2022-2023學(xué)年云南省下關(guān)一中教育集團(tuán)高二年級(jí)上冊(cè)學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)（A卷）試題【含答案】

2022-2023學(xué)年云南省下關(guān)一中教育集團(tuán)高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)（A卷）試題一、單選題1．設(shè)集合，則（

）A． B． C． D．B【分析】解不等式后由交集的概念求解【詳解】由題意得或，故選：B2．已知拋物線的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)且傾斜角為的直線與拋物線分別交于兩點(diǎn)，則（

）A．1 B．3 C．6 D．8D【分析】由題意可得直線與的方程為，代入拋物線方程得，根據(jù)韋達(dá)定理與焦半徑的公式即可求出的值.【詳解】解：由題意可知，所以直線與的方程為，聯(lián)立直線方程和拋物線方程，可得，設(shè)則，所以.故選：D.3．若復(fù)數(shù)z滿足，則（

）A．10 B． C．20 D．B【分析】由復(fù)數(shù)的除法法則求得，再求其共軛復(fù)數(shù)的模．【詳解】由已知，所以．故選：B．4．已知，是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為橢圓C上一點(diǎn)，且，若的面積為，則（

）A．9 B．3 C．4 D．8B【分析】由橢圓定義與余弦定理，三角形面積公式求解【詳解】法一：設(shè)，，則，，∴．又，∴，解得．法二：由焦點(diǎn)三角形面積公式得故選：B5．如圖，在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，側(cè)棱的長(zhǎng)為2，且與，的夾角都等于60°．若是的中點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．A【分析】根據(jù)空間向量基本定理得到，平方后，利用空間向量數(shù)量積公式計(jì)算出，從而求出模長(zhǎng).【詳解】因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，所以因?yàn)榈拈L(zhǎng)為2，且與，的夾角都等于60°．所以，所以.故選：A6．直線與圓的位置關(guān)系是（

）A．相離 B．相交 C．相切 D．與k取值有關(guān)B【分析】先判斷直線過定點(diǎn)在圓內(nèi)，即可判斷直線與圓的位置.【詳解】∵直線恒過定點(diǎn)，且該點(diǎn)在圓內(nèi)，∴直線與圓相交,故選：B7．已知三棱錐的所有頂點(diǎn)都在球的球面上，且平面，，，則球的表面積為（

）A． B． C． D．D【分析】先求出外接球的半徑，再由球的表面積公式求解【詳解】由平面，得，而，，故，而，在等腰中，由幾何關(guān)系得，則其外接圓半徑，得，故三棱錐的外接球，球的表面積為，故選：D8．阿基米德是古希臘著名的數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家，他利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)與短半軸長(zhǎng)的乘積.已知橢圓（）的右焦點(diǎn)為，過F作直線l交橢圓于A、B兩點(diǎn)，若弦中點(diǎn)坐標(biāo)為，則橢圓的面積為（

）A． B． C． D．C【分析】利用作差法構(gòu)建斜率、中點(diǎn)坐標(biāo)相關(guān)方程，再結(jié)合即可求解出a、b，進(jìn)而求出面積.【詳解】設(shè)，，則有，兩式作差得：，即，弦中點(diǎn)坐標(biāo)為，則，又∵，∴，∴，又∵，∴可解得，，故橢圓的面積為.故選：C二、多選題9．下列說法正確的是（

）A．直線恒過定點(diǎn)B．直線在軸上的截距為1C．直線的傾斜角為150°D．已知直線過點(diǎn)，且在，軸上截距相等，則直線的方程為AC【分析】根據(jù)直線方程可得直線恒過定點(diǎn)判斷A，由直線的斜截式可判斷B，根據(jù)直線的斜率可判斷C，分截距為0或不為0可求出直線方程判斷D.【詳解】直線即直線，當(dāng)時(shí)，，即直線恒過定點(diǎn)，A正確；直線，即在軸上的截距為，B錯(cuò)誤；直線的斜率為，則傾斜角為150°，C正確；因?yàn)橹本€過點(diǎn)，且在，軸上截距相等，當(dāng)截距都為0時(shí)，直線方程為，當(dāng)截距不為0時(shí)，可設(shè)直線方程為，則，即，則直線方程為，所以直線的方程為或，故D錯(cuò)誤.故選：AC.10．某企業(yè)為了了解職工對(duì)某部門的服務(wù)情況，隨機(jī)訪問50名職工，根據(jù)這50名職工對(duì)該部門的評(píng)分，繪制頻率分布直方圖（如圖所示），下列說法正確的是（

