經(jīng)典單方程計量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型多元

第三章經(jīng)典單方程計量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型：

多元回歸

多元線性回歸模型多元線性回歸模型的參數(shù)估計多元線性回歸模型的統(tǒng)計檢驗非線性回歸模型經(jīng)典單方程計量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型多元共43頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第1頁!§3.1多元線性回歸模型

一、多元線性回歸模型

二、多元線性回歸模型的基本假定

經(jīng)典單方程計量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型多元共43頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第2頁!

一、多元線性回歸模型一般表現(xiàn)形式(總體回歸模型）：i=1,2…,n其中:k為解釋變量的數(shù)目，參數(shù)個數(shù)為k+1,n為觀察次數(shù)。j(j=1,2,…k)稱為回歸系數(shù)(regressionefficient）。

j也被稱為偏回歸系數(shù)，表示在其他解釋變量保持不變的情況下，Xj每變化1個單位時，Y的均值E(Y)的變化;經(jīng)典單方程計量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型多元共43頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第3頁!

或者說j給出了Xj的單位變化對Y均值的“直接”或“凈”（不含其他變量）影響?？傮w回歸模型n個隨機(jī)方程的矩陣表達(dá)式為:

………….經(jīng)典單方程計量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型多元共43頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第4頁!樣本回歸函數(shù)：用來估計總體回歸模型其隨機(jī)表示式:

ei稱為殘差或剩余項(residuals)，可看成是總體回歸函數(shù)中隨機(jī)擾動項i的估計值。

樣本回歸函數(shù)的矩陣表達(dá):

或經(jīng)典單方程計量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型多元共43頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第5頁!

假設(shè)3，解釋變量與隨機(jī)項不相關(guān)

假設(shè)4，隨機(jī)項滿足正態(tài)分布

上述假設(shè)為多元線性回歸模型的經(jīng)典假設(shè)經(jīng)典單方程計量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型多元共43頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第6頁!一、普通最小二乘估計根據(jù)最小二乘原理，參數(shù)估計值應(yīng)該是下列方程組的解:其中i=1,2…,n經(jīng)典單方程計量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型多元共43頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第7頁!正規(guī)方程組的矩陣形式即由于X’X滿秩，故有

經(jīng)典單方程計量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型多元共43頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第8頁!例3.1

求下列模型的參數(shù)估計量，

觀察值：

211112321222經(jīng)典單方程計量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型多元共43頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第9頁!隨機(jī)誤差項的方差的無偏估計量為

二、參數(shù)估計量的性質(zhì)

在滿足基本假設(shè)的情況下，其結(jié)構(gòu)參數(shù)的普通最小二乘估計仍具有：

線性性、無偏性、有效性經(jīng)典單方程計量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型多元共43頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第10頁!

2、滿足基本要求的樣本容量

從統(tǒng)計檢驗的角度：n30時，Z檢驗才能應(yīng)用；n-k8時,t分布較為穩(wěn)定

一般經(jīng)驗認(rèn)為:

當(dāng)n30或者至少n3(k+1)時，才能說滿足模型估計的基本要求。

模型的良好性質(zhì)只有在大樣本下才能得到理論上的證明經(jīng)典單方程計量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型多元共43頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第11頁!一、擬合優(yōu)度檢驗

1、可決系數(shù)與調(diào)整的可決系數(shù)TSS=ESS+RSS

可決系數(shù):該統(tǒng)計量越接近于1，模型的擬合優(yōu)度越高。

經(jīng)典單方程計量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型多元共43頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第12頁!調(diào)整的可決系數(shù)調(diào)整的思路是：將殘差平方和與總離差平方和分別除以各自的自由度，以剔除變量個數(shù)對擬合優(yōu)度的影響:經(jīng)典單方程計量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型多元共43頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第13頁!

