高數(shù)-第2章導(dǎo)數(shù)與微分9曲率_第1頁(yè)
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第五節(jié)曲率與曲率圓一、弧微分

設(shè)在區(qū)間(a,b)

內(nèi)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，為曲線(xiàn)上固定一點(diǎn).

規(guī)定：依增大的方向作為曲線(xiàn)的正向.為曲線(xiàn)上的任一點(diǎn).令

有向弧段：與曲線(xiàn)方向一致時(shí)為正；當(dāng)與曲線(xiàn)方向相反時(shí)為負(fù)，故為的單調(diào)增函數(shù)考慮于是令△x→0,得由規(guī)定所以或（弧微分公式）二、曲率及其計(jì)算公式曲率是描述曲線(xiàn)局部性質(zhì)（彎曲程度）的量．))弧段彎曲程度越大切線(xiàn)轉(zhuǎn)角越大轉(zhuǎn)角相同弧段越短彎曲程度越大1、曲率的定義)可以證明：弧段彎曲程度與切線(xiàn)轉(zhuǎn)角成正比，與弧長(zhǎng)成反比.yxo（設(shè)曲線(xiàn)C是光滑的，（定義曲線(xiàn)C在點(diǎn)M處的曲率問(wèn)題：曲率的定義是否合理？考察常見(jiàn)圖形：直線(xiàn)，圓。2、曲率的計(jì)算公式問(wèn)題(1)

直線(xiàn)的曲率處處為零;(2)

圓上各點(diǎn)處的曲率處處相等.例求函數(shù)的曲率.注意①當(dāng)曲線(xiàn)是參數(shù)方程時(shí)例求半徑為R的圓上任一點(diǎn)處的的曲率.②當(dāng)曲線(xiàn)是極坐標(biāo)方程r＝r(θ)時(shí),代入?yún)?shù)方程的曲率公式立得。三、曲率圓與曲率半徑定義1.曲線(xiàn)上一點(diǎn)處的曲率半徑與曲線(xiàn)在該點(diǎn)處的曲率互為倒數(shù).注意:2.曲線(xiàn)上一點(diǎn)處的曲率半徑越大,曲線(xiàn)在該點(diǎn)處的曲率越小(曲線(xiàn)越平坦);曲率半徑越小,曲率越大(曲線(xiàn)越彎曲).3.曲線(xiàn)上一點(diǎn)處的曲率

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