2020高中數(shù)學(xué) 第三章 函數(shù)的應(yīng)用 .1.2 用二分法求方程的近似解學(xué)案（含解析）1

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE19-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精3。1.2用二分法求方程的近似解課標(biāo)要點(diǎn)課標(biāo)要點(diǎn)學(xué)考要求高考要求1。二分法aa2。利用二分法求方程的近似解aa知識(shí)導(dǎo)圖學(xué)法指導(dǎo)1.明確二分法的適用條件：圖象在零點(diǎn)附近連續(xù)，且該零點(diǎn)為變號(hào)零點(diǎn)．2．在求方程近似解時(shí)，先利用函數(shù)圖象求出解的初始區(qū)間，再列表逼近零點(diǎn)，注意精確度、初始區(qū)間對(duì)方程近似解的影響.知識(shí)點(diǎn)用二分法求方程的近似解1．二分法對(duì)于在區(qū)間［a，b］上連續(xù)不斷且f(a)·f（b）<0的函數(shù)y＝f(x）,通過(guò)不斷地把函數(shù)f（x）的零點(diǎn)所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值的方法叫做二分法．二分就是將所給區(qū)間平均分成兩部分，通過(guò)不斷逼近的辦法，找到零點(diǎn)附近足夠小的區(qū)間,根據(jù)所要求的精確度，用此區(qū)間的某個(gè)數(shù)值近似地表示真正的零點(diǎn)．2．給定精確度ε，用二分法求函數(shù)f（x）零點(diǎn)近似值的步驟第一步:確定閉區(qū)間［a，b]，驗(yàn)證f（a）·f（b）〈0,給定精確度ε.第二步：求區(qū)間(a，b)的中點(diǎn)c。第三步：計(jì)算f（c)．(1)若f(c)＝0，則c就是函數(shù)的零點(diǎn);(2)若f（a)·f（c)〈0，則令b＝c（此時(shí)零點(diǎn)x0∈(a，c）)；(3）若f(c）·f（b)〈0，則令a＝c（此時(shí)零點(diǎn)x0∈(c，b））．第四步：判斷是否達(dá)到精確度ε,即若|a－b｜<ε,則得到零點(diǎn)近似值a（或b),否則重復(fù)第二步至第四步．[小試身手］1．判斷(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”）(1）所有函數(shù)的零點(diǎn)都可以用二分法來(lái)求．()（2）函數(shù)f（x）＝｜x｜可以用二分法求其零點(diǎn)．(）（3)精確度ε就是近似值．（)答案：(1)×（2）×(3)×2．以下每個(gè)圖象表示的函數(shù)都有零點(diǎn)，但不能用二分法求函數(shù)零點(diǎn)近似值的是（）解析：根據(jù)二分法的基本方法，函數(shù)f（x）在區(qū)間［a,b］上的圖象連續(xù)不斷,且f（a）·f（b)<0，即函數(shù)的零點(diǎn)是變號(hào)零點(diǎn),才能將區(qū)間［a，b]一分為二，逐步得到零點(diǎn)的近似值．對(duì)各圖象分析可知，選項(xiàng)A、B、D都符合條件，而選項(xiàng)C不符合，因?yàn)閳D象在零點(diǎn)兩側(cè)函數(shù)值不異號(hào)，因此不能用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的近似值．答案：C3．在用二分法求函數(shù)f(x）的一個(gè)正實(shí)數(shù)零點(diǎn)時(shí),經(jīng)計(jì)算,f（0。64）〈0，f(0。72）>0，f（0。68）〈0，則函數(shù)的一個(gè)精確度為0。1的正實(shí)數(shù)零點(diǎn)的近似值為（）A．0。6B．0。75C．0。7D．0.8解析：已知f(0。64)<0，f(0。72)>0，則函數(shù)f（x）的零點(diǎn)的初始區(qū)間為[0。64，0.72］．又0。68＝eq\f(0.64＋0。72，2），且f(0。68）<0，所以零點(diǎn)在區(qū)間［0.68，0.72］上，因?yàn)椋?.68－0。72|＝0。04〈0。1,因此所求函數(shù)的一個(gè)正實(shí)數(shù)零點(diǎn)的近似值約為0.7,故選C。答案：C4．已知函數(shù)y＝f(x）在區(qū)間（2,4)上連續(xù),驗(yàn)證f(2）·f(4）<0，取區(qū)間(2，4）的中點(diǎn)x1＝eq\f(2＋4,2)＝3,計(jì)算得f(2)·f(x1）〈0，則此時(shí)零點(diǎn)所在的區(qū)間為________．