知識講解-指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)

編稿：審稿：y=ax(a>0a≠1)叫做指數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，a1y=ax(a>0且a≠1)y23x，y2x，y3x1①如果a0，則x0時,ax無意義②如果a0y4)xx1x1, <a<1>1質(zhì)x<0>0x<0<a<1>1質(zhì)x<0>0x<0>0ax=ax=1時，y等于底數(shù)a0=1,x=0時，y=1，圖象都經(jīng)過(0，1)R象當(dāng)?shù)讛?shù)大小不定時，必須分a1”和0a1”當(dāng)0a1xy0；當(dāng)a1xy0。a1ay軸，遞增速度越快。當(dāng)0a1ay1指數(shù)函數(shù)yax與y a

y y

②y

③y

④yd又即：x∈(0,+∞)bxaxdxx∈(－∞,0)bxaxdx

y2x

y3x

y (y

y(

x1 1①若AB0ABAB0ABAB0ABAB

1B

11y(a23a3)ax是指數(shù)函數(shù)，求a【答案】y(a23a3)axa23a3 a1或a可得a0,且a1,解得a0且a1，所以a2 x（1）y4x；（2）yx4；（3）y4x；（4）y(4)x（5）y2a1)x(a1且a1；（6）y4x2【答案】1【解析】（1）（5）（6）為指數(shù)函數(shù)．其中（6）y4x= 4

x4不是變數(shù)；（3）是-1與指數(shù)函數(shù)4x的乘積；（4）中底數(shù)40，所以不是指數(shù)函32x32x192xy

1

；(2)y=4x-

；(4)y

(a1的常數(shù)（），(01)2）R)（3） （4）(-

【解析】(1)RxR，3x≠-(13x) ∵y 1 1

1

3x>01∴0 1，11

1 01∴0 1，∴值域為1Ry2x)22x12x1)23，∵2x>0，

2x

x=-1時，y3y

3,4要使函數(shù)有意義可得到不等式32x11032x132，又函數(shù)y3x是增函數(shù)，所以92x12x1，即1，值域是0∵

x

1

x1x

(-∞，-x1xx1xx1x

1

y

1且y

a，∴值域為2x2x2xx1x1x1x12x(1)y2x2- (2)y33-2x-(3)y (4)y1-ax(a0,a2x-（1）R（2）（4）a>1【解析】為使得原函數(shù)有意義，需滿足2x-1≥0，即2x≥1，故x≥0，即1x2233f(x)3

1x223【思路點撥】對于x∈R3

0f(xf(x在區(qū)間（－∞，1）上是增函數(shù)，在區(qū)間[1，+∞）上是減函數(shù)（－∞，+∞1 1 ∴f(x)

x221 ，f(x1 f(x

2x21x23 1x2x22(xx

1(xx)(xx

2 2 2122 x2 fx2

21 33

又∵x2－x1＞0，∴(x2―x1)(x2+x1―2)＜0，則知3x∈Rf(x)0f(x2)f(x1

f(x在（－∞，1）（2）1≤x1＜x2時，x1+x2＞2x1+x2－2＞0．303

1．∴f(x2)f(x1)f(x在[1，+∞）f(x在區(qū)間（－∞，1）上是增函數(shù)，在區(qū)間[1，+∞） 1x22

1 1，0

33f(x的值域為

3 31f(xRu=x2－2xf(u313

13f(u3

在1，）yaf(xa＞1yaf(xyf(x0＜a＜1yaf(xyf(x1y3x23x2的單調(diào)區(qū)間及值域 x,]x[,上單減.(034 ，[2]利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性判斷方法求單調(diào)區(qū)間；[3]求值域u=-x2+3x-2y=3uR上的單調(diào)增函數(shù)，u=-x2+3x-2x

