風險決策模型層次分析法課件

§7.3層次分析法建模層次分析法是對一些較為復雜、較為模糊的問題作出決策的簡易方法，它特別適用于那些難于完全定量分析的問題。社會的發(fā)展導致了社會結構、經(jīng)濟體系及人們之間相互關系的日益復雜，人們希望能在錯綜復雜的情況下，利用各種信息，通過理智的、科學的分析，作出最佳決策。例如，生產(chǎn)者面對消費者的各種喜好或競爭對手的策略要作出最佳決策；消費者面對琳瑯滿目的商品要根據(jù)它們的性能質量的好壞、價格的高低、外形的美觀程度等選擇自己最為滿意的商品；畢業(yè)生要根據(jù)自己的專業(yè)特長、社會的需求情況、福利待遇的好壞等挑選最為合意的工作；科研單位要根據(jù)項目的科學意義和實用價值的大小、項目的可行性、項目的資助情況及周期長短等選擇最合適的研究課題……。當我們面對這類決策問題時，容易發(fā)現(xiàn)，影響我們作決策的因素很多，其中某些因素存在定量指標，可以給以度量，但也有些因素不存在定量指標，只能定性地比較它們的強弱。在處理這類比較復雜而又比較模糊的問題時，如何盡可能克服因主觀臆斷而造成的片面性，較系統(tǒng)、全面地比較分析并作出較為明智的決策呢？§7.3層次分析法建模層次分析法是對一些較為復雜、較為模1Saaty.T.L等人在70年代提出了一種以定性與定量相結合，系統(tǒng)化、層次化分析問題的方法，稱為層次分析法（AnalyticHiearchyProcess，簡稱AHP）。層次分析法將人們的思維過程層次化，逐層比較其間的相關因素并逐層檢驗比較結果是否合理，從而為分析決策提供了較具說服力的定量依據(jù)，層次分析法的提出不僅為處理這類問題提供了一種實用的決策方法，而且也提供了一個在處理機理比較模糊的問題時，如何通過科學分析，在系統(tǒng)全面分析機理及因果關系的基礎上建立數(shù)學模型的范例。

一、層次分析的基本步驟層次分析過程可分為四個基本步驟：（1）建立層次結構模型；（2）構造出各層次中的所有判斷矩陣；（3）層次單排序及一致性檢驗；（4）層次總排序及一致性檢驗。下面通過一個簡單的實例來說明各步驟中所做的工作。Saaty.T.L等人在70年代提出了一種以定性與定量相結合2例7.13某工廠有一筆企業(yè)留成利潤要由廠領導決定如何使用?？晒┻x擇的方案有：給職工發(fā)獎金、擴建企業(yè)的福利設施（改善企業(yè)環(huán)境、改善食堂等）和引進新技術新設備。工廠領導希望知道按怎樣的比例來使用這筆資金較為合理。步1建立層次結構模型在用層次分析法研究問題時，首先要根據(jù)問題的因果關系并將這些關系分解成若干個層次。較簡單的問題通?？煞纸鉃槟繕藢樱ㄗ罡邔樱?、準則層（中間層）和方案措施層（最低層）。與其他決策問題一樣，研究分析者不一定是決策者，不應自作主張地作出決策。對于本例，如果分析者自行決定分配比例，廠領導必定會詢問為什么要按此比例分配，符合決策者要求的決策來自于對決策者意圖的真實了解。經(jīng)過雙方溝通，分析者了解到如下信息：決策者的目的是合理利用企業(yè)的留成利潤，而利潤的利用是否合理，決策者的主要標準為：（1）是否有利于調動企業(yè)職工的積極性，（2）是否有利于提高企業(yè)的生產(chǎn)能力，（3）是否有利于改善職工的工作、生活環(huán)境。分析者可以提出自己的看法，但標準的最終確定將由決策者決定。例7.13某工廠有一筆企業(yè)留成利潤要由廠領導決定如何使用3根據(jù)決策者的意圖，可以建立起本問題的層次結構模型如圖8.7所示。合理利用企業(yè)利潤調動職工積極性C1提高企業(yè)技術水平C2改善職工工作生活條件C3發(fā)獎金P1擴建福利事業(yè)P2引進新設備P3目標層O準則層C措施層P圖中的連線反映了因素間存在的關聯(lián)關系，哪些因素存在關聯(lián)關系也應由決策者決定。根據(jù)決策者的意圖，可以建立起本問題的層次結構模型如圖8.7所4對于因果關系較為復雜的問題也可以引進更多的層次。例如，在選購電冰箱時，如以質量、外觀、價格、品牌及信譽等為準則，也許在衡量質量優(yōu)劣時又可分出若干個不同的子準則，如制冷性能、結霜情況、耗電量大小等等。建立層次結構模型是進行層次分析的基礎，它將思維過程結構化、層次化，為進一步分析研究創(chuàng)造了條件。步2構造判斷矩陣層次結構反映了因素之間的關系，例如圖7.7中目標層利潤利用是否合理可由準則層中的各準則反映出來。但準則層中的各準則在目標衡量中所占的比重并不一定相同，在決策者的心目中，它們各占有一定的比例。對于因果關系較為復雜的問題也可以引進更多的層次。例如，在選購5在確定影響某因素的諸因子在該因素中所占的比重時，遇到的主要困難是這些比重常常不易定量化。雖然你必須讓決策者根據(jù)經(jīng)驗提供這些數(shù)據(jù)，但假如你提出“調動職工積極性在判斷利潤利用是否合理中占百分之幾的比例”之類的問題，不僅會讓人感到難以精確回答，而且還會使人感到你書生氣十足，不能勝任這一工作。此外，當影響某因素的因子較多時，直接考慮各因子對該因素有多大程度的影響時，常常會因考慮不周全、顧此失彼而使決策者提出與他實際認為的重要性程度不相一致的數(shù)據(jù)，甚至有可能提出一組隱含矛盾的數(shù)據(jù)。為看清這一點，可作如下設想：將一塊重為1千克的石塊砸成n小塊，你可以精確稱出它們的質量，設為w1,…,wn。現(xiàn)在，請人估計這n小塊的重量占總重量的比例（不能讓他知道各小石塊的重量），此人不僅很難給出精確的比值，而且完全可能因顧此失彼而提供彼此矛盾的數(shù)據(jù)。

