向量及其向量加減法

-!學(xué)習(xí)目的：理解向量、零向量、單位向量、向量的模的意義；理解向量的幾何表示，會(huì)用字母表示向量；了解平行向量、共線(xiàn)向量和相等向量的意義，并會(huì)判斷向量間平行（共線(xiàn)）、相等的關(guān)系；通過(guò)對(duì)向量的學(xué)習(xí)，使學(xué)生對(duì)現(xiàn)實(shí)生活的向量和數(shù)量有一個(gè)清楚的認(rèn)識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生的唯物辯證思想和分析辨別能力.5．掌握向量的加法的定義，會(huì)用向量加法的三角形法則和平行四邊形法則作兩個(gè)向量的和向量；6．掌握向量加法的交換律和結(jié)合律，并會(huì)用它們進(jìn)行向量計(jì)算；7．明確相反向量的意義，掌握向量的減法，會(huì)作兩個(gè)向量的差向量；8．在正確掌握向量加法減法運(yùn)算法則的基礎(chǔ)上能結(jié)合圖形進(jìn)行向量的計(jì)算，將數(shù)和形有機(jī)結(jié)合，并能利用向量運(yùn)算完成簡(jiǎn)單的幾何證明；9．通過(guò)闡述向量的減法運(yùn)算可以轉(zhuǎn)化為向量加法運(yùn)算及多個(gè)向量的加法運(yùn)算可以轉(zhuǎn)化成兩個(gè)向量的加法運(yùn)算，可以滲透化歸的數(shù)學(xué)思想，使學(xué)生理解事物之間相互轉(zhuǎn)化，相互聯(lián)系的辨證思想，同時(shí)由于向量的運(yùn)算能反映出一些物理規(guī)律，從而加強(qiáng)了數(shù)學(xué)學(xué)科與物理學(xué)科之間的聯(lián)系，提高學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)．學(xué)習(xí)內(nèi)容:向量這部分知識(shí)是新內(nèi)容，但我們已經(jīng)接觸過(guò)了.同學(xué)們?cè)谖锢淼恼n程學(xué)習(xí)過(guò)矢量的概念，它與我們要學(xué)的向量是一致的（知識(shí)是相通的），即使在數(shù)學(xué)中，前一段我們學(xué)習(xí)三角函數(shù)線(xiàn)時(shí)講過(guò)有向線(xiàn)段，實(shí)際上向量就是用有向線(xiàn)段表示的.-!-!-!-!學(xué)習(xí)難點(diǎn):向量的加法運(yùn)算一、向量的概念向量:既有大小又有方向的量?通常用有向線(xiàn)段朋表示，其中A為起點(diǎn)，B為終點(diǎn)，顯然~~~~'I~1=1~表示不同的向量；有向線(xiàn)段局的長(zhǎng)度表示向量的大小，用|加|表示，顯然血既有向線(xiàn)段的起、終點(diǎn)決定向量的方向，有向線(xiàn)段的長(zhǎng)度決定向量的大小.—■爭(zhēng)—、注意：向量加的長(zhǎng)度|加|又稱(chēng)為向量的模；長(zhǎng)度為0的向量叫做零向量，長(zhǎng)度為1的向量叫做單位向量.方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，規(guī)定零向量與任一向量平行.平行向量可通過(guò)平移到同一條直線(xiàn)上，因此平行向量也叫共線(xiàn)向量.長(zhǎng)度相等且方向相同的向量叫做相等向量.零向量與零向量相等，任意兩個(gè)相等的非零向量可經(jīng)過(guò)平移的過(guò)程重合在一起，既可用一個(gè)有向線(xiàn)段表示，而與起點(diǎn)無(wú)關(guān).二、向量的加法1．向量加法的平行四邊形法則T與——T十T=T平行四邊形ABCD中，向量的和為AC.記作：」2．向量加法的三角形法則T=—十T=T根據(jù)向量相等的定義有：朋°匚，既在AADC中，，首尾相連的兩個(gè)向量的和是以第一個(gè)向量的起點(diǎn)指向第二個(gè)向量的終點(diǎn).-?予-、亍規(guī)定:零向量與向量朋的和等于朋.

