非線性系統(tǒng)線性化教材課件

非線性系統(tǒng)線性化非線性系統(tǒng)線性化1CompanyLogo條件苛刻，計(jì)算復(fù)雜基本思想：一階近似適用于工作點(diǎn)范圍不大情況基本思想：通過坐標(biāo)變換把強(qiáng)非線性系統(tǒng)變換成弱非線性系統(tǒng)或通過狀態(tài)反饋以保持線性系統(tǒng)的部分特點(diǎn)。傳統(tǒng)近似線性化精確線性化非線性系統(tǒng)線性化方法現(xiàn)代近似線性化CompanyLogo條件苛刻，計(jì)算復(fù)雜基本思想：一階近似近似線性化傳統(tǒng)近似線性化最小二乘法泰勒展開傅里葉級(jí)數(shù)展開誤差最小忽略高階項(xiàng)忽略高次諧波雅可比矩陣忽略高階項(xiàng)傳統(tǒng)近似線性化方法近似線性化傳統(tǒng)近似線性化最小二乘法泰勒展開傅里葉級(jí)數(shù)展開誤差非線性系統(tǒng)反饋線性化_主要內(nèi)容4.0緒論4.1基于動(dòng)平衡狀態(tài)理論的非線性系統(tǒng)反饋線性化直接方法4.2單變量輸入輸出反饋線性化直接方法及魯棒設(shè)計(jì)仿射非線性系統(tǒng)輸入輸出線性化及魯棒設(shè)計(jì)線性時(shí)變系統(tǒng)反饋線性化直接方法及魯棒設(shè)計(jì)線性定常系統(tǒng)設(shè)計(jì)—閉環(huán)極點(diǎn)配置一般非線性系統(tǒng)的直接反饋線性化設(shè)計(jì)：逆系統(tǒng)方法4.3反饋線性化與標(biāo)準(zhǔn)型輸入—狀態(tài)線性化輸入—輸出線性化線性系統(tǒng)的內(nèi)動(dòng)態(tài)子系統(tǒng)零動(dòng)態(tài)子系統(tǒng)4.4數(shù)學(xué)知識(shí)微分同胚與狀態(tài)變換弗羅貝尼斯定理4.5非線性系統(tǒng)反饋線性化單輸入單輸出系統(tǒng)的輸入—狀態(tài)線性化單輸入單輸出系統(tǒng)的輸入—輸出線性化多輸入—多輸出系統(tǒng)的反饋線性化4.6近似線性化方法非線性系統(tǒng)反饋線性化_主要內(nèi)容4.0緒論非線性系統(tǒng)反饋線性化緒論非線性系統(tǒng)的反饋線性化是近年來引起人們極大興趣的一種非線性控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)方法。這種方法的思路是通過狀態(tài)或輸出的反饋，將一個(gè)非線性系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性變成（全部或部分）線性的動(dòng)態(tài)特性，從而可以應(yīng)用熟知的線性控制的方法對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行設(shè)計(jì)與控制。反饋線性化通過嚴(yán)格的狀態(tài)變換與反饋?zhàn)儞Q來達(dá)到，線性化過程中沒有忽略任何高階非線性項(xiàng)，因而這種線性化是精確的。目前反饋線性化的方法主要有兩種：1）精確線性化方法(exactlinearizationmethod)，如微分幾何方法，隱函數(shù)方法和逆系統(tǒng)方法等；2）基于參考模型的漸近線性化方法，如模型參考方法及模型參考自適應(yīng)方法等。而確切地說，這兩種線性化方法都是模型參考方法，不過前者可稱為隱含模型參考方法（implicitmodelreferenceapproach），而后者為實(shí)際模型參考方法（realmodelrefernceapproach）。精確線性化方法中，微分幾何方法和逆系統(tǒng)方法已形成各自的理論體系并在許多領(lǐng)域得到成功的應(yīng)用。相比之下基于隱函數(shù)方法的直接線性化方法由于其可應(yīng)用的范圍較窄，理論上又難以深入，被研究得要少得多。非線性系統(tǒng)反饋線性化緒論非線性系統(tǒng)的反饋線性化在非線性系統(tǒng)的模型參考方法中，基于李亞普諾夫直接方法的非線性系統(tǒng)反饋線性化方法是最重要和最有效的一種設(shè)計(jì)方法，這類方法稱為非線性系統(tǒng)反饋線性化的直接方法。運(yùn)用控制系統(tǒng)動(dòng)平衡狀態(tài)的概念，提出一種建立在控制系統(tǒng)動(dòng)平衡狀態(tài)漸近穩(wěn)定概念上的新的設(shè)計(jì)方法。本方法認(rèn)為：控制系統(tǒng)的輸入直接控制的是系統(tǒng)的動(dòng)平衡狀態(tài)。系統(tǒng)的輸出和狀態(tài)是在系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的約束下運(yùn)動(dòng)的。當(dāng)系統(tǒng)對(duì)其平衡狀態(tài)大范圍漸近穩(wěn)定時(shí)，其狀態(tài)將在系統(tǒng)結(jié)構(gòu)約束下漸近收斂于系統(tǒng)的平衡狀態(tài)。當(dāng)其平衡狀態(tài)運(yùn)動(dòng)時(shí)，系統(tǒng)的狀態(tài)亦將跟蹤其平衡狀態(tài)運(yùn)動(dòng)。因此控制系統(tǒng)平衡狀態(tài)的運(yùn)動(dòng)，即可實(shí)現(xiàn)對(duì)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)及輸出的控制。模型參考方法在跟蹤控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)中是一種十分有效的方法。這一方法不僅在相對(duì)復(fù)雜的非線性系統(tǒng)設(shè)計(jì)中得到應(yīng)用，即使在線性定常系統(tǒng)的設(shè)計(jì)中同樣也得到大量的應(yīng)用。非線性系統(tǒng)反饋線性化緒論在非線性系統(tǒng)的模型參考方法中，基于李亞普諾夫直按上述思想，提出如下的基于平衡狀態(tài)控制原理的非線性控制系統(tǒng)反饋線性化的直接方法：（1）按系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能要求設(shè)計(jì)一滿足希望特性的線性動(dòng)態(tài)系統(tǒng)作為模型參考系統(tǒng)。（2）以模型參考系統(tǒng)的狀態(tài)作為實(shí)際被控系統(tǒng)的被控平衡狀態(tài)。利用李亞普諾夫直接方法設(shè)計(jì)控制律使系統(tǒng)對(duì)動(dòng)平衡狀態(tài)漸進(jìn)穩(wěn)定。從而被控系統(tǒng)近似具有模型參考系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性，實(shí)現(xiàn)非線性系統(tǒng)的反饋線性化。為此，控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)可分為兩步：首先，設(shè)計(jì)控制律使系統(tǒng)的平衡狀態(tài)按預(yù)定的方式運(yùn)動(dòng)。然后，按某一指標(biāo)設(shè)計(jì)系統(tǒng)，使其狀態(tài)按最佳方式向平衡狀態(tài)收斂，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)狀態(tài)的控制。這一方法很好地解決了將僅適用于自由動(dòng)態(tài)系統(tǒng)分析與設(shè)計(jì)的李亞普諾夫直接方法應(yīng)用于跟蹤控制問題所帶來的理論沖突，將穩(wěn)定性問題（調(diào)節(jié)問題）與跟蹤問題統(tǒng)一起來。為控制系統(tǒng)的分析與設(shè)計(jì)提供了一條新的思路。非線性系統(tǒng)反饋線性化緒論按上述思想，提出如下的基于平衡狀態(tài)控制原理的非線性控制系統(tǒng)反（3.則被控的狀態(tài)偏差系統(tǒng)（1.（6.（3.則，，即獲得了理想跟蹤；如果為所關(guān)注的輸出，則系統(tǒng)給定參考軌跡，可從式（5.（3.1給定非線性時(shí)變系統(tǒng)（1.階導(dǎo)數(shù)，但是不出現(xiàn)輸入u的導(dǎo)數(shù)。它是以為元素的一個(gè)行矢量。微分的過程就是從下式開始李括號(hào)通常寫為。為了搞清楚這兩個(gè)系統(tǒng)之間的本質(zhì)差別，可以來看看它們的傳遞函數(shù)。（2.首先應(yīng)將系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)用狀態(tài)空間表示。其中，且。模型參考方法在跟蹤控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)中是一種十分有效的方法?？捎脕淼窒鲜街械姆蔷€性。其中，

