(i－1,n)，eq\f(i,n)]處的函數(shù)值f(ξi)作為近似值，情況又怎樣？求由直線x＝0，x＝1，y＝0和曲線y＝eq\f(1,2)x2所圍成的圖形的面積．跟蹤訓練1求由拋物線y＝x2與直線y＝4所圍成的曲邊梯形的面積．探究點二求變力做功問題求變速運動的路程問題解法和曲邊梯形的面積有什么聯(lián)系？例2如圖，將一彈簧從平衡位置拉到離平衡位置em處，求克服彈力所做的功．跟蹤訓練2有一輛汽車在筆直的公路上變速行駛，在時刻t的速度為v(t)＝3t2＋2(單位：km/h)，那么該汽車在0≤t≤2(單位：h)這段時間內(nèi)行駛的路程S(單位：km)是多少？【當堂檢測】1．把區(qū)間[1,3]n等分，所得n個小區(qū)間的長度均為()A．eq\f(1,n) B．eq\f(2,n)C．eq\f(3,n) D．eq\f(1,2n)2．函數(shù)f(x)＝x2在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(i－1,n)，\f(i,n)))上 ()A．f(x)的值變化很小B．f(x)的值變化很大C．f(x)的值不變化D．當n很大時，f(x)的值變化很小3．求由曲線y＝eq\f(1,2)x2與直線x＝1，x＝2，y＝0所圍成的平面圖形面積時，把區(qū)間5等分，則面積的近似值(取每個小區(qū)間的左端點)是________．4．彈簧在拉伸過程中力F(x)＝5x(x為伸長量)，則彈簧從平衡位置拉長2所做的功為________【課堂小結】求曲邊梯形面積和變力做功的步驟（1）分割：n等分區(qū)間[a，b]；（2）近似代替：取點ξi∈[xi－1，xi]；（3）求和：eq\i\su(i＝1,n,f)(ξi)·eq\f(b－a,n)；（4）取極限：S＝eq\o(lim,\s\do8(n→＋∞))eq\i\su(i＝1,n,f)(ξi