分類計數(shù)原理和分步計數(shù)原理

關(guān)于分類計數(shù)原理和分步計數(shù)原理第一頁，共二十頁，2022年，8月28日甲問題1

從甲地到乙地，可以乘火車，也可以乘汽車。一天中，火車有3班，汽車有2班。那么一天中，乘坐這些交通工具從甲地到乙地共有多少種不同的走法？乙火車2火車1火車3汽車1汽車23+2=5（種）第二頁，共二十頁，2022年，8月28日分類計數(shù)原理分類計數(shù)原理又稱“加法原理”

完成一件事，有n類辦法，在第1類辦法中有m1

種不同的方法，在第2類方法中有m2

種不同的方法，…，在第n類辦法中有mn

種不同的方法，那么完成這件事共有

N＝m1

＋m2

＋＋mn種不同的方法第三頁，共二十頁，2022年，8月28日關(guān)于分類計數(shù)原理的幾點注記：

⑴各類辦法之間相互獨立，都能完成這件事，且辦法總數(shù)是各類辦法相加，所以這個原理又叫做加法原理；⑵分類時，首先要在問題的條件之下確定一個分類標準，然后在確定的分類標準下進行分類；⑶完成這件事的任何一種方法必屬于某一類，且分別屬于不同兩類的兩種方法都是不同的——不重不漏．第四頁，共二十頁，2022年，8月28日火車2火車1火車3問題2

從甲地到乙地，要從甲地先乘火車到丙地，再于次日從丙地乘汽車到乙地。一天中，火車有3班，汽車有2班，那么兩天中，從甲地到乙地共有多少種不同的走法？甲乙丙汽車2汽車1火車1－汽車1火車1－汽車2火車2－汽車1火車2－汽車2火車3－汽車1火車3－汽車2第五頁，共二十頁，2022年，8月28日分步計數(shù)原理完成一件事，需要分成ｎ個步驟，做第1步有種不同的方法，做第2步有種不同的方法……做第ｎ步有種不同的方法．那么完成這件事共有N＝種不同的方法．分步計數(shù)原理又叫作“乘法原理”第六頁，共二十頁，2022年，8月28日關(guān)于分步計數(shù)原理的幾點注記⑴各個步驟之間相互依存，且方法總數(shù)是各個步驟的方法數(shù)相乘，所以這個原理又叫做乘法原理；⑵分步時首先要在問題的條件之下確定一個分步標準，然后在確定的分步標準下分步；

⑶完成這件事的任何一種方法必須并且只需連續(xù)完成每一個步驟．更多資源

第七頁，共二十頁，2022年，8月28日分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理的區(qū)別分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理，回答的都是有關(guān)做一件事的不同方法總數(shù)的問題．區(qū)別在于：分類計數(shù)原理針對的是“分類”問題，其中各種方法相互獨立，用中任何一種方法都可以做完這件事；分步計數(shù)原理針對的是“分步”問題，各個步驟中的方法相互依存，只有各個步驟都完成才算做完這件事．第八頁，共二十頁，2022年，8月28日例題例1

書架的第1層放有4本不同的計算機書，第2層放有3本不同的文藝書，第3層放有2本不同的體育書。（1）從書架上任取一本書，有多少種取法？（2）從書架的第1、2、3層各取1本書,有多少種不同的取法?

注意區(qū)別“分類”與“分步”第九頁，共二十頁，2022年，8月28日解:

(1)從第1層任取一本,有4種取法,從第2層任取一本,有3種取法,從第3層任取一本,有2種取法,共有

4+3+2=9種取法。答：從書架上任意取一本書，有9種不同的取法。(2)從書架的1、2、3層各取一本書,需要分三步完成,第1步,從第1層取1本書,有4種取法,第2步,從第2層取1本書,有3種取法,第3步,從第3層取1本書,有2種取法.由分步計數(shù)原理知,共有

4×3×2=24種取法。答：從書架上的第1、2、3層各取一本書，有24種不同的取法。分類時要做到不重不漏分步時做到不缺步第十頁，共二十頁，2022年，8月28日例2一種號碼鎖有4個撥號盤,每個撥號盤上有從0到9共10個數(shù)字,這4個撥號盤可以組成多少個四位數(shù)字的號碼?本題的特點是數(shù)字可以重復(fù)使用，例如0000，1111，1212等等，與分步計數(shù)原理比較，這里完成每一步的方法數(shù)m=10，有n=4個步驟,結(jié)果是總個數(shù)N=10×10×10×10=104

解：由于號碼鎖的每個撥號盤有0到9這10個數(shù)字，每個撥號盤的數(shù)字有10種取法。根據(jù)分步計數(shù)原理，4個撥號盤上各取1數(shù)字組成的個數(shù)是答：可以組成10000個四位數(shù)字號碼。N=104

