風(fēng)險決策模型層次分析法課件

§7.3層次分析法建模層次分析法是對一些較為復(fù)雜、較為模糊的問題作出決策的簡易方法，它特別適用于那些難于完全定量分析的問題。社會的發(fā)展導(dǎo)致了社會結(jié)構(gòu)、經(jīng)濟(jì)體系及人們之間相互關(guān)系的日益復(fù)雜，人們希望能在錯綜復(fù)雜的情況下，利用各種信息，通過理智的、科學(xué)的分析，作出最佳決策。例如，生產(chǎn)者面對消費(fèi)者的各種喜好或競爭對手的策略要作出最佳決策；消費(fèi)者面對琳瑯滿目的商品要根據(jù)它們的性能質(zhì)量的好壞、價格的高低、外形的美觀程度等選擇自己最為滿意的商品；畢業(yè)生要根據(jù)自己的專業(yè)特長、社會的需求情況、福利待遇的好壞等挑選最為合意的工作；科研單位要根據(jù)項目的科學(xué)意義和實用價值的大小、項目的可行性、項目的資助情況及周期長短等選擇最合適的研究課題……。當(dāng)我們面對這類決策問題時，容易發(fā)現(xiàn)，影響我們作決策的因素很多，其中某些因素存在定量指標(biāo)，可以給以度量，但也有些因素不存在定量指標(biāo)，只能定性地比較它們的強(qiáng)弱。在處理這類比較復(fù)雜而又比較模糊的問題時，如何盡可能克服因主觀臆斷而造成的片面性，較系統(tǒng)、全面地比較分析并作出較為明智的決策呢？§7.3層次分析法建模層次分析法是對一些較為復(fù)雜、較為模1Saaty.T.L等人在70年代提出了一種以定性與定量相結(jié)合，系統(tǒng)化、層次化分析問題的方法，稱為層次分析法（AnalyticHiearchyProcess，簡稱AHP）。層次分析法將人們的思維過程層次化，逐層比較其間的相關(guān)因素并逐層檢驗比較結(jié)果是否合理，從而為分析決策提供了較具說服力的定量依據(jù)，層次分析法的提出不僅為處理這類問題提供了一種實用的決策方法，而且也提供了一個在處理機(jī)理比較模糊的問題時，如何通過科學(xué)分析，在系統(tǒng)全面分析機(jī)理及因果關(guān)系的基礎(chǔ)上建立數(shù)學(xué)模型的范例。

一、層次分析的基本步驟層次分析過程可分為四個基本步驟：（1）建立層次結(jié)構(gòu)模型；（2）構(gòu)造出各層次中的所有判斷矩陣；（3）層次單排序及一致性檢驗；（4）層次總排序及一致性檢驗。下面通過一個簡單的實例來說明各步驟中所做的工作。Saaty.T.L等人在70年代提出了一種以定性與定量相結(jié)合2例7.13某工廠有一筆企業(yè)留成利潤要由廠領(lǐng)導(dǎo)決定如何使用。可供選擇的方案有：給職工發(fā)獎金、擴(kuò)建企業(yè)的福利設(shè)施（改善企業(yè)環(huán)境、改善食堂等）和引進(jìn)新技術(shù)新設(shè)備。工廠領(lǐng)導(dǎo)希望知道按怎樣的比例來使用這筆資金較為合理。步1建立層次結(jié)構(gòu)模型在用層次分析法研究問題時，首先要根據(jù)問題的因果關(guān)系并將這些關(guān)系分解成若干個層次。較簡單的問題通?？煞纸鉃槟繕?biāo)層（最高層）、準(zhǔn)則層（中間層）和方案措施層（最低層）。與其他決策問題一樣，研究分析者不一定是決策者，不應(yīng)自作主張地作出決策。對于本例，如果分析者自行決定分配比例，廠領(lǐng)導(dǎo)必定會詢問為什么要按此比例分配，符合決策者要求的決策來自于對決策者意圖的真實了解。經(jīng)過雙方溝通，分析者了解到如下信息：決策者的目的是合理利用企業(yè)的留成利潤，而利潤的利用是否合理，決策者的主要標(biāo)準(zhǔn)為：（1）是否有利于調(diào)動企業(yè)職工的積極性，（2）是否有利于提高企業(yè)的生產(chǎn)能力，（3）是否有利于改善職工的工作、生活環(huán)境。分析者可以提出自己的看法，但標(biāo)準(zhǔn)的最終確定將由決策者決定。例7.13某工廠有一筆企業(yè)留成利潤要由廠領(lǐng)導(dǎo)決定如何使用3根據(jù)決策者的意圖，可以建立起本問題的層次結(jié)構(gòu)模型如圖8.7所示。合理利用企業(yè)利潤調(diào)動職工積極性C1提高企業(yè)技術(shù)水平C2改善職工工作生活條件C3發(fā)獎金P1擴(kuò)建福利事業(yè)P2引進(jìn)新設(shè)備P3目標(biāo)層O準(zhǔn)則層C措施層P圖中的連線反映了因素間存在的關(guān)聯(lián)關(guān)系，哪些因素存在關(guān)聯(lián)關(guān)系也應(yīng)由決策者決定。根據(jù)決策者的意圖，可以建立起本問題的層次結(jié)構(gòu)模型如圖8.7所4對于因果關(guān)系較為復(fù)雜的問題也可以引進(jìn)更多的層次。例如，在選購電冰箱時，如以質(zhì)量、外觀、價格、品牌及信譽(yù)等為準(zhǔn)則，也許在衡量質(zhì)量優(yōu)劣時又可分出若干個不同的子準(zhǔn)則，如制冷性能、結(jié)霜情況、耗電量大小等等。建立層次結(jié)構(gòu)模型是進(jìn)行層次分析的基礎(chǔ)，它將思維過程結(jié)構(gòu)化、層次化，為進(jìn)一步分析研究創(chuàng)造了條件。步2構(gòu)造判斷矩陣層次結(jié)構(gòu)反映了因素之間的關(guān)系，例如圖7.7中目標(biāo)層利潤利用是否合理可由準(zhǔn)則層中的各準(zhǔn)則反映出來。但準(zhǔn)則層中的各準(zhǔn)則在目標(biāo)衡量中所占的比重并不一定相同，在決策者的心目中，它們各占有一定的比例。對于因果關(guān)系較為復(fù)雜的問題也可以引進(jìn)更多的層次。例如，在選購5在確定影響某因素的諸因子在該因素中所占的比重時，遇到的主要困難是這些比重常常不易定量化。雖然你必須讓決策者根據(jù)經(jīng)驗提供這些數(shù)據(jù)，但假如你提出“調(diào)動職工積極性在判斷利潤利用是否合理中占百分之幾的比例”之類的問題，不僅會讓人感到難以精確回答，而且還會使人感到你書生氣十足，不能勝任這一工作。此外，當(dāng)影響某因素的因子較多時，直接考慮各因子對該因素有多大程度的影響時，常常會因考慮不周全、顧此失彼而使決策者提出與他實際認(rèn)為的重要性程度不相一致的數(shù)據(jù)，甚至有可能提出一組隱含矛盾的數(shù)據(jù)。為看清這一點(diǎn)，可作如下設(shè)想：將一塊重為1千克的石塊砸成n小塊，你可以精確稱出它們的質(zhì)量，設(shè)為w1,…,wn。現(xiàn)在，請人估計這n小塊的重量占總重量的比例（不能讓他知道各小石塊的重量），此人不僅很難給出精確的比值，而且完全可能因顧此失彼而提供彼此矛盾的數(shù)據(jù)。

