2020高中數(shù)學 第章 三角恒等變換 . 三角函數(shù)的積化和差與和差化積教案（含解析）4

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE11-學必求其心得，業(yè)必貴于專精3.3三角函數(shù)的積化和差與和差化積學習目標核心素養(yǎng)1．能根據(jù)公式Sα±β和Cα±β進行恒等變換,推導出積化和差與和差化積公式．(難點）2．了解三角變換在解數(shù)學問題時所起的作用，進一步體會三角變換的特點，提高推理、運算能力．(重點）1．通過三角函數(shù)的積化和差與和差化積公式的推導，培養(yǎng)學生邏輯推理核心素養(yǎng)．2．借助積化和差與和差化積公式的應用，提升學生的數(shù)學運算及邏輯推理的核心素養(yǎng)。1．積化和差公式cosαcosβ＝eq\f（1,2)[cos（α＋β)＋cos(α－β）］；sinαsinβ＝－eq\f（1,2）[cos（α＋β）－cos（α－β)]；sinαcosβ＝eq\f（1，2）[sin(α＋β)＋sin（α－β）］；cosαsinβ＝eq\f（1,2）[sin（α＋β）－sin（α－β)]．2．和差化積公式設α＋β＝x，α－β＝y(tǒng)，則α＝eq\f(x＋y，2),β＝eq\f(x－y,2）.這樣,上面的四個式子可以寫成，sinx＋siny＝2sineq\f(x＋y,2）coseq\f（x－y,2）；sinx－siny＝2coseq\f(x＋y,2)sineq\f（x－y，2)；cosx＋cosy＝2coseq\f（x＋y，2)coseq\f（x－y,2)；cosx－cosy＝－2sineq\f（x＋y，2)sineq\f（x－y,2)。思考:和差化積公式的適用條件是什么？［提示]只有系數(shù)絕對值相同的同名函數(shù)的和與差，才能直接運用公式化成積的形式，如果是一個正弦與一個余弦的和或差,則要先用誘導公式化成同名函數(shù)后再運用公式．1．計算sin105°cos75°的值是（）A．eq\f(1，2） B．eq\f(1,4）C．－eq\f(1,4) D．－eq\f（1,2）B［sin105°cos75°＝eq\f(1，2）(sin180°＋sin30°)＝eq\f（1，4）。]2．sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(π，4)＋α））coseq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(π,4）＋β)）化成和差的形式為(）A.eq\f（1，2）sineq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(α＋β）)＋eq\f（1，2)coseq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（α－β))B。eq\f(1,2)coseq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(α＋β））＋eq\f（1,2)sineq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（α－β))C。eq\f（1,2）sineq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（α＋β））＋eq\f(1,2)sineq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(α－β））D.eq\f（1,2）coseq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（α＋β））＋eq\f（1，2)coseq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(α－β））B[sineq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(π，4）＋α))·coseq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（π,4）＋β）)＝eq\f(1，2）eq\b\lc\[\rc\］(\a\vs4\al\co1（sin\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（π,4）＋α＋\f（π,4)＋β）)＋sin\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（π,4）＋α－\f(π，4)－β）)））＝eq\f(1,2）eq\b\lc\[\rc\］（\a\vs4\al\co1(sin\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（π，2）＋α＋β)）＋sinα－β）)＝eq\f(1,2)［cos(α＋β）＋sin(α－β)］．＝eq\f（1,2）cos（α＋β）＋eq\f(1，2）sin(α－β）．所以選B.]3．下列等式正確的是（)A．sinx＋siny＝2sineq\f（x＋y,2)sineq\f(x－y,2)B．sinx－siny＝2coseq\f(x＋y,2)coseq\f(x－y,2）C．cosx＋cosy＝2coseq\f(x＋y，2)coseq\f(x－y，2）D．cosx－cosy＝2sineq\f(x＋y，2)sineq\f（x－y，2）C［由和差化積公式知C正確．