含時間因素的貨幣等值計算教材課件

第三章含時間因素的貨幣等值計算第三章含時間因素的貨幣等值計算講授內(nèi)容一、利息計算公式二、等值的計算三、電子表格的運用講授內(nèi)容一、利息計算公式一、利息計算公式（一）利息的種類1、單利利息；2、復利利息（二）現(xiàn)金流量圖（CashFlowDiagram）（三）利息計算公式1、一次支付復利公式；2、一次支付現(xiàn)值公式3、等額支付系列復利公式；4、等額支付系列積累基金公式5、等額支付系列資金恢復公式；6、等額支付系列現(xiàn)值公式7、均勻梯度系列公式（四）運用利息公式應(yīng)注意的問題（五）名義利率和有效利率1、離散式復利；2、連續(xù)式復利一、利息計算公式（一）利息的種類（一）利息的種類假設(shè)以年利率6%借入資金1000元，共借4年，其償還情況如表所示：（一）利息的種類假設(shè)以年利率6%借入資金1000元，共借4年1、單利計息即每期均按原始本金計算利息，這種計息方式稱為單利（計息）。利息與時間呈線性關(guān)系，不論計息期數(shù)為多大，只有本金計息，而利息本身不再計息。設(shè)P代表本金，n代表計息期數(shù)，i代表利率，I代表所付或所收的總利息，F(xiàn)代表本利和，則有：I=PniF=P(1+ni)1、單利計息即每期均按原始本金計算利息，這種計息方式稱為單利2、復利計息將本期的利息轉(zhuǎn)為下期的本金，下期將按本利和的總額計息，這種計息方式稱為復利（計息）。同樣設(shè)P代表本金，n代表計息期數(shù)，i

代表利率，I代表所付或所收的總利息，F(xiàn)代表本利和，則有：F=P(1+i)

nI=P{(1+i)n?1}2、復利計息將本期的利息轉(zhuǎn)為下期的本金，下期將按本利和的總額我國銀行目前名義上用的還是單利計算，只是通過存期的不同，規(guī)定不同的單利利率。我國當前居民銀行存款利率：一年（2.25%）；二年（2.79%）；三年（3.33%）；五年（3.60%）貸款利率：半年至一年（5.31%）；一至三年（5.40%）；三至五年（5.76%）；五年以上（5.94%）我國銀行目前名義上用的還是單利計算，只是通過存期的不同，規(guī)定符號定義：

P—現(xiàn)值

F—終值

i—年利率

n—計息期數(shù)

A—年金（年值）Annuity計息期末等額發(fā)生的現(xiàn)金流量

G—等差支付系列中的等差變量符號定義：（三）利息公式第一年年初:P第一年年末:P(1+i)第二年年末:P(1+i)+P(1+i)i=P(1+i)2

……第n年年末:P(1+i)n（三）利息公式第一年年初:P（三）利息公式1、一次支付復利公式F=P（1+i）ni

——利率(interestrate)；n

——計息期數(shù)(number)；P

——現(xiàn)在值(PresentValue/worth)；F

——將來值(FutureValue/worth)；(1+i)n

——一次支付復利系數(shù)(single-paymentcompoundamountfactor)，有時記為（F/P,i,n）,則有F=P(F/P,i,n)（三）利息公式1、一次支付復利公式案例在第一年年初，以年利率6%投資1000元，則到第四年年末可得本利和多少？案例在第一年年初，以年利率6%投資1000元，則到第四年2、一次支付現(xiàn)值公式

一次支付現(xiàn)值系數(shù)2、一次支付現(xiàn)值公式一次支付現(xiàn)值系數(shù)案例為了在第四年年末得到1262.50元，按年利率6%計算，現(xiàn)在必須投資多少？答：或案例為了在第四年年末得到1262.50元，按年利率6%計3、等額支付系列復利公式

…等額支付系列復利系數(shù)3、等額支付系列復利公式…等額支付系列復利系數(shù)案例連續(xù)5年每年年末借款1000元，按年利率6%計算，第5年年末累積借款多少？答：

案例連續(xù)5年每年年末借款1000元，按年利率6%計算，第4、等額支付系列積累基金公式

等額支付系列積累基金系數(shù)4、等額支付系列積累基金公式等額支付系列積累基金系數(shù)案例如果要在第5年年末得到資金1000元，按年利率6%計算，從現(xiàn)在起連續(xù)5年每年必須存儲多少？答：

案例如果要在第5年年末得到資金1000元，按年利率6%計⒌等額支付系列資金回收（恢復）公式等額支付系列資金回收現(xiàn)金流量圖0123……………….n-1n年P(guān)AAA……………….

？=AAF⒌等額支付系列資金回收（恢復）公式等額支付系列資金回收現(xiàn)金=（A/P，i，n）_____資金回收系數(shù)（capitalrecoveryfactor）

(1+i)n

-1i(1+i)n

而于是=P（A/P，i，n）i=(1+i)n

-1A(1+i)n

P=（A/P，i，n）_____資金回收系數(shù)(1+i)n-15、等額支付系列資金恢復公式

等額支付系列資金恢復系數(shù)5、等額支付系列資金恢復公式等額支付系列案例如果現(xiàn)在以年利率5%投資1000元，在今后的8年中，每年年末以相等的數(shù)額提取回收本利和，則每年年末可以等額提取多少？