。一般的，完成一件事有n個步驟，每一步驟的方法數(shù)相同，都是m,則完成這件事共有種不同方法。（牢記：步驟數(shù)n是指數(shù)?。﹎n第十一頁，共二十頁，2022年，8月28日3.四名研究生各從A、B、C三位教授中選一位作自己的導(dǎo)師，共有______種選法；三名教授各從四名研究生中選一位作自己的學生，共有_____種選法。2.在1~20共20個整數(shù)中取兩個數(shù)相加,使其和為偶數(shù)的不同取法共有多少種?答.：(10×9+10×9)/2=90（種）.43

1.某中學的一幢5層教學樓共有3處樓梯口,問從1樓到5樓共有多少種不同的走法?答：3×3×3×3=34=81（種）練習

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第十二頁，共二十頁，2022年，8月28日例3

要從甲、乙、丙3名工人中選出2名分別上日班和晚班，有多少種不同的選法？解：從3名工人中選出2名分別上日班和晚班，可以看成是經(jīng)過先選1名上日班，再選1名上晚班這兩個步驟完成。先選1名上日班，共有3種選法；上日班的工人選定后再選1名上晚班，上晚班的工人有2種選法，根據(jù)分步計數(shù)原理,所求的不同的選法數(shù)是答：有6種不同的選法。第十三頁，共二十頁，2022年，8月28日

日班晚班甲乙丙丙乙甲乙甲丙相應(yīng)的排法不同排法如下圖所示甲乙甲丙乙甲乙丙丙甲丙乙

日班晚班練習P86

練習2、3、4、5第十四頁，共二十頁，2022年，8月28日例4

有數(shù)字1，2，3，4，5可以組成多少個三位數(shù)（各位上的數(shù)字許重復(fù)）？解：要組成一個三位數(shù)可以分成三個步驟完成：第一步確定百位上的數(shù)字，從5個數(shù)字中任選一個數(shù)字，共有5種選法；第二步確定十位上的數(shù)字，由于數(shù)字允許重復(fù)，這仍有5種選法；第三步確定十位上的數(shù)字，同理，它也有5種選法。根據(jù)分步計數(shù)原理，得到組成的三位數(shù)的個數(shù)是：

N=5×5×5=53=125

答：可以組成125個三位數(shù)。第十五頁，共二十頁，2022年，8月28日例5:滿足AB={1,2}的集合A,B共有多少種?解析:

法一

A,B均是{1,2}的子集:?,{1},{2},{1,2},但不是隨便兩個子集搭配都行,本題猶如含AB的兩元不定方程,其全部解分為四類:1.當A=?時,只有B={1,2}得1組解;2.當A={1}時,B={2}或{1,2},得2組解;3.當A={2}時,B={1}或{1,2},得2組解;備選例題第十六頁，共二十頁，2022年，8月28日4.當A={1,2}時,B=?或{1}或{2}或{1,2},得4組解由加法原理,共有1+2+2+4=9組解法2:設(shè)A,B為兩個“口袋”,需將兩種元素(1與2)裝入,任一元素至少裝入一個袋中分兩步可辦好此事:第1步裝“1”,可裝入A不裝入B,也可裝入B不裝入A,還可既裝入A又裝入B,有3種裝法;第2步裝“2”,同樣有3種裝法.由乘法原理,共有

3×3=9種裝法第十七頁，共二十頁，2022年，8月28日

1．一件工作可以用兩種方法完成。有5人會用第一種方法完成，另有4人會用第二種方法完成。選出一個人來完成這件工作，共有多少種選法？2．乘積(a1+a2+a3)(b1+b2+b3+b4)(c1+c2+c3+c4+ｃ5)展開后共有項？

4+5=9３×４×５＝６０練習2：1、把四封不同的信任意投入三個信箱中,不同投法種數(shù)是()A.12B.64C.81D.72、火車上有10名乘客，沿途有5個車站，乘客下車的可能方式有（）種A.510B.105C.50D.以上都不對練習1：CA第十八頁，共二十頁，2022年，8月28日總結(jié)：１．分類計數(shù)原理：做一件事，完成它可以有n類辦法，在第一類辦法中有m1種不同的方法，在第一類辦法中有m2種不同的方法，……，在第n類辦法中有mn種不同的方法。那麼完成這件事共有N=m1+m2+……+mn

種不同的方法。

分步計數(shù)原理：做一件事，完成它需要分成n個步驟，做第一步有m1種不同的方法，做第二步有m2種不同的方法，……，做第n步有mn種不