在確定影響某因素的諸因子在該因素中所占的比重時，遇到的主要困6設(shè)現(xiàn)在要比較n個因子X={x1,…,xn}對某因素Z的影響大小，怎樣比較才能提供可信的數(shù)據(jù)呢？Saaty等人建議可以采取對因子進(jìn)行兩兩比較建立成對比較矩陣的辦法。即每次取兩個因子xi和xj，以aij表示xi和xj對Z的影響大小之比，全部比較結(jié)果用矩陣A=(aij)n×n表示，稱A為Z－X之間的成對比較判斷矩陣（簡稱判斷矩陣）。容易看出，若xi和xj對Z的影響之比為aij，則xj和xi對Z的影響之比應(yīng)為。定義7.4若矩陣A=(aij)n×n滿足（i）aij>0，（ii）（i,j=1,2,…,n），則稱之為正互反矩陣（易見aii=1,i=1,…,n）。關(guān)于如何確定aij的值，Saaty等建議引用數(shù)字1~9及其倒數(shù)作為標(biāo)度。他們認(rèn)為，人們在成對比較差別時，用5種判斷級較為合適。即使用相等、較強(qiáng)、強(qiáng)、很強(qiáng)、絕對地強(qiáng)表示差別程度，aij相應(yīng)地取1,3,5,7和9。在成對事物的差別介于兩者之間難以定奪時，aij可分別取值2、4、6、8。設(shè)現(xiàn)在要比較n個因子X={x1,…,xn}對某因素Z的影7從心理學(xué)觀點(diǎn)來看，分級太多會超越人們的判斷能力，既增加了作判斷的難度，又容易因此而提供虛假數(shù)據(jù)。Saaty等人還用實驗方法比較了在各種不同標(biāo)度下人們判斷結(jié)果的正確性，實驗結(jié)果也表明，采用1~9標(biāo)度最為合適。如果在構(gòu)造成對比較判斷矩陣時，確實感到僅用1~9及其倒數(shù)還不夠理想時，可以根據(jù)情況再采用因子分解聚類的方法，先比較類，再比較每一類中的元素。步3層次單排序及一致性檢驗上述構(gòu)造成對比較判斷矩陣的辦法雖能減少其他因素的干擾影響，較客觀地反映出一對因子影響力的差別。但綜合全部比較結(jié)果時，其中難免包含一定程度的非一致性。如果比較結(jié)果是前后完全一致的，則矩陣A的元素還應(yīng)當(dāng)滿足：

i、j、k=1,2,…,n

從心理學(xué)觀點(diǎn)來看，分級太多會超越人們的判斷能力，既增加了作判8定義7.5滿足（7.5）關(guān)系式的正互反矩陣稱為一致矩陣。如前所述，如果判斷者前后完全一致，則構(gòu)造出的成對比較判斷矩陣應(yīng)當(dāng)是一個一致矩陣。但構(gòu)造成對比較判斷矩陣A共計要作次比較（設(shè)有n個因素要兩兩比較），保證A是正互反矩陣是較容易辦到的，但要求所有比較結(jié)果嚴(yán)格滿足一致性，在n較大時幾乎可以說是無法辦到的，其中多少帶有一定程度的非一致性。更何況比較時采用了1~9標(biāo)度，已經(jīng)接受了一定程度的誤差，就不應(yīng)再要求最終判斷矩陣的嚴(yán)格一致性。如何檢驗構(gòu)造出來的（正互反）判斷矩陣A是否嚴(yán)重地非一致，以便確定是否接受A，并用它作為進(jìn)一步分析研究的工具？Saaty等人在研究正互反矩陣和一致矩陣性質(zhì)的基礎(chǔ)上，找到了解決這一困難的辦法，給出了確定矩陣A中的非一致性是否可以允忍的檢驗方法。定義7.5滿足（7.5）關(guān)系式的正互反矩陣稱為一致矩陣。9定理7.7正互反矩陣A的最大特征根λmax必為正實數(shù)，其對應(yīng)特征向量的所有分量均為正實數(shù)。A的其余特征根的模均嚴(yán)格小于λmax。（證明從略）現(xiàn)在來考察一致矩陣A的性質(zhì)，回復(fù)到將單位重量的大石塊剖分成重量為

1,…,n的n塊小石塊的例子，如果判斷者的判斷結(jié)果完全一致，則構(gòu)造出來的一致矩陣為容易看出，一致矩陣A具有以下性質(zhì)：定理7.7正互反矩陣A的最大特征根λmax必為正實數(shù)，其10定理7.8若A為一致矩陣，則（1）A必為正互反矩陣。（2）A的轉(zhuǎn)置矩陣AT也是一致矩陣。（3）A的任意兩行成比例，比例因子（即wi/wj）大于零，從而rank（A）=1（同樣，A的任意兩列也成比例）。（4）A的最大特征根λmax=n，其中n為矩陣A的階。A的其余特征根均為零。（5）若A的最大特征根λmax對應(yīng)的特征向量為W=（w1,…,wn）I，則aij=wi/wj，i,j=1,2,…,n。（注：（1）、（2）可由一致矩陣定義得出，（3）—（5）均容易由線性代數(shù)知識得到，證明從略）。定理7.8若A為一致矩陣，則（1）A必為正互反矩陣。（211定理7.9

n階正互反矩陣A為一致矩陣當(dāng)且僅當(dāng)其最大特征根λmax=n，且當(dāng)正互反矩陣A非一致時，必有λmax>n。證明：設(shè)正互反矩陣A的最大特征根為λmax，對應(yīng)的特征向量為W=（w1,…,wn）T。

由定理，λmax>0且wi>0，i=1，…，n。又由特征根和特征向量的性質(zhì)知，AW=λmax

W,

故

,i=1,…,n(7.7)（8.7）式兩邊同除wi且關(guān)于i從1到n相加，得到即（8.8）式的括號內(nèi)共有項。

（7.8）

定理7.9n階正互反矩陣A為一致矩陣當(dāng)且僅當(dāng)其最大特征根12現(xiàn)證明必要性，由一致矩陣性質(zhì)（5），有，故由（7.8）式，得λmax=n。再證明充分性。由于(7.9)

當(dāng)且僅當(dāng)=1（即）時（7.9）式中的等號成立，故由（7.8）式λmax=n。因而當(dāng)λmax=n時必有=1，于是aijajk=aiki,j,k=1,2,…,n成立，A為一致矩陣。當(dāng)A非一致矩陣時，（7.9）式中的等號不能對一切i，j成立，從而必有λmax>n。

現(xiàn)證明必要性，由一致矩陣性質(zhì)（5），有13根據(jù)定理7.9，我們可以由λmax是否等于n來檢驗判斷矩陣A是否為一致矩陣。由于特征根連續(xù)地依賴于aij，故λmax比n大得越多，A的非一致性程度也就越為嚴(yán)重，λmax對應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)化特征向量也就越不能真實地反映出X={x1,…,xn}在對因素Z的影響中所占的比重。因此，對決策者提供的判斷矩陣有必要作一次一致性檢驗，以決定是否能接受它。

為確定多大程度的非一致性是可以允忍的，Saaty等人采用了如下辦法：（1）求出，稱CI為A的一致性指標(biāo)。容易看出，當(dāng)且僅當(dāng)A為一致矩陣時，CI=0。CI的值越大，A的非一致性越嚴(yán)重。利用線性代數(shù)知識可以證明，A的n個特征根之和等于其對角線元素之和（即n）故CI事實上是A的除λmax以外其余n－1個特征根的平均值的絕對值。若A是一致矩陣，其余n－1個特征根均為零，故CI=0；否則，CI>0，其值隨A非一致性程度的加重而連續(xù)地增大。當(dāng)CI略大于零時（對應(yīng)地，λmax稍大于n），A具有較為滿意的一致性；否則，A的一致性就較差。根據(jù)定理7.9，我們可以由λmax是否等于n來檢驗判斷矩陣A14（2）上面定義的CI值雖然能反映出非一致性的嚴(yán)重程度，但仍未能指明該非一致性是否應(yīng)當(dāng)被認(rèn)為是可以允許的。事實上，我們還需要一個度量標(biāo)準(zhǔn)。為此，Saaty等人又研究了他們認(rèn)為最不一致的矩陣——用從1~9及其倒數(shù)中隨機(jī)抽取的數(shù)字構(gòu)造的正互反矩陣，取充分大的子樣，求得最大特征根的平均值，并定義稱RI為平均隨機(jī)一致性指標(biāo)。對n=1,…,11,，Saaty給出了RI的值，如表7.10所示。表7.10N1234567891011RI000.580.901.121.241.321.411.451.491.51（2）上面定義的CI值雖然能反映出非一致性的嚴(yán)重程度，但仍未15（3）將CI與RI作比較，定義稱CR隨機(jī)一致性比率。經(jīng)大量實例比較，Saaty認(rèn)為，在CR<0.10時可以認(rèn)為判斷矩陣具有較為滿意的一致性，否則就應(yīng)當(dāng)重新調(diào)整判斷矩陣，直至具有滿意的一致性為止。綜上所述，在步3中應(yīng)先求出A的最大特征根λmax及λmax對應(yīng)的特征向量W=（w1,…,wn）T，進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化，使得。再對A作一致性檢驗：計算，查表得到對應(yīng)于n的RI值，求，若CR<0.1，則一致性較為滿意，以i作為因子xi在上層因子Z中所具有的權(quán)值。否則必需重新作比較，修正A中的元素。只有在一致性較為滿意時，W的分量才可用作層次單排序的權(quán)重。（3）將CI與RI作比較，定義稱CR隨機(jī)一致性比率。經(jīng)大量實16現(xiàn)對本節(jié)例7.13（即合理利用利潤問題的例子）進(jìn)行層次單排序。為求出C1、C2、C3在目標(biāo)層A中所占的權(quán)值，構(gòu)造O－C層的成對比較矩陣，設(shè)構(gòu)造出的成對比較判斷知陣A=311153C1C2C3C1C2C30于是經(jīng)計算，A的最大特征根λmax=3.038，CI=0.019，查表得RI=0.58，故CR=0.033。因CR<0.1，接受矩陣A，求出A對應(yīng)于λmax的標(biāo)準(zhǔn)化特征向量W=(0.105,0.637，0.258)T，以W的分量作為C1、C2、C3在目標(biāo)O中所占的權(quán)重?，F(xiàn)對本節(jié)例7.13（即合理利用利潤問題的例子）進(jìn)行層次單排序17類似求措施層中的P1、P2在C1中的權(quán)值，P2、P3在C2中的權(quán)值及P1、P2在C1中的權(quán)值：