案例如果現(xiàn)在以年利率5%投資1000元，在今后的8年中，6、等額支付系列現(xiàn)值公式

等額支付系列現(xiàn)值系數(shù)6、等額支付系列現(xiàn)值公式等額支付系列案例按年利率6%計算，為了能夠在今后5年中每年年末得到100萬元的利潤，假設(shè)不考慮殘值的影響，現(xiàn)在應(yīng)投資多少？答：

案例按年利率6%計算，為了能夠在今后5年中每年年末得到1含時間因素的貨幣等值計算教材課件7、均勻梯度系列公式某工廠購進一臺機器設(shè)備，每年都需要設(shè)備制造商提供一次有償維護服務(wù)，該機器設(shè)備隨著使用而日益老化，所需勞動力和備件將越來越多，所需維護費用也將逐步增加，該工廠可選擇以下兩種維護費支付方式：（1）在使用n年以后再支付前n年的維護費；（2）在購進機器時一次性支付n年維護費；已知第一年年末的維護費用為A1，當每年的維護費用以相同的金額G增加時，在考慮資金時間價值的情況下，這兩種方式分別應(yīng)支付多少維護費？7、均勻梯度系列公式某工廠購進一臺機器設(shè)備，每年都需要設(shè)備制7、均勻梯度系列公式如果將上面現(xiàn)金流量圖轉(zhuǎn)化為等額支付系列：（1）第一種支付方式：等額支付系列復利公式（F）；（2）第二種支付方式：等額支付系列現(xiàn)值公式（P）；

7、均勻梯度系列公式如果將上面現(xiàn)金流量圖轉(zhuǎn)化為等額支付系列：7、均勻梯度系列公式7、均勻梯度系列公式7、均勻梯度系列公式等額支付系列積累基金公式

等額支付系列資金恢復公式

等額支付系列復利公式：

7、均勻梯度系列公式等額支付系列積累基金公式等額支付系列資7、均勻梯度系列公式等額支付系列復利系數(shù)梯度系數(shù)（A/G,i,n）7、均勻梯度系列公式等額支付系列復利系數(shù)梯度系數(shù)案例假定某人第一年末把1000元存入銀行，以后9年每年遞增存款200元。如果年利率為8%，把這筆存款折算成10年的年末等額支付系列，相當于每年存入多少？答：

案例假定某人第一年末把1000元存入銀行，以后9年每年遞案例假定某人第一年末把5000元存入銀行，以后5年每年遞減600元。如果年利率為9%，把這筆存款折算成6年的年末等額支付系列，相當于每年存入多少？答：

案例假定某人第一年末把5000元存入銀行，以后5年每年遞等比梯度系列等比梯度系列8、運用利息公式應(yīng)注意的問題（1）為了實施方案的初始投資，假定發(fā)生在方案的壽命期初；（2）方案實施工程中的經(jīng)常性支出，假定發(fā)生在計息期末；（3）本年的年末即是下一年的年初；（4）P是在當前年度開始時發(fā)生；（5）F是在當前以后的第n年年末發(fā)生；（6）A是在考察期間各年年末發(fā)生。當問題包括P和A時，系列的第一個A是在P發(fā)生一年后的年末發(fā)生；當問題包括F和A時，系列的最后一個A是和F同時發(fā)生；（7）均勻梯度系列中，第一個G發(fā)生在系列的第二年年末。8、運用利息公式應(yīng)注意的問題（1）為了實施方案的初始投資，假（四）名義利率和有效利率當利率的時間單位與計息期不一致時，就出現(xiàn)了名義利率和有效利率的概念。有效利率(effectiveinterestrate)：資金在計息期所發(fā)生的實際利率。(年)名義利率(nominalinterestrate)：當計息期短于一年時，每一計息期的有效利率乘上一年中計息期數(shù)所得到的年利率。例如，“每半年計息一次，計息期的利率為3%”，3%為實際計息用的利率，即有效利率。3%×2=6%為(年)名義利率。（四）名義利率和有效利率當利率的時間單位與計息期不一致時，就（四）名義利率和有效利率有效利率和名義利率的關(guān)系實際上是復利和單利的關(guān)系。例如，“年利率12%，每月計息一次”。此時，12%為名義利率，年有效利率為：（四）名義利率和有效利率有效利率和名義利率的關(guān)系實際上是復利案例如果實際的年有效利率為12%，按每月計息一次，那么實際的月有效利率為多少？年名義利率為多少？解析：假設(shè)月實際利率為r，則有：(1+r)12=1+12%

從而可估算出月有效利率為0.95%；年名義利率為：12×0.95%=11.4%。案例如果實際的年有效利率為12%，按每月計息一次，那1、離散式復利離散式復利：按期（年、季、月和日）計息的方法。例如：年利率為6%，每半年計息一次，有效年利率是多少？年利率為6%，每月計息一次，有效年利率又是多少？兩者進行比較后可以得出什么結(jié)論？一年中計算復利的次數(shù)越頻繁，則年有效利率比年名義利率越高。1、離散式復利離散式復利：按期（年、季、月和日）計息的方法。1、離散式復利如果名義利率為r，一年中計算利息n次，每次計息的利率為r/n，根據(jù)一次支付復利系數(shù)公式，年末本利和為：1、離散式復利如果名義利率為r，一年中計算利息n次，每案例假定某人把1000元進行投資，時間為10年，利息按年利率8%，每季度計息一次計算，求10年末的將來值？解析：每年計息4次，10年的計息期為4×10=40次，每一計息期的有效利率為8%÷4=2%，10年末的將來值：