為狀態(tài)向量，

為控制向量，為向量函數(shù)。其中

為狀態(tài)向量，

為控制向量，,

為常數(shù)矩陣，并且的所有特征值均具有負(fù)實(shí)部。則下述基于李雅普諾夫第二方法的設(shè)計(jì)可以實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)狀態(tài)

對(duì)的漸近跟蹤，從而實(shí)現(xiàn)非線性系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的線性化。基于動(dòng)平衡狀態(tài)理論的非線性系統(tǒng)反饋線性化直接方法按上述方法，基本設(shè)計(jì)過程如下：考慮一般的非線性系統(tǒng)（1.1）設(shè)希望的線性系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性為（1.2）令狀態(tài)偏差為，則有

由式（1.1）和式（1.2）可得系統(tǒng)的狀態(tài)偏差方程為：（1.3）（3.其中，為狀態(tài)向量，為控其中

，且。則有的導(dǎo)數(shù)為：（1.5）其中

，為標(biāo)量函數(shù)。基于動(dòng)平衡狀態(tài)理論的非線性系統(tǒng)反饋線性化直接方法取狀態(tài)偏差的二次型函數(shù)（1.4）因?yàn)楫?dāng)狀態(tài)偏差的歐幾里德范數(shù)時(shí)，，平衡狀態(tài)

是在大范圍內(nèi)漸近穩(wěn)定的。從而有時(shí)，

。由上面的分析可直接給出如下定理：定理1.1給定非線性時(shí)變系統(tǒng)（1.1）及模型參考系統(tǒng)（1.2）。設(shè)穩(wěn)定，是模型參考自由系統(tǒng)（對(duì)應(yīng)于）在原點(diǎn)平衡狀態(tài)的李雅普諾夫函數(shù)。那么，若存在控制

使由于的所有特征值均具有負(fù)實(shí)部，因此可找到正定矩陣

，使為一負(fù)定矩陣。若能選取控制向量（

為可能用到的

的各階導(dǎo)數(shù)），使

，則

為李雅普諾夫函數(shù)。其中，且。若能選擇

使

在所考慮的系統(tǒng)參數(shù)變化范圍內(nèi)非正，則可保證系統(tǒng)具有參數(shù)不確定時(shí)反饋線性化的魯棒性。若選取的

使，則稱非線性系統(tǒng)（1.1）被精確線性化。我們可給出定理1.1更一般的情況如下：基于動(dòng)平衡狀態(tài)理論的非線性系統(tǒng)反饋線性化直接方法（1.6）則偏差系統(tǒng)（1.3）的原點(diǎn)平衡狀態(tài)是大范圍一致漸近穩(wěn)定的。證明：因?yàn)槭瞧钭杂上到y(tǒng)在平衡狀態(tài)的李雅普諾夫函數(shù)，因此有

負(fù)定。定理1.2考慮狀態(tài)偏差系統(tǒng)（1.3）。設(shè)其對(duì)應(yīng)的自由動(dòng)態(tài)系統(tǒng)在平衡狀態(tài)大范圍一致漸近穩(wěn)定，是自由系統(tǒng)在平衡狀態(tài)的李雅普諾夫函數(shù)。如果控制策略使（1.7）則被控的狀態(tài)偏差系統(tǒng)（1.3）是大范圍一致漸近穩(wěn)定。若能選擇使在所考慮的系統(tǒng)參數(shù)變化基于動(dòng)平衡狀態(tài)理論的非線性系統(tǒng)反饋線性化直接方法將作為偏差控制系統(tǒng)（1.3）的可能的李亞普諾夫函數(shù)，有由于上式右端第一項(xiàng)負(fù)定，顯然若式（1.7）成立，則負(fù)定。式（1.3）的被控狀態(tài)偏差系統(tǒng)大范圍一致漸近穩(wěn)定。非線性系統(tǒng)的反饋線性化，確切地說還可以分為輸入--狀態(tài)線性化和輸入--輸出線性化。對(duì)調(diào)節(jié)問題（穩(wěn)定性問題）采用輸入--狀態(tài)線性化通常即可滿足要求對(duì)系統(tǒng)的調(diào)節(jié)要求；但對(duì)跟蹤問題通常必須采用輸入--輸出線性化設(shè)計(jì)才能滿足對(duì)系統(tǒng)的性能要求。基于動(dòng)平衡狀態(tài)理論的非線性系統(tǒng)反饋線性化直接方法將單變量輸入輸出反饋線性化直接方法及魯棒設(shè)計(jì)設(shè)系統(tǒng)由下述微分方程表示（2.1）其中為輸入，為輸出。取輸出及其前n-1階導(dǎo)數(shù)為狀態(tài)變量，方程（2.1）可表示為如下的狀態(tài)空間表達(dá)形式：（2.1a）簡(jiǎn)記為（2.1b）單變量輸入輸出反饋線性化直接方法及魯棒設(shè)計(jì)設(shè)系統(tǒng)由下述微分單變量輸入輸出反饋線性化直接方法及魯棒設(shè)計(jì)其中為狀態(tài)向量，表示控制及其前m階導(dǎo)數(shù)。設(shè)上述系統(tǒng)的希望動(dòng)態(tài)特性可用下述線性定常模型系統(tǒng)表示：

（2.2）其中為希望輸出，為模型的輸入，，為常數(shù)。同樣取及其前n-1階導(dǎo)數(shù)為狀態(tài)變量，可得其對(duì)應(yīng)的可控型狀態(tài)空間表達(dá)式為：（2.2a）其中為模型的狀態(tài)向量；，，為常數(shù)。單變量輸入輸出反饋線性化直接方法及魯棒設(shè)計(jì)其中單變量輸入輸出反饋線性化直接方法及魯棒設(shè)計(jì)根據(jù)動(dòng)平衡狀態(tài)理論，我們可以將作為被控系統(tǒng)的動(dòng)平衡狀態(tài)，通過設(shè)計(jì)合適的控制律，使所構(gòu)成的控制系統(tǒng)中被控狀態(tài)對(duì)動(dòng)平衡狀態(tài)在大范圍內(nèi)漸近穩(wěn)定。從而實(shí)現(xiàn)對(duì)，亦即對(duì)的漸近逼近，使被控系統(tǒng)具有所希望的動(dòng)態(tài)特性。實(shí)現(xiàn)上述目標(biāo)的一個(gè)直接方法便是利用李雅普諾夫第二方法。為此，以為動(dòng)平衡狀態(tài)，定義誤差向量（2.3）由式（2.1a）及式（2.2a）可得（2.4）取狀態(tài)偏差的二次型函數(shù)（2.5）其中

，且。則有的導(dǎo)數(shù)為：（2.6）單變量輸入輸出反饋線性化直接方法及魯棒設(shè)計(jì)根據(jù)動(dòng)平單變量輸入輸出反饋線性化直接方法及魯棒設(shè)計(jì)其中：（2.7）（2.8）為標(biāo)量函數(shù)。由于系統(tǒng)（2.1a）和系統(tǒng)（2.2a）均為可控型，的確定可以進(jìn)一步簡(jiǎn)化。由式（2.8）我們有：（2.9）其中：（2.10）（2.11）單變量輸入輸出反饋線性化直接方法及魯棒設(shè)計(jì)其中：?jiǎn)巫兞枯斎胼敵龇答伨€性化直接方法及魯棒設(shè)計(jì)，為標(biāo)量，以后的計(jì)算中，只需根據(jù)式（2.10）和（2.11）便可確定控制規(guī)律。