）A．求頻率分布直方圖中的值為0.006B．估計(jì)該企業(yè)的職工對(duì)該部門評(píng)分的中位數(shù)為C．估計(jì)該企業(yè)的職工對(duì)該部門評(píng)分的平均值為76.5D．從評(píng)分在的受訪職工中，隨機(jī)抽取2人，求此2人評(píng)分都在的概率為ABD【分析】根據(jù)所有小矩形的面積為1可得的值，B、C選項(xiàng)考查用頻率分布直方圖計(jì)算平均數(shù)與中位數(shù)，來估計(jì)總體，D選項(xiàng)古典概型求解概率，一一列舉即可得出結(jié)果.【詳解】由直方圖可得，故.由直方圖可得平均數(shù)為.前3組的頻率和為，前4組的頻率和為，故中位數(shù)在，設(shè)中位數(shù)為，則，故.故中位數(shù)為.評(píng)分在的受訪職工的人數(shù)為，其中評(píng)分在的受訪職工的人數(shù)為2，記為，，在的受訪職工人數(shù)為3，記為，，，從5人任取2人，所有的基本事件如下：，，，，，，，，，，基本事件的總數(shù)為10，而2人評(píng)分都在的基本事件為，故2人評(píng)分都在的概率為，故選：ABD.11．已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，，是拋物線：上的一點(diǎn)，為其焦點(diǎn)，若與雙曲線的右焦點(diǎn)重合，則下列說法正確的有（