名義利率為8%，每年的計息期n=4,年有效利率為：

案例假定某人把1000元進行投資，時間為10年，利息名義利率為6%，計息期不同時的年有效利率比較：由小到大頻率增大名義利率為6%，計息期不同時的年有效利率比較：由小到大頻率增連續(xù)復利下的利息計算公式

連續(xù)復利下的利息計算公式二、等值的計算478.20012345678年300i=6%012345678年i=6%

同一利率下不同時間的貨幣等值

在某項經(jīng)濟活動中，如果兩個方案的經(jīng)濟效果相同，就稱這兩個方案是等值的。例如：在年利率6%情況下，現(xiàn)在的300元等值于8年末的300×(1+0.06)8=478.20元。這兩個等值的現(xiàn)金流量如下圖所示。（一）等值的概念二、等值的計算478.20012即使金額相等，由于發(fā)生的時間不同，其價值并不一定相等；反之，不同時間上發(fā)生的金額不等，其貨幣的價值卻可能相等。貨幣的等值包括三個因素

金額金額發(fā)生的時間利率

如果兩個現(xiàn)金流量等值，則在任何時間其相應(yīng)的值必定相等。貨幣等值是考慮了貨幣的時間價值即使金額相等，由于發(fā)生的時間不同，其價值并不一定相等；貨幣的

從利息表上查到，當n=9，1.750落在6%和7%之間。6%的表上查到1.6897%的表上查到1.839從用直線內(nèi)插法可得(二)計息期為一年的等值計算相同有效利率名義利率直接計算

例：當利率為多大時，現(xiàn)在的300元等值于第9年年末的525元？解：F=P(F/P,i,n)525=300(F/P,i,9)(F/P,i,9)=525/300=1.750從利息表上查到，當n=9，1.750落在6%和

計算表明，當利率為6.41%時，現(xiàn)在的300元等值于第9年年末的525元。例：當利率為8%時，從現(xiàn)在起連續(xù)6年的年末等額支付為多少時與第6年年末的10000等值？

A=F（A/F,8%,6）=10000(0.1363)=1363元/年

計算表明，當利率為8%時，從現(xiàn)在起連續(xù)6年1363元的年末等額支付與第6年年末的10000等值。解：100000123456年i=8%0123456年A=？i=8%計算表明，當利率為6.41%時，現(xiàn)在的3

例：當利率為10%時，從現(xiàn)在起連續(xù)5年的年末等額支付為600元，問與其等值的第0年的現(xiàn)值為多大？解：

P=A(P/A,10%,5)=2774.59元計算表明，當利率為10%時，從現(xiàn)在起連續(xù)5年的600元年末等額支付與第0年的現(xiàn)值2274.50元是等值的。(三)計息期短于一年的等值計算如計息期短于一年，仍可利用以上的利息公式進行計算，這種計算通常可以出現(xiàn)下列三種情況：例：當利率為10%時，從現(xiàn)在起連續(xù)5年的年末等額支付為

1.計息期和支付期相同例：年利率為12%，每半年計息一次，從現(xiàn)在起，連續(xù)3年，每半年為100元的等額支付，問與其等值的第0年的現(xiàn)值為多大？

解：每計息期的利率

（每半年一期）n=(3年)×(每年2期)=6期

P=A（P/A，6%，6）=100×4.9173=491.73元計算表明，按年利率12%，每半年計息一次計算利息，從現(xiàn)在起連續(xù)3年每半年支付100元的等額支付與第0年的現(xiàn)值491.73元的現(xiàn)值是等值的。1.計息期和支付期相同（每半年一期）n=(3

例：求等值狀況下的利率。假如有人目前借入2000元，在今后兩年中分24次等額償還，每次償還99.80元。復利按月計算。試求月有效利率、名義利率和年有效利率。解：現(xiàn)在99.80=2000（A/P，i,24）（A/P，i,24）=99.80/2000=0.0499

查表，上列數(shù)值相當于i=1.5%。因為計息期是一個月，所以月有效利率為1.5%。名義利率：

r=(每月1.5%）×（12個月）=18%

年有效利率：例：求等值狀況下的利率。假如有人目前

2.計息期長于于支付期

通常規(guī)定存款必須存滿整個一個計息期時才計算利息，在計息期間存入的款項在該期不計算利息。

計息期間的存款應(yīng)放在期末，而計息期間的提款應(yīng)放在期初。

2.計息期長于于支付期計息期間的存款應(yīng)放在期末，而計息期間的提款應(yīng)放在期初。

每季度計息一次，年利率8％，求年底帳戶總額。

例：250400100存款提款1001000123456789101112（月）

(二)計息期大于支付期的情況計息期間的存款應(yīng)放在期末，而計息期間的提款應(yīng)放在期初。每季解：按上述原則，現(xiàn)金流量圖可改畫為：10025040010020001234季度300解：按上述原則，現(xiàn)金流量圖可改畫為：100250400100

例:求每半年向銀行借1400元，連續(xù)借10年的等額支付系列的等值將來值。利息分別按:1）年利率為12％,每年計息一次。

2）年利率為12％，每半年計息一次

3）年利率12％，每季度計息一次，這三種情況計息。01210年28002800140014002800解：1）計息期長于支付期1400例:求每半年向銀行借1400元，連續(xù)借10年的等額支付2）計息期等于支付期F=1400(F/A,12%÷2，102）＝51500（元）3）計息期短于支付期F=1400(A/F，3%，2)(F/A，3%，410）＝52000（元）0123414001400i＝12％÷4＝3％A=1400(A/F,3%,2)季度2）計息期等于支付期F=1400(F/A,12%÷2，10