三、向量的減法~~-3__-3―3_—_―3十一向量加與向量丘4叫做相反向量?記作：朋丘4?則，既用加法法則來(lái)解決減法問(wèn)題.例題選講第一階梯［例1］判斷下列命題的真假：直角坐標(biāo)系中坐標(biāo)軸的非負(fù)軸都是向量；兩個(gè)向量平行是兩個(gè)向量相等的必要條件；向量與是共線(xiàn)向量，則山、衣、C、D必在同一直線(xiàn)上；向量也與向量0平行，則曲與方的方向相同或相反；四邊形ABCD是平行四邊形的充要條件是分析：判斷上述五個(gè)命題的真假性，需細(xì)心辨別才能識(shí)其真面目．解：直角坐標(biāo)系中坐標(biāo)軸的非負(fù)半軸，雖有方向之別，但無(wú)大小之分，故命題是錯(cuò)誤的.由于兩個(gè)向量相等，必知這兩個(gè)向量的方向與長(zhǎng)度均一致，故這兩個(gè)向量一定平行,所以，此命題正確；③不正確....衛(wèi)占③不正確....衛(wèi)占與UD共線(xiàn)，可以有朋與CD平行;④不正確?如果其中有一個(gè)是零向量，則其方向就不確定;⑤正確?此命題相當(dāng)于平面幾何中的命題：四邊形AECD是平行四邊形的充要條件是有一組對(duì)邊平行且相等.［例2］下列各量中是向量的有.A、動(dòng)能B、重量C、質(zhì)量D、長(zhǎng)度E、作用力與反作用力F、溫度分析：用向量的兩個(gè)基本要素作為判斷的依據(jù)注意對(duì)物理量實(shí)際意義的認(rèn)識(shí).解:A,C,D,F只有大小，沒(méi)有方向，而B(niǎo)和F既有大小又有方向，故為向量.［例3］命題“若曲，則.”（）A.總成立B.當(dāng)憶X。時(shí)成立C當(dāng)“工°時(shí)成立D.當(dāng)時(shí)成立分析：這里要作出正確選擇，就是要探求題中命題成立的條件?零向量與其他任何非零向量都平行，.??當(dāng)兩非零向量也、左不平行而"一°時(shí)，有，但這時(shí)命題不成立，故不能選擇A，也不能選擇B與D,故只能選擇C.答案：C第二階梯［例1］如圖1所示，已知向量，試求作和向量分析：求作三個(gè)向量的和的問(wèn)題，首先求作其中任兩個(gè)向量的和，因?yàn)檫@兩個(gè)向量的和仍為一個(gè)向量，然后再求這個(gè)向量與另一個(gè)向量的和?即先作腹+亡，再作個(gè)+C+"解：如圖2所示，首先在平面內(nèi)任取一點(diǎn)。，作向量，再作向量，則得向量閃二十,然后作向量BC=b，則向量OC=a^b^c即為所求.［例2］化簡(jiǎn)下列各式hhh1hhb1h⑴++；⑵-OE+OF-OD-DO.分析：化簡(jiǎn)含有向量的關(guān)系式一般有兩種方法①是利用幾何方法通過(guò)作圖實(shí)現(xiàn)化簡(jiǎn)；②是利用代數(shù)方法通過(guò)向量加法的交換律，使各向量“首尾相連”，通過(guò)向量加法的結(jié)合律調(diào)整向量相加的順序，有時(shí)也需將一個(gè)向量拆分成兩個(gè)或多個(gè)向量．解：h■■■■■■■■■（.原式=^+5C十U4=G4占十月匚T）十04=占口十=0（1）丿原式-（、原式=麗十麗_（亦十亦）=（麗十麗）_3=站（2）丿原式—?分析：要證明四邊形是平行四邊形只要證明某一組對(duì)邊平行且相等．由相等向量的意義可知只需證明其一組對(duì)邊對(duì)應(yīng)的向量是相等向量．（需首先將命題改造為數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言）已知：如圖3,ABCD是四邊形，對(duì)角線(xiàn)AC與BD交于0,且A0=0C,D0=0B.求證：四邊形ABCD是平行四邊形.證明：由已知得，=+OD=OC+BO=BO-^-OC=BC,且人，°,b,c不在同一直線(xiàn)上,故四邊形ABCD是平行四邊形.第三階梯例1.下列命題:（1）單位向量都相等；（2）若蓋,貝yIaeHcT）I^A￡^CD；3）若ABCD為平行四邊形，則加一UD；4）若胚SPh甌，則皿"其中真命題的個(gè)數(shù)是（）A、0B、1C、2D、3T與T解：（1）不正確?單位向量的長(zhǎng)度相等，但方向不一定相同；（2）不正確.可能~步=~~》在同一條直線(xiàn)上；（3）不正確?平行四邊形ABCD中，皿—皿—C°；（4）正確?滿(mǎn)足等量的傳遞性?選B.-、-》例2.若0為正三角形ABC的中心，貝9向量皿①5是（）.