在確定影響某因素的諸因子在該因素中所占的比重時，遇到的主要困6設現(xiàn)在要比較n個因子X={x1,…,xn}對某因素Z的影響大小，怎樣比較才能提供可信的數(shù)據(jù)呢？Saaty等人建議可以采取對因子進行兩兩比較建立成對比較矩陣的辦法。即每次取兩個因子xi和xj，以aij表示xi和xj對Z的影響大小之比，全部比較結果用矩陣A=(aij)n×n表示，稱A為Z－X之間的成對比較判斷矩陣（簡稱判斷矩陣）。容易看出，若xi和xj對Z的影響之比為aij，則xj和xi對Z的影響之比應為。定義7.4若矩陣A=(aij)n×n滿足（i）aij>0，（ii）（i,j=1,2,…,n），則稱之為正互反矩陣（易見aii=1,i=1,…,n）。關于如何確定aij的值，Saaty等建議引用數(shù)字1~9及其倒數(shù)作為標度。他們認為，人們在成對比較差別時，用5種判斷級較為合適。即使用相等、較強、強、很強、絕對地強表示差別程度，aij相應地取1,3,5,7和9。在成對事物的差別介于兩者之間難以定奪時，aij可分別取值2、4、6、8。設現(xiàn)在要比較n個因子X={x1,…,xn}對某因素Z的影7從心理學觀點來看，分級太多會超越人們的判斷能力，既增加了作判斷的難度，又容易因此而提供虛假數(shù)據(jù)。Saaty等人還用實驗方法比較了在各種不同標度下人們判斷結果的正確性，實驗結果也表明，采用1~9標度最為合適。如果在構造成對比較判斷矩陣時，確實感到僅用1~9及其倒數(shù)還不夠理想時，可以根據(jù)情況再采用因子分解聚類的方法，先比較類，再比較每一類中的元素。步3層次單排序及一致性檢驗上述構造成對比較判斷矩陣的辦法雖能減少其他因素的干擾影響，較客觀地反映出一對因子影響力的差別。但綜合全部比較結果時，其中難免包含一定程度的非一致性。如果比較結果是前后完全一致的，則矩陣A的元素還應當滿足：

i、j、k=1,2,…,n

從心理學觀點來看，分級太多會超越人們的判斷能力，既增加了作判8定義7.5滿足（7.5）關系式的正互反矩陣稱為一致矩陣。如前所述，如果判斷者前后完全一致，則構造出的成對比較判斷矩陣應當是一個一致矩陣。但構造成對比較判斷矩陣A共計要作次比較（設有n個因素要兩兩比較），保證A是正互反矩陣是較容易辦到的，但要求所有比較結果嚴格滿足一致性，在n較大時幾乎可以說是無法辦到的，其中多少帶有一定程度的非一致性。更何況比較時采用了1~9標度，已經(jīng)接受了一定程度的誤差，就不應再要求最終判斷矩陣的嚴格一致性。如何檢驗構造出來的（正互反）判斷矩陣A是否嚴重地非一致，以便確定是否接受A，并用它作為進一步分析研究的工具？Saaty等人在研究正互反矩陣和一致矩陣性質的基礎上，找到了解決這一困難的辦法，給出了確定矩陣A中的非一致性是否可以允忍的檢驗方法。定義7.5滿足（7.5）關系式的正互反矩陣稱為一致矩陣。9定理7.7正互反矩陣A的最大特征根λmax必為正實數(shù)，其對應特征向量的所有分量均為正實數(shù)。A的其余特征根的模均嚴格小于λmax。（證明從略）現(xiàn)在來考察一致矩陣A的性質，回復到將單位重量的大石塊剖分成重量為

1,…,n的n塊小石塊的例子，如果判斷者的判斷結果完全一致，則構造出來的一致矩陣為容易看出，一致矩陣A具有以下性質：定理7.7正互反矩陣A的最大特征根λmax必為正實數(shù)，其10定理7.8若A為一致矩陣，則（1）A必為正互反矩陣。（2）A的轉置矩陣AT也是一致矩陣。（3）A的任意兩行成比例，比例因子（即wi/wj）大于零，從而rank（A）=1（同樣，A的任意兩列也成比例）。（4）A的最大特征根λmax=n，其中n為矩陣A的階。A的其余特征根均為零。（5）若A的最大特征根λmax對應的特征向量為W=（w1,…,wn）I，則aij=wi/wj，i,j=1,2,…,n。（注：（1）、（2）可由一致矩陣定義得出，（3）—（5）均容易由線性代數(shù)知識得到，證明從略）。定理7.8若A為一致矩陣，則（1）A必為正互反矩陣。（211定理7.9

n階正互反矩陣A為一致矩陣當且僅當其最大特征根λmax=n，且當正互反矩陣A非一致時，必有λmax>n。證明：設正互反矩陣A的最大特征根為λmax，對應的特征向量為W=（w1,…,wn）T。

由定理，λmax>0且wi>0，i=1，…，n。又由特征根和特征向量的性質知，AW=λmax

W,

故

,i=1,…,n(7.7)（8.7）式兩邊同除wi且關于i從1到n相加，得到即（8.8）式的括號內(nèi)共有項。

（7.8）

定理7.9n階正互反矩陣A為一致矩陣當且僅當其最大特征根12現(xiàn)證明必要性，由一致矩陣性質（5），有，故由（7.8）式，得λmax=n。再證明充分性。由于(7.9)

當且僅當=1（即）時（7.9）式中的等號成立，故由（7.8）式λmax=n。因而當λmax=n時必有=1，于是aijajk=aiki,j,k=1,2,…,n成立，A為一致矩陣。當A非一致矩陣時，（7.9）式中的等號不能對一切i，j成立，從而必有λmax>n。

現(xiàn)證明必要性，由一致矩陣性質（5），有13根據(jù)定理7.9，我們可以由λmax是否等于n來檢驗判斷矩陣A是否為一致矩陣。由于特征根連續(xù)地依賴于aij，故λmax比n大得越多，A的非一致性程度也就越為嚴重，λmax對應的標準化特征向量也就越不能真實地反映出X={x1,…,xn}在對因素Z的影響中所占的比重。因此，對決策者提供的判斷矩陣有必要作一次一致性檢驗，以決定是否能接受它。

為確定多大程度的非一致性是可以允忍的，Saaty等人采用了如下辦法：（1）求出，稱CI為A的一致性指標。容易看出，當且僅當A為一致矩陣時，CI=0。CI的值越大，A的非一致性越嚴重。利用線性代數(shù)知識可以證明，A的n個特征根之和等于其對角線元素之和（即n）故CI事實上是A的除λmax以外其余n－1個特征根的平均值的絕對值。若A是一致矩陣，其余n－1個特征根均為零，故CI=0；否則，CI>0，其值隨A非一致性程度的加重而連續(xù)地增大。當CI略大于零時（對應地，λmax稍大于n），A具有較為滿意的一致性；否則，A的一致性就較差。根據(jù)定理7.9，我們可以由λmax是否等于n來檢驗判斷矩陣A14（2）上面定義的CI值雖然能反映出非一致性的嚴重程度，但仍未能指明該非一致性是否應當被認為是可以允許的。事實上，我們還需要一個度量標準。為此，Saaty等人又研究了他們認為最不一致的矩陣——用從1~9及其倒數(shù)中隨機抽取的數(shù)字構造的正互反矩陣，取充分大的子樣，求得最大特征根的平均值，并定義稱RI為平均隨機一致性指標。對n=1,…,11,，Saaty給出了RI的值，如表7.10所示。表7.10N1234567891011RI000.580.901.121.241.321.411.451.491.51（2）上面定義的CI值雖然能反映出非一致性的嚴重程度，但仍未15（3）將CI與RI作比較，定義稱CR隨機一致性比率。經(jīng)大量實例比較，Saaty認為，在CR<0.10時可以認為判斷矩陣具有較為滿意的一致性，否則就應當重新調整判斷矩陣，直至具有滿意的一致性為止。綜上所述，在步3中應先求出A的最大特征根λmax及λmax對應的特征向量W=（w1,…,wn）T，進行標準化，使得。再對A作一致性檢驗：計算，查表得到對應于n的RI值，求，若CR<0.1，則一致性較為滿意，以i作為因子xi在上層因子Z中所具有的權值。否則必需重新作比較，修正A中的元素。只有在一致性較為滿意時，W的分量才可用作層次單排序的權重。（3）將CI與RI作比較，定義稱CR隨機一致性比率。經(jīng)大量實16現(xiàn)對本節(jié)例7.13（即合理利用利潤問題的例子）進行層次單排序。為求出C1、C2、C3在目標層A中所占的權值，構造O－C層的成對比較矩陣，設構造出的成對比較判斷知陣A=311153C1C2C3C1C2C30于是經(jīng)計算，A的最大特征根λmax=3.038，CI=0.019，查表得RI=0.58，故CR=0.033。因CR<0.1，接受矩陣A，求出A對應于λmax的標準化特征向量W=(0.105,0.637，0.258)T，以W的分量作為C1、C2、C3在目標O中所占的權重。現(xiàn)對本節(jié)例7.13（即合理利用利潤問題的例子）進行層次單排序17類似求措施層中的P1、P2在C1中的權值，P2、P3在C2中的權值及P1、P2在C1中的權值：