3.計息期短于支付期例：按年利率為12%，每季度計息一次計算利息，從現(xiàn)在起連續(xù)3年的等額年末支付借款為1000元，問與其等值的第3年年末的借款金額為多大？

解：其現(xiàn)金流量如下圖

0123456789101112季度F=？1000100010003.計息期短于支付期0

第一種方法：取一個循環(huán)周期，使這個周期的年末支付轉(zhuǎn)變成等值的計息期末的等額支付系列，其現(xiàn)金流量見下圖：012342392392392390123410001000將年度支付轉(zhuǎn)化為計息期末支付（單位：元）

A=F（A/F，3%，4）=1000×0.2390=239元（A/F，3%，4）第一種方法：取一個循環(huán)周期，使這個周期的年末

239F=？季度0123456789101112經(jīng)轉(zhuǎn)變后計息期與支付期重合（單位：元）F=A（F/A，3%，12）=239×14.192=3392元239F=？季度0123

第二種方法：把等額支付的每一個支付看作為一次支付，求出每個支付的將來值，然后把將來值加起來，這個和就是等額支付的實際結(jié)果。

F=1000(F/P，3%，8)+1000(F/P，3%，4)+1000=3392元

F=A(F/A,12.55%,3)=1000×3.3923=3392元

第三種方法：將名義利率轉(zhuǎn)化為年有效利率，以一年為基礎(chǔ)進行計算。年有效利率是第二種方法：把等額支付的每一個支付看作為

通過三種方法計算表明，按年利率12%，每季度計息一次，從現(xiàn)在起連續(xù)三年的1000元等額年末借款與第三年年末的3392元等值。通過三種方法計算表明，按年利率12%，每季度計息一次，從

例4:假定現(xiàn)金流量是：第6年年末支付300元，第9、10、11、12年末各支付60元，第13年年末支付210元，第15、16、17年年末各獲得80元。按年利率5％計息，與此等值的現(xiàn)金流量的現(xiàn)值P為多少？P=?0300678910111213141516172106080例4:假定現(xiàn)金流量是：第6年年末支付300解：P=－300(P/F,5%,6)－60(P/A,5%,4)(P/F,5%,8)－

210(P/F,5%,13)+80(P/A,5%,3)(P/F,5%,14)=－3000.7162－603.54560.6768－2100.5303+802.72320.5051=－369.16

也可用其他公式求得

P=－300(P/F,5%,6)－60(F/A,5%,4)(P/F,5%,12)－

210(P/F,5%,13)+80(F/A,5%,3)(P/F,5%,17)=－3000.7462－604.31010.5568－2100.5303+803.1530.4363=－369.16解：P=－300(P/F,5%,6)－60(P/A,5%,

例5:某項目第1~4年平均投資50萬元，第4年建成投產(chǎn)，年凈收益40萬元，第5~10年生產(chǎn)達產(chǎn)后年均凈收益70萬元。第11~12年生產(chǎn)約有下降，年均凈收益50萬元，在年利率8%時，求終值、現(xiàn)值、第4年期末的等值資金？例5:某項目第1~4年平均投資50萬元，第62課堂練習1、某工程投資100萬元，第三年開始投產(chǎn)，需要流動資金300萬元，投產(chǎn)后，每年銷售收入抵銷經(jīng)營成本后為300萬元，第5年追加投資500萬元，當年見效且每年銷售收入抵銷經(jīng)營成本后為750萬元，該項目的經(jīng)濟壽命為10年，殘值100萬元，繪制該項目的現(xiàn)金流量圖？62課堂練習1、某工程投資100萬元，第三年開始投產(chǎn)，需要流63課堂練習2.貸款上大學，年利率5％，每學年初貸款6000元，4年畢業(yè)，畢業(yè)1年后開始還款，6年內(nèi)按年等額付清，每年應(yīng)付多少？（1）繪制該問題的現(xiàn)金流量圖（2）寫出計算式63課堂練習2.貸款上大學，年利率5％，每學年初貸款課堂練習3.某投資工程，第4年投產(chǎn)，生產(chǎn)期20年，預(yù)測投產(chǎn)后年均凈收益180萬元，若基準投資收益率為10％，如果第1年投資400萬元，第2年投資300萬元，試求第3年尚需投資多少萬元?（1）繪制該問題的現(xiàn)金流量圖（2）寫出計算式課堂練習3.某投資工程，第4年投產(chǎn)，生產(chǎn)期20年，預(yù)

某新工程項目欲投資200萬元，工程1年建成，生產(chǎn)經(jīng)營期為9年，期末不計算余值。期望投資收益率為12％，問每年至少應(yīng)等額回收多少金額？4：023456789101PA某新工程項目欲投資200萬元，工程1年建成，2022/12/17663.4常用的還本付息方式

在現(xiàn)代貨幣市場中，借款人與銀行（債權(quán)人）事前約定還款的方式和期限，慣用的方式有等額還款、等額還本、每期付息到期一次還本和本息到期一次總付等四種方式。2022/12/15663.4常用的還本付息方式在2022/12/1767(一)等額還款

