2022-2023學(xué)年四川省成都市簡陽市陽安中學(xué)高二年級上冊學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)（理）試題【含答案】

2022-2023學(xué)年四川省成都市簡陽市陽安中學(xué)高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)（理）試題一、單選題1．已知焦點在y軸上的橢圓的長軸長為8，則m＝（

）A．4 B．8C．16 D．18C根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程以及焦點可得，由2a＝8，從而求出.【詳解】橢圓的焦點在y軸上，則由長軸長2a＝8得a＝4，所以m＝16.故選：C.本題考查了橢圓的幾何性質(zhì)，需熟記橢圓的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.2．已知兩直線與平行，則a等于（

）A．-7或-1 B．7或-1 C．-7 D．-1C【分析】根據(jù)兩直線與平行，得到，解得或，再進(jìn)行驗證，即可求解.【詳解】由題意，兩直線與平行，則滿足，即，解得或當(dāng)時，直線與平行，此時兩直線重合，舍去；當(dāng)時，直線與平行，滿足題意,綜上可得.故選：C.本題主要考查了兩直線的位置關(guān)系的應(yīng)用，其中解答中熟記兩直線平行的判定方法是解答的關(guān)鍵，著重考查推理與運算能力.3．已知方程表示橢圓，則的取值范圍為（

）A．且 B．且C． D．B【分析】根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可得，即得.【詳解】因為方程表示橢圓，所以，解得且.故選：B.4．直線與圓的位置關(guān)系是A．相交且直線過圓心 B．相切 C．相交但直線不過圓心 D．相離D【詳解】圓心（1，-1）到直線3x+4y-14=0的距離為,所以直線與圓相離，故選;D5．若焦點在軸上的雙曲線的離心率為，則其漸近線方程為（

）A． B． C． D．C【分析】根據(jù)題意得，再結(jié)合漸近線方程求解即可.【詳解】解：因為雙曲線的焦點在軸上，故雙曲線的方程為，所以漸近線方程為，因為雙曲線的離心率為，即，所以，所以漸近線方程為.故選：C6．直線的傾斜角的取值范圍是（

）A． B．C． D．B根據(jù)直線方程求出直線的斜率，再由的范圍即可求解.【詳解】直線2xcosα－y－3＝0的斜率k＝2cosα，因為α∈，所以≤≤，因此k＝2cosα∈．設(shè)直線的傾斜角為θ，則有tanθ∈．又θ∈[0，π)，且正切函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上為單調(diào)遞增函數(shù)，結(jié)合正切函數(shù)的圖像可知所以θ∈，即傾斜角的取值范圍是.故選：B本題考查了直線的斜率與傾斜角，需熟記直線的斜率與傾斜角的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.7．過點作與圓相切的直線l，則直線l的方程為（

）A． B．C．或 D．或C【分析】根據(jù)直線與已知圓相切，討論切線斜率情況，設(shè)切線方程并結(jié)合點線距離公式求參數(shù)，即可寫出切線方程.【詳解】由題設(shè)，圓的圓心為，半徑為1，∴在圓外，顯然是其中一條切線，當(dāng)切線斜率存在時，設(shè)切線方程為，則，可得，∴切線方程為.綜上，切線方程為或.故選：C8．動圓過定點，且與已知圓相切，則動圓圓心的軌跡方程是（

）A． B．C． D．C【分析】結(jié)合圓相切時滿足的條件以及雙曲線的定義即可求出結(jié)果.【詳解】設(shè)動圓的半徑為，由題意知，圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為．動圓與圓相切有兩種情況，即內(nèi)切或外切，當(dāng)兩圓相內(nèi)切時，定圓在動圓的內(nèi)部，此時，當(dāng)兩圓相外切時，此時，所以，即動點到兩定點、的距離之差的絕對值為常數(shù)，且，所以點在以，為焦點的雙曲線上，所以，，所以，所以動圓的軌跡方程是．故選：C.9．已知、分別為橢圓的左、右焦點，過且垂直于軸的直線交橢圓于，兩點，若為鈍角三角形，則橢圓的離心率的取值范圍為（

）A． B．C． D．A【分析】根據(jù)為鈍角三角形，得到，從而由求解.【詳解】因為為鈍角三角形，所以，即，即，即，即，又因為，所以所以橢圓的離心率的取值范圍為，故選：A本題主要考查橢圓的幾何性質(zhì)，還考查了運算求解的能力，屬于中檔題.10．設(shè)是雙曲線的兩個焦點，為坐標(biāo)原點，點在上且，則的面積為（