1P231P1P2P1C113λmax=2，CI=CR=0W=(0.75,0.25)T15P31P2P3P2C215λmax=2，CI=CR=0W=(0.167,0.833)T1P221P1P2P1C312λmax=2，CI=CR=0W=(0.66,0.333)T類似求措施層中的P1、P2在C1中的權值，P2、P3在C218經(jīng)層次單排序，得到圖7.8。合理利用企業(yè)利潤調動職工積極性C1提高企業(yè)技術水平C2改善職工工作生活條件C3發(fā)獎金P1擴建福利事業(yè)P2引進新設備P3目標層O準則層C措施層P0.1050.6370.2580.750.250.1670.8330.6670.3332經(jīng)層次單排序，得到圖7.8。合理利用企業(yè)利潤調動職工積極性提19設上一層次（A層）包含A1,…,Am共m個因素，它們的層次總排序權值分別為a1,…,am。又設其后的下一層次（B層）包含n個因素B1,…,Bn，它們關于Aj的層次單排序權值分別為b1j,…,bnj（當Bi與Aj無關聯(lián)系時，bij=0）?，F(xiàn)求B層中各因素關于總目標的權值，即求B層各因素的層次總排序權值b1,…,bn，計算按表7.11所示方式進行,即，i=1,…,n。表7.11bnm…bn2bn1Bn………………B2m…b22b21B2B1m…b12b11B1B層總排序權值Amam……A2a2A1a1層A層B步4

層次總排序及一致性檢驗最后，在步驟（4）中將由最高層到最低層，逐層計算各層次中的諸因素關于總目標（最高層）的相對重要性權值。設上一層次（A層）包含A1,…,Am共m個因素，它們的層次總20例如，對于前面考察的工廠合理利用留成利潤的例子，措施層層次單排序權值的計算如表7.12所示。層C層PC1C2C3層P的總排序權值0.1050.6370.258P10.7500.6670.251P20.250.1670.3330.218P300.83300.531對層次總排序也需作一致性檢驗，檢驗仍象層次總排序那樣由高層到低層逐層進行。這是因為雖然各層次均已經(jīng)過層次單排序的一致性檢驗，各成對比較判斷矩陣都已具有較為滿意的一致性。但當綜合考察時，各層次的非一致性仍有可能積累起來，引起最終分析結果較嚴重的非一致性。例如，對于前面考察的工廠合理利用留成利潤的例子，措施層層次單21設B層中與Aj相關的因素的成對比較判斷矩陣在單排序中經(jīng)一致性檢驗，求得單排序一致性指標為CI(j)，(j=1,…,m)，相應的平均隨機一致性指標為RI(j)(CI(j)、RI(j)已在層次單排序時求得)，則B層總排序隨機一致性比率為CR=

當CR<0.10時，認為層次總排序結果具有較滿意的一致性并接受該分析結果。對于表7.11中的P層總排序，由于C—P層間的三個判斷矩陣的一致性指標（即CI(j)，j=1，2，3）均為0，故P層總排序的隨機一致性比率CR=0，接受層次分析結果，將留成利潤的25.1%用于發(fā)獎金，21.8%用于擴建福利事業(yè)，余下的53.1%用于引進新技術新設備。設B層中與Aj相關的因素的成對比較判斷矩陣在單排序中經(jīng)一致性22二、最大特征根及對應特征向量的近似計算法眾所周知，求矩陣A的特征根與特征向量在n較大時是非常麻煩的，需要求解高次代數(shù)方程及高階線性方程組。由于判斷矩陣中aij的給出方法是比較粗糙的，它只是決策者主觀看法在一定精度內(nèi)的定量化反映，也就是說，建模本身存在著較大的模型誤差。因而，在計算特征根和特征向量時，沒有必要化費太多的時間和精力去求A的特征根與特征向量的精確值。事實上，在應用層次分析法決策時，這些量的計算通常采用較為簡便的近似方法。1、方根法在應用小型計算器求判斷矩陣A的最大特征根與對應特征向量時可采用方根法。其計算步驟如下：二、最大特征根及對應特征向量的近似計算法眾所周知，求矩陣A的23（1）求判斷矩陣每行元素的乘積，i=1,2,…,n（2）求Mi的n次方根

（3）對進行標準化，求特征向量各分量的近似值。（4）求A的最大特征根的近似值從（7.6）式中不難看出，當A為一致矩陣時，由A中各行乘積的n次方根組成的向量與A的特征向量成比例。因而當A的非一致性不太嚴重時，方根法求得的Wi（i=1,…,n）可近似用于層次單排序的權值。（1）求判斷矩陣每行元素的乘積，i=1,2,…,n（2）求24對前面例子中的O—C判斷陣，有每行元素相乘求，得對前面例子中的O—C判斷陣，有每行元素相乘求252、冪法計算步驟：（步1）任取一標準化向量W(0)，指定一精度要求ε>0，k=0。（步2）迭代計算，k=0,1,…。若，i=1,…,n，則取W=為A的對應于λmax的特征向量的近似，否則轉步2。（步3）將標準化，即求

其中為的第i個分量。2、冪法計算步驟：（步1）任取一標準化向量W(0)，指定一精26（步4）求λmax的近似值對前面例子中的O—C判斷矩陣，若取，=0.001，利用冪法求近似特征向量如下：（第一次迭代）

(0)=(0.511,3,1.444)T，=4.955，求得W(1)=(0.103,0.605,2.91)T（第二次迭代）

(2)=(0.321,1.993,0.802)T，=3.116，求得W(2)=(0.103,0.639,0.257)T（步4）求λmax的近似值對前面例子中的O—C判斷矩陣，（第27（第三次迭代）