二、方程的顯著性檢驗(F檢驗)

方程的顯著性檢驗，旨在對模型中被解釋變量與解釋變量之間的線性關(guān)系在總體上是否顯著成立作出推斷。

1、方程顯著性的F檢驗

F檢驗是對全部自變量進(jìn)行總的檢驗，檢驗這些自變量是否對因變量確有影響。即：檢驗真實(shí)參數(shù)是否在一定置信水平下全部為零。經(jīng)典單方程計量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型多元共43頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第14頁!

2、關(guān)于擬合優(yōu)度檢驗與方程顯著性檢驗關(guān)系的討論

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以cii表示矩陣(X’X)-1

主對角線上的第i個元素，于是參數(shù)估計量的方差為：

其中2為隨機(jī)誤差項的方差，在實(shí)際計算時，用它的估計量代替:

因此，可構(gòu)造如下t統(tǒng)計量：經(jīng)典單方程計量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型多元共43頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第16頁!例3.2設(shè)某商品需求函數(shù)的估計結(jié)果為（n=18）：

（0.35）（0.50）要求：（1）計算F統(tǒng)計量和調(diào)整的可決系數(shù)；（2）對參數(shù)進(jìn)行顯著性檢驗；（3）解釋回歸系數(shù)的經(jīng)濟(jì)含義。括號中的數(shù)字為對應(yīng)參數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差。經(jīng)典單方程計量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型多元共43頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第17頁!（2）給定α=0.05，∴參數(shù)顯著不為零經(jīng)典單方程計量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型多元共43頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第18頁!§3.4非線性回歸模型

一、模型的類型二、幾種常見的非線性回歸模型經(jīng)典單方程計量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型多元共43頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第19頁!二、幾種常見的非線性回歸模型1、多項式模型設(shè)X1=X，X2=X2，則二次曲線變換為Y=β0+β1X1+β2X2+μ經(jīng)典單方程計量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型多元共43頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第20頁!②β0β1<0β1>0β03、對數(shù)模型

①半對數(shù)(增長模型)

Y=β0+β1lnX+μ(對數(shù)線性模型)經(jīng)典單方程計量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型多元共43頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第21頁!

4、冪函數(shù)模型

Y=aXbeμ例：Cobb-Dauglas生產(chǎn)函數(shù)

Q=AKLeμQ：產(chǎn)出量，K：投入的資本；L：投入的勞動

方程兩邊取對數(shù)，即為雙對數(shù)模型：lnQ=lnA+lnK+lnL+μ5、指數(shù)函數(shù)模型

①b>0b<0經(jīng)典單方程計量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型多元共43頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第22頁!分析題:現(xiàn)有某地近期10個年份的某種商品銷售量Y、居民可支配收入X1、該種商品的價格指數(shù)X2、社會擁有量X3和其它商品價格指數(shù)X4的資料。根據(jù)這些資料估計得出了兩個樣本回歸模型為：

模型1：模型2：經(jīng)典單方程計量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型多元共43頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第23頁!其中:經(jīng)典單方程計量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型多元共43頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第24頁!其中：二、多元線性回歸模型的基本假定

假設(shè)1，解釋變量是非隨機(jī)的或固定的，且各X之間互不相關(guān)（無多重共線性）。假設(shè)2，隨機(jī)誤差項具有零均值、同方差及不序列相關(guān)性經(jīng)典單方程計量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型多元共43頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第25頁!§3.2多元線性回歸模型的估計

一、普通最小二乘估計二、參數(shù)估計量的性質(zhì)三、樣本容量問題經(jīng)典單方程計量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型多元共43頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第26頁!于是得到關(guān)于待估參數(shù)估計值的正規(guī)方程組：

經(jīng)典單方程計量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型多元共43頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第27頁!將上述過程用矩陣表示如下：

即求解方程組：于是：經(jīng)典單方程計量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型多元共43頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第28頁!經(jīng)典單方程計量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型多元共43頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第29頁!三、樣本容量問題