）A． B．3 C． D．2B【分析】由是以P為直角直角三角形得到，再利用雙曲線的定義得到，聯(lián)立即可得到，代入中計算即可.【詳解】由已知，不妨設(shè)，則，因為，所以點在以為直徑的圓上，即是以P為直角頂點的直角三角形，故，即，又，所以，解得，所以故選：B【點晴】本題考查雙曲線中焦點三角形面積的計算問題，涉及到雙曲線的定義，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運算能力，是一道中檔題.11．唐朝詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河“，詩中隱含著一個有趣的數(shù)學(xué)問題——“將軍飲馬”問題：即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回軍營，怎樣走才能使路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)軍營所在區(qū)域為x2+y2≤5，若將軍從點A（4，0）出發(fā)，河岸線所在直線方程為x+y＝8，并假定將軍只要到達(dá)軍營所在區(qū)域即回到軍營，則“將軍飲馬”的最短路程為（

）A． B． C． D．B【分析】求出A關(guān)于x+y＝8的對稱點B，根據(jù)題意，|BO|為最短距離，求出即可．【詳解】解：設(shè)點A關(guān)于直線x+y＝8的對稱點B（a，b），設(shè)軍營所在區(qū)域的圓心為O，根據(jù)題意，|BO|為最短距離，AB的中點為，直線AB的斜率為1，由，解得a＝8，b＝4，所以|BO|3．故選：B．12．過雙曲線=1（a＞0，b＞0）的右焦點F作一條漸近線的垂線，垂足為A，與另一條漸近線相交于點B，若=2，則此雙曲線的離心率為（）A． B．2 C． D．B【分析】先由2，得出A為線段FB的中點，再借助于圖象分析出其中一條漸近線對應(yīng)的傾斜角的度數(shù)，找到a，b之間的等量關(guān)系，進(jìn)而求出雙曲線的離心率．【詳解】如圖過F作雙曲線C的一條漸近線的垂線，垂足為A，延長FA與另一條漸近線交于點B．所以FB⊥OA，又因為2，所以A為線段FB的中點，∴∠2＝∠4，又∠1＝∠3，∠2+∠3＝90°，所以∠1＝∠2+∠4＝2∠2＝∠3．故∠2+∠3＝90°＝3∠2?∠2＝30°?∠1＝60°?．∴，e2＝4?e＝2．故選：B．本題是對雙曲線的漸近線以及離心率的綜合考查，是考查基本知識，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題13．點到直線的距離等于______．7【分析】直接由點到直線的距離公式求解即可.【詳解】由題意知點到直線的距離為.故7.14．已知圓C的方程為x2＋y2－2y－3＝0，過點P(－1,2)的直線l與圓C交于A，B兩點，若使|AB|最小，則直線l的方程是________________．x－y＋3＝0【詳解】易知點P在圓的內(nèi)部，根據(jù)圓的性質(zhì)，若使|AB|最小，則AB⊥CP，因為圓心C(0,1)，所以kCP＝＝－1，kl＝1，因此直線l的方程為y－2＝x＋1，即x－y＋3＝0.15．曲線C的方程為x2＋＝1，其上一點P(x，y)，則3x＋y的最大值為_________.【分析】令3x＋y＝n，與橢圓聯(lián)立得12x2－6nx＋n2－3＝0，，由Δ≥0即可得最值.【詳解】令3x＋y＝n，代入x2＋＝1，消去y化簡整理，得12x2－6nx＋n2－3＝0，Δ＝36n2－4×12(n2－3)≥0，解得－2≤n≤2.答案：2.本題主要考查了由聯(lián)立處理直線與橢圓的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.三、雙空題16．已知，分別是雙曲線C：的左、右焦點，過且傾斜角為的直線交雙曲線C的右支于A，B兩點，若且，則______，C的離心率為______．