1P231P1P2P1C113λmax=2，CI=CR=0W=(0.75,0.25)T15P31P2P3P2C215λmax=2，CI=CR=0W=(0.167,0.833)T1P221P1P2P1C312λmax=2，CI=CR=0W=(0.66,0.333)T類似求措施層中的P1、P2在C1中的權(quán)值，P2、P3在C218經(jīng)層次單排序，得到圖7.8。合理利用企業(yè)利潤調(diào)動職工積極性C1提高企業(yè)技術(shù)水平C2改善職工工作生活條件C3發(fā)獎金P1擴(kuò)建福利事業(yè)P2引進(jìn)新設(shè)備P3目標(biāo)層O準(zhǔn)則層C措施層P0.1050.6370.2580.750.250.1670.8330.6670.3332經(jīng)層次單排序，得到圖7.8。合理利用企業(yè)利潤調(diào)動職工積極性提19設(shè)上一層次（A層）包含A1,…,Am共m個因素，它們的層次總排序權(quán)值分別為a1,…,am。又設(shè)其后的下一層次（B層）包含n個因素B1,…,Bn，它們關(guān)于Aj的層次單排序權(quán)值分別為b1j,…,bnj（當(dāng)Bi與Aj無關(guān)聯(lián)系時，bij=0）。現(xiàn)求B層中各因素關(guān)于總目標(biāo)的權(quán)值，即求B層各因素的層次總排序權(quán)值b1,…,bn，計算按表7.11所示方式進(jìn)行,即，i=1,…,n。表7.11bnm…bn2bn1Bn………………B2m…b22b21B2B1m…b12b11B1B層總排序權(quán)值A(chǔ)mam……A2a2A1a1層A層B步4

層次總排序及一致性檢驗最后，在步驟（4）中將由最高層到最低層，逐層計算各層次中的諸因素關(guān)于總目標(biāo)（最高層）的相對重要性權(quán)值。設(shè)上一層次（A層）包含A1,…,Am共m個因素，它們的層次總20例如，對于前面考察的工廠合理利用留成利潤的例子，措施層層次單排序權(quán)值的計算如表7.12所示。層C層PC1C2C3層P的總排序權(quán)值0.1050.6370.258P10.7500.6670.251P20.250.1670.3330.218P300.83300.531對層次總排序也需作一致性檢驗，檢驗仍象層次總排序那樣由高層到低層逐層進(jìn)行。這是因為雖然各層次均已經(jīng)過層次單排序的一致性檢驗，各成對比較判斷矩陣都已具有較為滿意的一致性。但當(dāng)綜合考察時，各層次的非一致性仍有可能積累起來，引起最終分析結(jié)果較嚴(yán)重的非一致性。例如，對于前面考察的工廠合理利用留成利潤的例子，措施層層次單21設(shè)B層中與Aj相關(guān)的因素的成對比較判斷矩陣在單排序中經(jīng)一致性檢驗，求得單排序一致性指標(biāo)為CI(j)，(j=1,…,m)，相應(yīng)的平均隨機(jī)一致性指標(biāo)為RI(j)(CI(j)、RI(j)已在層次單排序時求得)，則B層總排序隨機(jī)一致性比率為CR=

當(dāng)CR<0.10時，認(rèn)為層次總排序結(jié)果具有較滿意的一致性并接受該分析結(jié)果。對于表7.11中的P層總排序，由于C—P層間的三個判斷矩陣的一致性指標(biāo)（即CI(j)，j=1，2，3）均為0，故P層總排序的隨機(jī)一致性比率CR=0，接受層次分析結(jié)果，將留成利潤的25.1%用于發(fā)獎金，21.8%用于擴(kuò)建福利事業(yè)，余下的53.1%用于引進(jìn)新技術(shù)新設(shè)備。設(shè)B層中與Aj相關(guān)的因素的成對比較判斷矩陣在單排序中經(jīng)一致性22二、最大特征根及對應(yīng)特征向量的近似計算法眾所周知，求矩陣A的特征根與特征向量在n較大時是非常麻煩的，需要求解高次代數(shù)方程及高階線性方程組。由于判斷矩陣中aij的給出方法是比較粗糙的，它只是決策者主觀看法在一定精度內(nèi)的定量化反映，也就是說，建模本身存在著較大的模型誤差。因而，在計算特征根和特征向量時，沒有必要化費(fèi)太多的時間和精力去求A的特征根與特征向量的精確值。事實上，在應(yīng)用層次分析法決策時，這些量的計算通常采用較為簡便的近似方法。1、方根法在應(yīng)用小型計算器求判斷矩陣A的最大特征根與對應(yīng)特征向量時可采用方根法。其計算步驟如下：二、最大特征根及對應(yīng)特征向量的近似計算法眾所周知，求矩陣A的23（1）求判斷矩陣每行元素的乘積，i=1,2,…,n（2）求Mi的n次方根

（3）對進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化，求特征向量各分量的近似值。（4）求A的最大特征根的近似值從（7.6）式中不難看出，當(dāng)A為一致矩陣時，由A中各行乘積的n次方根組成的向量與A的特征向量成比例。因而當(dāng)A的非一致性不太嚴(yán)重時，方根法求得的Wi（i=1,…,n）可近似用于層次單排序的權(quán)值。（1）求判斷矩陣每行元素的乘積，i=1,2,…,n（2）求24對前面例子中的O—C判斷陣，有每行元素相乘求，得對前面例子中的O—C判斷陣，有每行元素相乘求252、冪法計算步驟：（步1）任取一標(biāo)準(zhǔn)化向量W(0)，指定一精度要求ε>0，k=0。（步2）迭代計算，k=0,1,…。若，i=1,…,n，則取W=為A的對應(yīng)于λmax的特征向量的近似，否則轉(zhuǎn)步2。（步3）將標(biāo)準(zhǔn)化，即求

其中為的第i個分量。2、冪法計算步驟：（步1）任取一標(biāo)準(zhǔn)化向量W(0)，指定一精26（步4）求λmax的近似值對前面例子中的O—C判斷矩陣，若取，=0.001，利用冪法求近似特征向量如下：（第一次迭代）

(0)=(0.511,3,1.444)T，=4.955，求得W(1)=(0.103,0.605,2.91)T（第二次迭代）

(2)=(0.321,1.993,0.802)T，=3.116，求得W(2)=(0.103,0.639,0.257)T（步4）求λmax的近似值對前面例子中的O—C判斷矩陣，（第27（第三次迭代）