因?yàn)楫?dāng)狀態(tài)偏差的歐幾里德范數(shù)時(shí)，，平衡狀態(tài)

是在大范圍內(nèi)漸近穩(wěn)定的，即為控制系統(tǒng)的大范圍漸近穩(wěn)定的動(dòng)平衡狀態(tài)。從而有時(shí)，

。由上面的分析可直接給出如下定理：定理2.1

給定非線性時(shí)變系統(tǒng)（2.1）及模型參考系統(tǒng)（2.2）。設(shè)穩(wěn)定，為模型參考自由系統(tǒng)（）在原點(diǎn)平衡狀態(tài)的李亞普諾夫函數(shù)。那么，若存在控制使則偏差系統(tǒng)（2.3）的原點(diǎn)平衡狀態(tài)是大范圍一致漸近穩(wěn)定的。非線性時(shí)變系統(tǒng)的輸出漸近跟蹤參考模型的輸出。若能選擇

使

在所考慮的系統(tǒng)參數(shù)變化范圍內(nèi)非正，則可保證系統(tǒng)具有參數(shù)不確定時(shí)反饋線性化的魯棒性。在這一方法中，若令，即可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的精確線性化。若非線性系統(tǒng)是仿射非線性的，則其結(jié)果同微分幾何方法。單變量輸入輸出反饋線性化直接方法及魯棒設(shè)計(jì)仿射非線性系統(tǒng)輸入輸出線性化及魯棒設(shè)計(jì)考慮仿射非線性系統(tǒng)（2.12）選取及其前n-1階導(dǎo)數(shù)為狀態(tài)變量，可將其轉(zhuǎn)換為式（2.1）形式的狀態(tài)空間表達(dá)式，且其中（2.13）（2.14）由定理2.1，令，可實(shí)現(xiàn)仿射非線性系統(tǒng)的精確線性化。由式（2.14）得精確線性化得控制策略為（2.15）1.精確線性化2.魯棒線性化設(shè)計(jì)仿射非線性系統(tǒng)輸入輸出線性化及魯棒設(shè)計(jì)考慮仿射非線性系統(tǒng)仿射非線性系統(tǒng)輸入輸出線性化及魯棒設(shè)計(jì)（1）設(shè)仿射非線性系統(tǒng)具有不確定性

（2.16）其中，則控制策略

（2.17）將使系統(tǒng)魯棒線性化。證明：將代入整理后有

由式（2.9）有：

由定理2.1，偏差系統(tǒng)（2.3）的原點(diǎn)平衡狀態(tài)是大范圍一致漸近穩(wěn)定的。非線性時(shí)變系統(tǒng)的輸出漸近跟蹤參考模型的輸出。（2）設(shè)仿射非線性系統(tǒng)具有不確定性

（2.18）仿射非線性系統(tǒng)輸入輸出線性化及魯棒設(shè)計(jì)（1）設(shè)仿射非線性系仿射非線性系統(tǒng)輸入輸出線性化及魯棒設(shè)計(jì)其中，。不失一般性，設(shè)則控制策略（2.19）將使系統(tǒng)魯棒線性化。證明：將代入整理后有由式（2.9）有：

由定理2.1，偏差系統(tǒng)（2.3）的原點(diǎn)平衡狀態(tài)是大范圍一致漸近穩(wěn)定的。非線性時(shí)變系統(tǒng)的輸出漸近跟蹤參考模型的輸出。仿射非線性系統(tǒng)輸入輸出線性化及魯棒設(shè)計(jì)其中線性時(shí)變系統(tǒng)反饋線性化直接方法及魯棒設(shè)計(jì)考慮變系數(shù)線性系統(tǒng)

（2.20）對(duì)照式（2.1b）有（2.21）根據(jù)式（2.9）-（2.11），在保證非正（即非正）的前提下，至少有如下幾種選擇方式。1.精確抵消法選擇使，即。這時(shí)可?。?.22）線性時(shí)變系統(tǒng)反饋線性化直接方法及魯棒設(shè)計(jì)考慮變系數(shù)線性系統(tǒng)線性時(shí)變系統(tǒng)反饋線性化直接方法及魯棒設(shè)計(jì)此時(shí)李雅普諾夫函數(shù)，，其中，。系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程直接由式（2.2）所示。2.非精確抵消法由式（2.9）-（2.11），我們有

（2.23）設(shè)不變號(hào)，?。?.24）由于要使為李亞普諾夫函數(shù)，只需非正，這就為本方法中的選擇帶來了極大的便利，最簡(jiǎn)單直接的方法就是取絕對(duì)值加符號(hào)函數(shù)方法。線性時(shí)變系統(tǒng)反饋線性化直接方法及魯棒設(shè)計(jì)此時(shí)李雅普諾夫函數(shù)（2.單變量輸入輸出反饋線性化直接方法及魯棒設(shè)計(jì)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程直接由式（2.個(gè)輸出與新輸入之間的簡(jiǎn)單的二重積分關(guān)系其中，為標(biāo)量函數(shù)?，F(xiàn)在再看矢量場(chǎng)的另一個(gè)重要數(shù)學(xué)算符——李括號(hào)。單變量輸入輸出反饋線性化直接方法及魯棒設(shè)計(jì)1）的單輸入情形（有關(guān)方法對(duì)多輸入情形可類推），系統(tǒng)平衡由于非線性（重力矩所引起的）出現(xiàn)在第一個(gè)方程里，而控制是在第二當(dāng)，將有。從而完成了輸入—狀態(tài)線性化。即與的李括號(hào)可以表示成與的線性組合，這個(gè)條件稱為矢量場(chǎng)使得只有一個(gè)非零的列，即使得方程式（5.直至出現(xiàn)輸入為止，與單輸入一單輸出系統(tǒng)所用的方法類似。全地線性化，因而這一過程確實(shí)能得到一個(gè)滿意的控制器（假定模型是精確對(duì)于線性系統(tǒng)，零動(dòng)態(tài)子系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性意味著內(nèi)動(dòng)態(tài)子系統(tǒng)的全局穩(wěn)其中，且。在零動(dòng)態(tài)子系統(tǒng)中工作時(shí)近似線性化主要包括以下幾種方法：偽線性化方法、擴(kuò)展線性化方法、1(弗貝尼斯定理)令為一組線性無關(guān)的矢量場(chǎng)，當(dāng)狀態(tài)方程變換成線性形式后，無論是以穩(wěn)定或跟蹤為目的的控制器設(shè)計(jì)就線性時(shí)變系統(tǒng)反饋線性化直接方法及魯棒設(shè)計(jì)代入式（2.23），并考慮到對(duì)任意函數(shù)有，我們有可見按式（2.24）確定的保證了為李雅普諾夫函數(shù)。3.魯棒控制系統(tǒng)的實(shí)現(xiàn)（2.線性時(shí)變系統(tǒng)反饋線性化直接方法及魯棒設(shè)計(jì)代入式（2.線性時(shí)變系統(tǒng)反饋線性化直接方法及魯棒設(shè)計(jì)在上述非精確抵消方法中，如果可預(yù)先確定系統(tǒng)各參數(shù)取值的絕對(duì)值的最大值，則下述按參數(shù)絕對(duì)值最大值選取的控制律，不僅能保證為李雅普諾夫函數(shù)，同時(shí)還將使系統(tǒng)對(duì)區(qū)間內(nèi)變化的參數(shù)具有魯棒性。在式（2.24）中，除外，取各參數(shù)絕對(duì)值的最大值，有

（2.25）

其中，。顯然，如果我們選擇，。則將使系統(tǒng)的魯棒性進(jìn)一步增加，同時(shí)還可使的收斂速度加快。線性時(shí)變系統(tǒng)反饋線性化直接方法及魯棒設(shè)計(jì)在上述線性定常系統(tǒng)設(shè)計(jì)—閉環(huán)極點(diǎn)配置考慮線性定常系統(tǒng)