這種方式是要求借款人每期歸還相等的金額，直至到約定的期限還清本金和利息。這種還本付息方式便于借款人記憶和均勻地籌集還款數(shù)額。

表3-5等額還款方式計算表（單位：萬元）年份12345合計年初欠款100.0082.2463.4243.4922.37311.52年末還本付息23.7023.7023.7023.7023.70118.50其中付息5.944.893.772.581.3318.50還本17.7618.8219.9321.1222.37100.00年末欠款82.2463.4243.4922.370.003.4常用的還本付息方式2022/12/1567(一)等額還款這種方式是2022/12/1768(二)等額還本

這種方式要求借款人每期歸還除等額的本金外，再加上每期的利息支付。這種方式對借款人初期的還款壓力較大。表3-6

等額還本方式計算表（單位：萬元）年份12345

合計年初欠款100.0080.0060.0040.0020.00300.00年末還本付息25.9424.7523.5622.3821.19117.82

其中付息5.944.753.562.381.1917.82還本20.0020.0020.0020.0020.00100.00年末欠款80.0060.0040.0020.000.003.4常用的還本付息方式2022/12/1568(二)等額還本這種方式要2022/12/1769(三)每期付息到期一次還本

這種方式常見于債券的償付，債權(quán)人按票面值獲得利息，到期一次兌現(xiàn)面值。表3-7

每期付息到期一次還本計算表（單位：萬元）年份12345合計年初欠款100.00100.00100.00100.00100.00500.00年末還本付息5.945.945.945.94105.94129.7其中付息5.945.945.945.945.9429.70還本0000100.00100.00年末欠款100.00100.00100.00100.0003.4常用的還本付息方式2022/12/1569(三)每期付息到期一次還本2022/12/1770(四)本息到期一次總付

這種方式常發(fā)生在投資較大、建設(shè)期較長的項目貸款。表3-8

本息到期一次總付計算表（單位：萬元）年份12345合計年初欠款100.00105.94112.23118.90125.96563.03年末還本付息0000133.44133.44其中付息000033.4433.44還本0000100.00100.00年末欠款105.94112.23118.90125.9603.4常用的還本付息方式2022/12/1570(四)本息到期一次總付這種方2022/12/1771

由于貨幣的時間價值，不能把發(fā)生在不同時間的利息或還款額簡單地相加來判斷還本付息的好壞。事實上，以上例子中的4種還款方式的貨幣時間價值都是一樣的。3.4常用的還本付息方式2022/12/1571由于貨幣的時間價第三章含時間因素的貨幣等值計算第三章含時間因素的貨幣等值計算講授內(nèi)容一、利息計算公式二、等值的計算三、電子表格的運用講授內(nèi)容一、利息計算公式一、利息計算公式（一）利息的種類1、單利利息；2、復利利息（二）現(xiàn)金流量圖（CashFlowDiagram）（三）利息計算公式1、一次支付復利公式；2、一次支付現(xiàn)值公式3、等額支付系列復利公式；4、等額支付系列積累基金公式5、等額支付系列資金恢復公式；6、等額支付系列現(xiàn)值公式7、均勻梯度系列公式（四）運用利息公式應(yīng)注意的問題（五）名義利率和有效利率1、離散式復利；2、連續(xù)式復利一、利息計算公式（一）利息的種類（一）利息的種類假設(shè)以年利率6%借入資金1000元，共借4年，其償還情況如表所示：（一）利息的種類假設(shè)以年利率6%借入資金1000元，共借4年1、單利計息即每期均按原始本金計算利息，這種計息方式稱為單利（計息）。利息與時間呈線性關(guān)系，不論計息期數(shù)為多大，只有本金計息，而利息本身不再計息。設(shè)P代表本金，n代表計息期數(shù)，i代表利率，I代表所付或所收的總利息，F(xiàn)代表本利和，則有：I=PniF=P(1+ni)1、單利計息即每期均按原始本金計算利息，這種計息方式稱為單利2、復利計息將本期的利息轉(zhuǎn)為下期的本金，下期將按本利和的總額計息，這種計息方式稱為復利（計息）。同樣設(shè)P代表本金，n代表計息期數(shù)，i

代表利率，I代表所付或所收的總利息，F(xiàn)代表本利和，則有：F=P(1+i)

nI=P{(1+i)n?1}2、復利計息將本期的利息轉(zhuǎn)為下期的本金，下期將按本利和的總額我國銀行目前名義上用的還是單利計算，只是通過存期的不同，規(guī)定不同的單利利率。我國當前居民銀行存款利率：一年（2.25%）；二年（2.79%）；三年（3.33%）；五年（3.60%）貸款利率：半年至一年（5.31%）；一至三年（5.40%）；三至五年（5.76%）；五年以上（5.94%）我國銀行目前名義上用的還是單利計算，只是通過存期的不同，規(guī)定符號定義：

P—現(xiàn)值

F—終值

i—年利率

n—計息期數(shù)

A—年金（年值）Annuity計息期末等額發(fā)生的現(xiàn)金流量

G—等差支付系列中的等差變量符號定義：（三）利息公式第一年年初:P第一年年末:P(1+i)第二年年末:P(1+i)+P(1+i)i=P(1+i)2

……第n年年末:P(1+i)n（三）利息公式第一年年初:P（三）利息公式1、一次支付復利公式F=P（1+i）ni

——利率(interestrate)；n

——計息期數(shù)(number)；P

——現(xiàn)在值(PresentValue/worth)；F

——將來值(FutureValue/worth)；(1+i)n

——一次支付復利系數(shù)(single-paymentcompoundamountfactor)，有時記為（F/P,i,n）,則有F=P(F/P,i,n)（三）利息公式1、一次支付復利公式案例在第一年年初，以年利率6%投資1000元，則到第四年年末可得本利和多少？案例在第一年年初，以年利率6%投資1000元，則到第四年2、一次支付現(xiàn)值公式