,2u=-x2+3x-2x32y3x23x2x3x3上單減 u=-x2+3x-2(x3)211

1y3x23x2的值域為(0342f(x)ax2-2x(其中a0，且a1)的單調(diào)區(qū)間【解析】當(dāng)a>1時，外層函數(shù)y=au在(，上為增函數(shù)，內(nèi)函數(shù)u=x2-2x在區(qū)間(，1上為減函)ax4（2014 鄭州月考）已知函數(shù)f(x)

x

Ra的范圍

(3a)x2,xa【思路點撥】由題意可得3aa2(3a)2

，由此解得a【答案】

ax

xf(x)(3a)x2,x

Ra可得3aa2(3a)2

故答案為[2，3 (1)1.8a與 )3,34 )- (3)22

(1)22

2與

3(a0,a1 （1）1.8a<1.8a+1（2）()3<()-2

（3） )25<(2.5)0<222當(dāng)a>1

2

30<a<1

2a因為底數(shù)1.8>1，所以函數(shù)y=1.8x為單調(diào)增函數(shù)1

1

1

1 因為34

，又y

是減函數(shù)，所以()3<()-2

，即()3<()-2343

1

31

3 因為22.51， 2

1，所以 )25<(2.5)0<222當(dāng)a>1

2

30<a<1

2a3 A．1.725 B．0.82C．22D．1.7030.90【答案】【解析】對于選項A：函數(shù)y1.7x性質(zhì)知1.7251.73，A不正確對于選項B：函數(shù)y0.8x性質(zhì)知0.820.83，B不正確對于選項 函數(shù)yx性質(zhì)知2

2，C對于選項D：函數(shù)yx03性質(zhì)知1.7030.903，D正D．故應(yīng)選D．【課堂：指數(shù)函數(shù)369066例1 2】利用函數(shù)的性質(zhì)比較2233 【答案】3322 【解析】2226(236 3336(32)6y8x,y9x,y6xy9xy8xy所 2【變式】比較.5-021.30

()3的大小3【答案】

2)31.5021.301313

2 2 【解析】先比較1.502

)022

3

3的大小.由于

(0，1)，

y

xR3

1

0，

0

2)3(2)11 11

(3

)01，再考慮指數(shù)函數(shù)y=1.3x1.3>1y=1.3xR1.307>1.30=1

(2)31.5021.30713142a32aa42a32aa(42a342a32aa2a3【解析 1】如果a2x1ax5（a0，且a1），x【答案】當(dāng)0a1x6a1x【解析】（1）當(dāng)0a1時，由于a2x1ax52x1x5，解得x6（2）當(dāng)a1時，由于a2x1ax52x1x5，解得x6x的取值范圍是：當(dāng)0a1x6；當(dāng)a1x6．7f(x)

2x

1)(x)

(x)為奇函數(shù)【解析】f(x)定義域關(guān)于原點對稱(∵(x)定義域關(guān)于原點對稱，且f(x)的定義域是(x)定義域除掉

2x 這個元素)g(x)2x12g(x)2x1212x

2x1 (2x1)111

1

1)g(x)2x

2x1

2x g(x)(xf(x)為偶函數(shù)f(x)g(x(xg(x與(x)的奇偶性，然后在根據(jù)奇·奇=偶，偶·偶=偶，奇·偶=奇，得出f(x)的奇偶性． 1f(x)2x12【解析】定義域{x|xR

f(x)x2x12)x(12x2)x2x12x1

2x

)x(1 2x

)2

2x12)

f(x)f(-x)=f(x)f(x)偶函數(shù)

是指數(shù)函數(shù)yax的圖象而a1 2,3,

則圖象C1C2C3C4對應(yīng)的函數(shù)的底數(shù)依次 3 3 【解析】由底數(shù)變化引起指數(shù)函數(shù)圖象的變化規(guī)律可知，C2的底數(shù)＜C1C4的底數(shù)＜C3軸的右邊“底大圖高”y軸的左邊“底大圖低”．【變式1】設(shè)f(x)|