（2.26）對(duì)照式（2.1b）有（2.27）設(shè)系統(tǒng)的希望動(dòng)態(tài)特性如式（2.2）所示。則由式（2.11）有

（2.28）其中（2.29）線性定常系統(tǒng)設(shè)計(jì)—閉環(huán)極點(diǎn)配置考慮線性定常系統(tǒng)對(duì)照式（2線性定常系統(tǒng)設(shè)計(jì)—閉環(huán)極點(diǎn)配置令，即。則有，為李亞普諾夫函數(shù)，其中，。當(dāng)，將有。這時(shí)由式（3.29）可解出（2.30）其中，。這一結(jié)果同狀態(tài)反饋極點(diǎn)配置方法的結(jié)果是一致的。相當(dāng)于利用線性狀態(tài)反饋將原系統(tǒng)的極點(diǎn)配置到了希望系統(tǒng)的極點(diǎn)位置。其具體實(shí)現(xiàn)形式為：

線性定常系統(tǒng)設(shè)計(jì)—閉環(huán)極點(diǎn)配置令一般非線性系統(tǒng)的直接反饋線性化設(shè)計(jì)：逆系統(tǒng)方法考慮非線性系統(tǒng)

（2.31）將上式作為代數(shù)方程來看，如果從中可解出的顯式表示

（2.33）則式（2.33）即為系統(tǒng)（2.31）的逆系統(tǒng)。選取及其前n-1階導(dǎo)數(shù)為狀態(tài)變量，用表示及其前m階導(dǎo)數(shù)，則上式可記為

（2.32）在方程（2.33）中，記，則得到系統(tǒng)（2.33）的n階積分逆系統(tǒng)，由下式表示：（2.34）一般非線性系統(tǒng)的直接反饋線性化設(shè)計(jì)：逆系統(tǒng)方法考慮非線性系統(tǒng)一般非線性系統(tǒng)的直接反饋線性化設(shè)計(jì)：逆系統(tǒng)方法將

代入可得：（2.35）令，可得精確線性化控制策略為

（2.33）一般非線性系統(tǒng)的直接反饋線性化設(shè)計(jì)：逆系統(tǒng)方法將反饋線性化與標(biāo)準(zhǔn)型最簡(jiǎn)單形式的反饋線性化是將非線性系統(tǒng)中的非線性抵消掉，使閉環(huán)動(dòng)態(tài)特性變成線性形式。例3.1控制水箱液面高度考慮將水箱中液面的高度h，控制在指定的高度，控制輸入是進(jìn)入水箱的液體流量u，初始高度為。其中是水箱的橫截面積，a是出水管的橫截面積。如果初始高度與期望高度相差懸殊，h的控制就是一個(gè)非線性調(diào)節(jié)問題。動(dòng)態(tài)方程式（3.1）可重寫為:水箱的動(dòng)態(tài)模型為（3.1）反饋線性化與標(biāo)準(zhǔn)型最簡(jiǎn)單形式的反饋線性化是將非線其動(dòng)力學(xué)方程容易求出為單輸入單輸出系統(tǒng)的輸入—狀態(tài)線性化現(xiàn)在再看矢量場(chǎng)的另一個(gè)重要數(shù)學(xué)算符——李括號(hào)。就能抵消掉非線性特性而獲得一個(gè)簡(jiǎn)單的輸入—輸出關(guān)系（多重積分形式）因此，上面這種基于降階模型式（3.都要求?？梢员硎緸檫@種能控標(biāo)準(zhǔn)形的系統(tǒng)，若使用控制輸入（假定不為零）（其中）導(dǎo)致跟蹤誤差的動(dòng)態(tài)方程為實(shí)現(xiàn)上述目標(biāo)的一個(gè)直接方法便是利用李雅普諾夫第二方法。雖然在狀態(tài)空間中一個(gè)相當(dāng)大的區(qū)域內(nèi)上面的結(jié)論均成立，但它不是全局性基于動(dòng)平衡狀態(tài)理論的非線性系統(tǒng)反饋線性化直接方法有一種基于部分反饋線性化的全局漸近穩(wěn)定方法是將控制問題看成一個(gè)標(biāo)若能選取控制向量（為可能用到的的各階導(dǎo)數(shù)），使，則為李雅普諾夫函數(shù)。其中為希望輸出，為模型的輸入，，為常數(shù)。線性時(shí)變系統(tǒng)反饋線性化直接方法及魯棒設(shè)計(jì)其中至少有一個(gè)j，在點(diǎn)的鄰域內(nèi)使對(duì)每個(gè)都按上述步驟演算得到動(dòng)態(tài)方程式（3.當(dāng)時(shí)，其秩為4。只要適當(dāng)?shù)剡x擇上述動(dòng)態(tài)方程中的系數(shù)（正常數(shù)）就能使系統(tǒng)為指數(shù)穩(wěn)定。研究可以通過轉(zhuǎn)而研究零動(dòng)態(tài)子系統(tǒng)的穩(wěn)定性而局部地簡(jiǎn)化。反饋線性化與標(biāo)準(zhǔn)型若選為（3.2）式中

為待求的“等效輸入”，則得到線性的動(dòng)態(tài)方程選取為（3.3）其中為液面高度誤差，a為一嚴(yán)格正常數(shù)，則得到閉環(huán)動(dòng)態(tài)方程為：（3.4）這說明當(dāng)時(shí)，。根據(jù)式（3.2）和式（3.3），實(shí)際的輸入流量由下列非線性控制律確定：（3.5）式（3.5）中，右端第一項(xiàng)用來提供輸出流量，第二項(xiàng)則是用來根據(jù)期望的線性動(dòng)態(tài)特性式（3.4）去改變液面高度。其動(dòng)力學(xué)方程容易求出為反饋線性化與標(biāo)準(zhǔn)型若選反饋線性化與標(biāo)準(zhǔn)型類似地，如果期望高度是一個(gè)已知的時(shí)變函數(shù)，則等效輸入

可選為：

從而仍得到時(shí)的結(jié)果。反饋線性化的想法，即抵消非線性并施加一個(gè)期望的線性動(dòng)態(tài)特性，可以直接應(yīng)用于一類由所謂伴隨型或能控標(biāo)準(zhǔn)形所描述的非線性系統(tǒng)。

所謂一個(gè)系統(tǒng)是伴隨型的，是指其動(dòng)態(tài)方程可以表示為（3.6）其中u是標(biāo)量控制輸入，x是所關(guān)注的標(biāo)量輸出，而是狀態(tài)矢量，與是狀態(tài)的非線性函數(shù)。這種形式的特點(diǎn)是盡管方程中出現(xiàn)x的各階導(dǎo)數(shù)，但是不出現(xiàn)輸入u的導(dǎo)數(shù)。若用狀態(tài)空間表示，式（3.6）可寫為：反饋線性化與標(biāo)準(zhǔn)型類似地，如果期望高度是一個(gè)已知可以表示為這種能控標(biāo)準(zhǔn)形的系統(tǒng)，若使用控制輸入（假定不為零）（3.7）就能抵消掉非線性特性而獲得一個(gè)簡(jiǎn)單的輸入—輸出關(guān)系（多重積分形式）因此控制可選為其中選擇使得多項(xiàng)式的所有根均嚴(yán)格位于左半平面從而導(dǎo)致指數(shù)穩(wěn)定的動(dòng)態(tài)特性反饋線性化與標(biāo)準(zhǔn)型可以表示為這種能控標(biāo)準(zhǔn)形的系統(tǒng)，若使用控制輸入（即。對(duì)于跟蹤期望軌跡的任務(wù)，控制律可選為：（3.8）其中為跟蹤誤差，該控制律導(dǎo)致指數(shù)收斂跟蹤。若標(biāo)量x換成矢量，標(biāo)量b換成可逆方陣，亦可獲得類似的結(jié)果。在式（3.6）中曾假定動(dòng)態(tài)方程對(duì)于控制輸入是線性的（但對(duì)狀態(tài)是非線性的），然而這一方法不能推廣到把u換成一個(gè)可逆函數(shù)的情形。例如，通過閥門控制流量的系統(tǒng)，其動(dòng)態(tài)特性可能是依賴于而不是直接依賴于u，這里u是閥門開啟的直徑。這時(shí)只要定義，即可以容易地根據(jù)上述步驟首先設(shè)計(jì)出，然后利用來計(jì)算輸入u。這種方法實(shí)際上避免了在控制計(jì)算中出現(xiàn)非線性。當(dāng)非線性動(dòng)態(tài)方程不是能控標(biāo)準(zhǔn)形時(shí)，可以首先利用代數(shù)變換將方程化為能控標(biāo)準(zhǔn)形，然后再使用上述的反饋線性化設(shè)計(jì)，或者借助于原動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的部分線性化，而不要求總體的線性化。