(3)=(0.316,1.925,0.779)T，=3.02，求得W(3)=(0.105,0.637,0.258)T（第四次迭代）

(4)=(0.318,1.936,0.785)T，=3.04，求得W(4)=(0.105,0.637,0.258)T因，取W=W(4)。進(jìn)而，可求得。3、和積法（步1）將判斷矩陣A的每一列標(biāo)準(zhǔn)化，即令,i,j=1,…,n令。（第三次迭代）（第四次迭代）因28（步2）將中元素按行相加得到向量，其分量，i=1,…,n。（步3）將標(biāo)準(zhǔn)化，得到W，即

，i=1,…,nW即為A的（對應(yīng)于λmax的）近似特征向量。（步4）求最大特征根近似值。（步2）將中元素按行相加得到向量，其分量29仍以前面例子中的O—C判斷矩陣為例：按列標(biāo)準(zhǔn)化

標(biāo)準(zhǔn)化，以上近似方法計算都很簡單，計算結(jié)果與實際值相差很小，且A的非一致性越弱相差越小，而當(dāng)A為一致矩陣時兩者完全相同。按行相加仍以前面例子中的O—C判斷矩陣為例：按列標(biāo)準(zhǔn)化標(biāo)準(zhǔn)化，以上近30三、層次分析法應(yīng)用舉例在應(yīng)用層次分析法研究問題時，遇到的主要困難有兩個：（1）如何根據(jù)實際情況抽象出較為貼切的層次結(jié)構(gòu)；（2）如何將某些定性的量作比較接近實際的定量化處理。層次分析法對人們的思維過程進(jìn)行了加工整理，提出了一套系統(tǒng)分析問題的方法，為科學(xué)管理和決策提供了較有說服力的依據(jù)。但層次分析法也有其局限性，主要表現(xiàn)在：（1）它在很大程度上依賴于人們的經(jīng)驗，主觀因素的影響很大，它至多只能排除思維過程中的嚴(yán)重非一致性（即矛盾性），卻無法排除決策者個人可能存在的嚴(yán)重片面性。（2）比較、判斷過程較為粗糙，不能用于精度要求較高的決策問題。AHP至多只能算是一種半定量（或定性與定量結(jié)合）的方法，如何用更科學(xué)、更精確的方法來研究問題并作出決策，還有待于進(jìn)一步的探討研究。在應(yīng)用層次分析法時，建立層次結(jié)構(gòu)模型是十分關(guān)鍵的一步。現(xiàn)再分析若干實例，以便說明如何從實際問題中抽象出相應(yīng)的層次結(jié)構(gòu)。三、層次分析法應(yīng)用舉例在應(yīng)用層次分析法研究問題時，遇到的主要31例7.14招聘工作人員某單位擬從應(yīng)試者中挑選外銷工作人員若干名，根據(jù)工作需要，單位領(lǐng)導(dǎo)認(rèn)為招聘來的人員應(yīng)具備某些必要的素質(zhì)，由此建立層次結(jié)構(gòu)如圖7.9所示。招聘人員綜合情況知識能力外表經(jīng)濟(jì)知識外語知識法律知識組織能力公關(guān)能力計算機(jī)操作氣質(zhì)身高體形C層B層A層0.250.50.25B1B2B30.1860.7370.0770.3330.3330.3330.7380.1680.094C1C2C3C4C5C6C7C8C9例7.14招聘工作人員某單位擬從應(yīng)試者中挑選外銷工作人員32該單位領(lǐng)導(dǎo)認(rèn)為，作為外銷工作人員，知識面與外觀形象同樣重要，而在能力方面則應(yīng)有稍強(qiáng)一些的要求。根據(jù)以上看法，建立A—B層成對比較判斷矩陣→

求得λmax=3，CR=0。1211121B1B2B3B3B2B1A該單位領(lǐng)導(dǎo)認(rèn)為，作為外銷工作人員，知識面與外觀形象同樣重要，33類似建立B—C層之間的三個成對比較矩陣:

注：權(quán)系數(shù)是根據(jù)后面的計算添加上去的

1C3815C231C1C3C2C1B1111C6111C5111C4C6C5C4B21C921C8751C7C9C8C7B3W=(0.186,0.737,0.077)T

=3.047,CR=0.08W=(,,)TW

=(0.738,0.168,0.094)T

=3.017,CR=0.08類似建立B—C層之間的三個成對比較矩陣:注：權(quán)系數(shù)是根據(jù)后34經(jīng)層次總排序，可求得C層中各因子Ci在總目標(biāo)中的權(quán)重分別為：0.047,0.184,0.019，0.167,0.167,0.167,0.184,0.042,0.024招聘工作可如下進(jìn)行，根據(jù)應(yīng)試者的履歷、筆試與面試情況，對他們的九項指標(biāo)作1—9級評分。設(shè)其得分為X=(x1,…,x9)T，用公式y(tǒng)=0.047x1+0.184x2+0.019x3+0.167(x4+x5+x6)+0.184x7+0.042x8+0.024x9

計算總得分，以y作為應(yīng)試者的綜合指標(biāo)，按高到低順序錄用。經(jīng)層次總排序，可求得C層中各因子Ci在總目標(biāo)中的權(quán)重分別為：35例7.15

（挑選合適的工作）經(jīng)雙方懇談，已有三個單位表示愿意錄用某畢業(yè)生。該生根據(jù)已有信息建立了一個層次結(jié)構(gòu)模型，如圖8.10所示。工作滿意程度研究課題發(fā)展前途待遇同事情況地理位置單位名氣工作1工作2工作3目標(biāo)層A準(zhǔn)則層B方案層CB1B2B3B4B5B6C1C2C3例7.15（挑選合適的工作）經(jīng)雙方懇談，已有三個單位表示36該生經(jīng)冷靜思考、反復(fù)比較，建立了各層次的成對比較矩陣：133222B611311B51B43511B314211B214111B1B6B5B4B3B2B1A該生經(jīng)冷靜思考、反復(fù)比較，建立了各層次的成對比較矩陣：13337由于比較因素較多，此成對比較矩陣甚至不是正互反矩陣。（方案層）

12C3314C21C1C3C2C1B1125C314C21C1C3C2C1B211C311C231C1C3C2C1B3由于比較因素較多，此成對比較矩陣甚至不是正互反矩陣。（方案層38(層次總排序)如表7.13所示。

表7.13準(zhǔn)則研究課題發(fā)展前途待遇同事情況地理位置單位名氣總排序權(quán)值準(zhǔn)則層權(quán)值0.160.190.190.050.120.30方案層工作10.140.100.320.280.470.770.40單排序工作20.620.330.220.650.470.170.34權(quán)值工作30.240.570.460.070.070.060.26根據(jù)層次總排序權(quán)值，該生最滿意的工作為工作1。（由于篇幅限止，本例省略了一致性檢驗）(層次總排序)如表7.13所示。表7.13準(zhǔn)則研究課題發(fā)展39例7.16

作品評比。

電影或文學(xué)作品評獎時，根據(jù)有關(guān)部門規(guī)定，評判標(biāo)準(zhǔn)有教育性、藝術(shù)性和娛樂性，設(shè)其間建立的成對比較矩陣為由此可求得W=(0.158,0.187,0.656)T，CR=0.048(<0.1)例7.16作品評比。電影或文學(xué)作品評獎時，根據(jù)有關(guān)部門40本例的層次結(jié)構(gòu)模型如圖7.11所示

電影或文學(xué)作品評比教育性藝術(shù)性娛樂性作品1作品n……0.1580.1870.656在具體評比時，可請專家對作品的教育性、藝術(shù)性和娛樂性分別打分。根據(jù)作品的得分?jǐn)?shù)X=(x1,x2,x3)T，利用公式y(tǒng)=0.158x1+0.187x2+0.656x3

計算出作品的總得分，據(jù)此排出的獲獎順序。讀者不難看出，A矩陣的建立對評比結(jié)果的影響極大。事實上，整個評比過程是在組織者事先劃定的框架下進(jìn)行的，評比結(jié)果是按組織者的滿意程度來排序的。這也說明，為了使評比結(jié)果較為理想，A矩陣的建立應(yīng)盡可能合理。本例的層次結(jié)構(gòu)模型如圖7.11所示電影或文學(xué)作品評比教育性41例7.17