）A．若，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2B．該拋物線的準(zhǔn)線被雙曲線所截得的線段長(zhǎng)度為C．若外接圓與拋物線的準(zhǔn)線相切，則該圓面積為D．周長(zhǎng)的最小值為CD【分析】結(jié)合已知條件，求出拋物線方程，對(duì)于A：利用拋物線定義即可判斷；對(duì)于B：聯(lián)立拋物線準(zhǔn)線方程和雙曲線方程即可求解；對(duì)于C：結(jié)合已知條件，利用圓心在弦的垂直平分線上的性質(zhì)即可求解；對(duì)于D：結(jié)合拋物線定義求出的最小值，進(jìn)而即可得到答案.【詳解】由雙曲線方程知：，則拋物線：，對(duì)于A：設(shè)，由拋物線定義可知，，則，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：拋物線準(zhǔn)線方程為：，由，得：，故準(zhǔn)線被雙曲線截得的線段長(zhǎng)度為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：因?yàn)橥饨訄A圓心在線段的中垂線上，則外接圓圓心橫坐標(biāo)為1，又因?yàn)樵搱A與拋物線準(zhǔn)線相切，所以該圓的半徑，則該圓的面積，故C正確；對(duì)于D：設(shè)和在準(zhǔn)線上的投影分別為，，如圖所示：由拋物線定義知：，則（當(dāng)且僅當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)，此時(shí)，重合），又，，∴周長(zhǎng)的最小值為，故D正確.故選：CD.12．已知橢圓的上下焦點(diǎn)分別為，左右頂點(diǎn)分別為，是該橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．該橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為B．使為直角三角形的點(diǎn)共有6個(gè)C．若點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1，則的長(zhǎng)度為D．若點(diǎn)是異于，的點(diǎn)，則直線與的斜率之積為－2BCD【分析】A.由橢圓方程知，則橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為.B.為直角三角形要從分別為直角出發(fā)考慮.C.求出點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而得到答案.D.把點(diǎn)的坐標(biāo)設(shè)出來，直接求直線與的斜率之積，利用橢圓方程把點(diǎn)的縱坐標(biāo)用橫坐標(biāo)表示出來即可得到答案.【詳解】A.由橢圓方程知，則橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為.故選項(xiàng)A不正確.B.當(dāng)軸時(shí)，滿足為直角三角形，此時(shí)點(diǎn)有2個(gè)；軸時(shí)，滿足為直角三角形，此時(shí)點(diǎn)有2個(gè)；又因?yàn)?，滿足為直角三角形，此時(shí)點(diǎn)可以為左右頂點(diǎn).所以使為直角三角形的點(diǎn)共有6個(gè).故選項(xiàng)B正確.C.若點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1,則，則的長(zhǎng)度為.故選項(xiàng)C正確.D.設(shè)點(diǎn)，則，則直線與的斜率之積.故選項(xiàng)D正確.故選：BCD三、填空題13．拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是______.【分析】化方程為標(biāo)準(zhǔn)方程，焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離【詳解】拋物線化為標(biāo)準(zhǔn)方程為拋物線，則其焦準(zhǔn)距為，即焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是.故14．若直線與互相垂直，則等于____________.或1【分析】利用直線與直線垂直的充要條件直接求解．【詳解】直線與互相垂直，，解得或．故或1．15．已知雙曲線C：的漸近線方程為，且其右焦點(diǎn)為，則雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為______.【分析】依題意可得，，即可求出、的值，從而得解.【詳解】解：雙曲線的漸近線方程為，可得，其右焦點(diǎn)為，可得，又，解得，，則雙曲線的方程為：．故．16．已知圓O：，點(diǎn)P為直線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P向圓O引兩條切線PA、PB，A、B為切點(diǎn)，則直線AB經(jīng)過定點(diǎn)______．【分析】由幾何關(guān)系得點(diǎn)A、B在以O(shè)P為直徑的圓上，得出兩圓的公共弦直線方程后求解【詳解】設(shè)，∵圓O：的兩條切線分別為PA、PB，切點(diǎn)分別為A、B，∴OA⊥PA，OB⊥PB，則點(diǎn)A、B在以O(shè)P為直徑的圓上，設(shè)這個(gè)圓為圓C，即AB是圓O與圓C的公共弦，則圓心C的坐標(biāo)是，且半徑的平方是，∴圓C的方程是，則公共弦AB所在的直線方程為：，即，則，得，，∴直線AB經(jīng)過定點(diǎn)．故四、解答題17．甲、乙兩人獨(dú)立地對(duì)某一目標(biāo)射擊，已知甲、乙能擊中的概率分別為，求：(1)甲、乙恰好有一人擊中的概率；(2)目標(biāo)被擊中的概率．(1)；(2).【分析】（1）分為甲擊中且乙沒有擊中，和乙擊中且甲沒有擊中兩種情況，進(jìn)而根據(jù)獨(dú)立事件概率公式求得答案；（2）先考慮甲乙都沒有擊中，進(jìn)而根據(jù)對(duì)立事件概率公式和獨(dú)立事件概率公式求得答案.【詳解】（1）設(shè)甲、乙分別擊中目標(biāo)為事件，，易知，相互獨(dú)立且，，甲、乙恰好有一人擊中的概率為.（2）目標(biāo)被擊中的概率為.18．一條直線經(jīng)過點(diǎn)．分別求出滿足下列條件的直線方程．(1)與直線垂直；(2)交軸、軸的正半軸于，兩點(diǎn)，且取得最小值．(1)(2)【分析】（1）先利用垂直關(guān)系求出直線的斜率，從而可求直線的方程；（2）設(shè)直線方程為，求出的坐標(biāo)后可求，利用基本不等式可求其最小值，從而可求直線方程.【詳解】（1）由于直線的斜率，所以所求直線的斜率．故過點(diǎn)，斜率的直線方程為，即．（2）設(shè)過點(diǎn)的直線方程為，令，得；令，得．從而有，，所以．當(dāng)，即（舍去）時(shí)，取得最小值．所求的直線方程為．19．在中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，.(1)求角B的大小；(2)若，，求的面積.(1)(2)【分析】（1）由，利用正弦定理得到化簡(jiǎn)求解；（2）由，再由，結(jié)合正弦定理和三角形面積公式求解.【詳解】（1）解：由，得，因?yàn)锽，，則且，所以，即，則，得，所以.（2），，，又，所以，所以，故.20．如圖，四棱錐，，，，為等邊三角形，平面平面，為中點(diǎn).(1)求證：平面；(2)求平面與平面夾角的余弦值.(1)證明見解析(2)【分析】（1）推導(dǎo)出，從而平面，進(jìn)而，再求出，由此能證明平面．（2）取中點(diǎn)為，連接，推導(dǎo)出，平面，．以中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，所在直線為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角的余弦值．【詳解】（1）證明：因?yàn)椋?，所以，又平面平面，且平面平面，所以平面，又平面，所以，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，且為等邊三角形，所以，又，所以平面；（2）取中點(diǎn)為，連接，因?yàn)闉榈冗吶切?，所以，由平面平面，因?yàn)槠矫?，所以平面，所以，由，，可知，所以．以中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，所在直線為，，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．所以，，，，0，，，2，，，0，，，2，，則，0，，，，，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以，1，，由（1）知，平面的一個(gè)法向量為，3，，設(shè)平面的法向量為，，，由，取，得，由，所以平面PBC與平面PCD夾角的余弦值為．21．已知圓M：，Q是x軸上的動(dòng)點(diǎn)，、分別與圓相切于兩點(diǎn).(1)若，求切線方程；(2)求四邊形面積的最小值；(1)，(2)【分析】（1）設(shè)切線方程，根據(jù)圓心到直線的距離等于半徑列方程求解即可；（2）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)求出面積，再分析面積的最小值即可.【詳解】（1）由題意，過點(diǎn)且與軸垂直的直線顯然與圓相切，此時(shí)，切線方程為，當(dāng)過點(diǎn)的直線不與軸垂直時(shí)，設(shè)其方程為，即，由解得，此時(shí)切線方程為.（2）連接，因?yàn)閳A的方程為，所以，，設(shè)，所以，根據(jù)勾股定理得，所以，所以當(dāng)時(shí)，四邊形的面積最