反饋線性化與標(biāo)準(zhǔn)型即。對(duì)于跟蹤期望軌跡考慮單輸入非線性系統(tǒng)中控制輸入的設(shè)計(jì)問題。輸入-狀態(tài)線性化方法通過兩步來解決這個(gè)問題。首先找出一個(gè)狀態(tài)變換與一個(gè)輸入變換使非線性系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程化成一個(gè)等效的線性定常系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程，并表示成熟知的形式。其次，再利用標(biāo)準(zhǔn)的線性控制方法（例如極點(diǎn)配置）來設(shè)計(jì)。以一個(gè)簡(jiǎn)單的二階系統(tǒng)為例來說明這個(gè)方法。考慮系統(tǒng)（3.9）雖然線性控制設(shè)計(jì)也能使這個(gè)系統(tǒng)在平衡點(diǎn)（0,0）附近的一個(gè)小范圍內(nèi)穩(wěn)定，然而采用什么控制器能使它在更大的范圍內(nèi)穩(wěn)定卻不是一目了然的。尤其是方程中的非線性更增加了控制上的困難，因?yàn)樗荒苤苯佑每刂戚斎雭淼窒］斎搿獱顟B(tài)線性化考慮單輸入非線性系統(tǒng)如果考慮一組新的狀態(tài)變量（3.10）則新的狀態(tài)方程為（3.11）可以看到，新的狀態(tài)方程平衡點(diǎn)依然為（0,0）。同時(shí)可以看出，下列控制律

（3.12）可用來抵消上式中的非線性。其中

是待設(shè)計(jì)的等效輸入，于是可得到線性的輸入—狀態(tài)關(guān)系為（3.13）輸入—狀態(tài)線性化如果考慮一組新的狀態(tài)變量輸入—狀態(tài)線性化輸入—輸出線性化就是要產(chǎn)生輸出與一個(gè)新輸入（2.10）所描述的系統(tǒng)，希望知道，應(yīng)有什么樣的初始條件系統(tǒng)對(duì)應(yīng)于不同的非零輸入和輸出，具有一族平衡操作點(diǎn)的情況，其線性化模能會(huì)因?yàn)橄到y(tǒng)的相對(duì)度沒有定義而無法進(jìn)行。由于連續(xù)性，這就表明（5.單變量輸入輸出反饋線性化直接方法及魯棒設(shè)計(jì)多輸入—多輸出系統(tǒng)的零動(dòng)態(tài)子系統(tǒng)，可以用類似于單輸入一單輸出的辦多輸入—多輸出系統(tǒng)線性基本方法的推廣線性系統(tǒng)的內(nèi)動(dòng)態(tài)子系統(tǒng)然而，在此區(qū)域之外，因?yàn)椴晃?單變量輸入輸出反饋線性化直接方法及魯棒設(shè)計(jì)1）可表示為如下的狀態(tài)空間表達(dá)形式：得由它產(chǎn)生的零動(dòng)態(tài)子系統(tǒng)是穩(wěn)定的。多輸入—多輸出系統(tǒng)的反饋線性化選取為物理上有意義的輸出變量表示變換成現(xiàn)在的新的狀態(tài)變量表示?？刂坡稍跁r(shí)沒有定義。為此，以為動(dòng)平衡狀態(tài)，定義誤差向量（1.因此，通過狀態(tài)變換式（3.10）和輸入變換式（3.12），就將用原來的輸入去穩(wěn)定原來的非線性動(dòng)態(tài)系統(tǒng)式（3.9）這樣一個(gè)問題轉(zhuǎn)變成了用新的輸入去穩(wěn)定新的動(dòng)態(tài)系統(tǒng)式（3.13）的問題。由于新的動(dòng)態(tài)系統(tǒng)是線性和能控的，采用熟知的線性狀態(tài)反饋控制律并適當(dāng)選擇反饋增益，就能對(duì)極點(diǎn)任意地進(jìn)行配置。例如可以選擇（3.14）而得到穩(wěn)定的閉環(huán)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)它的兩個(gè)極點(diǎn)都在-2處。輸入—狀態(tài)線性化輸入—輸出線性化就是要產(chǎn)生輸出與一個(gè)新輸入用原來的狀態(tài)和表示，與此控制律相應(yīng)的原控制輸入為

（3.15）原來的狀態(tài)由給出為（3.16）由于和

兩者均收斂于零，故原來的狀態(tài)亦收斂于零。輸入—狀態(tài)線性化采用上述控制后的閉環(huán)系統(tǒng)如右圖所示。這個(gè)控制系統(tǒng)中存在兩個(gè)環(huán)：內(nèi)環(huán)實(shí)現(xiàn)輸入-狀態(tài)關(guān)系的線性化，外環(huán)實(shí)現(xiàn)閉環(huán)動(dòng)態(tài)特性的穩(wěn)定性。用原來的狀態(tài)和表示，與此控制律相關(guān)于上述控制律，有以下幾點(diǎn)進(jìn)一步的說明：1.雖然在狀態(tài)空間中一個(gè)相當(dāng)大的區(qū)域內(nèi)上面的結(jié)論均成立，但它不是全局性的?？刂坡稍跁r(shí)沒有定義。顯然，當(dāng)初始狀態(tài)位于這些奇點(diǎn)處時(shí)，控制器不能使系統(tǒng)達(dá)到平衡點(diǎn)。2.輸入—狀態(tài)線性化是通過狀態(tài)變換與輸入變換相結(jié)合而實(shí)現(xiàn)的，而在兩種變換中都用到了狀態(tài)反饋。因此它是通過反饋來進(jìn)行線性化，簡(jiǎn)稱為反饋線性化。這一點(diǎn)與基于線性控制的小范圍雅可比線性化有著本質(zhì)的區(qū)別。3.為了實(shí)現(xiàn)這個(gè)控制律，需要用到新的狀態(tài)變量（,）。若它們?cè)谖锢砩蠜]有意義，或不能直接測(cè)量，則必須測(cè)量原來的狀態(tài)并用式（3.10）來計(jì)算新的狀態(tài)變量。

輸入—狀態(tài)線性化關(guān)于上述控制律，有以下幾點(diǎn)進(jìn)一步的說明：輸入—狀4.一般說來，控制器設(shè)計(jì)和的計(jì)算都須用到系統(tǒng)模型。如果模型存在不確定性，即參數(shù)有不確定性，則從式（3.10）和式（3.12）可見，這種不確定性對(duì)于計(jì)算新狀態(tài)變量和計(jì)算控制輸入都會(huì)引起誤差。5.利用這種方法也能考慮跟蹤控制的問題，但是這時(shí)應(yīng)將期望的運(yùn)動(dòng)用新的狀態(tài)矢量來表示，還可能需要進(jìn)行復(fù)雜的計(jì)算，將期望運(yùn)動(dòng)的特性指標(biāo)由原來的物理上有意義的輸出變量表示變換成現(xiàn)在的新的狀態(tài)變量表示。6.上述設(shè)計(jì)的成功使人們對(duì)將輸入—狀態(tài)線性化的思想推廣到一般的非線性系統(tǒng)感到興趣。在考慮這種推廣的時(shí)候，將產(chǎn)生以下兩個(gè)問題：（1）哪些非線性系統(tǒng)能夠變換成線性系統(tǒng)？（2）如果能夠進(jìn)行這種變換，如何找到這個(gè)變換？