一次支付現(xiàn)值系數(shù)2、一次支付現(xiàn)值公式一次支付現(xiàn)值系數(shù)案例為了在第四年年末得到1262.50元，按年利率6%計算，現(xiàn)在必須投資多少？答：或案例為了在第四年年末得到1262.50元，按年利率6%計3、等額支付系列復利公式

…等額支付系列復利系數(shù)3、等額支付系列復利公式…等額支付系列復利系數(shù)案例連續(xù)5年每年年末借款1000元，按年利率6%計算，第5年年末累積借款多少？答：

案例連續(xù)5年每年年末借款1000元，按年利率6%計算，第4、等額支付系列積累基金公式

等額支付系列積累基金系數(shù)4、等額支付系列積累基金公式等額支付系列積累基金系數(shù)案例如果要在第5年年末得到資金1000元，按年利率6%計算，從現(xiàn)在起連續(xù)5年每年必須存儲多少？答：

案例如果要在第5年年末得到資金1000元，按年利率6%計⒌等額支付系列資金回收（恢復）公式等額支付系列資金回收現(xiàn)金流量圖0123……………….n-1n年P(guān)AAA……………….

？=AAF⒌等額支付系列資金回收（恢復）公式等額支付系列資金回收現(xiàn)金=（A/P，i，n）_____資金回收系數(shù)（capitalrecoveryfactor）

(1+i)n

-1i(1+i)n

而于是=P（A/P，i，n）i=(1+i)n

-1A(1+i)n

P=（A/P，i，n）_____資金回收系數(shù)(1+i)n-15、等額支付系列資金恢復公式

等額支付系列資金恢復系數(shù)5、等額支付系列資金恢復公式等額支付系列案例如果現(xiàn)在以年利率5%投資1000元，在今后的8年中，每年年末以相等的數(shù)額提取回收本利和，則每年年末可以等額提取多少？

案例如果現(xiàn)在以年利率5%投資1000元，在今后的8年中，6、等額支付系列現(xiàn)值公式

等額支付系列現(xiàn)值系數(shù)6、等額支付系列現(xiàn)值公式等額支付系列案例按年利率6%計算，為了能夠在今后5年中每年年末得到100萬元的利潤，假設(shè)不考慮殘值的影響，現(xiàn)在應(yīng)投資多少？答：

案例按年利率6%計算，為了能夠在今后5年中每年年末得到1含時間因素的貨幣等值計算教材課件7、均勻梯度系列公式某工廠購進一臺機器設(shè)備，每年都需要設(shè)備制造商提供一次有償維護服務(wù)，該機器設(shè)備隨著使用而日益老化，所需勞動力和備件將越來越多，所需維護費用也將逐步增加，該工廠可選擇以下兩種維護費支付方式：（1）在使用n年以后再支付前n年的維護費；（2）在購進機器時一次性支付n年維護費；已知第一年年末的維護費用為A1，當每年的維護費用以相同的金額G增加時，在考慮資金時間價值的情況下，這兩種方式分別應(yīng)支付多少維護費？7、均勻梯度系列公式某工廠購進一臺機器設(shè)備，每年都需要設(shè)備制7、均勻梯度系列公式如果將上面現(xiàn)金流量圖轉(zhuǎn)化為等額支付系列：（1）第一種支付方式：等額支付系列復利公式（F）；（2）第二種支付方式：等額支付系列現(xiàn)值公式（P）；

7、均勻梯度系列公式如果將上面現(xiàn)金流量圖轉(zhuǎn)化為等額支付系列：7、均勻梯度系列公式7、均勻梯度系列公式7、均勻梯度系列公式等額支付系列積累基金公式

等額支付系列資金恢復公式

等額支付系列復利公式：

7、均勻梯度系列公式等額支付系列積累基金公式等額支付系列資7、均勻梯度系列公式等額支付系列復利系數(shù)梯度系數(shù)（A/G,i,n）7、均勻梯度系列公式等額支付系列復利系數(shù)梯度系數(shù)案例假定某人第一年末把1000元存入銀行，以后9年每年遞增存款200元。如果年利率為8%，把這筆存款折算成10年的年末等額支付系列，相當于每年存入多少？答：

案例假定某人第一年末把1000元存入銀行，以后9年每年遞案例假定某人第一年末把5000元存入銀行，以后5年每年遞減600元。如果年利率為9%，把這筆存款折算成6年的年末等額支付系列，相當于每年存入多少？答：

