




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文檔簡介
關(guān)于變換及其應(yīng)用第一頁,共四十二頁,2022年,8月28日一、實驗?zāi)康?/p>
(1)加深對離散系統(tǒng)變換域分析——z變換的理解。
(2)掌握進行z變換和z反變換的基本方法,了解部分分式法在z反變換中的應(yīng)用。
(3)掌握使用MATLAB語言進行z變換和z反變換的常用子函數(shù)。第二頁,共四十二頁,2022年,8月28日二、實驗涉及的MATLAB子函數(shù)
1.ztrans
功能:返回?zé)o限長序列函數(shù)x(n)的z變換。
調(diào)用格式:
X=ztrans(x);求無限長序列函數(shù)x(n)的z變換X(z),返回z變換的表達(dá)式。第三頁,共四十二頁,2022年,8月28日
2.iztrans
功能:求函數(shù)X(z)的z反變換x(n)。
調(diào)用格式:
x=iztrans(X);求函數(shù)X(z)的z反變換x(n),返回z反變換的表達(dá)式。第四頁,共四十二頁,2022年,8月28日
3.syms
功能:定義多個符號對象。
調(diào)用格式:
symsabw0;把字符a,b,w0定義為基本的符號對象。第五頁,共四十二頁,2022年,8月28日
4.residuez
功能:有理多項式的部分分式展開。
調(diào)用格式:
=residuez(b,a);把b(z)/a(z)展開成(如式(7-3))部分分式。
[b,a]=residuez(rpc);根據(jù)部分分式的r、p、c數(shù)組,返回有理多項式。
其中:b,a為按降冪排列的多項式(如式(7-1))的分子和分母的系數(shù)數(shù)組;r為余數(shù)數(shù)組;p為極點數(shù)組;c為無窮項多項式系數(shù)數(shù)組。第六頁,共四十二頁,2022年,8月28日三、實驗原理
1.用ztrans子函數(shù)求無限長序列的z變換
MATLAB為我們提供了進行無限長序列的z變換的子函數(shù)ztrans。使用時須知,該函數(shù)只給出z變換的表達(dá)式,而沒有給出收斂域。另外,由于這一功能還不盡完善,因而有的序列的z變換還不能求出,z逆變換也存在同樣的問題。第七頁,共四十二頁,2022年,8月28日
例7-1
求以下各序列的z變換。
解
symsw0nza
x1=a^n;X1=ztrans(x1)
x2=n;X2=ztrans(x2)
x3=(n*(n-1))/2;X3=ztrans(x3)
x4=exp(j*w0*n);X4=ztrans(x4)
x5=1/n*(n-1);X5=ztrans(x5)第八頁,共四十二頁,2022年,8月28日程序運行結(jié)果如下:
X1=z/a/(z/a-1)
X2=z/(z-1)^2
X3=-1/2*z/(z-1)^2+1/2*z*(z+1)/(z-1)^3
X4=z/exp(i*w0)/(z/exp(i*w0)-1)
???Errorusing==>sym/maple←表示(x5)不能求出z變換
[ZK(]Error,(inconvert/hypergeom)Summandissin
gularatn=0intheintervalofsummation
第九頁,共四十二頁,2022年,8月28日
Errorin==>C:\MATLAB6p1\toolbox\symbolic\@sym\ztrans.m
Online81==>F=maple(¢map¢,¢ztrans¢,f,n,z);第十頁,共四十二頁,2022年,8月28日
2.用iztrans子函數(shù)求無限長序列的z反變換
MATLAB還提供了進行無限長序列的z反變換的子函數(shù)iztrans。
例7-2
求下列函數(shù)的z反變換。
第十一頁,共四十二頁,2022年,8月28日
解
symsnza
X1=z/(z-1);x1=iztrans(X1)
X2=a*z/(a-z)^2;x2=iztrans(X2)
X3=z/(z-1)^3;x3=iztrans(X3)
X4=(1-z^-n)/(1-z^-1);x4=iztrans(X4)
程序運行結(jié)果如下:
x1=1
x2=n*a^n