(3)=(0.316,1.925,0.779)T，=3.02，求得W(3)=(0.105,0.637,0.258)T（第四次迭代）

(4)=(0.318,1.936,0.785)T，=3.04，求得W(4)=(0.105,0.637,0.258)T因，取W=W(4)。進而，可求得。3、和積法（步1）將判斷矩陣A的每一列標準化，即令,i,j=1,…,n令。（第三次迭代）（第四次迭代）因28（步2）將中元素按行相加得到向量，其分量，i=1,…,n。（步3）將標準化，得到W，即

，i=1,…,nW即為A的（對應于λmax的）近似特征向量。（步4）求最大特征根近似值。（步2）將中元素按行相加得到向量，其分量29仍以前面例子中的O—C判斷矩陣為例：按列標準化

標準化，以上近似方法計算都很簡單，計算結果與實際值相差很小，且A的非一致性越弱相差越小，而當A為一致矩陣時兩者完全相同。按行相加仍以前面例子中的O—C判斷矩陣為例：按列標準化標準化，以上近30三、層次分析法應用舉例在應用層次分析法研究問題時，遇到的主要困難有兩個：（1）如何根據(jù)實際情況抽象出較為貼切的層次結構；（2）如何將某些定性的量作比較接近實際的定量化處理。層次分析法對人們的思維過程進行了加工整理，提出了一套系統(tǒng)分析問題的方法，為科學管理和決策提供了較有說服力的依據(jù)。但層次分析法也有其局限性，主要表現(xiàn)在：（1）它在很大程度上依賴于人們的經(jīng)驗，主觀因素的影響很大，它至多只能排除思維過程中的嚴重非一致性（即矛盾性），卻無法排除決策者個人可能存在的嚴重片面性。（2）比較、判斷過程較為粗糙，不能用于精度要求較高的決策問題。AHP至多只能算是一種半定量（或定性與定量結合）的方法，如何用更科學、更精確的方法來研究問題并作出決策，還有待于進一步的探討研究。在應用層次分析法時，建立層次結構模型是十分關鍵的一步?，F(xiàn)再分析若干實例，以便說明如何從實際問題中抽象出相應的層次結構。三、層次分析法應用舉例在應用層次分析法研究問題時，遇到的主要31例7.14招聘工作人員某單位擬從應試者中挑選外銷工作人員若干名，根據(jù)工作需要，單位領導認為招聘來的人員應具備某些必要的素質，由此建立層次結構如圖7.9所示。招聘人員綜合情況知識能力外表經(jīng)濟知識外語知識法律知識組織能力公關能力計算機操作氣質身高體形C層B層A層0.250.50.25B1B2B30.1860.7370.0770.3330.3330.3330.7380.1680.094C1C2C3C4C5C6C7C8C9例7.14招聘工作人員某單位擬從應試者中挑選外銷工作人員32該單位領導認為，作為外銷工作人員，知識面與外觀形象同樣重要，而在能力方面則應有稍強一些的要求。根據(jù)以上看法，建立A—B層成對比較判斷矩陣→

求得λmax=3，CR=0。1211121B1B2B3B3B2B1A該單位領導認為，作為外銷工作人員，知識面與外觀形象同樣重要，33類似建立B—C層之間的三個成對比較矩陣:

注：權系數(shù)是根據(jù)后面的計算添加上去的

1C3815C231C1C3C2C1B1111C6111C5111C4C6C5C4B21C921C8751C7C9C8C7B3W=(0.186,0.737,0.077)T

=3.047,CR=0.08W=(,,)TW

=(0.738,0.168,0.094)T

=3.017,CR=0.08類似建立B—C層之間的三個成對比較矩陣:注：權系數(shù)是根據(jù)后34經(jīng)層次總排序，可求得C層中各因子Ci在總目標中的權重分別為：0.047,0.184,0.019，0.167,0.167,0.167,0.184,0.042,0.024招聘工作可如下進行，根據(jù)應試者的履歷、筆試與面試情況，對他們的九項指標作1—9級評分。設其得分為X=(x1,…,x9)T，用公式y(tǒng)=0.047x1+0.184x2+0.019x3+0.167(x4+x5+x6)+0.184x7+0.042x8+0.024x9

計算總得分，以y作為應試者的綜合指標，按高到低順序錄用。經(jīng)層次總排序，可求得C層中各因子Ci在總目標中的權重分別為：35例7.15

（挑選合適的工作）經(jīng)雙方懇談，已有三個單位表示愿意錄用某畢業(yè)生。該生根據(jù)已有信息建立了一個層次結構模型，如圖8.10所示。工作滿意程度研究課題發(fā)展前途待遇同事情況地理位置單位名氣工作1工作2工作3目標層A準則層B方案層CB1B2B3B4B5B6C1C2C3例7.15（挑選合適的工作）經(jīng)雙方懇談，已有三個單位表示36該生經(jīng)冷靜思考、反復比較，建立了各層次的成對比較矩陣：133222B611311B51B43511B314211B214111B1B6B5B4B3B2B1A該生經(jīng)冷靜思考、反復比較，建立了各層次的成對比較矩陣：13337由于比較因素較多，此成對比較矩陣甚至不是正互反矩陣。（方案層）

12C3314C21C1C3C2C1B1125C314C21C1C3C2C1B211C311C231C1C3C2C1B3由于比較因素較多，此成對比較矩陣甚至不是正互反矩陣。（方案層38(層次總排序)如表7.13所示。

表7.13準則研究課題發(fā)展前途待遇同事情況地理位置單位名氣總排序權值準則層權值0.160.190.190.050.120.30方案層工作10.140.100.320.280.470.770.40單排序工作20.620.330.220.650.470.170.34權值工作30.240.570.460.070.070.060.26根據(jù)層次總排序權值，該生最滿意的工作為工作1。（由于篇幅限止，本例省略了一致性檢驗）(層次總排序)如表7.13所示。表7.13準則研究課題發(fā)展39例7.16

作品評比。

電影或文學作品評獎時，根據(jù)有關部門規(guī)定，評判標準有教育性、藝術性和娛樂性，設其間建立的成對比較矩陣為由此可求得W=(0.158,0.187,0.656)T，CR=0.048(<0.1)例7.16作品評比。電影或文學作品評獎時，根據(jù)有關部門40本例的層次結構模型如圖7.11所示

電影或文學作品評比教育性藝術性娛樂性作品1作品n……0.1580.1870.656在具體評比時，可請專家對作品的教育性、藝術性和娛樂性分別打分。根據(jù)作品的得分數(shù)X=(x1,x2,x3)T，利用公式y(tǒng)=0.158x1+0.187x2+0.656x3

計算出作品的總得分，據(jù)此排出的獲獎順序。讀者不難看出，A矩陣的建立對評比結果的影響極大。事實上，整個評比過程是在組織者事先劃定的框架下進行的，評比結果是按組織者的滿意程度來排序的。這也說明，為了使評比結果較為理想，A矩陣的建立應盡可能合理。本例的層次結構模型如圖7.11所示電影或文學作品評比教育性41例7.17