案例假定某人第一年末把5000元存入銀行，以后5年每年遞等比梯度系列等比梯度系列8、運用利息公式應(yīng)注意的問題（1）為了實施方案的初始投資，假定發(fā)生在方案的壽命期初；（2）方案實施工程中的經(jīng)常性支出，假定發(fā)生在計息期末；（3）本年的年末即是下一年的年初；（4）P是在當前年度開始時發(fā)生；（5）F是在當前以后的第n年年末發(fā)生；（6）A是在考察期間各年年末發(fā)生。當問題包括P和A時，系列的第一個A是在P發(fā)生一年后的年末發(fā)生；當問題包括F和A時，系列的最后一個A是和F同時發(fā)生；（7）均勻梯度系列中，第一個G發(fā)生在系列的第二年年末。8、運用利息公式應(yīng)注意的問題（1）為了實施方案的初始投資，假（四）名義利率和有效利率當利率的時間單位與計息期不一致時，就出現(xiàn)了名義利率和有效利率的概念。有效利率(effectiveinterestrate)：資金在計息期所發(fā)生的實際利率。(年)名義利率(nominalinterestrate)：當計息期短于一年時，每一計息期的有效利率乘上一年中計息期數(shù)所得到的年利率。例如，“每半年計息一次，計息期的利率為3%”，3%為實際計息用的利率，即有效利率。3%×2=6%為(年)名義利率。（四）名義利率和有效利率當利率的時間單位與計息期不一致時，就（四）名義利率和有效利率有效利率和名義利率的關(guān)系實際上是復利和單利的關(guān)系。例如，“年利率12%，每月計息一次”。此時，12%為名義利率，年有效利率為：（四）名義利率和有效利率有效利率和名義利率的關(guān)系實際上是復利案例如果實際的年有效利率為12%，按每月計息一次，那么實際的月有效利率為多少？年名義利率為多少？解析：假設(shè)月實際利率為r，則有：(1+r)12=1+12%

從而可估算出月有效利率為0.95%；年名義利率為：12×0.95%=11.4%。案例如果實際的年有效利率為12%，按每月計息一次，那1、離散式復利離散式復利：按期（年、季、月和日）計息的方法。例如：年利率為6%，每半年計息一次，有效年利率是多少？年利率為6%，每月計息一次，有效年利率又是多少？兩者進行比較后可以得出什么結(jié)論？一年中計算復利的次數(shù)越頻繁，則年有效利率比年名義利率越高。1、離散式復利離散式復利：按期（年、季、月和日）計息的方法。1、離散式復利如果名義利率為r，一年中計算利息n次，每次計息的利率為r/n，根據(jù)一次支付復利系數(shù)公式，年末本利和為：1、離散式復利如果名義利率為r，一年中計算利息n次，每案例假定某人把1000元進行投資，時間為10年，利息按年利率8%，每季度計息一次計算，求10年末的將來值？解析：每年計息4次，10年的計息期為4×10=40次，每一計息期的有效利率為8%÷4=2%，10年末的將來值：

名義利率為8%，每年的計息期n=4,年有效利率為：

案例假定某人把1000元進行投資，時間為10年，利息名義利率為6%，計息期不同時的年有效利率比較：由小到大頻率增大名義利率為6%，計息期不同時的年有效利率比較：由小到大頻率增連續(xù)復利下的利息計算公式

連續(xù)復利下的利息計算公式二、等值的計算478.20012345678年300i=6%012345678年i=6%

同一利率下不同時間的貨幣等值

在某項經(jīng)濟活動中，如果兩個方案的經(jīng)濟效果相同，就稱這兩個方案是等值的。例如：在年利率6%情況下，現(xiàn)在的300元等值于8年末的300×(1+0.06)8=478.20元。這兩個等值的現(xiàn)金流量如下圖所示。（一）等值的概念二、等值的計算478.20012即使金額相等，由于發(fā)生的時間不同，其價值并不一定相等；反之，不同時間上發(fā)生的金額不等，其貨幣的價值卻可能相等。貨幣的等值包括三個因素

金額金額發(fā)生的時間利率

如果兩個現(xiàn)金流量等值，則在任何時間其相應(yīng)的值必定相等。貨幣等值是考慮了貨幣的時間價值即使金額相等，由于發(fā)生的時間不同，其價值并不一定相等；貨幣的

從利息表上查到，當n=9，1.750落在6%和7%之間。6%的表上查到1.6897%的表上查到1.839從用直線內(nèi)插法可得(二)計息期為一年的等值計算相同有效利率名義利率直接計算

例：當利率為多大時，現(xiàn)在的300元等值于第9年年末的525元？解：F=P(F/P,i,n)525=300(F/P,i,9)(F/P,i,9)=525/300=1.750從利息表上查到，當n=9，1.750落在6%和

計算表明，當利率為6.41%時，現(xiàn)在的300元等值于第9年年末的525元。例：當利率為8%時，從現(xiàn)在起連續(xù)6年的年末等額支付為多少時與第6年年末的10000等值？

A=F（A/F,8%,6）=10000(0.1363)=1363元/年

計算表明，當利率為8%時，從現(xiàn)在起連續(xù)6年1363元的年末等額支付與第6年年末的10000等值。解：100000123456年i=8%0123456年A=？i=8%計算表明，當利率為6.41%時，現(xiàn)在的3

例：當利率為10%時，從現(xiàn)在起連續(xù)5年的年末等額支付為600元，問與其等值的第0年的現(xiàn)值為多大？解：

P=A(P/A,10%,5)=2774.59元計算表明，當利率為10%時，從現(xiàn)在起連續(xù)5年的600元年末等額支付與第0年的現(xiàn)值2274.50元是等值的。(三)計息期短于一年的等值計算如計息期短于一年，仍可利用以上的利息公式進行計算，這種計算通?？梢猿霈F(xiàn)下列三種情況：例：當利率為10%時，從現(xiàn)在起連續(xù)5年的年末等額支付為

1.計息期和支付期相同例：年利率為12%，每半年計息一次，從現(xiàn)在起，連續(xù)3年，每半年為100元的等額支付，問與其等值的第0年的現(xiàn)值為多大？