解析：∵f(2)·f(3)<0，∴零點(diǎn)在區(qū)間（2，3）內(nèi)．答案：（2,3)類型一二分法概念的理解例1(1)下列函數(shù)中，必須用二分法求其零點(diǎn)的是（）A．y＝x＋7B．y＝5x－1C．y＝log3xD．y＝eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(1,2））)x－x(2)下列函數(shù)圖象與x軸均有交點(diǎn),其中不能用二分法求圖中函數(shù)零點(diǎn)的是（)【解析】（1)A×解方程x＋7＝0，得x＝－7B×解方程5x－1＝0，得x＝0C×解方程log3x＝0，得x＝1D√無(wú)法通過(guò)方程eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（1,2）))x－x＝0得到零點(diǎn)（2)利用二分法求函數(shù)零點(diǎn)必須滿足零點(diǎn)兩側(cè)函數(shù)值異號(hào)．在B中，不滿足f(a)·f(b)〈0，不能用二分法求零點(diǎn),由于A、C、D中零點(diǎn)兩側(cè)函數(shù)值異號(hào)，故可采用二分法求零點(diǎn)．【答案】(1)D（2)B（1）在無(wú)法通過(guò)解方程f(x）＝0求出方程根的情況下，需用二分法求函數(shù)的零點(diǎn)．（2）可以用二分法求出的零點(diǎn)左右函數(shù)值異號(hào)．方法歸納二分法的適用條件判斷一個(gè)函數(shù)能否用二分法求其零點(diǎn)的依據(jù)是：其圖象在零點(diǎn)附近是連續(xù)不斷的，且該零點(diǎn)為變號(hào)零點(diǎn)．因此，用二分法求函數(shù)的零點(diǎn)近似值的方法僅對(duì)函數(shù)的變號(hào)零點(diǎn)適用,對(duì)函數(shù)的不變號(hào)零點(diǎn)不適用．跟蹤訓(xùn)練1用二分法求方程2x＋3x－7＝0在區(qū)間［1,3］內(nèi)的根，取區(qū)間的中點(diǎn)為x0＝2，那么下一個(gè)有根的區(qū)間是________．解析:設(shè)f（x）＝2x＋3x－7，f（1）＝2＋3－7＝－2〈0，f(3）＝10〉0,f（2)＝3>0，f（x）零點(diǎn)所在的區(qū)間為（1,2),所以方程2x＋3x－7＝0有根的區(qū)間是（1，2)．答案：（1，2）先構(gòu)建函數(shù)f（x）＝2x＋3x－7，再判斷f（1)，f(2)，f（3)的符號(hào)，尋找函數(shù)值與f(2)異號(hào)的自變量．類型二用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的近似值例2用二分法求函數(shù)f(x）＝x3－x－1在區(qū)間［1,1.5］內(nèi)的一個(gè)零點(diǎn)．（精確度0.01）【解析】經(jīng)計(jì)算f（1)<0，f（1.5）〉0，所以函數(shù)在[1，1.5]內(nèi)存在零點(diǎn)x0.取(1,1.5）的中點(diǎn)x1＝1.25，經(jīng)計(jì)算f(1.25）<0，因?yàn)閒(1。5)·f（1.25)〈0，所以x0∈(1.25,1。5），如此繼續(xù)下去，如下表：區(qū)間中點(diǎn)值中點(diǎn)函數(shù)近似值(1，1。5）1.25－0。30(1。25,1。5）1.3750。22（1.25,1。375)1。3125－0。05（1.3125，1.375）1.343750.08(1。3125,1.34375）1。3281250.01(1。3125，1。328125）1。3203125－0.02因?yàn)椋?。328125－1。3203125|＝0。0078125<0。01，所以函數(shù)f（x）＝x3－x－1精確度為0。01的一個(gè)近似零點(diǎn)可取為1。328125。方程x3－x－1＝0的正解對(duì)應(yīng)函數(shù)f(x)＝x3－x－1的圖象與x軸正半軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，確定出解的初始區(qū)間,利用二分法求出近似解．方法歸納（1)用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的近似值應(yīng)遵循的原則①需依據(jù)圖象估計(jì)零點(diǎn)所在的初始區(qū)間[m,n］(一般采用估計(jì)值的方法完成)．