教師工作情況考評。某高校為了做好教師工作的綜合評估，使晉級、獎勵等盡可能科學合理，構造了圖7.12所示的層次結構模型。教育工作評估教學工作量指導研究生數(shù)教學內(nèi)容教學效果主要刊物發(fā)表論文數(shù)一般論文數(shù)國家級獲獎項目省部級獲獎項目出版著作字數(shù)翻譯著作字數(shù)數(shù)量質量論文項目著作教學科研OA1A2B1B2B3B4B5C1C2C3C4C5C6C7C8C9C10圖7.12例7.17教師工作情況考評。某高校為了做好教師工作的綜合42在C層中共列出了十項指標，有些可用數(shù)量表示，有些只能定性表示（如教學效果只能分為若干等級）。即使對于可以定量表示的指標，由于各指標具有不同的量綱，例如一篇論文并不等同于一個獲獎項目，互相之間不能直接進行比較。為此，在層次單排序與總排序時應先統(tǒng)一化成無量綱量。如可將每一指標分為若干等級并對每一等級規(guī)定一個合適的得分數(shù)。然后再根據(jù)各因子的重要程度利用成對比較及層次排序來確定各因子的權。在評估某教師時，只要根據(jù)該教師的各項指標，利用由層次分析得到的評估公式計算其最終得分即可。上述諸例有一個共同的特征，模型涉及的因素間存在著較為明確的因果關系，這些因果關系又可以分成若干個層次。同一層次中的各因素間相互影響很小基本上可略去不計，上層因素對下層的某些因素存在著逐層傳遞的支配關系，但不考慮相反的逆關系。更復雜的層次結構可以考慮同一層次內(nèi)各因素間的相互影響，也可以考慮下層因素對上層因素的反饋作用，因研究這類層次結構需要用到更多的數(shù)學知識，本處不準備再作進一步的介紹，有興趣的讀者可以查閱有關的書籍和文獻。在C層中共列出了十項指標，有些可用數(shù)量表示，有些只能定性表示43風險型決策方法最大可能法期望值決策法及其矩陣運算樹型決策法靈敏度分析法效用分析法風險型決策方法最大可能法44風險決策模型所謂決策，就是人們?yōu)榱私鉀Q當前或未來可能發(fā)生的問題，在若干可供選擇的行動方案中，選擇一個最佳方案的過程，決策的正確與否會給人們帶來收益或損失，在一切失誤中決策的失誤是重大的失誤，因此，每個做決策的人，都應學會科學的決策方法，避免產(chǎn)生重大損失。在決策分析中，結局經(jīng)常用利潤值和損失值來表示，如風險決策模型所謂決策，就是人們?yōu)榱私鉀Q當前或未來可能發(fā)生的問45其中（或）表示在方案在狀態(tài)下產(chǎn)生的利潤值（或損失值），將其列成表格的形式：（決策收益表，決策損失表，見下頁）。決策問題的關鍵是如何選擇行動方案。一般來講，首先要對每一個方案作出評價，然后根據(jù)這些評價去選擇最佳或滿意的方案。這種評價在決策分析中是以數(shù)量化形式表現(xiàn)的，即對每一個方案做出一個數(shù)量化的評價值（方案）（方案的數(shù)量化評價值）。在風險決策中，經(jīng)常采用期望值準則和效用值準則。其中（或）表示在方案46d1d2…dnθ1，p(θ1)u11u12…u1nθ2，p(θ2)u21u22…u2m……………θm，p(θm)um1um2…umn狀態(tài)及概率利潤方案決策收益表方案方案狀態(tài)及概率方案利潤狀態(tài)及概率方案利潤狀態(tài)及概率方案利潤狀態(tài)及概率方案d1d2…dnθ1，p(θ1)u11u12…u1nθ2，p(θ2)u21u22…u2m……………θm，p(θm)um1um2…umn利潤狀態(tài)及概率方案d1d2…dnθ1，p(θ1)u11u12…u1nθ2，p(θ2)u21u22…u2m……………θm，p(θm)um1um2…umn利潤狀態(tài)及概率方案θ1，p(θ1)u11u12…u1nθ2，p(θ2)u21u47d1d2…dnθ1，p(θ1)l11l12…l1nθ2，p(θ2)l21l22…l2m……………θm，p(θm)lm1lm2…lmn狀態(tài)及概率損失方案決策損失表方案方案狀態(tài)及概率方案θ1，p(θ1)l11l12…l1nθ2，p(θ2)l21l48許多地理問題,常常需要在自然、經(jīng)濟、技術、市場等各種因素共存的環(huán)境下做出決策。而在這些因素中，有許多是決策者所不能控制和完全了解的。對于這樣一類地理決策問題的研究，風險型決策方法是必不可少的方法。對于風險型決策問題，其常用的決策方法主要有最大可能法、期望值法、靈敏度分析法、效用分析法等。在對實際問題進行決策時，可以采用各種不同方法分別進行計算、比較，然后通過綜合分析，選擇最佳的決策方案，這樣，往往能夠減少決策的風險性。許多地理問題,常常需要在自然、經(jīng)濟、技術、市場等各種因素49一、最大可能法(一)最大可能法

在解決風險型決策問題時，選擇一個概率最大的自然狀態(tài)，把它看成是將要發(fā)生的唯一確定的狀態(tài)，而把其他概率較小的自然狀態(tài)忽略，這樣就可以通過比較各行動方案在那個最大概率的自然狀態(tài)下的益損值進行決策。這種決策方法就是最大可能法。

一、最大可能法(一)最大可能法

50應用條件

在一組自然狀態(tài)中，某一自然狀態(tài)出現(xiàn)的概率比其他自然狀態(tài)出現(xiàn)的概率大很多，而且各行動方案在各自然狀態(tài)下的益損值差別不是很大。實質

在"將大概率事件看成必然事件，小概率事件看成不可能事件"的假設條件下，將風險型決策問題轉化成確定型決策問題的一種決策方法。應用條件

在一組自然狀態(tài)中，某一自然狀態(tài)出現(xiàn)51例1：用最大可能法對第9章第1節(jié)中的例1所描述的風險型決策問題求解。表9.1.1每一種天氣類型發(fā)生的概率及種植各種農(nóng)作物的收益例1：用最大可能法對第9章第1節(jié)中的例1所描述的風險型決策問52解:由表可知，"極旱年"、"旱年"、"平年"、"濕潤年"、"極濕年"5種自然狀態(tài)發(fā)生的概率分別為0.1、0.2、0.4、0.2、0.1，顯然，"平年"狀態(tài)的概率最大。按照最大可能法，可以將"平年"狀態(tài)的發(fā)生看成是必然事件。而在"平年"狀態(tài)下，各行動方案的收益分別是：水稻為18千元/hm2，小麥為17千元/hm2，大豆為23千元/hm2，燕麥為17千元/hm2，顯然，大豆的收益最大。所以，該農(nóng)場應該選擇種植大豆為最佳決策方案。解:由表可知，"極旱年"、"旱年"、"平年"、"濕潤年"、"53二、期望值決策法及其矩陣運算期望值決策法