x3=-1/2*n+1/2*n^2
x4=iztrans((1-z^(-n))/(1-1/z),z,n)第十二頁,共四十二頁,2022年,8月28日
3.用部分分式法求z反變換
部分分式法是一種常用的求解z反變換的方法。當(dāng)z變換表達(dá)式是一個多項式時,可以表示為
(7-1)
將該多項式分解為真有理式與直接多項式兩部分,即得到:第十三頁,共四十二頁,2022年,8月28日
(7-2)
當(dāng)式中M<N時,式(7-2)的第二部分為0。第十四頁,共四十二頁,2022年,8月28日對于X(z)的真有理式部分存在以下兩種情況。
情況1X(z)僅含有單實極點,則部分分式展開式為
(7-3)第十五頁,共四十二頁,2022年,8月28日
X(z)的z反變換為
情況2X(z)含有一個r重極點。這種情況處理起來比較復(fù)雜,本實驗不做要求,僅舉例7-4供使用者參考。第十六頁,共四十二頁,2022年,8月28日
例7-3
已知 ,|z|>1,試用部分分式法求z反變換,并列出N=20點的數(shù)值。
解由表達(dá)式和收斂域條件可知,所求序列x(n)為一個右邊序列,且為因果序列。將上式按式(7-1)的形式整理得:
第十七頁,共四十二頁,2022年,8月28日求z反變換的程序如下:
b=[1,0,0];
a=[1,-1.5,0.5];
[rpc]=residuez(b,a)
在MATLAB命令窗將顯示:
r=
2
-1
p=
1.0000
0.5000第十八頁,共四十二頁,2022年,8月28日
c=
[]
由此可知,這是多項式M<N的情況,多項式分解后表示為
可寫出z反變換公式:
x(n)=2u(n)-(0.5)nu(n)
第十九頁,共四十二頁,2022年,8月28日如果用圖形表現(xiàn)x(n)的結(jié)果,可以加以下程序:
N=20;n=0:N-1;
x=r(1)*p(1).^n+r(2)*p(2).^n;
stem(n,x);
title(¢用部分分式法求反變換x(n)¢);
其中x的數(shù)值為
x=
[1.00001.50001.75001.87501.93751.96881.98441.9922
1.99611.99801.99901.99951.99981.99991.99992.0000
2.00002.00002.00002.0000]
程序執(zhí)行的結(jié)果如圖7-1所示。第二十頁,共四十二頁,2022年,8月28日
圖7-1用部分分式求解例7-3的z反變換第二十一頁,共四十二頁,2022年,8月28日
*例7-4
用部分分式法求解函數(shù)
的z反變換,寫出h(n)的表示式,并用圖形與impz求得的結(jié)果相比較。
解求z反變換的程序如下:
b=[0,1,0];a=[1,-12,36];
[rpc]=residuez(b,a)
在MATLAB命令窗將顯示:
第二十二頁,共四十二頁,2022年,8月28日
r=
-0.1667-0.0000i
0.1667+0.0000i
p=
6.0000+0.0000i
6.0000-0.0000i
c=
[]
第二十三頁,共四十二頁,2022年,8月28日由此可知,這個多項式含有重極點。多項式分解后表示為
根據(jù)時域位移性質(zhì),可寫出z反變換公式:
第二十四頁,共四十二頁,2022年,8月28日如果要用圖形表現(xiàn)h(n)的結(jié)果,并與impz子函數(shù)求出的結(jié)果相比較,可以在前面已有的程序后面加以下程序段:
N=8;n=0:N-1;
h=r(1)*p(1).^n.*[n>=0]+r(2).*(n+1).*p(2).^n.*[n-1>=0];
subplot(1,2,1),stem(n,h);
title(¢用部分分式法求反變換h(n)¢);
h2=impz(b,a,N);
subplot(1,2,2),stem(n,h2);
title(¢用impz求反變換h(n)¢);
執(zhí)行結(jié)果如圖7-2所示。第二十五頁,共四十二頁,2022年,8月28日
圖7-2用部分分式法和impz子函數(shù)求解例7-4的z反變換第二十六頁,共四十二頁,2022年,8月28日