所謂“最小樣本容量”，即從最小二乘原理出發(fā)，欲得到參數(shù)估計量，不管其質(zhì)量如何，所要求的樣本容量的下限。

⒈最小樣本容量

樣本最小容量必須不少于模型中解釋變量的數(shù)目（包括常數(shù)項）,即

n

k+1因為，無多重共線性要求：秩(X)=k+1經(jīng)典單方程計量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型多元共43頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第30頁!§3.3多元線性回歸模型的統(tǒng)計檢驗

一、擬合優(yōu)度檢驗二、方程的顯著性檢驗(F檢驗)

三、變量的顯著性檢驗（t檢驗）

經(jīng)典單方程計量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型多元共43頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第31頁!

問題：

在應(yīng)用過程中發(fā)現(xiàn)，如果在模型中增加一個解釋變量，R2往往增大。

這就給人一個錯覺：要使得模型擬合得好，只要增加解釋變量即可。但是，在樣本容量一定的情況下，增加解釋變量必定使得自由度減少。而且若濫用解釋變量還會引起其它嚴(yán)重的問題，影響模型質(zhì)量。經(jīng)典單方程計量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型多元共43頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第32頁!①當(dāng)K=0，②當(dāng)K>0，③經(jīng)典單方程計量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型多元共43頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第33頁!H0：1=2==k=0H1：j不全為0j=1，2，…，k服從自由度為(k,n-k-1)的F分布

給定顯著性水平，可得到臨界值F(k,n-k-1)，由樣本求出統(tǒng)計量F的數(shù)值，通過

F

F(k,n-k-1)或FF(k,n-k-1)來拒絕或接受原假設(shè)H0，以判定原方程總體上的線性關(guān)系是否顯著成立。經(jīng)典單方程計量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型多元共43頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第34頁!

三、變量的顯著性檢驗（t檢驗）

方程的總體線性關(guān)系顯著每個解釋變量對被解釋變量的影響都是顯著的

因此，必須對每個解釋變量進(jìn)行顯著性檢驗，以決定是否作為解釋變量被保留在模型中。

這一檢驗是由對變量的t檢驗完成的。

1、t統(tǒng)計量

經(jīng)典單方程計量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型多元共43頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第35頁!

2、t檢驗H1：i0

給定顯著性水平，可得到臨界值t/2(n-k-1)，|t|

t/2(n-k-1)拒絕原假設(shè)H0

|t|t/2(n-k-1)接受原假設(shè)H0H0：i=0

（i=1,2…k）

當(dāng)H0成立，~t（n-k-1)經(jīng)典單方程計量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型多元共43頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第36頁!解：（1）經(jīng)典單方程計量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型多元共43頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第37頁!注意：

◎一元線性回歸中，t檢驗與F檢驗一致

◎多元線性回歸中，兩者是不同的

*檢驗對象不同*當(dāng)對參數(shù)β1，β2，…，βk檢驗均顯著時，F(xiàn)檢驗一定是顯著的

*但當(dāng)F檢驗顯著時，并不意味著對每一個回歸系數(shù)的t檢驗一定都是顯著的

經(jīng)典單方程計量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型多元共43頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第38頁!一、非線性回歸模型的兩種基本類型1、Yi與β1是線性關(guān)系，與Xi為非線性關(guān)系

2、Yi與β1是非線性關(guān)系類經(jīng)適當(dāng)變換可轉(zhuǎn)化為線性模型，第二類需用非線性最小二乘法經(jīng)典單方程計量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型多元共43頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第39頁!2、倒數(shù)模型

①雙曲線經(jīng)典單方程計量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型多元共43頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第40頁!β0

lnY=β0+β1X+μ若X為年份,則β1為年均增長速度。②雙對數(shù)模型

lnY=β0+β1lnX+μ經(jīng)典單方程計量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型多元共43頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第41頁!②b>0b<0作業(yè)：表中所列數(shù)據(jù)是關(guān)于某種商品的市場供給量Y和價格水平X的觀察值：供給量Y（件）40455065757580價格X（元/件）10203040