對于一個離散型的隨機變量X，它的數(shù)學期望為

式中:xi(n=1，2，…，n)為隨機變量X的各個取值；Pi為X=xi的概率，即Pi=P(xi)。

隨機變量X的期望值代表了它在概率意義下的平均值。期望值決策法，就是計算各方案的期望益損值，

并以它為依據(jù)，選擇平均收益最大或者平均損失最小的方案作為最佳決策方案。二、期望值決策法及其矩陣運算期望值決策法

對54期望值決策法的計算、分析過程

①把每一個行動方案看成是一個隨機變量，而它在不同自然狀態(tài)下的益損值就是該隨機變量的取值；

②把每一個行動方案在不同的自然狀態(tài)下的益損值與其對應的狀態(tài)概率相乘，再相加，計算該行動方案在概率意義下的平均益損值；

③選擇平均收益最大或平均損失最小的行動方案作為最佳決策方案。

期望值決策法的計算、分析過程

①把每一個行動方55例2：試用期望值決策法對表9.1.1所描述的風險型決策問題求解。

表9.1.1每一種天氣類型發(fā)生的概率及種植各種農(nóng)作物的收益例2：試用期望值決策法對表9.1.1所描述的風險型決策問題求56解：(1)方案：水稻B1，小麥B2，大豆B3，燕麥B4；狀態(tài)：極旱年θ1、旱年θ2、平年θ3、濕潤年θ4、極濕年θ5；方案Bi在狀態(tài)θj下的收益值aij看做該隨機變量的取值。

解：(1)方案：水稻B1，小麥B2，大豆B3，燕麥B4；57

(2)計算各個行動方案的期望收益值E(B1)＝10×0.1+12.6×0.2+18×0.4+

20×0.2+22×0.1=16.92(千元/hm2)E(B2)＝25×0.1+21×0.2+17×0.4+

12×0.2+8×0.1=16.7(千元/hm2)E(B3)＝12×0.1+17×0.2+23×0.4+

17×0.2+11×0.1=18.3(千元/hm2)

E(B4)＝11.8×0.1+13×0.2+17×0.4+

19×0.2+21×0.1=16.48(千元/hm2)(2)計算各個行動方案的期望收益值E(B4)＝11.8×58表9.2.1風險型決策問題的期望值計算

(3)選擇最佳決策方案。

因為E(B3)＝max{E(Bi)}＝18.3（千元/hm2）

所以，種植大豆為最佳決策方案。表9.2.1風險型決策問題的期望值計算(3)選擇最佳決59期望值決策法的矩陣運算

假設某風險型決策問題，有m個方案B1，B2，…，Bm；有n個狀態(tài)θ1，θ2，…,θn，各狀態(tài)的概率分別為P1,P2,…,Pn。如果在狀態(tài)θj下采取方案Bi的益損值為aij（i=1，2,…,m；j=1,2,…,n）,則方案Bi的期望益損值為

期望值決策法的矩陣運算假設某風險型決策問題60如果引入下述向量,,及矩陣則矩陣運算形式為

如果引入下述向量61例2：試用期望值決策法對第9章第1節(jié)中的例1所描述的風險型決策問題求解。在上例中，顯然有例2：試用期望值決策法對第9章第1節(jié)中的例1所描述的風險型決62由于E(B3)=max{E(Bi)}=18.3(千元/hm2)，所以該農(nóng)場應該選擇種植大豆為最佳決策方案。運用矩陣運算法則,經(jīng)乘積運算可得úúúúúú?ùêêêêêê?é1.02.04.02.01.0由于E(B3)=max{E(Bi)}=18.363三、樹型決策法

樹型決策法,是研究風險型決策問題經(jīng)常采取的決策方法。決策樹,是樹型決策法的基本結構模型,它由決策點、方案分枝、狀態(tài)結點、概率分枝和結果點等要素構成。三、樹型決策法樹型決策法,是研究風險型決策問題64決策樹結構示意圖

在圖中，小方框代表決策點，由決策點引出的各分支線段代表各個方案，稱之為方案分枝；方案分枝末端的圓圈叫做狀態(tài)結點；由狀態(tài)結點引出的各分枝線段代表各種狀態(tài)發(fā)生的概率，叫做概率分枝；概率分枝末端的小三角代表結果點。決策樹結構示意圖在圖中，小方框代表決策點，由65樹型決策法的決策原則

樹型決策法的決策依據(jù)是各個方案的期望益損值，決策的原則一般是選擇期望收益值最大或期望損失（成本或代價）值最小的方案作為最佳決策方案。

樹型決策法進行風險型決策分析的邏輯順序

樹根→樹桿→樹枝，最后向樹梢逐漸展開。各個方案的期望值的計算過程恰好與分析問題的邏輯順序相反，它一般是從每一個樹梢開始，經(jīng)樹枝、樹桿、逐漸向樹根進行。樹型決策法的決策原則

樹型決策法的決策依據(jù)是各個方案66（1）畫出決策樹。把一個具體的決策問題，由決策點逐漸展開為方案分支、狀態(tài)結點，以及概率分支、結果點等。（2）計算期望益損值。在決策樹中，由樹梢開始，經(jīng)樹枝、樹桿、逐漸向樹根，依次計算各個方案的期望益損值。（3）剪枝。將各個方案的期望益損值分別標注在其對應的狀態(tài)結點上，進行比較優(yōu)選，將優(yōu)勝者填入決策點，用"||"號剪掉舍棄方案，保留被選取的最優(yōu)方案。用樹型決策法的一般步驟（1）畫出決策樹。把一個具體的決策問題，由決策點逐67(1)所謂單級風險型決策，是指在整個決策過程中，只需要做出一次決策方案的選擇，就可以完成決策任務。實例見例3。(2)所謂多級風險型決策，是指在整個決策過程中，需要做出多次決策方案的選擇，才能完成決策任務。實例見例4。單級風險型決策與多級風險型決策(1)所謂單級風險型決策，是指在整個68例3：某企業(yè)為了生產(chǎn)一種新產(chǎn)品，有3個方案可供決策者選擇：一是改造原有生產(chǎn)線；二是從國外引進生產(chǎn)線；三是與國內(nèi)其他企業(yè)協(xié)作生產(chǎn)。該種產(chǎn)品的市場需求狀況大致有高、中、低3種可能，據(jù)估計，其發(fā)生的概率分別是0.3、0.5、0.2。表9.2.2給出了各種市場需求狀況下每一個方案的效益值。試問該企業(yè)究竟應該選擇哪一種方案？表9.2.2某企業(yè)在采用不同方案生產(chǎn)某種新產(chǎn)品的效益值例3：某企業(yè)為了生產(chǎn)一種新產(chǎn)品，有3個方案可供決策者選擇：一69解：該問題是一個典型的單級風險型決策問題，現(xiàn)在用樹型決策法求解這一問題。(1)畫出該問題的決策樹(圖9.2.2所示)。圖9.2.2單級風險型決策問題的決策樹解：該問題是一個典型的單級風險型決策問題，現(xiàn)在用樹型決策法求70(2)計算各方案的期望效益值。①狀態(tài)結點V1的期望效益值為