等的向量解：的起點(diǎn)不同，不平行也不相等?由正三角形的性質(zhì)：?選C.仃十益1=1^1=逅施例3.某人向東走3km,又向北走3km,仃十益1=1^1=逅施解:此人所走路程:|AB|+|BC|=6km.此人的位移:例4．求證對(duì)角線(xiàn)互相平分的平面四邊形是平行四邊形.-=-=-'-=-已知：AO0C'DOOB求證:ABCD為平行四邊形.-7*_—證明-7*_—證明：由加法法則：朋A0t=tT=T..AO~OC?DO~OB-冷=-血DC,即線(xiàn)段AB與DC平行且相等,/.ABCD為平行四邊形.―3*―3*―7*例5?非零向量朋’眈中，試比較戸爲(wèi)詬的大小.\BC解:（1）腫與庁匚共線(xiàn)時(shí),\BC時(shí),時(shí),l^4B~^C卜仃\sc-步t-時(shí),l^4B~^C卜仃\sc-步t-'-》（2）不共線(xiàn)時(shí)，BCBC(，,即薦-益卩仃綜上：.課外練習(xí):1?若兩個(gè)向量不相等，則這兩個(gè)向量（）?B!DEA、不共線(xiàn)B、長(zhǎng)度不相等C、不可能均為單位向量D、不可能均為零向量2?四邊形RSPQ為菱形，則下列可用一條有向線(xiàn)段表示的兩個(gè)向量是（）?A、A、D、CD、3?“兩個(gè)向量共線(xiàn)”是“這兩個(gè)向量相等”的（）?A、充分不必要條件B、必要不充分條件C、充要條件D、既不充分也不必要條件4.T十T0是四邊形ABCD對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)，若0Af十T，則四邊形ABCD是（）A、充分不必要條件B、必要不充分條件C、充要條件D、既不充分也不必要條件4.T十T0是四邊形ABCD對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)，若0Af十T，則四邊形ABCD是（）?A、等腰梯形B、平行四邊形C、菱形D、矩形5.—十T若0是AABC內(nèi)一點(diǎn)，0A=0,則。是AABC的（）.A、內(nèi)心B、外心C、垂心D、重心6.AABC中，加二（）.A、~BC+CAB、C、~BC~CAD、CA~BC-、7.平行四邊形ABCD中,E、F為AB,CD中點(diǎn)，圖中7個(gè)向量中，與皿相等的向量是a相等的向量是.-a相等的向量是.-、；與血平行的向量是.;與a平行的向量是8?已知:首尾相接的四個(gè)向量求證：希二總十二=0求證：希二總十二=0.S參考答案:7.8?證明J"=0測(cè)試選擇題1?已知向量a=（3,m）的長(zhǎng)度是5,則m的值為（）.A、4B、-4C、±4D、16-》-》2?下面有四個(gè)命題：（1）向量蟲(chóng)B的長(zhǎng)度與向量酬的長(zhǎng)度相等.（2）任何一個(gè)非零向量都可以平行移動(dòng).（3）所有的單位向量都相等.（4）兩個(gè)有共同起點(diǎn)的相等向量，其終點(diǎn)必相同.其中真命題的個(gè)數(shù)是（).A、B、3C、2D、1A、C、4.A、C、在下列命題中，其中真命題的個(gè)數(shù)是（).A、B、3C、2D、1A、C、4.A、C、在下列命題中，正確的是（）.若|"1>1^I，則TT—>...a石“&若=，則下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是（零向量是沒(méi)有方向的零向量與任一向量平行共線(xiàn)B、I1=1D、若豐T—>I，則=鄉(xiāng)則了，貝一定不與共線(xiàn)).B、零向量的長(zhǎng)度為0D、零向量的方向是任意的5.如圖，設(shè)0是正六邊形ABCDEF的中心，則和相等的向量的個(gè)數(shù)是（）5.A、1個(gè)B、2個(gè)C、3個(gè)D、4個(gè)答案與解析-!