注意:impz是一個求解離散系統(tǒng)沖激響應(yīng)的子函數(shù),在實驗中我們已使用過。如果把H(z)看成是一個系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù),則H(z)的z反變換就等于這個系統(tǒng)的沖激響應(yīng)。因此,可以用impz的結(jié)果來檢驗用部分分式法求得的z反變換結(jié)果是否正確。第二十七頁,共四十二頁,2022年,8月28日
例7-5
用部分分式法求解例4-2系統(tǒng)函數(shù)的z反變換,并用圖形與impz求得的結(jié)果相比較。
解由上式可知,該函數(shù)表示一個6階系統(tǒng)。其程序如下:
a=[1,0,0.34319,0,0.60439,0,0.20407];
b=[0.1321,0,-0.3963,0,0.3963,0,-0.1321];
[rpc]=residuez(b,a)第二十八頁,共四十二頁,2022年,8月28日此時在MATLAB命令窗將顯示:
r=
-0.1320-0.0001i
-0.1320+0.0001i
-0.1320+0.0001i
-0.1320-0.0001i
0.6537+0.0000i
0.6537-0.0000i
第二十九頁,共四十二頁,2022年,8月28日
p=
-0.6221+0.6240i
-0.6221-0.6240i
0.6221+0.6240i
0.6221-0.6240i
0+0.5818i
0-0.5818i
c=
-0.6473第三十頁,共四十二頁,2022年,8月28日由于該系統(tǒng)函數(shù)分子項與分母項階數(shù)相同,符合M≥N,因此具有沖激項??梢杂蓃、p、c的值寫出z反變換的結(jié)果。
如果要求解z反變換的數(shù)值結(jié)果,并用圖形表示,同時與impz求解的沖激響應(yīng)結(jié)果進行比較,可以在上述程序加:
N=40;n=0:N-1;
h=r(1)*p(1).^n+r(2)*p(2).^n+r(3)*p(3).^n+r(4)*p(4).^n
+r(5)*p(5).^n+r(6)*p(6).^n+c(1).*[n==0];
subplot(1,2,1),stem(n,real(h),'k');第三十一頁,共四十二頁,2022年,8月28日title('用部分分式法求反變換h(n)');
h2=impz(b,a,N);
subplot(1,2,2),stem(n,h2,'k');
title('用impz求反變換h(n)');
由該圖7-3顯示的結(jié)果可以看出,系統(tǒng)函數(shù)的z反變換與impz求解沖激響應(yīng)的圖形相同??梢?,用部分分式求系統(tǒng)函數(shù)的z反變換,也是一種求解系統(tǒng)的沖激響應(yīng)的有效方法。第三十二頁,共四十二頁,2022年,8月28日
4.從變換域求系統(tǒng)的響應(yīng)
在實驗4中,我們用圖4-1表示了離散系統(tǒng)的響應(yīng)與激勵的關(guān)系。由圖可知,系統(tǒng)的響應(yīng)既可以用時域分析的方法求解,也可以用變換域分析法求解。當(dāng)已知系統(tǒng)函數(shù)H(z),又已知系統(tǒng)輸入序列的z變換X(z),則系統(tǒng)響應(yīng)序列的z變換可以由Y(z)=H(z)X(z)求出。第三十三頁,共四十二頁,2022年,8月28日
例7-6
已知一個離散系統(tǒng)的函數(shù)
,輸入序列 ,求系統(tǒng)在變換域的響應(yīng)Y(z)及時間域的響應(yīng)y(n)。
解根據(jù)實驗4、5、6和本實驗已掌握的方法,我們可以采用各種方法求解。本例僅采用先從變換域求解Y(z),再用反變換求y(n)的方法,以鞏固本實驗所學(xué)習(xí)的內(nèi)容。第三十四頁,共四十二頁,2022年,8月28日
MATLAB程序如下:
symsz
X=z./(z-1);
H=z.^2./(z.^2-1.5*z+0.5);
Y=X.*H
y=iztrans(Y)
程序運行后,將顯示以下結(jié)果:
Y=
z^3/(z-1)/(z^2-3/2*z+1/2)
y=
2*n+2^(-n)第三十五頁,共四十二頁,2022年,8月28日
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