］積化和差問題【例1】（1）求值：sin20°cos70°＋sin10°sin50°.（2）求值：sin20°sin40°sin60°sin80°。［思路探究]利用積化和差公式化簡求值，注意角的變換,盡量出現(xiàn)特殊角．[解](1)sin20°cos70°＋sin10°sin50°＝eq\f（1，2)（sin90°－sin50°)－eq\f（1，2）（cos60°－cos40°）＝eq\f（1,4)－eq\f(1，2）sin50°＋eq\f（1,2）cos40°＝eq\f（1，4）－eq\f（1,2)sin50°＋eq\f(1，2)sin50°＝eq\f（1,4）。（2)原式＝cos10°cos30°cos50°cos70°＝eq\f（\r（3）,2)cos10°cos50°cos70°＝eq\f(\r(3）,2）eq\b\lc\［\rc\]（\a\vs4\al\co1(\f（1,2)cos60°＋cos40°·cos70°）)＝eq\f(\r（3)，8)cos70°＋eq\f（\r（3），4）cos40°cos70°＝eq\f（\r（3)，8)cos70°＋eq\f（\r(3),8）（cos110°＋cos30°）＝eq\f（\r（3），8)cos70°＋eq\f（\r(3),8)cos110°＋eq\f(3,16)＝eq\f(3,16)。積化和差公式的功能與關鍵1功能：①把三角函數(shù)的一種形式積的形式轉(zhuǎn)化為另一種形式和差的形式.②將角度化為特殊角求值或化簡，將函數(shù)式變形以研究其性質(zhì).2關鍵是正確地選用公式，以便把非特殊角的三角函數(shù)相約或相消，從而化為特殊角的三角函數(shù).1．求sin220°＋cos250°＋sin20°·cos50°的值．［解]原式＝eq\f（1－cos40°,2）＋eq\f(1＋cos100°，2)＋eq\f(1,2)(sin70°－sin30°）＝1＋eq\f(1,2)（cos100°－cos40°）＋eq\f（1,2）sin70°－eq\f(1，4）＝eq\f(3,4)＋eq\f（1，2）（－2sin70°sin30°）＋eq\f(1,2）sin70°＝eq\f（3，4)－eq\f(1，2)sin70°＋eq\f(1,2)sin70°＝eq\f(3,4).和差化積問題【例2】已知cosα－cosβ＝eq\f(1，2),sinα－sinβ＝－eq\f（1，3），求sin(α＋β）的值．［思路探究]利用和差化積公式，對所求式子進行變形，利用所給條件求解．［解］∵cosα－cosβ＝eq\f（1，2），∴－2sineq\f(α＋β,2）sineq\f(α－β,2)＝eq\f(1，2). ①又∵sinα－sinβ＝－eq\f（1，3），∴2coseq\f(α＋β,2)sineq\f（α－β,2)＝－eq\f(1,3）。 ②∵sineq\f(α－β，2)≠0,∴由①②,得－taneq\f(α＋β，2)＝－eq\f(3,2),即taneq\f（α＋β，2)＝eq\f（3,2)?！鄐in(α＋β)＝eq\f(2sin\f（α＋β，2）cos\f(α＋β,2),sin2\f（α＋β，2)＋cos2\f(α＋β,2))＝eq\f（2tan\f(α＋β，2），1＋tan2\f(α＋β,2）)＝eq\f(2×\f(3,2），1＋\f(9,4））＝eq\f（12，13）。1．（變結論）本例中條件不變，試求cos（α＋β）的值．[解]因為cosα－cosβ＝eq\f(1，2），所以－2sineq\f（α＋β,2)sineq\f（α－β，2)＝eq\f（1,2)。 ①又因為sinα－sinβ＝－eq\f（1，3)，所以2coseq\f(α＋β，2)sineq\f（α－β，2）＝－eq\f(1,3）. ②因為sineq\f(α－β,2）≠0，所以由①②,得－taneq\f(α＋β，2)＝－eq\f（3，2），即taneq\f(α＋β,2）＝eq\f（3,2).所以cos(α＋β)＝eq\f(cos2\f（α＋β,2）－sin2\f(α＋β,2），sin2\f(α＋β，2）＋cos2\f(α＋β，2））＝eq\f(1－tan2\f(α＋β，2),1＋tan2\f(α＋β,2）)＝eq\f(1－\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（3,2)））eq\s\up8(2),1＋\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（3,2))）eq\s\up8（2））＝－eq\f(5,13).2．(變條件）將本例中的條件“cosα－cosβ＝eq\f（1，2），sinα－sinβ＝－eq\f（1，3)”變?yōu)椤癱osα＋cosβ＝eq\f（1,2）,sinα＋sinβ＝－eq\f(1，3)”，結果如何？［解]因為cosα＋cosβ＝eq\f（1，2),所以2coseq\f(α＋β，2）coseq\f（α－β,2)＝eq\f(1,2）. ①又因為sinα＋sinβ＝－eq\f（1，3)，所以2sineq\f(α＋β，2）coseq\f（α－β,2)＝－eq\f（1,3). ②所以coseq\f(α－β，2)≠0,所以由①②，得taneq\f(α＋β，2）＝－eq\f(2，3)，所以sin（α＋β）＝eq\f(2sin\f（α＋β,2）cos\f(α＋β,2),sin2\f（α＋β，2）＋cos2\f（α＋β,2）)＝eq\f(2tan\f（α＋β,2),1＋tan2\f（α＋β,2））＝eq\f（2×\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(－\f（2,3）)),1＋\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(－\f（2，3)））eq\s\up8(2))＝－eq\f(12，13).