輸入—狀態(tài)線性化4.一般說來，控制器設(shè)計(jì)和的計(jì)算都須用到系統(tǒng)模型。如果考慮下列系統(tǒng)的跟蹤控制問題（3.17）假定設(shè)計(jì)的目標(biāo)是使輸出跟蹤期望的軌跡，同時(shí)保持所有狀態(tài)有界，其中及其足夠高階的時(shí)間導(dǎo)數(shù)均假定已知且有界。使用這個(gè)模型的明顯困難在于輸出只是通過狀態(tài)及非線性狀態(tài)方程式（3.17）間接地與輸入發(fā)生聯(lián)系，所以不易看出應(yīng)如何設(shè)計(jì)輸入來控制輸出的跟蹤性能。假如能夠找到系統(tǒng)輸出與控制輸入之間的一個(gè)直接而簡(jiǎn)單的關(guān)系，則跟蹤控制設(shè)計(jì)的困難就會(huì)大大降低。事實(shí)上，由此想法構(gòu)成了非線性系統(tǒng)控制設(shè)計(jì)中的所謂輸入—輸出線性化方法的基礎(chǔ)。用一個(gè)例子來說明這一方法。輸入—輸出線性化考慮下列系統(tǒng)的跟蹤控制問題輸入—輸出線性化考慮三階系統(tǒng)

（3.18）為了得到輸出與輸入之間的直接關(guān)系，將輸出微分由于仍然與

沒有直接聯(lián)系，對(duì)上式再微分一次，得到（3.19）其中是狀態(tài)的函數(shù)，定義為（3.20）輸入—輸出線性化考慮三階系統(tǒng)輸入—輸出線性化式（3.19）代表與之間的一個(gè)顯式關(guān)系。如果選擇輸入為下列形式（3.21）其中為待定的新輸入，則式（3.19）中的非線性便被抵消了，從而得到一個(gè)輸出與新輸入之間的簡(jiǎn)單的二重積分關(guān)系利用線性控制方法很容易對(duì)這個(gè)二重積分關(guān)系設(shè)計(jì)跟蹤控制器。例如，定義跟蹤誤碼差為，選取新的輸入為（3.22）其中，為正常數(shù)，則閉環(huán)系統(tǒng)的跟蹤誤差滿足（3.23）它代表一個(gè)指數(shù)穩(wěn)定的誤差動(dòng)態(tài)特性。因此，如果開始時(shí)，則，，即獲得了理想跟蹤；否則指數(shù)地收斂于零。輸入—輸出線性化式（3.19）代表與之間的一個(gè)顯式關(guān)系。如果選擇這里需要注意兩點(diǎn)：（1）除了奇異點(diǎn)處之外，控制律處處有定義。（2）為了實(shí)現(xiàn)這一控制律，要求全部狀態(tài)都能測(cè)量，因?yàn)橛?jì)算導(dǎo)數(shù)和輸入變換式（3.21）均要求的數(shù)值。上面這種首先產(chǎn)生一個(gè)線性的輸入—輸出關(guān)系，然后再利用線性控制方法來構(gòu)造控制器的設(shè)計(jì)策略稱為輸入-輸出線性化方法，它適用于許多系統(tǒng)，如果需要將系統(tǒng)的輸出微分次才能得到一個(gè)輸出與輸入之間的顯式關(guān)系，則稱該系統(tǒng)的相對(duì)度為。因此，上述例子中的系統(tǒng)相對(duì)度為2。這個(gè)術(shù)語同線性系統(tǒng)中所用的相對(duì)度的概念（極點(diǎn)超過零點(diǎn)的數(shù)目）是一致的?？梢試?yán)格地證明，任何階能控系統(tǒng)，對(duì)于任一輸出，最多只需要微分次就一定能使控制輸入在表達(dá)式中出現(xiàn)，亦即。如果對(duì)微分永遠(yuǎn)不出現(xiàn)控制輸入，則這個(gè)系統(tǒng)就是不可控的。輸入—輸出線性化這里需要注意兩點(diǎn)：輸入—輸出線性化值得注意的是，式（3.23）僅說明了閉環(huán)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的一部分，因?yàn)樗挥卸A，而整個(gè)系統(tǒng)是三階的。因此，系統(tǒng)中有一部分（由一個(gè)狀態(tài)分量描述）經(jīng)由輸入—輸出線性化變成了“不能觀”的子系統(tǒng)。這一部分子系統(tǒng)稱為內(nèi)動(dòng)態(tài)子系統(tǒng)。若此內(nèi)動(dòng)態(tài)子系統(tǒng)穩(wěn)定（這里穩(wěn)定的意思實(shí)際上是指在跟蹤過程中狀態(tài)維持有界，即在BIBO意義上的穩(wěn)定性），跟蹤控制設(shè)計(jì)的問題就真正地解決了。否則，上面的跟蹤控制器事實(shí)上沒有意義，因?yàn)閮?nèi)動(dòng)態(tài)子系統(tǒng)的不穩(wěn)定性可能會(huì)產(chǎn)生一些不希望出現(xiàn)的現(xiàn)象。因此，上面這種基于降階模型式（3.19）的控制器設(shè)計(jì)，其適用性依內(nèi)動(dòng)態(tài)子系統(tǒng)的穩(wěn)定性而定。最后還要指出，輸入—輸出線性化方法雖然是在研究輸出跟蹤問題時(shí)提出來的，但它同樣可應(yīng)用于穩(wěn)定問題。此外，關(guān)于用輸入—輸出線性化來進(jìn)行穩(wěn)定設(shè)計(jì)，還有必要作兩點(diǎn)說明。