EV1＝200×0.3+100×0.5+20×0.2=114（萬元）②狀態(tài)結點V2的期望效益值為

EV2＝220×0.3+120×0.5+60×0.2＝138（萬元）③狀態(tài)結點V3的期望效益值為

EV3＝180×0.3+100×0.5+80×0.2＝120（萬元）(2)計算各方案的期望效益值。71(3)剪枝。因為EV2>EV1,EV2>EV3，所以，剪掉狀態(tài)結點V1和V3所對應的方案分枝，保留狀態(tài)結點V2所對應的方案分枝。即該問題的最優(yōu)決策方案應該是從國外引進生產(chǎn)線。(3)剪枝。因為EV2>EV1,EV272例4:某企業(yè)，由于生產(chǎn)工藝較落后，產(chǎn)品成本高，在價格保持中等水平的情況下無利可圖，在價格低落時就要虧損，只有在價格較高時才能盈利。鑒于這種情況，企業(yè)管理者有意改進其生產(chǎn)工藝，即用新的工藝代替原來舊的生產(chǎn)工藝?，F(xiàn)在，取得新的生產(chǎn)工藝有兩種途徑：一是自行研制，但其成功的概率是0.6；二是購買專利，估計談判成功的概率是0.8。例4:某企業(yè)，由于生產(chǎn)工藝較落后，產(chǎn)品成本高，在價格保持中等73如果自行研制成功或者談判成功，生產(chǎn)規(guī)模都將考慮兩種方案：一是產(chǎn)量不變；二是增加產(chǎn)量。如果自行研制或談判都失敗，則仍采用原工藝進行生產(chǎn)，并保持原生產(chǎn)規(guī)模不變。據(jù)市場預測，該企業(yè)的產(chǎn)品今后跌價的概率是0.1，價格保持中等水平的概率是0.5，漲價的概率是0.4。表9.2.3給出了各方案在不同價格狀態(tài)下的效益值。試問，對于這一問題，該企業(yè)應該如何決策？如果自行研制成功或者談判成功，生產(chǎn)規(guī)模都將考74解：這個問題是一個典型的多級（二級）風險型決策問題，下面仍然用樹型決策法解決該問題。(1)畫出決策樹（圖9.2.3）。表9.2.3某企業(yè)各種生產(chǎn)方案下的效益值(單位：萬元)方案效益價格狀態(tài)（概率）解：這個問題是一個典型的多級（二級）風險型決策問題，下面仍然75風險決策模型層次分析法課件76(2)

計算期望效益值，并進行剪枝：①狀態(tài)結點V7的期望效益值為

EV7＝(-200)×0.1+50×0.5+150×0.4＝65（萬元）

狀態(tài)結點V8的期望效益值為

EV8＝(-300)×0.1+50×0.5+250×0.4＝95（萬元）由于EV8>EV7，所以，剪掉狀態(tài)結點V7對應的方案分枝，并將EV8的數(shù)據(jù)填入決策點V4，即令EV4＝EV8＝95（萬元）。(2)計算期望效益值，并進行剪枝：77

②狀態(tài)結點V3的期望效益值為

EV3＝(-100)×0.1+0×0.5+100×0.4＝30（萬元）。所以，狀態(tài)結點V1的期望效益值為

EV1=30×0.2+95×0.8=82(萬元)。②狀態(tài)結點V3的期望效益值為

EV3＝(-100)×078

③

狀態(tài)結點V9的期望效益值為

EV9＝(-200)×0.1+0×0.5+200×0.4＝60（萬元）；狀態(tài)結點V10的期望效益值為

EV10＝(-300)×0.1+(-250)×0.5+600×0.4＝85（萬元）。

由于EV10>EV9，所以，剪掉狀態(tài)結點V9對應的方案分枝，將EV10的數(shù)據(jù)填入決策點V5。

即令EV5＝EV10＝85（萬元）。③狀態(tài)結點V9的期望效益值為

79④狀態(tài)結點V6的期望效益值為

EV6＝(-100)×0.1+0×0.5+100×0.4＝30（萬元），所以，狀態(tài)結點V2期望效益值為

EV2=30×0.4+85×0.6=63(萬元)。④狀態(tài)結點V6的期望效益值為

EV6＝(-100)×80⑤由于EV1>EV2,所以，剪掉狀態(tài)結點V2對應的方案分枝將EV1的數(shù)據(jù)填入決策點EV，即令

EV＝EV1＝82（萬元）。

綜合以上期望效益值計算與剪枝過程可知，該問題的決策方案應該是：首先采用購買專利方案進行工藝改造，當購買專利改造工藝成功后，再采用擴大生產(chǎn)規(guī)模（即增加產(chǎn)量）方案進行生產(chǎn)。⑤由于EV1>EV2,所以，剪掉狀態(tài)結點81問題

某郵局要求當天收寄的包裹當天處理完畢。根據(jù)以往統(tǒng)計記錄，每天收寄包裹的情況見表收寄包裹數(shù)（個）41~5051~6061~7071~8081~90占的比例10%15%30%25%20%收寄包裹情況表已知每個郵局職工平均每小時處理4個包裹，每小時工資為5元，規(guī)定每人每天實際工作7小時。如加班工作，每小時工資額增加50%，但加班時間每人每天不得超過5小時（加班時間以小時計，不足1小時按1小時計算）。試確定該郵局最優(yōu)雇傭工人的數(shù)量。問題收寄包裹數(shù)（個）41~5051~6061~7071~82假設

設d1表示方案“雇傭2個工人”；d2表示方案“雇傭3個工人”。表示收寄的包裹數(shù)位于區(qū)間

建模

因為每人每天最多處理的包裹數(shù)量為（個)正常處理包裹數(shù)為4×7=28（個），而每天需要處理的包裹數(shù)最多為90個。故我們只考慮兩個方案d1，d2。將在不同狀態(tài)不同方案下，郵局支付工人的工資數(shù)列成下表假設83支付工資方案狀態(tài)概率狀態(tài)概率狀態(tài)概率支付工資方案支付工資方案支付工資方案狀態(tài)概率狀態(tài)概率狀態(tài)概率支付工資方案支付工資方案84求解

根據(jù)期望值準則，若雇傭兩個工人，則郵局的平均支付工資為E(d1)=0.10×70+0.15×77.5+0.30×100+0.25×115+0.20×137.5=104.875（元）若雇傭三個工人，則郵局的平均支付工資為E(d2)=0.10×105+0.15×105+0.30×105+0.25×105+0.20×120=108（元）因為E(d1)<E(d2)，故從郵局的角度看，最優(yōu)雇傭工人的數(shù)量為2.期望值準則可以借助“決策樹”使決策問題形象直觀，便于討論。求解85θ10.10θ30.30θ40.25θ50.20θ10.10θ20.15θ30.30θ40.25θ50.20θ20.15d1d2104.875104.8757010877.5100115137.5105105105105120θ10.10θ30.3086問題：某土木工程采用正常速度施工，若無壞天氣的影響，工程可確保在30天內(nèi)按期完工，但是根據(jù)天氣預報，15天后天氣肯定變壞，有40%的可能出現(xiàn)陰雨天氣而不影響工期，有50%的可能遇到小風暴而使工期推遲15天，另有10%的可能遇到大風暴而使工期推遲20天。對于可能出現(xiàn)的情況，可慮兩種方案：（1）提前緊急加班，確保工程在15天內(nèi)完成，實施此方案將增加工資支付18千元。（2）先維持原定的施工進度，到15天后根據(jù)實際出現(xiàn)的天氣狀況再作對策。若遇到陰雨天，則維持正常進度，不必支付額外費用；若遇到小風暴，則有兩個備選方案（a）維持正常進度，支付工程延期損失費20千元；（b）采取應急措施，問題：87實施此措施可能有三種結果：有50%的可能減少誤工期1天，支付延期損失費和應急費用24千元；有30%的可能減少誤工期2天，支付延期損失費和應急費用18千元；有20%的可能減少誤工期3天，支付延期損失費和應急費用12千元。若遇到大風暴，則仍有兩個方案可供選擇（c）維持正常進度，支付工程延期損失費用50千元；（d）采用應急措施，實施此措施可能出現(xiàn)三種結果：有70%的可能減少誤工期2天，支付延期損失費和應急費用54千元；有20%的可能減少誤工期3天，支付延期損失費和應急費用46千元；有10%的可能減少誤工期4天，支付延期損失費和應急費用38千元。試確定最佳方案。實施此措施可能有三種結果：有50%的可能減少誤工期88假設