教師工作情況考評。某高校為了做好教師工作的綜合評估，使晉級、獎勵等盡可能科學(xué)合理，構(gòu)造了圖7.12所示的層次結(jié)構(gòu)模型。教育工作評估教學(xué)工作量指導(dǎo)研究生數(shù)教學(xué)內(nèi)容教學(xué)效果主要刊物發(fā)表論文數(shù)一般論文數(shù)國家級獲獎項目省部級獲獎項目出版著作字?jǐn)?shù)翻譯著作字?jǐn)?shù)數(shù)量質(zhì)量論文項目著作教學(xué)科研OA1A2B1B2B3B4B5C1C2C3C4C5C6C7C8C9C10圖7.12例7.17教師工作情況考評。某高校為了做好教師工作的綜合42在C層中共列出了十項指標(biāo)，有些可用數(shù)量表示，有些只能定性表示（如教學(xué)效果只能分為若干等級）。即使對于可以定量表示的指標(biāo)，由于各指標(biāo)具有不同的量綱，例如一篇論文并不等同于一個獲獎項目，互相之間不能直接進(jìn)行比較。為此，在層次單排序與總排序時應(yīng)先統(tǒng)一化成無量綱量。如可將每一指標(biāo)分為若干等級并對每一等級規(guī)定一個合適的得分?jǐn)?shù)。然后再根據(jù)各因子的重要程度利用成對比較及層次排序來確定各因子的權(quán)。在評估某教師時，只要根據(jù)該教師的各項指標(biāo)，利用由層次分析得到的評估公式計算其最終得分即可。上述諸例有一個共同的特征，模型涉及的因素間存在著較為明確的因果關(guān)系，這些因果關(guān)系又可以分成若干個層次。同一層次中的各因素間相互影響很小基本上可略去不計，上層因素對下層的某些因素存在著逐層傳遞的支配關(guān)系，但不考慮相反的逆關(guān)系。更復(fù)雜的層次結(jié)構(gòu)可以考慮同一層次內(nèi)各因素間的相互影響，也可以考慮下層因素對上層因素的反饋?zhàn)饔?，因研究這類層次結(jié)構(gòu)需要用到更多的數(shù)學(xué)知識，本處不準(zhǔn)備再作進(jìn)一步的介紹，有興趣的讀者可以查閱有關(guān)的書籍和文獻(xiàn)。在C層中共列出了十項指標(biāo)，有些可用數(shù)量表示，有些只能定性表示43風(fēng)險型決策方法最大可能法期望值決策法及其矩陣運(yùn)算樹型決策法靈敏度分析法效用分析法風(fēng)險型決策方法最大可能法44風(fēng)險決策模型所謂決策，就是人們?yōu)榱私鉀Q當(dāng)前或未來可能發(fā)生的問題，在若干可供選擇的行動方案中，選擇一個最佳方案的過程，決策的正確與否會給人們帶來收益或損失，在一切失誤中決策的失誤是重大的失誤，因此，每個做決策的人，都應(yīng)學(xué)會科學(xué)的決策方法，避免產(chǎn)生重大損失。在決策分析中，結(jié)局經(jīng)常用利潤值和損失值來表示，如風(fēng)險決策模型所謂決策，就是人們?yōu)榱私鉀Q當(dāng)前或未來可能發(fā)生的問45其中（或）表示在方案在狀態(tài)下產(chǎn)生的利潤值（或損失值），將其列成表格的形式：（決策收益表，決策損失表，見下頁）。決策問題的關(guān)鍵是如何選擇行動方案。一般來講，首先要對每一個方案作出評價，然后根據(jù)這些評價去選擇最佳或滿意的方案。這種評價在決策分析中是以數(shù)量化形式表現(xiàn)的，即對每一個方案做出一個數(shù)量化的評價值（方案）（方案的數(shù)量化評價值）。在風(fēng)險決策中，經(jīng)常采用期望值準(zhǔn)則和效用值準(zhǔn)則。其中（或）表示在方案46d1d2…dnθ1，p(θ1)u11u12…u1nθ2，p(θ2)u21u22…u2m……………θm，p(θm)um1um2…umn狀態(tài)及概率利潤方案決策收益表方案方案狀態(tài)及概率方案利潤狀態(tài)及概率方案利潤狀態(tài)及概率方案利潤狀態(tài)及概率方案d1d2…dnθ1，p(θ1)u11u12…u1nθ2，p(θ2)u21u22…u2m……………θm，p(θm)um1um2…umn利潤狀態(tài)及概率方案d1d2…dnθ1，p(θ1)u11u12…u1nθ2，p(θ2)u21u22…u2m……………θm，p(θm)um1um2…umn利潤狀態(tài)及概率方案θ1，p(θ1)u11u12…u1nθ2，p(θ2)u21u47d1d2…dnθ1，p(θ1)l11l12…l1nθ2，p(θ2)l21l22…l2m……………θm，p(θm)lm1lm2…lmn狀態(tài)及概率損失方案決策損失表方案方案狀態(tài)及概率方案θ1，p(θ1)l11l12…l1nθ2，p(θ2)l21l48許多地理問題,常常需要在自然、經(jīng)濟(jì)、技術(shù)、市場等各種因素共存的環(huán)境下做出決策。而在這些因素中，有許多是決策者所不能控制和完全了解的。對于這樣一類地理決策問題的研究，風(fēng)險型決策方法是必不可少的方法。對于風(fēng)險型決策問題，其常用的決策方法主要有最大可能法、期望值法、靈敏度分析法、效用分析法等。在對實際問題進(jìn)行決策時，可以采用各種不同方法分別進(jìn)行計算、比較，然后通過綜合分析，選擇最佳的決策方案，這樣，往往能夠減少決策的風(fēng)險性。許多地理問題,常常需要在自然、經(jīng)濟(jì)、技術(shù)、市場等各種因素49一、最大可能法(一)最大可能法

在解決風(fēng)險型決策問題時，選擇一個概率最大的自然狀態(tài)，把它看成是將要發(fā)生的唯一確定的狀態(tài)，而把其他概率較小的自然狀態(tài)忽略，這樣就可以通過比較各行動方案在那個最大概率的自然狀態(tài)下的益損值進(jìn)行決策。這種決策方法就是最大可能法。

一、最大可能法(一)最大可能法

50應(yīng)用條件

在一組自然狀態(tài)中，某一自然狀態(tài)出現(xiàn)的概率比其他自然狀態(tài)出現(xiàn)的概率大很多，而且各行動方案在各自然狀態(tài)下的益損值差別不是很大。實質(zhì)

在"將大概率事件看成必然事件，小概率事件看成不可能事件"的假設(shè)條件下，將風(fēng)險型決策問題轉(zhuǎn)化成確定型決策問題的一種決策方法。應(yīng)用條件

在一組自然狀態(tài)中，某一自然狀態(tài)出現(xiàn)51例1：用最大可能法對第9章第1節(jié)中的例1所描述的風(fēng)險型決策問題求解。表9.1.1每一種天氣類型發(fā)生的概率及種植各種農(nóng)作物的收益例1：用最大可能法對第9章第1節(jié)中的例1所描述的風(fēng)險型決策問52解:由表可知，"極旱年"、"旱年"、"平年"、"濕潤年"、"極濕年"5種自然狀態(tài)發(fā)生的概率分別為0.1、0.2、0.4、0.2、0.1，顯然，"平年"狀態(tài)的概率最大。按照最大可能法，可以將"平年"狀態(tài)的發(fā)生看成是必然事件。而在"平年"狀態(tài)下，各行動方案的收益分別是：水稻為18千元/hm2，小麥為17千元/hm2，大豆為23千元/hm2，燕麥為17千元/hm2，顯然，大豆的收益最大。所以，該農(nóng)場應(yīng)該選擇種植大豆為最佳決策方案。解:由表可知，"極旱年"、"旱年"、"平年"、"濕潤年"、"53二、期望值決策法及其矩陣運(yùn)算期望值決策法