和差化積公式應用時的注意事項1在應用和差化積公式時，必須是一次同名三角函數(shù)方可施行,若是異名，必須用誘導公式化為同名,若是高次函數(shù),必須用降冪公式降為一次.2根據(jù)實際問題選用公式時,應從以下幾個方面考慮：①運用公式之后,能否出現(xiàn)特殊角；②運用公式之后，能否提取公因式，能否約分,能否合并或消項。3為了能夠把三角函數(shù)式化為積的形式,有時需要把某些常數(shù)當作三角函數(shù)值才能應用公式，如eq\f(1,2）－cosα＝coseq\f(π,3）－cosα。公式的綜合應用［探究問題］1．解決與三角形有關問題時應注意哪些隱含條件的應用？［提示]注意三角形中的隱含條件的應用,如A＋B＋C＝π,a＋b>c等．2．在△ABC中有哪些重要的三角關系？［提示］在△ABC中的三角關系：sin（A＋B）＝sinC,cos(A＋B）＝－cosC,sineq\f（A＋B,2)＝coseq\f(C，2)，coseq\f(A＋B,2）＝sineq\f（C，2），sin（2A＋2B）＝－sin2C,cos(2A＋2B【例3】在△ABC中，求證：sinA＋sinB－sinC＝4sineq\f（A,2)sineq\f（B，2）coseq\f（C，2).[思路探究]利用和差化積進行轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化時要注意A＋B＋C＝π.［解]左邊＝sin(B＋C）＋2sineq\f(B－C，2)·coseq\f（B＋C，2)＝2sineq\f（B＋C，2）coseq\f(B＋C，2）＋2sineq\f(B－C，2)coseq\f(B＋C，2）＝2coseq\f(B＋C，2)eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（sin\f(B＋C，2)＋sin\f(B－C，2)））＝4sineq\f（A，2）sineq\f(B,2）coseq\f(C,2)＝右邊,∴原等式成立．證明三角恒等式的基本思路是根據(jù)等式兩端特征，通過三角恒等變換,應用化繁為簡、左右歸一、變更論證等方法，使等式兩端的“異"化為“同”，分式不好證時，可變形為整式來證。2．在△ABC中，求證：sinA＋sinB＋sinC＝4coseq\f(A,2)coseq\f(B，2）coseq\f(C，2)。［證明]由A＋B＋C＝180°，得C＝180°－(A＋B)，即eq\f(C，2)＝90°－eq\f（A＋B,2)，∴coseq\f(C，2）＝sineq\f（A＋B，2)?！鄐inA＋sinB＋sinC＝2sineq\f（A＋B,2)·coseq\f(A－B，2)＋sin（A＋B)＝2sineq\f(A＋B，2)·coseq\f(A－B，2)＋2sineq\f（A＋B,2）·coseq\f(A＋B,2）＝2sineq\f（A＋B，2）eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（cos\f（A－B，2)＋cos\f(A＋B,2）)）＝2coseq\f(C，2）·2coseq\f(A，2)·coseq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（－\f（B,2）））＝4coseq\f（A,2)coseq\f(B,2）coseq\f(C，2），∴原等式成立．（教師用書獨具)1．公式的記憶和差化積公式記憶口訣:“正和正在前，正差正后遷;余和一色余，余差翻了天．”(正代表sinα，余代表cosα)2．公式的應用注意公式的應用條件、各種三角恒等變換公式以及公式之間的相互推導．1．sin75°－sin15°的值為()A．eq\f(1,2） B．eq\f（\r(2),2）C．eq\f（\r(3)，2） D．－eq\f（1,2)B[sin75°－sin15＝2coseq\f（75°＋15°，2)sineq\f（75°－15°,2）＝2×eq\f(\r（2），2）×eq\f（1，2）＝eq\f(\r（2),2）.故選B。］2．函數(shù)y＝sineq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（x－\f（π，6)））cosx的最大值為(）A．eq\f(1，2） B．eq\f(1，4)C．1 D．eq\f（\r（2)，2)B［∵y＝sineq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（x－\f（π,6))）cosx＝eq\f（1，2)eq\b\lc\［\rc\](\a\vs4\al\co1(sin\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(x－\f(π，6)＋x））－sin\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（x＋\f(π，6）－x））））＝eq\f(1,2）eq\b\lc\[\rc\］（\a\vs4\al\co1(sin\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（2x－\f(π,6）)）－\f（1，2)))＝eq\f