輸入—輸出線性化值得注意的是，式（3.23）僅說明了閉環(huán)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)首先在穩(wěn)定問題中，不一定要選擇具有明顯的物理意義（在跟蹤設(shè)計(jì)中，輸出的選擇是由具體任務(wù)確定的）。的任意函數(shù)均可為了設(shè)計(jì)的目的而用來作為人為的輸出，從而產(chǎn)生一個(gè)以穩(wěn)定設(shè)計(jì)為目的的線性輸入—輸出關(guān)系。其次，不同的輸出函數(shù)選擇將產(chǎn)生不同的內(nèi)動(dòng)態(tài)子系統(tǒng)。有可能一種輸出選擇產(chǎn)生一個(gè)穩(wěn)定的內(nèi)動(dòng)態(tài)子系統(tǒng)（或者不存在內(nèi)動(dòng)態(tài)子系統(tǒng)），而另一種輸出選擇卻產(chǎn)生不穩(wěn)定的內(nèi)動(dòng)態(tài)子系統(tǒng)。因此，只要可能，就應(yīng)該選擇使相應(yīng)的內(nèi)動(dòng)態(tài)子系統(tǒng)穩(wěn)定的那種輸出函數(shù)。特殊情況下，當(dāng)系統(tǒng)的相對(duì)度等于其階數(shù)時(shí)，即當(dāng)輸出必須微分次（為系統(tǒng)階數(shù)）時(shí)，變量可作為系統(tǒng)的一組新狀態(tài)變量，這時(shí)不會(huì)產(chǎn)生與該輸入—輸出線性化有關(guān)的內(nèi)動(dòng)態(tài)子系統(tǒng)。故在這種情況下，輸入—輸出線性化實(shí)際上變成了輸入—狀態(tài)線性化，從而對(duì)于所指定的輸出很容易實(shí)際狀態(tài)調(diào)節(jié)和輸出跟蹤。輸入—輸出線性化首先在穩(wěn)定問題中，不一定要選擇非線性系統(tǒng)的反饋線性化是近年來引起人們極大興趣的一種非線性控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)方法。由于上式右端第一項(xiàng)負(fù)定，顯然若式（1.系統(tǒng)均可通過狀態(tài)變換而與伴隨型式（5.態(tài)保持在曲面上，根據(jù)式（5.有二階，而整個(gè)系統(tǒng)是三階的。其中，。非零輸出的情況，由隱函數(shù)定理可知，在的鄰域，系統(tǒng)有一族平衡點(diǎn)，該務(wù)，則這種方法在實(shí)踐上便意義不大了，可以通過改變對(duì)象本身來使零動(dòng)態(tài)子便產(chǎn)生了簡(jiǎn)單的線性關(guān)系線性輸入—輸出關(guān)系的生成因此，通過狀態(tài)變換式（3.（3.（1.其中顯含，故采用控制律其它狀態(tài)可由得出10），我們很自然地想要知道，在式（5.1令為一個(gè)平滑的標(biāo)量函數(shù)，為上的一而得到穩(wěn)定的閉環(huán)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)同時(shí)可以看出，下列控制律一般情況下，直接確定內(nèi)動(dòng)態(tài)子系統(tǒng)的穩(wěn)定性是非常困難的，因?yàn)樗话闶欠蔷€性、非自治的，而且與外表的動(dòng)態(tài)子系統(tǒng)之間有耦合。雖然對(duì)某些系統(tǒng)而言，也許可以利用李雅普諾夫或類似李雅普諾夫的分析方法，然而尋找李雅普諾夫函數(shù)并非易事，因而限制了這種方法的普遍應(yīng)用，所以很自然地想到需要尋找更為簡(jiǎn)單的方法來確定內(nèi)動(dòng)態(tài)子系統(tǒng)的穩(wěn)定性。為此，從熟知的線性系統(tǒng)入手，來考察內(nèi)動(dòng)態(tài)子系統(tǒng)這個(gè)概念。例3.2兩個(gè)線性系統(tǒng)的內(nèi)動(dòng)態(tài)子系統(tǒng)考慮下列簡(jiǎn)單的能控、能觀線性系統(tǒng)（3.24）線性系統(tǒng)的內(nèi)動(dòng)態(tài)子系統(tǒng)非線性系統(tǒng)的反饋線性化是近年來引起人們極大興趣的一種非線性控要求

跟蹤期望輸出，將輸出微分一次就得到第一個(gè)狀態(tài)方程其中顯含，故采用控制律（3.25）可產(chǎn)生跟蹤誤差方程（其中）及內(nèi)動(dòng)態(tài)子系統(tǒng)從這些方程可以看出，當(dāng)趨近（同時(shí)趨近）時(shí)保持有界，從而也有界。因此式（3.25）是系統(tǒng)式（3.24）的一個(gè)滿意的跟蹤控制器。線性系統(tǒng)的內(nèi)動(dòng)態(tài)子系統(tǒng)要求跟蹤期望輸出，將再來看一個(gè)稍微不同的系統(tǒng)：（3.26）采用與前面一樣的控制器可產(chǎn)生同樣的跟蹤誤差動(dòng)態(tài)系統(tǒng)，然而卻產(chǎn)生不同的內(nèi)動(dòng)態(tài)子系統(tǒng)由上式可見，當(dāng)時(shí)，以及相應(yīng)地都趨向無窮大。因此，式（3.25）對(duì)系統(tǒng)式（3.26）便不是一個(gè)合適的跟蹤器。為了搞清楚這兩個(gè)系統(tǒng)之間的本質(zhì)差別，可以來看看它們的傳遞函數(shù)。線性系統(tǒng)的內(nèi)動(dòng)態(tài)子系統(tǒng)再來看一個(gè)稍微不同的系統(tǒng)：線性系統(tǒng)的內(nèi)動(dòng)態(tài)子系統(tǒng)系統(tǒng)式（3.24）的傳遞函數(shù)為而系統(tǒng)式（3.26）的傳遞函數(shù)為可以看到，這兩個(gè)系統(tǒng)的極點(diǎn)相同而零點(diǎn)不同。具體地說，設(shè)計(jì)成功的系統(tǒng)式（3.24）具有一個(gè)左半平面的零點(diǎn)-1，而設(shè)計(jì)失敗的系統(tǒng)式（3.26）卻包含一個(gè)右半平面零點(diǎn)1?？梢宰C明，上述結(jié)果（即如果對(duì)象的零點(diǎn)在左半平面，也就是說對(duì)象是最小相位的，則內(nèi)動(dòng)態(tài)子系統(tǒng)穩(wěn)定）對(duì)于所有的線性系統(tǒng)都是正確的。

線性系統(tǒng)的內(nèi)動(dòng)態(tài)子系統(tǒng)系統(tǒng)式（3.24）的傳遞函數(shù)為線性系統(tǒng)的內(nèi)動(dòng)態(tài)子既然在線性系統(tǒng)中內(nèi)動(dòng)態(tài)子系統(tǒng)的穩(wěn)定性簡(jiǎn)單地由零點(diǎn)的位置確定，因此人們自然會(huì)有興趣想知道這個(gè)關(guān)系能否推廣到非線性系統(tǒng)。為此首先要將零點(diǎn)的概念推廣到非線性系統(tǒng)，然后再確定內(nèi)動(dòng)態(tài)子系統(tǒng)的穩(wěn)定性與這種推廣了的零點(diǎn)概念之間的關(guān)系。將零點(diǎn)的概念推廣到非線性系統(tǒng)并不是一個(gè)十分簡(jiǎn)單的問題。線性系統(tǒng)是在傳遞函數(shù)的基礎(chǔ)上定義零點(diǎn)的，但傳遞函數(shù)不能推廣到非線性系統(tǒng)。此外，零點(diǎn)是線性對(duì)象的一個(gè)內(nèi)在特性，而對(duì)非線性系統(tǒng)來說，內(nèi)動(dòng)態(tài)子系統(tǒng)的穩(wěn)定性可能與特定的輸入有關(guān)。克服這一困難的一個(gè)途徑是對(duì)非線性系統(tǒng)定義一個(gè)所謂的零動(dòng)態(tài)子系統(tǒng)。零動(dòng)態(tài)子系統(tǒng)定義為當(dāng)系統(tǒng)的輸出被輸入強(qiáng)制為零時(shí)它的內(nèi)動(dòng)態(tài)子系統(tǒng)。零動(dòng)態(tài)子系統(tǒng)既然在線性系統(tǒng)中內(nèi)動(dòng)態(tài)子系統(tǒng)的穩(wěn)定性簡(jiǎn)單地由零點(diǎn)對(duì)于線性系統(tǒng)，零動(dòng)態(tài)子系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性意味著內(nèi)動(dòng)態(tài)子系統(tǒng)的全局穩(wěn)定性；然而，對(duì)于非線性系統(tǒng)卻沒有如此明顯的關(guān)系。對(duì)于穩(wěn)定問題，可以證明，零動(dòng)態(tài)子系統(tǒng)的局部漸近穩(wěn)定性足可保證內(nèi)動(dòng)態(tài)子系統(tǒng)的局部漸近穩(wěn)定性，這個(gè)結(jié)論也可以推廣到跟蹤問題。然而，與線性系統(tǒng)的情形不同，對(duì)于非線性系統(tǒng)的內(nèi)動(dòng)態(tài)子系統(tǒng)不能得到關(guān)于全局穩(wěn)定性的結(jié)論，甚至連大范圍穩(wěn)定性的結(jié)論也不能得到。換言之，即使零動(dòng)態(tài)子系統(tǒng)是全局指數(shù)穩(wěn)定的，也只能保證內(nèi)動(dòng)態(tài)子系統(tǒng)的局部穩(wěn)定性。關(guān)于非線性系統(tǒng)的零動(dòng)態(tài)子系統(tǒng)，可作如下兩點(diǎn)說明。首先，零動(dòng)態(tài)子系統(tǒng)的特性是一個(gè)非線性系統(tǒng)的內(nèi)在特征，它與控制律及期望軌跡的選擇無關(guān)。其次，考察零動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的穩(wěn)定性比考察內(nèi)動(dòng)態(tài)子系統(tǒng)的穩(wěn)定性要容易得多，因?yàn)榱銊?dòng)態(tài)子系統(tǒng)僅涉及內(nèi)部狀態(tài)。零動(dòng)態(tài)子系統(tǒng)對(duì)于線性系統(tǒng)，零動(dòng)態(tài)子系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性意味著內(nèi)動(dòng)歸結(jié)起來，基于輸入—輸出線性化的控制設(shè)計(jì)可循以下三步來進(jìn)行：（1）微分輸出直至出現(xiàn)輸入；（2）選取來抵消非線性并保證跟蹤收斂；（3）研究?jī)?nèi)動(dòng)態(tài)子系統(tǒng)的穩(wěn)定性。若與輸入—輸出線性化有關(guān)的相對(duì)度等于系統(tǒng)的階數(shù)，則非線性系統(tǒng)可完全地線性化，因而這一過程確實(shí)能得到一個(gè)滿意的控制器（假定模型是精確的）。若相對(duì)度小于系統(tǒng)的階數(shù)，則非線性系統(tǒng)只是部分地線性化，由此得到控制器是否真能使用取決于內(nèi)動(dòng)態(tài)子系統(tǒng)的穩(wěn)定性。對(duì)內(nèi)動(dòng)態(tài)子系統(tǒng)穩(wěn)定性的研究可以通過轉(zhuǎn)而研究零動(dòng)態(tài)子系統(tǒng)的穩(wěn)定性而局部地簡(jiǎn)化。若零動(dòng)態(tài)子系統(tǒng)不穩(wěn)定，則必須尋找新的控制策略，這時(shí)輸入—輸出線性化所提供的簡(jiǎn)化僅在于變換后的動(dòng)態(tài)方程是部分線性化的。零動(dòng)態(tài)子系統(tǒng)歸結(jié)起來，基于輸入—輸出線性化的控制設(shè)計(jì)可循以下在描述這些數(shù)學(xué)工具的時(shí)候，將把矢量函數(shù)稱為上的一個(gè)矢量場(chǎng)，矢量場(chǎng)的平滑性是指函數(shù)具有要求的任意階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，以下將只關(guān)心平滑的矢量場(chǎng)。給定一個(gè)狀態(tài)的平滑的標(biāo)量函數(shù)，的梯度記為它是以為元素的一個(gè)行矢量。類似地，給定一個(gè)矢量場(chǎng)，其雅可比矩陣記為，它是一個(gè)以為元素的的矩陣。

