圓的標(biāo)準(zhǔn)方程全國一等獎教學(xué)設(shè)計

圓的標(biāo)準(zhǔn)方程【教學(xué)目標(biāo)】1．理解圓的定義及圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的形式，會求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．2．理解點與圓的位置關(guān)系，并會判斷點與圓的位置關(guān)系．3．掌握求曲線方程的一般步驟．4通過運(yùn)用圓的定義及兩點間的距離公式，探究出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；通過應(yīng)用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程解決實際問題，培養(yǎng)觀察問題、發(fā)現(xiàn)問題及分析、解決問題的能力【知識要點】1．圓的定義：平面內(nèi)到一定點的距離等于的點的軌跡．確定一個圓的條件：1；2．2．方程－a2＋－b2＝r2是以點為圓心，為半徑的圓的方程，叫做圓的．3．點和圓的位置關(guān)系有3種，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程－a2＋－b2＝r2，點M0，0：1點在圓上：0－a2＋0－b2r2；2點在圓外：0－a2＋0－b2r2；3點在圓內(nèi)：0－a2＋0－b2r2【問題情境】在平面直角坐標(biāo)系中，已知兩點能確定一條直線，已知一點及傾斜角也能確定一條直線，那么在什么條件下可以確定一個圓呢直線能用二元一次方程表示，圓也能用一個方程表示嗎這些就是本節(jié)我們要探討的問題．【新課講解】一圓的標(biāo)準(zhǔn)方程問題1圓是怎樣定義的答平面內(nèi)與定點距離等于定長的點的集合軌跡是圓．定點就是圓心，定長就是半徑．問題2圓作為平面幾何中的基本圖形，確定它的要素又是什么呢各要素與圓有怎樣的關(guān)系答圓心和半徑；圓心：確定圓的位置，半徑：確定圓的大小．問題3設(shè)圓的圓心為Aa，b，半徑為，為圓上任意一點，那么點M滿足什么條件答|MA|＝r問題4對問題3中點M滿足的條件，若用坐標(biāo)表示并化簡將得到怎樣的等式答由|MA|＝r，得eq\r－a2＋－b2＝r，化簡可得：－a2＋－b2＝r2問題5如何說明－a2＋－b2＝r2就是圓心坐標(biāo)為Aa，b，半徑為r的圓的方程小結(jié)－a2＋－b2＝r2是以點Aa，b為圓心，r為半徑的圓的方程，叫做圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．問題6在平面直角坐標(biāo)系中，點M0，0與圓－a2＋－b2＝r2的關(guān)系如何判斷二圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用問題從圓的標(biāo)準(zhǔn)方程所含的參數(shù)上，你能分析出求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程需要幾個條件嗎答在圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中，含有三個參數(shù)分別是a，b，r，因此求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程需要三個已知條件．例1根據(jù)下列條件，求圓的方程：1圓心在點C－2,1，并過點A2，－2；2圓心在點C1,3，并與直線3－4－6＝0相切；3過點0,1和點2,1，半徑為eq\r5小結(jié)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程就是將已知條件與圓心坐標(biāo)及圓半徑建立聯(lián)系，從而求出圓心坐標(biāo)及圓半徑．跟蹤訓(xùn)練1已知圓與軸相切，圓心在直線－3＝0上，且這個圓經(jīng)過點A6,1，求該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．例2求過點A6,0，B1,5，且圓心在直線：2－7＋8＝0上的圓的方程．小結(jié)1待定系數(shù)法求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程具體步驟為：首先設(shè)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程－a2＋－b2＝r2，再根據(jù)題設(shè)條件列出關(guān)于a、b、r的方程組，然后解方程組求得a、b、r的值，即可寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．2幾何法求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，即利用圓的幾何性質(zhì)弦的性質(zhì)，切線的性質(zhì)來直接求得圓心坐標(biāo)及半徑．幾何法體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想，思路簡潔明了，具有一定的技巧性．跟蹤訓(xùn)練2已知兩點M3,8和N5,2．求以MN為直徑的圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．例3趙州橋的跨度是37.02m，圓拱高約為7.2m，求這座圓拱橋的拱圓方程精確到0.01m．解如圖是拱橋的示意圖．以AB的中點為原點，軸通過AB建立直角坐標(biāo)系．根據(jù)已知條件，B，C的坐標(biāo)分別為,0，0,，設(shè)圓心的坐標(biāo)為0，b，則圓的方程為2＋－b2＝r2下面用待定系數(shù)法求b和r2的值．因為B，C都在圓上，所以它們的坐標(biāo)都滿足這個方程于是得到方程組eq\b\c\{\rc\\a\v4\a\co1＋b2＝r2,－b2＝r2，解得eq\b\c\{\rc\\a\v4\a\co1b≈－,r2≈因此，圓拱橋的拱圓的方程近似為2＋＋2＝小結(jié)本題是用解析法解決實際問題．解析法解決實際問題的步驟為：建系、設(shè)點、列式、計算、總結(jié)．跟蹤訓(xùn)練3如圖所示，一座圓拱橋，當(dāng)水面在位置時，拱頂離水面2米，水面寬12米，當(dāng)水面下降1米后，水面寬多少米解以圓拱橋拱頂為坐標(biāo)原點，以過拱頂?shù)呢Q直直線為軸，建立直角坐標(biāo)系，如圖所示．設(shè)圓心為C，水面所在弦的端點為A、B，【練一練】1．圓心是O－3,4，半徑長為5的圓的方程為A．－32＋＋42＝5B．－32＋＋42＝25C．＋32＋－42＝5D．＋32＋－42＝252．下面各點在圓－12＋－12＝2上的是A．1,1B．2,1C．0,0D．eq\r2，eq\r23．圓心在直線＝上且與軸相切于點1,0的圓的方程為__________________．4．寫出圓心為A2，－3，半徑長等于5的圓的方程，并判斷M15，－7，M2－eq\r5，－1是否在這個圓上．【課堂小結(jié)】1．圓的標(biāo)準(zhǔn)方程－a2＋－b2＝m當(dāng)m>0時，表示圓心為Ca，b，半徑為eq\rm的圓；當(dāng)m＝0時，表示一個點Ca，b；當(dāng)m<0時，不表示任何圖形．2．確定圓的方程的方法及步驟：1直接代入法：根據(jù)已知條件求得圓心坐標(biāo)和半徑，直接寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．2待定系數(shù)法：第一步：設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為－a2＋－b2＝r