對于一個離散型的隨機(jī)變量X，它的數(shù)學(xué)期望為

式中:xi(n=1，2，…，n)為隨機(jī)變量X的各個取值；Pi為X=xi的概率，即Pi=P(xi)。

隨機(jī)變量X的期望值代表了它在概率意義下的平均值。期望值決策法，就是計算各方案的期望益損值，

并以它為依據(jù)，選擇平均收益最大或者平均損失最小的方案作為最佳決策方案。二、期望值決策法及其矩陣運(yùn)算期望值決策法

對54期望值決策法的計算、分析過程

①把每一個行動方案看成是一個隨機(jī)變量，而它在不同自然狀態(tài)下的益損值就是該隨機(jī)變量的取值；

②把每一個行動方案在不同的自然狀態(tài)下的益損值與其對應(yīng)的狀態(tài)概率相乘，再相加，計算該行動方案在概率意義下的平均益損值；

③選擇平均收益最大或平均損失最小的行動方案作為最佳決策方案。

期望值決策法的計算、分析過程

①把每一個行動方55例2：試用期望值決策法對表9.1.1所描述的風(fēng)險型決策問題求解。

表9.1.1每一種天氣類型發(fā)生的概率及種植各種農(nóng)作物的收益例2：試用期望值決策法對表9.1.1所描述的風(fēng)險型決策問題求56解：(1)方案：水稻B1，小麥B2，大豆B3，燕麥B4；狀態(tài)：極旱年θ1、旱年θ2、平年θ3、濕潤年θ4、極濕年θ5；方案Bi在狀態(tài)θj下的收益值aij看做該隨機(jī)變量的取值。

解：(1)方案：水稻B1，小麥B2，大豆B3，燕麥B4；57

(2)計算各個行動方案的期望收益值E(B1)＝10×0.1+12.6×0.2+18×0.4+

20×0.2+22×0.1=16.92(千元/hm2)E(B2)＝25×0.1+21×0.2+17×0.4+

12×0.2+8×0.1=16.7(千元/hm2)E(B3)＝12×0.1+17×0.2+23×0.4+

17×0.2+11×0.1=18.3(千元/hm2)

E(B4)＝11.8×0.1+13×0.2+17×0.4+

19×0.2+21×0.1=16.48(千元/hm2)(2)計算各個行動方案的期望收益值E(B4)＝11.8×58表9.2.1風(fēng)險型決策問題的期望值計算

(3)選擇最佳決策方案。

因為E(B3)＝max{E(Bi)}＝18.3（千元/hm2）

所以，種植大豆為最佳決策方案。表9.2.1風(fēng)險型決策問題的期望值計算(3)選擇最佳決59期望值決策法的矩陣運(yùn)算

假設(shè)某風(fēng)險型決策問題，有m個方案B1，B2，…，Bm；有n個狀態(tài)θ1，θ2，…,θn，各狀態(tài)的概率分別為P1,P2,…,Pn。如果在狀態(tài)θj下采取方案Bi的益損值為aij（i=1，2,…,m；j=1,2,…,n）,則方案Bi的期望益損值為

期望值決策法的矩陣運(yùn)算假設(shè)某風(fēng)險型決策問題60如果引入下述向量,,及矩陣則矩陣運(yùn)算形式為

如果引入下述向量61例2：試用期望值決策法對第9章第1節(jié)中的例1所描述的風(fēng)險型決策問題求解。在上例中，顯然有例2：試用期望值決策法對第9章第1節(jié)中的例1所描述的風(fēng)險型決62由于E(B3)=max{E(Bi)}=18.3(千元/hm2)，所以該農(nóng)場應(yīng)該選擇種植大豆為最佳決策方案。運(yùn)用矩陣運(yùn)算法則,經(jīng)乘積運(yùn)算可得úúúúúú?ùêêêêêê?é1.02.04.02.01.0由于E(B3)=max{E(Bi)}=18.363三、樹型決策法

樹型決策法,是研究風(fēng)險型決策問題經(jīng)常采取的決策方法。決策樹,是樹型決策法的基本結(jié)構(gòu)模型,它由決策點(diǎn)、方案分枝、狀態(tài)結(jié)點(diǎn)、概率分枝和結(jié)果點(diǎn)等要素構(gòu)成。三、樹型決策法樹型決策法,是研究風(fēng)險型決策問題64決策樹結(jié)構(gòu)示意圖

在圖中，小方框代表決策點(diǎn)，由決策點(diǎn)引出的各分支線段代表各個方案，稱之為方案分枝；方案分枝末端的圓圈叫做狀態(tài)結(jié)點(diǎn)；由狀態(tài)結(jié)點(diǎn)引出的各分枝線段代表各種狀態(tài)發(fā)生的概率，叫做概率分枝；概率分枝末端的小三角代表結(jié)果點(diǎn)。決策樹結(jié)構(gòu)示意圖在圖中，小方框代表決策點(diǎn)，由65樹型決策法的決策原則

樹型決策法的決策依據(jù)是各個方案的期望益損值，決策的原則一般是選擇期望收益值最大或期望損失（成本或代價）值最小的方案作為最佳決策方案。

樹型決策法進(jìn)行風(fēng)險型決策分析的邏輯順序

樹根→樹桿→樹枝，最后向樹梢逐漸展開。各個方案的期望值的計算過程恰好與分析問題的邏輯順序相反，它一般是從每一個樹梢開始，經(jīng)樹枝、樹桿、逐漸向樹根進(jìn)行。樹型決策法的決策原則

樹型決策法的決策依據(jù)是各個方案66（1）畫出決策樹。把一個具體的決策問題，由決策點(diǎn)逐漸展開為方案分支、狀態(tài)結(jié)點(diǎn)，以及概率分支、結(jié)果點(diǎn)等。（2）計算期望益損值。在決策樹中，由樹梢開始，經(jīng)樹枝、樹桿、逐漸向樹根，依次計算各個方案的期望益損值。（3）剪枝。將各個方案的期望益損值分別標(biāo)注在其對應(yīng)的狀態(tài)結(jié)點(diǎn)上，進(jìn)行比較優(yōu)選，將優(yōu)勝者填入決策點(diǎn)，用"||"號剪掉舍棄方案，保留被選取的最優(yōu)方案。用樹型決策法的一般步驟（1）畫出決策樹。把一個具體的決策問題，由決策點(diǎn)逐67(1)所謂單級風(fēng)險型決策，是指在整個決策過程中，只需要做出一次決策方案的選擇，就可以完成決策任務(wù)。實例見例3。(2)所謂多級風(fēng)險型決策，是指在整個決策過程中，需要做出多次決策方案的選擇，才能完成決策任務(wù)。實例見例4。單級風(fēng)險型決策與多級風(fēng)險型決策(1)所謂單級風(fēng)險型決策，是指在整個68例3：某企業(yè)為了生產(chǎn)一種新產(chǎn)品，有3個方案可供決策者選擇：一是改造原有生產(chǎn)線；二是從國外引進(jìn)生產(chǎn)線；三是與國內(nèi)其他企業(yè)協(xié)作生產(chǎn)。該種產(chǎn)品的市場需求狀況大致有高、中、低3種可能，據(jù)估計，其發(fā)生的概率分別是0.3、0.5、0.2。表9.2.2給出了各種市場需求狀況下每一個方案的效益值。試問該企業(yè)究竟應(yīng)該選擇哪一種方案？表9.2.2某企業(yè)在采用不同方案生產(chǎn)某種新產(chǎn)品的效益值例3：某企業(yè)為了生產(chǎn)一種新產(chǎn)品，有3個方案可供決策者選擇：一69解：該問題是一個典型的單級風(fēng)險型決策問題，現(xiàn)在用樹型決策法求解這一問題。(1)畫出該問題的決策樹(圖9.2.2所示)。圖9.2.2單級風(fēng)險型決策問題的決策樹解：該問題是一個典型的單級風(fēng)險型決策問題，現(xiàn)在用樹型決策法求70(2)計算各方案的期望效益值。①狀態(tài)結(jié)點(diǎn)V1的期望效益值為