答案：1、C2、B3、C4、A5、B解析：1.答案：c.因?yàn)閨十尸入所以認(rèn)士生--*2?答案：B.(1)對(duì)?因?yàn)榕cB月是指同一條線(xiàn)段，因此長(zhǎng)度相等.對(duì).這是由相等向量推導(dǎo)出的結(jié)論.(3)錯(cuò).因?yàn)閱挝幌蛄恐灰竽ｉL(zhǎng)等于1，方向不作要求，因此不一定相等.(4)對(duì).因?yàn)橄嗟认蛄靠梢越?jīng)過(guò)平移至完全重合.解決本題的關(guān)鍵是熟練掌握有關(guān)基礎(chǔ)知識(shí).3?答案：C.A錯(cuò)?因?yàn)橄蛄坑写笮『头较騼蓚€(gè)要素?無(wú)法比較大小.B錯(cuò)?相等向量不僅要模長(zhǎng)相等，方向也要相同.C對(duì)?相等向量方向一定相同，因此共線(xiàn).D錯(cuò)?因?yàn)橄蛄坎幌嗟?，可能僅由于模長(zhǎng)不等，方向仍可能是相同的，所以&與有共線(xiàn)的可能.4?答案：A.零向量是規(guī)定了模長(zhǎng)為0的向量?零向量的方向沒(méi)有規(guī)定，是任意的，可以看作和任一向量共線(xiàn)?零向量絕不是沒(méi)有方向.5?答案：B.根據(jù)向量相等的條件.向量重點(diǎn)難點(diǎn)了解向量可以根據(jù)需要自由平移的特點(diǎn)是今后運(yùn)用向量方法解決問(wèn)題的前提條件之一，也因此，平行向量也叫共線(xiàn)向量?要根據(jù)向量的有關(guān)概念從圖形中找出相等的向量和共線(xiàn)的向量?因此，要加強(qiáng)訓(xùn)練觀察一些常見(jiàn)圖形.以下三個(gè)問(wèn)題上常出現(xiàn)錯(cuò)誤：一是用表示向量的有向線(xiàn)段的起點(diǎn)和終點(diǎn)的字母表示向量時(shí)，一定注意-、-、搞清字母順序，起點(diǎn)在前，終點(diǎn)在后，例如與是大小相同，方向相反的兩個(gè)向量，二是零向量

-!的方向是任意的，而不是沒(méi)有方向，因此有關(guān)零向量的方向問(wèn)題一般要注意規(guī)定，例如命題：共線(xiàn)，與共線(xiàn)，與共線(xiàn)，是錯(cuò)誤的，因?yàn)榱阆蛄康姆较蚴侨我獾?，故與的方向沒(méi)有任何關(guān)系，因此也無(wú)法判斷是否共線(xiàn)，三是注意區(qū)別平行向量與平面幾何中直線(xiàn)平行的概念，前者相當(dāng)于兩直線(xiàn)位置關(guān)系中的平行和重合兩種情況，例如錯(cuò)誤地認(rèn)為平行向量不可能是共線(xiàn)向量，其實(shí)這兩個(gè)概念是同一個(gè)概念.典型題目例1下列說(shuō)法中正確的是().A向量分與向量7共線(xiàn)’向量7與向量7共線(xiàn)’則向量與向量7共線(xiàn)B、任意兩個(gè)相等的非零向量的始點(diǎn)與終點(diǎn)是一平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)C、向量?jī)L丁不共線(xiàn)，則僉C、向量?jī)L丁不共線(xiàn)，則僉7所在直線(xiàn)的夾角為銳角D、始點(diǎn)相同的兩個(gè)非零向量不平行答案：A點(diǎn)評(píng)：向量共線(xiàn)即方向相同或相反，故非零向量間的共線(xiàn)關(guān)系是可以傳遞的．共線(xiàn)向量等同于平行向量，既可平行也可在同一直線(xiàn)上?而相等向量是共線(xiàn)的，故B中四點(diǎn)可能在同一直線(xiàn)上,向量不共線(xiàn)，僅指其所在直線(xiàn)不平行或不重合，夾角可能是直角，而選項(xiàng)D中向量是否共線(xiàn)與始點(diǎn)位置無(wú)關(guān)．