②取區(qū)間端點(diǎn)的平均數(shù)c,計(jì)算f（c），確定有解區(qū)間是[m，c]還是［c,n]，逐步縮小區(qū)間的“長(zhǎng)度”，直到區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)符合精確度要求，終止計(jì)算，得到函數(shù)零點(diǎn)的近似值．（2）二分法求函數(shù)零點(diǎn)步驟的記憶口訣定區(qū)間，找中點(diǎn)，中值計(jì)算兩邊看．同號(hào)丟，異號(hào)算，零點(diǎn)落在異號(hào)間．重復(fù)做，何時(shí)止，精確度來(lái)把關(guān)口．跟蹤訓(xùn)練2利用計(jì)算器求方程x2－2x－1＝0的正解的近似值(精確度0。1)．【解析】設(shè)f(x)＝x2－2x－1?！遞(2)＝－1<0，f（3)＝2>0，又f（x)在（2,3)內(nèi)遞增，∴在區(qū)間（2，3）內(nèi),方程x2－2x－1＝0有唯一實(shí)數(shù)根，記為x0.取區(qū)間(2，3）的中點(diǎn)x1＝2.5,∵f（2.5)＝0.25〉0,∴x0∈(2，2。5)．再取區(qū)間（2，2.5)的中點(diǎn)x2＝2.25，∵f（2.25）＝－0。4375〈0,∴x0∈(2。25，2.5）．同理可得，x0∈(2。375，2。5），x0∈(2.375，2.4375）．∵｜2。375－2。4375｜＝0。0625<0.1，故方程x2－2x－1＝0的一個(gè)精確度為0。1的近似正解可取為2.4375.本題用求根公式可以求得x1＝1＋eq\r（2)，x2＝1－eq\r(2),取精確到0。1的近似值是x1≈2.4,x2≈－0.4。這與用二分法所得結(jié)果相同。[基礎(chǔ)鞏固]（25分鐘，60分）一、選擇題（每小題5分,共25分）1．用二分法求如圖所示函數(shù)f(x）的零點(diǎn)時(shí)，不可能求出的零點(diǎn)是（）A．x1B．x2C．x3D．x4解析：觀察圖象可知：零點(diǎn)x3的附近兩邊的函數(shù)值都為負(fù)值，所以零點(diǎn)x3不能用二分法求出．答案：C2．下列關(guān)于函數(shù)y＝f(x)，x∈［a，b］的敘述中,正確的個(gè)數(shù)為(）①若x0∈［a，b]且滿足f（x0)＝0，則(x0,0）是f（x)的一個(gè)零點(diǎn)；②若x0是f（x)在[a，b]上的零點(diǎn)，則可用二分法求x0的近似值；③函數(shù)f(x)的零點(diǎn)是方程f（x）＝0的根，但f（x)＝0的根不一定是函數(shù)f(x）的零點(diǎn)；④用二分法求方程的根時(shí)，得到的都是近似值．A．0B．1C．3D．4解析：①中x0∈［a，b]且f（x0)＝0，所以x0是f（x）的一個(gè)零點(diǎn)，而不是（x0,0),故①錯(cuò)誤；②由于x0兩側(cè)函數(shù)值不一定異號(hào)，故②錯(cuò)誤;③方程f（x）＝0的根一定是函數(shù)f(x）的零點(diǎn),故③錯(cuò)誤;④用二分法求方程的根時(shí)，得到的根也可能是精確值，故④錯(cuò)誤．故選A。答案：A3．用二分法研究函數(shù)f（x）＝x5＋8x3－1的零點(diǎn)時(shí)，第一次經(jīng)過(guò)計(jì)算得f(0)<0,f(0。5）>0，則其中一個(gè)零點(diǎn)所在的區(qū)間和第二次應(yīng)計(jì)算的函數(shù)值分別為（)A．(0，0。5)，f(0.125）B．(0。5,1），f(0.875）C．(0。5,1)，f(0。75）D．（0,0。5），f(0。25)解析:∵f（x)＝x5＋8x3－1，f（0)〈0，f(0。5）〉0，∴f(0)·f(0。5)<0，∴其中一個(gè)零點(diǎn)所在的區(qū)間為（0,0。5），第二次應(yīng)計(jì)算的函數(shù)值應(yīng)為f(0.25)，故選D.答案:D4．已知圖象連續(xù)不斷的函數(shù)y＝f（x）在區(qū)間（0,0。1）上有唯一零點(diǎn)，如果用“二分法”求這個(gè)零點(diǎn)（精確度0.01）的近似值,則應(yīng)將區(qū)間(0，0.1）等分的次數(shù)至少為()A．3B．4C．5D．6解析:由eq\f（0.1,2n)<0。01,得2n〉10，所以n的最小值為4。故選B.答案：B5．若函數(shù)f(x)＝x3＋x2－2x－2的一個(gè)正數(shù)零點(diǎn)附近的函數(shù)值用二分法逐次計(jì)算，參考數(shù)據(jù)如表:f(1）＝－2f（1.5）＝0。625f(1.25)＝－0。984f(1。