EV1＝200×0.3+100×0.5+20×0.2=114（萬元）②狀態(tài)結(jié)點(diǎn)V2的期望效益值為

EV2＝220×0.3+120×0.5+60×0.2＝138（萬元）③狀態(tài)結(jié)點(diǎn)V3的期望效益值為

EV3＝180×0.3+100×0.5+80×0.2＝120（萬元）(2)計算各方案的期望效益值。71(3)剪枝。因為EV2>EV1,EV2>EV3，所以，剪掉狀態(tài)結(jié)點(diǎn)V1和V3所對應(yīng)的方案分枝，保留狀態(tài)結(jié)點(diǎn)V2所對應(yīng)的方案分枝。即該問題的最優(yōu)決策方案應(yīng)該是從國外引進(jìn)生產(chǎn)線。(3)剪枝。因為EV2>EV1,EV272例4:某企業(yè)，由于生產(chǎn)工藝較落后，產(chǎn)品成本高，在價格保持中等水平的情況下無利可圖，在價格低落時就要虧損，只有在價格較高時才能盈利。鑒于這種情況，企業(yè)管理者有意改進(jìn)其生產(chǎn)工藝，即用新的工藝代替原來舊的生產(chǎn)工藝?，F(xiàn)在，取得新的生產(chǎn)工藝有兩種途徑：一是自行研制，但其成功的概率是0.6；二是購買專利，估計談判成功的概率是0.8。例4:某企業(yè)，由于生產(chǎn)工藝較落后，產(chǎn)品成本高，在價格保持中等73如果自行研制成功或者談判成功，生產(chǎn)規(guī)模都將考慮兩種方案：一是產(chǎn)量不變；二是增加產(chǎn)量。如果自行研制或談判都失敗，則仍采用原工藝進(jìn)行生產(chǎn)，并保持原生產(chǎn)規(guī)模不變。據(jù)市場預(yù)測，該企業(yè)的產(chǎn)品今后跌價的概率是0.1，價格保持中等水平的概率是0.5，漲價的概率是0.4。表9.2.3給出了各方案在不同價格狀態(tài)下的效益值。試問，對于這一問題，該企業(yè)應(yīng)該如何決策？如果自行研制成功或者談判成功，生產(chǎn)規(guī)模都將考74解：這個問題是一個典型的多級（二級）風(fēng)險型決策問題，下面仍然用樹型決策法解決該問題。(1)畫出決策樹（圖9.2.3）。表9.2.3某企業(yè)各種生產(chǎn)方案下的效益值(單位：萬元)方案效益價格狀態(tài)（概率）解：這個問題是一個典型的多級（二級）風(fēng)險型決策問題，下面仍然75風(fēng)險決策模型層次分析法課件76(2)

計算期望效益值，并進(jìn)行剪枝：①狀態(tài)結(jié)點(diǎn)V7的期望效益值為

EV7＝(-200)×0.1+50×0.5+150×0.4＝65（萬元）

狀態(tài)結(jié)點(diǎn)V8的期望效益值為

EV8＝(-300)×0.1+50×0.5+250×0.4＝95（萬元）由于EV8>EV7，所以，剪掉狀態(tài)結(jié)點(diǎn)V7對應(yīng)的方案分枝，并將EV8的數(shù)據(jù)填入決策點(diǎn)V4，即令EV4＝EV8＝95（萬元）。(2)計算期望效益值，并進(jìn)行剪枝：77

②狀態(tài)結(jié)點(diǎn)V3的期望效益值為

EV3＝(-100)×0.1+0×0.5+100×0.4＝30（萬元）。所以，狀態(tài)結(jié)點(diǎn)V1的期望效益值為

EV1=30×0.2+95×0.8=82(萬元)。②狀態(tài)結(jié)點(diǎn)V3的期望效益值為

EV3＝(-100)×078

③

狀態(tài)結(jié)點(diǎn)V9的期望效益值為

EV9＝(-200)×0.1+0×0.5+200×0.4＝60（萬元）；狀態(tài)結(jié)點(diǎn)V10的期望效益值為

EV10＝(-300)×0.1+(-250)×0.5+600×0.4＝85（萬元）。

由于EV10>EV9，所以，剪掉狀態(tài)結(jié)點(diǎn)V9對應(yīng)的方案分枝，將EV10的數(shù)據(jù)填入決策點(diǎn)V5。

即令EV5＝EV10＝85（萬元）。③狀態(tài)結(jié)點(diǎn)V9的期望效益值為

79④狀態(tài)結(jié)點(diǎn)V6的期望效益值為

EV6＝(-100)×0.1+0×0.5+100×0.4＝30（萬元），所以，狀態(tài)結(jié)點(diǎn)V2期望效益值為

EV2=30×0.4+85×0.6=63(萬元)。④狀態(tài)結(jié)點(diǎn)V6的期望效益值為

EV6＝(-100)×80⑤由于EV1>EV2,所以，剪掉狀態(tài)結(jié)點(diǎn)V2對應(yīng)的方案分枝將EV1的數(shù)據(jù)填入決策點(diǎn)EV，即令

EV＝EV1＝82（萬元）。

綜合以上期望效益值計算與剪枝過程可知，該問題的決策方案應(yīng)該是：首先采用購買專利方案進(jìn)行工藝改造，當(dāng)購買專利改造工藝成功后，再采用擴(kuò)大生產(chǎn)規(guī)模（即增加產(chǎn)量）方案進(jìn)行生產(chǎn)。⑤由于EV1>EV2,所以，剪掉狀態(tài)結(jié)點(diǎn)81問題

某郵局要求當(dāng)天收寄的包裹當(dāng)天處理完畢。根據(jù)以往統(tǒng)計記錄，每天收寄包裹的情況見表收寄包裹數(shù)（個）41~5051~6061~7071~8081~90占的比例10%15%30%25%20%收寄包裹情況表已知每個郵局職工平均每小時處理4個包裹，每小時工資為5元，規(guī)定每人每天實際工作7小時。如加班工作，每小時工資額增加50%，但加班時間每人每天不得超過5小時（加班時間以小時計，不足1小時按1小時計算）。試確定該郵局最優(yōu)雇傭工人的數(shù)量。問題收寄包裹數(shù)（個）41~5051~6061~7071~82假設(shè)

設(shè)d1表示方案“雇傭2個工人”；d2表示方案“雇傭3個工人”。表示收寄的包裹數(shù)位于區(qū)間

建模

因為每人每天最多處理的包裹數(shù)量為（個)正常處理包裹數(shù)為4×7=28（個），而每天需要處理的包裹數(shù)最多為90個。故我們只考慮兩個方案d1，d2。將在不同狀態(tài)不同方案下，郵局支付工人的工資數(shù)列成下表假設(shè)83支付工資方案狀態(tài)概率狀態(tài)概率狀態(tài)概率支付工資方案支付工資方案支付工資方案狀態(tài)概率狀態(tài)概率狀態(tài)概率支付工資方案支付工資方案84求解

根據(jù)期望值準(zhǔn)則，若雇傭兩個工人，則郵局的平均支付工資為E(d1)=0.10×70+0.15×77.5+0.30×100+0.25×115+0.20×137.5=104.875（元）若雇傭三個工人，則郵局的平均支付工資為E(d2)=0.10×105+0.15×105+0.30×105+0.25×105+0.20×120=108（元）因為E(d1)<E(d2)，故從郵局的角度看，最優(yōu)雇傭工人的數(shù)量為2.期望值準(zhǔn)則可以借助“決策樹”使決策問題形象直觀，便于討論。求解85θ10.10θ30.30θ40.25θ50.20θ10.10θ20.15θ30.30θ40.25θ50.20θ20.15d1d2104.875104.8757010877.5100115137.5105105105105120θ10.10θ30.3086問題：某土木工程采用正常速度施工，若無壞天氣的影響，工程可確保在30天內(nèi)按期完工，但是根據(jù)天氣預(yù)報，15天后天氣肯定變壞，有40%的可能出現(xiàn)陰雨天氣而不影響工期，有50%的可能遇到小風(fēng)暴而使工期推遲15天，另有10%的可能遇到大風(fēng)暴而使工期推遲20天。對于可能出現(xiàn)的情況，可慮兩種方案：（1）提前緊急加班，確保工程在15天內(nèi)完成，實施此方案將增加工資支付18千元。（2）先維持原定的施工進(jìn)度，到15天后根據(jù)實際出現(xiàn)的天氣狀況再作對策。若遇到陰雨天，則維持正常進(jìn)度，不必支付額外費(fèi)用；若遇到小風(fēng)暴，則有兩個備選方案（a）維持正常進(jìn)度，支付工程延期損失費(fèi)20千元；（b）采取應(yīng)急措施，問題：87實施此措施可能有三種結(jié)果：有50%的可能減少誤工期1天，支付延期損失費(fèi)和應(yīng)急費(fèi)用24千元；有30%的可能減少誤工期2天，支付延期損失費(fèi)和應(yīng)急費(fèi)用18千元；有20%的可能減少誤工期3天，支付延期損失費(fèi)和應(yīng)急費(fèi)用12千元。若遇到大風(fēng)暴，則仍有兩個方案可供選擇（c）維持正常進(jìn)度，支付工程延期損失費(fèi)用50千元；（d）采用應(yīng)急措施，實施此措施可能出現(xiàn)三種結(jié)果：有70%的可能減少誤工期2天，支付延期損失費(fèi)和應(yīng)急費(fèi)用54千元；有20%的可能減少誤工期3天，支付延期損失費(fèi)和應(yīng)急費(fèi)用46千元；有10%的可能減少誤工期4天，支付延期損失費(fèi)和應(yīng)急費(fèi)用38千元。試確定最佳方案。實施此措施可能有三種結(jié)果：有50%的可能減少誤工期88假設(shè)