數(shù)學(xué)知識(shí)在描述這些數(shù)學(xué)工具的時(shí)候，將把矢量函數(shù)定義4.1令為一個(gè)平滑的標(biāo)量函數(shù)，為上的一個(gè)平滑的矢量場(chǎng)，則對(duì)的李導(dǎo)數(shù)是一個(gè)定義為的標(biāo)量函數(shù)。李導(dǎo)數(shù)其實(shí)就是沿矢量方向?qū)?shù)。多重李導(dǎo)數(shù)可以遞歸地定義為類似地，如果是另一個(gè)矢量場(chǎng)，則標(biāo)量函數(shù)為考慮下列單輸出動(dòng)態(tài)系統(tǒng)，不難看出李導(dǎo)數(shù)與動(dòng)態(tài)系統(tǒng)之間的聯(lián)系

李導(dǎo)數(shù)和李括號(hào)定義4.1令為輸出的時(shí)間導(dǎo)數(shù)為類似地，如果

是一個(gè)備選的李雅普諾夫函數(shù)，則它的時(shí)間導(dǎo)數(shù)可以寫為?，F(xiàn)在再看矢量場(chǎng)的另一個(gè)重要數(shù)學(xué)算符——李括號(hào)。定義4.2令與為上的兩個(gè)矢量場(chǎng)，與的李括號(hào)是第三個(gè)矢量場(chǎng)，定義為。李括號(hào)通常寫為。多重李括號(hào)可以遞歸地定義為李導(dǎo)數(shù)和李括號(hào)輸出的時(shí)間導(dǎo)數(shù)為李導(dǎo)數(shù)和李括號(hào)引理4.1李括號(hào)具有下列性質(zhì)（1）雙線性：其中、、、、、都是平滑的矢量場(chǎng)，而和為常標(biāo)量。（2）斜交換性（或反對(duì)稱性）：

（3）雅可比（Jacobi）恒等式：其中是的平滑標(biāo)量函數(shù)。李導(dǎo)數(shù)和李括號(hào)引理4.1李括號(hào)具有下列性質(zhì)李導(dǎo)數(shù)和李括號(hào)可以遞歸地應(yīng)用雅可比恒等式來獲得一些有用的專門性恒等式。使用它兩次得到對(duì)于高階的李括號(hào)亦可以獲得類似的一些恒等式。李導(dǎo)數(shù)和李括號(hào)可以遞歸地應(yīng)用雅可比恒等式來獲得一些有用的專門性可以微分同胚的概念可看成是熟知的坐標(biāo)變換概念的推廣，其定義如下：定義4.3定義在區(qū)域上的函數(shù)：如果它是平滑的，它的逆存在并且平滑，則稱之為微分同胚。如果區(qū)域是整個(gè)空間，則稱為全局的微分同胚。全局的微分同胚很少見，因此常常要尋找局部的微分同胚，即僅在一個(gè)給定點(diǎn)的鄰域內(nèi)定義的變換。

引理4.2令為在中的區(qū)域內(nèi)定義的一個(gè)平滑函數(shù)，如果雅可比矩陣在內(nèi)一點(diǎn)非奇異，則在的一個(gè)子區(qū)域內(nèi)為一個(gè)局部的微分同胚。微分同胚可用來將一個(gè)非線性系統(tǒng)變換成另一個(gè)用新的狀態(tài)表示的非線性系統(tǒng)，它類似于在線性系統(tǒng)分析中通常所做的那樣。微分同胚與狀態(tài)變換可以微分同胚的概念可看成是熟知的坐標(biāo)變換概念的推考慮下列方程所描述的動(dòng)態(tài)系統(tǒng)：定義新的狀態(tài)為求的微分得由此不難得到新的狀態(tài)方程其中用到了，而函數(shù)，，的定義是顯然的。微分同胚與狀態(tài)變換考慮下列方程所描述的動(dòng)態(tài)系統(tǒng)：微分同胚與狀態(tài)變換例4.1一個(gè)非全局性微分同胚考慮非線性矢量函數(shù)（4.1）它對(duì)所有的和都有定義，其雅可比矩陣為它在x=(0,0)的秩為2，根據(jù)引理4.2函數(shù)式(4.1)在原點(diǎn)周圍定義了一個(gè)局部的微分同胚。事實(shí)上，這個(gè)微分同胚成立的區(qū)域?yàn)橐驗(yàn)樵诖藚^(qū)域內(nèi)存在且關(guān)于平滑。然而，在此區(qū)域之外，因?yàn)椴晃ㄒ?，它不能定義一個(gè)微分同胚。微分同胚與狀態(tài)變換例4.1一個(gè)非全局性微分同胚微分同胚與狀態(tài)變考慮一階偏微分方程組（4.2）

其中與，為的已知標(biāo)量函數(shù)，是一個(gè)未知函數(shù)。很明顯，兩個(gè)矢量和唯一地定義了這個(gè)偏微分方程組，如果它的解存在，則稱這組矢量場(chǎng)為完全可積的?，F(xiàn)在的問題是要確定這些方程在什么條件下可解，這個(gè)問題并不是事先就能一眼看出的，弗羅貝尼斯定理提供了一個(gè)比較簡(jiǎn)單的條件。弗羅貝尼斯定理考慮一階偏微分方程