設d1表示方案“提前緊急加班，確保工程在15天內(nèi)完成”；d2表示方案“按原定速度施工15天，再根據(jù)實際出現(xiàn)的天氣狀況作決策”；d3表示方案“15天后遇到小風暴采取應急措施”；d4表示方案“15天后遇到小風暴仍維持正常度”；d5表示方案“15天后遇到大風暴采取應急措施”；d6表示方案“15天后遇到大風暴仍維持正常進度”。θi表示“減少誤工期i天”，i=1,2,3,4.θ5表示“陰雨天氣”，θ6表示“小風暴”，θ7表示“大風暴”。為解決這個復雜的決策問題，我們采用期望值準則?，F(xiàn)在可能遇到的各種情況用決策樹表示，如圖所示（見下頁）假設89d1d2d3d4d5d6θ7θ6θ50.4θ10.5θ20.3θ30.2θ20.7θ30.2θ40.114.914.90.50.15019.850.8180241812205446385019.8d1d2d3d4d5d6θ7θ6θ590求解根據(jù)決策樹，自右向左，計算各方案的期望值E(d3)=0.5×24+0.3×18+0.2×12=19.8,E(d5)=0.7×54+0.2×46+0.1×38=50.8,E(d2)=0.4×0+0.5×19.8+0.1×50=14.9.因為E(d3)<E(d4)=20，E(d5)>E(d6)=50，E(d2)<E(d1)=18，求解91所以去掉方案分支d1，d4，d5。留下的方案即為最佳方案，即開始以正常速度施工，15天后根據(jù)實際出現(xiàn)的天氣狀況再做進一步的決策。出現(xiàn)陰雨天氣，則維持正常速度施工；出現(xiàn)小風暴，則采取應急措施；出現(xiàn)大風暴，則仍按正常速度施工。整個方案的期望損失值為14.9千元。所以去掉方案分支d1，d4，d5。留下的方案即為92四風險決策的靈敏度分析風險決策的關鍵在于各種自然狀態(tài)出現(xiàn)的概率是已知的，而且是根據(jù)過去經(jīng)驗估計出來的，所以根據(jù)這樣的概率值計算出來的損益值，不可能十分精確可靠。一旦概率值有了變化，據(jù)以確定的決策方案是否仍然有效，就成為值得重視的問題。因此在決策過程中，有必要了解概率值變化對最優(yōu)方案的選擇究竟存在多大影響，即概率變化到什么程度才引起方案的變化，這一臨界點的概率稱為轉折概率。對決策問題作出的這種分析，稱為靈敏度分析或敏感性分析。四風險決策的靈敏度分析風險決策的關鍵在于各93

經(jīng)過靈敏度分析之后，如果決策者所選擇的最優(yōu)方案不因自然狀態(tài)概率在其允許的誤差范圍內(nèi)變動而變動，那么這個方案就是比較可靠的。

靈敏度分析的步驟1.求出在保持最優(yōu)方案穩(wěn)定的前提下，各自然狀態(tài)概率所容許的變動范圍。2.衡量用來預測和估算這些自然狀態(tài)概率的方法，其精度是否能保證所得概率值在此允許的誤差范圍內(nèi)變動。3.判斷所作決策的可靠性。經(jīng)過靈敏度分析之后，如果決策者所選擇的最優(yōu)方案不因94例：某企業(yè)擬擴大產(chǎn)品產(chǎn)量，現(xiàn)有兩種方案可供選擇：一是新建生產(chǎn)線；二是改造生產(chǎn)線。該企業(yè)管理者經(jīng)過研究，運用期望值決策法編制出決策分析表。由于市場情況極其復雜，它受許多不可控因素的影響，因而銷售狀態(tài)的概率可能會發(fā)生變化。試針對這種情況，進行靈敏度分析。某企業(yè)擴大產(chǎn)品產(chǎn)量決策分析表例：某企業(yè)擬擴大產(chǎn)品產(chǎn)量，現(xiàn)有兩種方案可供選擇：一是新建生產(chǎn)95解:(1)以最大期望效益值為準則確定最佳方案

E(B1)＝max{E(B1),E(B2)}=290萬元，

所以，新建生產(chǎn)線（B1）為最佳方案。

(2)靈敏度分析。當考慮市場銷售狀態(tài)中適銷的概率由0.7變?yōu)?.3時，則兩個方案的期望效益值的變化為

E(B1)＝10萬元，

E(B2)＝20萬元。解:(1)以最大期望效益值為準則確定最佳方案

96所以，在0.7與0.3之間一定存在一點P，當適銷狀態(tài)的概率等于P時，新建生產(chǎn)線方案與改造原生產(chǎn)線方案的期望效益值相等。P稱為轉折概率500P+(1-P)(-200)=300P+(1-P)(-100)

P＝0.33

所以，當P>0.33時，新建生產(chǎn)線（B1）為最佳方案；當P<0.33時，改造原生產(chǎn)線方案（B2）為最佳方案。所以，在0.7與0.3之間一定存在一點P，當適銷狀態(tài)的97問題：某公路工程隊簽署一項開赴遠地施工的合同，由于出發(fā)之前有一段必要的準備時間，現(xiàn)面臨著決定是否在下月開工的問題。如開工后天氣好，則當月可順利完工，獲利潤12.5萬元；如果開工后天氣不好，則將造成各種損失計4.8萬元。若決定下月不開工，即就地待命，那么，若天氣好可臨時承包一些零星工程，獲利潤6.5萬元；若天氣不好，則付出損失費（主要是窩工費）1.2萬元。根據(jù)氣象預測，下月天氣好的概率為0.65，天氣不好的概率為0.35.該隊領導人該如何決策才能獲得最大收益。問題：98θ10.65θ20.35θ10.65θ20.35d2d16.4456.4453.80512.5-4.86.5-1.23.8053.8053.805θ20.35θ20.35θ20.35θ20.353.805θ20.353.805θ20.353.805θ20.356.4453.805θ20.356.4456.4453.805θ20.35d26.4456.4453.805θ20.35θ10.65θ20.353.805θ20.35θ10.65θ20.35θ10.65d26.4456.44512.5-4.86.512.5-4.8-1.26.512.5-4.83.805θ20.35θ10.65θ20.35-1.26.512.5-4.8假設：d1表示方案“開