375）＝－0.260f（1.438)＝0.165f(1.4065）＝－0.052那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一個(gè)近似根（精確到0.1）為()A．1。2B．1。3C．1。4D．1。5解析：由表知f(1.438）>0,f（1.4065）<0且在［1.4065，1.438］內(nèi)每一個(gè)數(shù)若精確到0。1都是1.4,則方程的近似根為1。4.答案：C二、填空題(每小題5分，共15分）6．用二分法求函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，2]上零點(diǎn)的近似解，若f(0)·f（2)<0,取區(qū)間中點(diǎn)x1＝1，計(jì)算得f(0）·f(x1)<0，則此時(shí)可以判定零點(diǎn)x0∈________(填區(qū)間）．解析：由二分法的定義，根據(jù)f(0）f（2）<0,f(0)·f(x1)〈0，故零點(diǎn)所在區(qū)間可以為(0，x1)．答案：(0，x1）7．方程3x＋m＝0的根在(－1，0)內(nèi)，則m的取值范圍為________．解析:由題意知只要滿足eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(3×－1＋m<0，3×0＋m>0)），即可解得0〈m〈3。答案:(0,3)8．已知二次函數(shù)f（x）＝x2－x－6在區(qū)間[1，4］上的圖象是一條連續(xù)的曲線，且f（1）＝－6<0,f（4）＝6>0，由函數(shù)零點(diǎn)的性質(zhì)可知函數(shù)在［1,4］內(nèi)有零點(diǎn)，用二分法求解時(shí)，取（1，4）的中點(diǎn)a，則f(a）＝________。解析：顯然(1，4）的中點(diǎn)為2.5，則f(a）＝f（2。5)＝2。52－2.5－6＝－2。25.答案：－2.25三、解答題(每小題10分,共20分)9．用二分法求方程x2－5＝0的一個(gè)近似正解．（精確度為0。1）解析:令f(x）＝x2－5，因?yàn)閒（2.2)＝－0。16〈0,f(2.4)＝0。76>0，所以f(2。2)·f(2.4）〈0，即這個(gè)函數(shù)在區(qū)間（2。2，2.4）內(nèi)有零點(diǎn)x0,取區(qū)間（2。2，2。4）的中點(diǎn)x1＝2.3，f(2.3）＝0.29，因?yàn)閒(2.2）·f（2.3)<0，所以x0∈(2.2,2.3），再取區(qū)間(2.2,2.3）的中點(diǎn)x2＝2.25,f(2.25）＝0.0625，因?yàn)閒（2.2）·f（2.25）〈0，所以x0∈（2。2，2。25），由于|2.25－2。2|＝0。05〈0.1，所以原方程的近似正解可取2。25。10．用二分法求方程lnx＝eq\f（1，x)在［1,2]上的近似解，取中點(diǎn)c＝1。5,求下一個(gè)有根區(qū)間．解析：令f(x)＝lnx－eq\f（1，x),f(1）＝－1<0，f（2)＝ln2－eq\f(1，2)＝lneq\f(2，\r（e）)〉ln1＝0，f（1.5）＝ln1.5－eq\f(2,3)＝eq\f(1，3）（ln1.53－2)．因?yàn)?.53＝3。375，e2〉4〉1。53，故f(1.5)＝eq\f（1，3)(ln1。53－2）<eq\f(1,3）(lne2－2）＝0，f（1.5）f(2)<0,下一個(gè)有根區(qū)間是[1。5,2］．［能力提升]（20分鐘，40分）11．設(shè)f（x）＝3x＋3x－8,用二分法求方程3x＋3x－8＝0在x∈（1,3)內(nèi)近似解的過(guò)程中取區(qū)間中點(diǎn)x0＝2,那么下一個(gè)有根區(qū)間為(）A．(1，2）B．(2,3)C．(1，2）或（2，3）D．不能確定解析：因?yàn)閒(1）＝31＋3×1－8＝－2<0，f（3）＝33＋3×3－8＝28>0,f(2)＝32＋3×2－8＝7>0,所以f（1）f(2)〈0，所以f（x）＝0的下一個(gè)有根的區(qū)間為（1,2)．答案：A12．在26枚嶄新的金幣中，有一枚外表與真金幣完全相同的假幣(質(zhì)量小一點(diǎn)）,現(xiàn)在只有一臺(tái)天平,則應(yīng)用二分法的思想，最多稱________次就可以發(fā)現(xiàn)這枚假幣．解析：將26枚金幣平均分成兩份，放在天平上，則假幣一定在質(zhì)量小的那13枚金幣里面;從這13枚金幣中拿出1枚，然后將剩下的12枚金幣平均分成兩份，放在天平上，若天平平衡，則假幣一定是拿出的那一枚；若不平衡，則假幣一定在質(zhì)量小的那6枚金幣里面;將這6枚金幣平均分成兩份,放在天平上,則假幣一定在質(zhì)量小的那3枚金幣里面；從這3枚金幣中任拿出2枚放在天平上，若天平平衡，則剩下