設(shè)d1表示方案“提前緊急加班，確保工程在15天內(nèi)完成”；d2表示方案“按原定速度施工15天，再根據(jù)實際出現(xiàn)的天氣狀況作決策”；d3表示方案“15天后遇到小風(fēng)暴采取應(yīng)急措施”；d4表示方案“15天后遇到小風(fēng)暴仍維持正常度”；d5表示方案“15天后遇到大風(fēng)暴采取應(yīng)急措施”；d6表示方案“15天后遇到大風(fēng)暴仍維持正常進(jìn)度”。θi表示“減少誤工期i天”，i=1,2,3,4.θ5表示“陰雨天氣”，θ6表示“小風(fēng)暴”，θ7表示“大風(fēng)暴”。為解決這個復(fù)雜的決策問題，我們采用期望值準(zhǔn)則?，F(xiàn)在可能遇到的各種情況用決策樹表示，如圖所示（見下頁）假設(shè)89d1d2d3d4d5d6θ7θ6θ50.4θ10.5θ20.3θ30.2θ20.7θ30.2θ40.114.914.90.50.15019.850.8180241812205446385019.8d1d2d3d4d5d6θ7θ6θ590求解根據(jù)決策樹，自右向左，計算各方案的期望值E(d3)=0.5×24+0.3×18+0.2×12=19.8,E(d5)=0.7×54+0.2×46+0.1×38=50.8,E(d2)=0.4×0+0.5×19.8+0.1×50=14.9.因為E(d3)<E(d4)=20，E(d5)>E(d6)=50，E(d2)<E(d1)=18，求解91所以去掉方案分支d1，d4，d5。留下的方案即為最佳方案，即開始以正常速度施工，15天后根據(jù)實際出現(xiàn)的天氣狀況再做進(jìn)一步的決策。出現(xiàn)陰雨天氣，則維持正常速度施工；出現(xiàn)小風(fēng)暴，則采取應(yīng)急措施；出現(xiàn)大風(fēng)暴，則仍按正常速度施工。整個方案的期望損失值為14.9千元。所以去掉方案分支d1，d4，d5。留下的方案即為92四風(fēng)險決策的靈敏度分析風(fēng)險決策的關(guān)鍵在于各種自然狀態(tài)出現(xiàn)的概率是已知的，而且是根據(jù)過去經(jīng)驗估計出來的，所以根據(jù)這樣的概率值計算出來的損益值，不可能十分精確可靠。一旦概率值有了變化，據(jù)以確定的決策方案是否仍然有效，就成為值得重視的問題。因此在決策過程中，有必要了解概率值變化對最優(yōu)方案的選擇究竟存在多大影響，即概率變化到什么程度才引起方案的變化，這一臨界點(diǎn)的概率稱為轉(zhuǎn)折概率。對決策問題作出的這種分析，稱為靈敏度分析或敏感性分析。四風(fēng)險決策的靈敏度分析風(fēng)險決策的關(guān)鍵在于各93

經(jīng)過靈敏度分析之后，如果決策者所選擇的最優(yōu)方案不因自然狀態(tài)概率在其允許的誤差范圍內(nèi)變動而變動，那么這個方案就是比較可靠的。

靈敏度分析的步驟1.求出在保持最優(yōu)方案穩(wěn)定的前提下，各自然狀態(tài)概率所容許的變動范圍。2.衡量用來預(yù)測和估算這些自然狀態(tài)概率的方法，其精度是否能保證所得概率值在此允許的誤差范圍內(nèi)變動。3.判斷所作決策的可靠性。經(jīng)過靈敏度分析之后，如果決策者所選擇的最優(yōu)方案不因94例：某企業(yè)擬擴(kuò)大產(chǎn)品產(chǎn)量，現(xiàn)有兩種方案可供選擇：一是新建生產(chǎn)線；二是改造生產(chǎn)線。該企業(yè)管理者經(jīng)過研究，運(yùn)用期望值決策法編制出決策分析表。由于市場情況極其復(fù)雜，它受許多不可控因素的影響，因而銷售狀態(tài)的概率可能會發(fā)生變化。試針對這種情況，進(jìn)行靈敏度分析。某企業(yè)擴(kuò)大產(chǎn)品產(chǎn)量決策分析表例：某企業(yè)擬擴(kuò)大產(chǎn)品產(chǎn)量，現(xiàn)有兩種方案可供選擇：一是新建生產(chǎn)95解:(1)以最大期望效益值為準(zhǔn)則確定最佳方案

E(B1)＝max{E(B1),E(B2)}=290萬元，

所以，新建生產(chǎn)線（B1）為最佳方案。

(2)靈敏度分析。當(dāng)考慮市場銷售狀態(tài)中適銷的概率由0.7變?yōu)?.3時，則兩個方案的期望效益值的變化為

E(B1)＝10萬元，

E(B2)＝20萬元。解:(1)以最大期望效益值為準(zhǔn)則確定最佳方案

96所以，在0.7與0.3之間一定存在一點(diǎn)P，當(dāng)適銷狀態(tài)的概率等于P時，新建生產(chǎn)線方案與改造原生產(chǎn)線方案的期望效益值相等。P稱為轉(zhuǎn)折概率500P+(1-P)(-200)=300P+(1-P)(-100)

P＝0.33

所以，當(dāng)P>0.33時，新建生產(chǎn)線（B1）為最佳方案；當(dāng)P<0.33時，改造原生產(chǎn)線方案（B2）為最佳方案。所以，在0.7與0.3之間一定存在一點(diǎn)P，當(dāng)適銷狀態(tài)的97問題：某公路工程隊簽署一項開赴遠(yuǎn)地施工的合同，由于出發(fā)之前有一段必要的準(zhǔn)備時間，現(xiàn)面臨著決定是否在下月開工的問題。如開工后天氣好，則當(dāng)月可順利完工，獲利潤12.5萬元；如果開工后天氣不好，則將造成各種損失計4.8萬元。若決定下月不開工，即就地待命，那么，若天氣好可臨時承包一些零星工程，獲利潤6.5萬元；若天氣不好，則付出損失費(fèi)（主要是窩工費(fèi)）1.2萬元。根據(jù)氣象預(yù)測，下月天氣好的概率為0.65，天氣不好的概率為0.35.該隊領(lǐng)導(dǎo)人該如何決策才能獲得最大收益。問題：98θ10.65θ20.35θ10.65θ20.35d2d16.4456.4453.80512.5-4.86.5-1.23.8053.8053.805θ20.35θ20.35θ20.35θ20.353.805θ20.353.805θ20.353.805θ20.356.4453.805θ20.356.4456.4453.805θ20.35d26.4456.4453.805θ20.35θ10.65θ20.353.805θ20.35θ10.65θ20.35θ10.65d26.4456.44512.5-4.86.512.5-4.8-1.26.512.5-4.83.805θ20.35θ10.65θ20.35-1.26.512.5-4.8假設(shè)：d1表示方案“開