例2“兩個(gè)向量共線(xiàn)”是“這兩個(gè)向量方向相反”的()條件A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要答案：B點(diǎn)評(píng)：向量共線(xiàn)即向量方向相同或相反，故后者推出前者，而反之不成立.例3下面有四個(gè)命題：(1)向量的模是一個(gè)正實(shí)數(shù).(2)兩個(gè)向量平行是兩個(gè)向量相等的必要條件.(3)若兩個(gè)單位向量互相平行，則這兩個(gè)單位向量相等.(4)溫度含有零上溫度和零下溫度，

A．0B．1C．2D．3答案：B點(diǎn)評(píng)：只有(2)是正確的，因?yàn)閮蓚€(gè)向量平行只是指這兩個(gè)向量在方向上是相同或相反的．方向相反則不可能是相等向量．即使方向相同，對(duì)于大小也沒(méi)有要求，依然無(wú)法判定兩個(gè)向量是否相等．而兩個(gè)相等向量的方向一定相同，必是平行向量．(1)錯(cuò)在向量的模是表示向量的有向線(xiàn)段的長(zhǎng)度，零向量的模為零．因此向量的模是一個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)．(3)錯(cuò)在兩個(gè)單位向量互相平行，方向可能相同也可能相反，因此這兩個(gè)向量不一定相等．(4)錯(cuò)在溫度的零上零下也只是表示數(shù)量．向量既要有大小又要有方向．常見(jiàn)的向量有力、速度、位移、加速度等．正確解答本題的關(guān)鍵是把握住向量的兩個(gè)要素，并從這兩個(gè)要素人手區(qū)分其它有關(guān)概念．例4一輛汽車(chē)從A點(diǎn)出發(fā)向西行駛了100公里到達(dá)B點(diǎn)，然后又改變方向向西偏北50。走了200公里到達(dá)C點(diǎn)，最后又改變方向，向東行駛了100公里到達(dá)D點(diǎn).(1)作出向量AS求||.~'與-*-*~*答案：⑴見(jiàn)圖.(2)由題意，易知方向相反，故蟲(chóng)B與E共線(xiàn)，又答案：⑴見(jiàn)圖.廿T=T???在四邊形ABCD中，ABCD，四邊形ABCD為平行四邊形，二兇。施,=200公里.點(diǎn)評(píng)：準(zhǔn)確畫(huà)出向量的方法是先確定向量的起點(diǎn)，再確定向量的方向，最后根據(jù)向量的大小確定向量的終點(diǎn).例5—個(gè)人從A點(diǎn)出發(fā)沿東北方向走了100米到達(dá)B點(diǎn)?后改變方向沿南偏東15°又走了100米到達(dá)C點(diǎn)，求此人從C點(diǎn)走回A點(diǎn)的位移.-!-!-》解：如圖，根據(jù)題意知AABC為等邊三角形，故Za=15°,|也|=100,.?.此人從C點(diǎn)走回A回A點(diǎn)的位移-*創(chuàng)，大小為100米，方向?yàn)槲髌?5檢測(cè)題1.在下列各命題中，為真命題的有（）（1）物理學(xué)中的作用力與反作用力是一對(duì)共線(xiàn)向量（2）溫度有零上溫度和零下溫度．因此溫度也是向量（3）方向?yàn)槟掀?0°的向量與方向?yàn)楸逼珫|60°的向量是共線(xiàn)向量（4）坐標(biāo)平面上的x軸和y軸都是向量A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)2?已知a、b、c是三個(gè)非零向量，貝I」|a+b+c|=|a|+|b|+|c|的充要條件是（）方向A.a、b同方向B.b、c同方向C.a、方向A.a、b同方向B.b、c同方向C.a、c同方向D.a、b、c同3?下列命題中，正確的是（A.C.4.下列各命題