解：每計息期的利率

（每半年一期）n=(3年)×(每年2期)=6期

P=A（P/A，6%，6）=100×4.9173=491.73元計算表明，按年利率12%，每半年計息一次計算利息，從現(xiàn)在起連續(xù)3年每半年支付100元的等額支付與第0年的現(xiàn)值491.73元的現(xiàn)值是等值的。1.計息期和支付期相同（每半年一期）n=(3

例：求等值狀況下的利率。假如有人目前借入2000元，在今后兩年中分24次等額償還，每次償還99.80元。復利按月計算。試求月有效利率、名義利率和年有效利率。解：現(xiàn)在99.80=2000（A/P，i,24）（A/P，i,24）=99.80/2000=0.0499

查表，上列數(shù)值相當于i=1.5%。因為計息期是一個月，所以月有效利率為1.5%。名義利率：

r=(每月1.5%）×（12個月）=18%

年有效利率：例：求等值狀況下的利率。假如有人目前

2.計息期長于于支付期

通常規(guī)定存款必須存滿整個一個計息期時才計算利息，在計息期間存入的款項在該期不計算利息。

計息期間的存款應(yīng)放在期末，而計息期間的提款應(yīng)放在期初。

2.計息期長于于支付期計息期間的存款應(yīng)放在期末，而計息期間的提款應(yīng)放在期初。

每季度計息一次，年利率8％，求年底帳戶總額。

例：250400100存款提款1001000123456789101112（月）

(二)計息期大于支付期的情況計息期間的存款應(yīng)放在期末，而計息期間的提款應(yīng)放在期初。每季解：按上述原則，現(xiàn)金流量圖可改畫為：10025040010020001234季度300解：按上述原則，現(xiàn)金流量圖可改畫為：100250400100

例:求每半年向銀行借1400元，連續(xù)借10年的等額支付系列的等值將來值。利息分別按:1）年利率為12％,每年計息一次。

2）年利率為12％，每半年計息一次

3）年利率12％，每季度計息一次，這三種情況計息。01210年28002800140014002800解：1）計息期長于支付期1400例:求每半年向銀行借1400元，連續(xù)借10年的等額支付2）計息期等于支付期F=1400(F/A,12%÷2，102）＝51500（元）3）計息期短于支付期F=1400(A/F，3%，2)(F/A，3%，410）＝52000（元）0123414001400i＝12％÷4＝3％A=1400(A/F,3%,2)季度2）計息期等于支付期F=1400(F/A,12%÷2，10

3.計息期短于支付期例：按年利率為12%，每季度計息一次計算利息，從現(xiàn)在起連續(xù)3年的等額年末支付借款為1000元，問與其等值的第3年年末的借款金額為多大？

解：其現(xiàn)金流量如下圖

0123456789101112季度F=？1000100010003.計息期短于支付期0

第一種方法：取一個循環(huán)周期，使這個周期的年末支付轉(zhuǎn)變成等值的計息期末的等額支付系列，其現(xiàn)金流量見下圖：012342392392392390123410001000將年度支付轉(zhuǎn)化為計息期末支付（單位：元）

A=F（A/F，3%，4）=1000×0.2390=239元（A/F，3%，4）第一種方法：取一個循環(huán)周期，使這個周期的年末

239F=？季度0123456789101112經(jīng)轉(zhuǎn)變后計息期與支付期重合（單位：元）F=A（F/A，3%，12）=239×14.192=3392元239F=？季度0123

第二種方法：把等額支付的每一個支付看作為一次支付，求出每個支付的將來值，然后把將來值加起來，這個和就是等額支付的實際結(jié)果。

F=1000(F/P，3%，8)+1000(F/P，3%，4)+1000=3392元

F=A(F/A,12.55%,3)=1000×3.3923=3392元

第三種方法：將名義利率轉(zhuǎn)化為年有效利率，以一年為基礎(chǔ)進行計算。年有效利率是第二種方法：把等額支付的每一個支付看作為

通過三種方法計算表明，按年利率12%，每季度計息一次，從現(xiàn)在起連續(xù)三年的1000元等額年末借款與第三年年末的3392元等值。通過三種方法計算表明，按年利率12%，每季度計息一次，從

例4:假定現(xiàn)金流量是：第6年年末支付300元，第9、10、11、12年末各支付60元，第13年年末支付210元，第15、16、17年年末各獲得80元。按年利率5％計息，與此等值的現(xiàn)金流量的現(xiàn)值P為多少？P=?0300678910111213141516172106080例4:假定現(xiàn)金流量是：第6年年末支付300解：P=－300(P/F,5%,6)－60(P/A,5%,4)(P/F,5%,8)－

210(P/F,5%,13)+80(P/A,5%,3)(P/F,5%,14)=－3000.7162－603.54560.6768－2100.5303+802.72320.5051=－369.16

也可用其他公式求得

P=－300(P/F,5%,6)－60(F/A,5%,4)(P/F,5%,12)－

210(P/F,5%,13)+80(F/A,5%,3)(P/F,5%,17)=－3000.7462－604.31010.5568－2100.5303+803.1530.4363=－369.16解：P=－300(P/F,5%,6)－60(P/A,5%,

例5:某項目第1~4年平均投資50萬元，第4年建成投產(chǎn)，年凈收益40萬元，第5~10年生產(chǎn)達產(chǎn)后年均凈收益70萬元。第11~12年生產(chǎn)約有下降，年均凈收益50萬元，在年利率8%時，求終值、現(xiàn)值、第4年期末的等值資金？