##0.25

【分析】根據(jù)雙曲線的定義結(jié)合條件可得相關(guān)線段的長度，進(jìn)而可得，然后利用余弦定理可得，即得.【詳解】由雙曲線的定義，可知，因為，所以，，又，所以，因為，所以，又，所以，在中，，在中，由余弦定理可得，所以，所以.故；.四、解答題17．求滿足下列條件的曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)兩個焦點坐標(biāo)分別是、，橢圓上一點P到兩焦點的距離之和等于10的橢圓方程；(2)已知雙曲線的漸近線方程為，焦距為10．(1)；(2)或.【分析】（1）結(jié)合橢圓的定義求得，由此求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）分焦點在軸，軸討論，結(jié)合條件即得.【詳解】（1）因為橢圓的焦點在x軸上，∴設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為，又橢圓上一點P到兩焦點的距離的和是10，故，∴，又∵，∴，∴所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）當(dāng)雙曲線的焦點在軸時，可設(shè)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為，則，解得，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為；當(dāng)雙曲線的焦點在軸時，可設(shè)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為，則，解得，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為；所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為或.18．如圖，矩形的兩條對角線相交于點，邊所在直線的方程為，點在邊所在的直線上.（1）求邊所在直線的方程；（2）求矩形外接圓的方程.（1）；（2）.(1)直線AB斜率確定，由垂直關(guān)系可求得直線AD斜率，又T在AD上，利用點斜式求直線AD方程；（2）由AD和AB的直線方程求得A點坐標(biāo)，以M為圓心，以AM為半徑的圓的方程即為所求.【詳解】（1）因為邊所在直線的方程為，且與垂直，所以直線的斜率為-3.又因為點在直線上，所以邊所在直線的方程為，即.（2）由，解得點的坐標(biāo)為，因為矩形兩條對角線的交點為.所以為矩形外接圓的圓心.又，從而矩形外接圓的方程為.方法點睛：在求直線方程時，應(yīng)先選擇適當(dāng)?shù)闹本€方程的形式，并注意各種形式的適用條件．用斜截式及點斜式時，直線的斜率必須存在，而兩點式不能表示與坐標(biāo)軸垂直的直線，截距式不能表示與坐標(biāo)軸垂直或經(jīng)過原點的直線．故在解題時，若采用截距式，應(yīng)注意分類討論，判斷截距是否為零；若采用點斜式，應(yīng)先考慮斜率不存在的情況．19．如圖，設(shè)P是圓上的動點，點D是P在x軸上的射影，M為PD上的中點．(1)當(dāng)P在圓上運動時，求點M的軌跡C的方程；(2)求過點且斜率為的直線被C所截線段的長度．(1)；(2).【分析】（1）設(shè)，，則，代入，整理得；（2）由題意可求得直線方程為，代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理法及弦長公式即得．【詳解】（1）設(shè)點的坐標(biāo)為，點的坐標(biāo)為，由題可得，即，因為在圓上，得，故，整理得，故的方程為；（2）由點斜式知，過點且斜率為的直線方程為，設(shè)直線與的交點為，，由，可得，所以，，故線段的長度為，所以直線被所截線段的長度為.20．已知圓的圓心在直線，且過圓上一點的切線方程為．(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)過點的直線與圓交于另一點，求的最大值及此時的直線的方程．(1)(2)5，或【分析】（1）根據(jù)題意，過點的直徑所在直線方程為，進(jìn)而與直線聯(lián)立方程即可得圓心，進(jìn)而求解方程；（2）要使最大，則點滿足所在直線與所在直線垂直，再根據(jù)三角形面積公式計算，且所在直線方程為，再與圓的方程聯(lián)立即可求得的坐標(biāo)為或，再分別討論求解方程即可.【詳解】（1）解：由題意，過點的直徑所在直線方程為，即．聯(lián)立，解得，∴圓心坐標(biāo)為，半徑，∴圓的方程為；（2）解：，要使最大，則點滿足所在直線與所在直線垂直，此時的最大值為；∵，∴所在直線方程為，即，聯(lián)立，得或，即的坐標(biāo)為或，當(dāng)時，的方程為，即；當(dāng)時，的方程為，即．綜上所述，所在直線方程為或．21．已知橢圓：的離心率為，且點為橢圓上一點.(1)求橢圓的方程.(2)已知，直線：交橢圓于A，B兩點，證明：直線PA斜率與直線PB斜率之積為定值.(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)條件可得，，解出即可；（2）設(shè)，，聯(lián)立直線與橢圓的方程消元，然后韋達(dá)定理得到，，然后由算出答案即可.【詳解】（1）由題意，，，解得，，因此橢圓的方程為；（2）證明：直線的方程為，設(shè)，，直線PA的斜率為，直線PB的斜率為.由消去，得，易知，得，，所以直線PA斜率與直線PB斜率之積為定值.22．已知橢圓的左、右頂點分別為，，上、下頂點分別為，左焦點為，且過點.O為坐標(biāo)原點，與的面積的比值為.（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）直線與橢圓C交于P，Q兩點，記直線，的斜率分別為，，若k為，，的等比中項，求面積的取值范圍．（1）；（2）.【分析】（1）由與的面積的比值為，得到，再將代入橢圓C的方程得到，結(jié)合，求得的值，即可求解；（2）聯(lián)立方程組，得到，，根據(jù)，求得，再結(jié)合弦長公式和點到直線的距離公式，求得，即可求解.【詳解】（1）由題意，橢圓的左焦點為，因為與的面積的比值為，即，解得，即，將代入橢圓C的方程，可得，又由，解得，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）設(shè)，，且，聯(lián)立方程組，整理得，則，可得又由，，因為，，所以，所以，因為的斜率，的斜率，則把，代入上式并化簡得，因為，所