變換及其應用

關于變換及其應用第一頁，共四十二頁，2022年，8月28日一、實驗目的

(1)加深對離散系統(tǒng)變換域分析——z變換的理解。

(2)掌握進行z變換和z反變換的基本方法，了解部分分式法在z反變換中的應用。

(3)掌握使用MATLAB語言進行z變換和z反變換的常用子函數。第二頁，共四十二頁，2022年，8月28日二、實驗涉及的MATLAB子函數

1.ztrans

功能：返回無限長序列函數x(n)的z變換。

調用格式：

X＝ztrans(x)；求無限長序列函數x(n)的z變換X(z)，返回z變換的表達式。第三頁，共四十二頁，2022年，8月28日

2.iztrans

功能：求函數X(z)的z反變換x(n)。

調用格式：

x＝iztrans(X)；求函數X(z)的z反變換x(n)，返回z反變換的表達式。第四頁，共四十二頁，2022年，8月28日

3.syms

功能：定義多個符號對象。

調用格式：

symsabw0；把字符a，b，w0定義為基本的符號對象。第五頁，共四十二頁，2022年，8月28日

4.residuez

功能：有理多項式的部分分式展開。

調用格式：

＝residuez(b，a)；把b(z)/a(z)展開成(如式(7-3))部分分式。

［b，a］＝residuez(rpc)；根據部分分式的r、p、c數組，返回有理多項式。

其中：b，a為按降冪排列的多項式(如式(7-1))的分子和分母的系數數組；r為余數數組；p為極點數組；c為無窮項多項式系數數組。第六頁，共四十二頁，2022年，8月28日三、實驗原理

1.用ztrans子函數求無限長序列的z變換

MATLAB為我們提供了進行無限長序列的z變換的子函數ztrans。使用時須知，該函數只給出z變換的表達式，而沒有給出收斂域。另外，由于這一功能還不盡完善，因而有的序列的z變換還不能求出，z逆變換也存在同樣的問題。第七頁，共四十二頁，2022年，8月28日

例7-1

求以下各序列的z變換。

解

symsw0nza

x1＝a^n；X1＝ztrans(x1)

x2＝n；X2＝ztrans(x2)

x3＝(n*(n－1))/2；X3＝ztrans(x3)

x4＝exp(j*w0*n)；X4＝ztrans(x4)

x5＝1/n*(n－1)；X5＝ztrans(x5)第八頁，共四十二頁，2022年，8月28日程序運行結果如下：

X1＝z/a/(z/a－1)

X2＝z/(z－1)^2

X3＝－1/2*z/(z－1)^2＋1/2*z*(z＋1)/(z－1)^3

X4＝z/exp(i*w0)/(z/exp(i*w0)－1)

???Errorusing＝＝>sym/maple←表示(x5)不能求出z變換

[ZK(]Error，(inconvert/hypergeom)Summandissin

gularatn＝0intheintervalofsummation

第九頁，共四十二頁，2022年，8月28日

Errorin＝＝>C：＼MATLAB6p1＼toolbox＼symbolic＼@sym＼ztrans.m

Online81＝＝>F＝maple(￠map￠，￠ztrans￠，f，n，z)；第十頁，共四十二頁，2022年，8月28日

2.用iztrans子函數求無限長序列的z反變換

MATLAB還提供了進行無限長序列的z反變換的子函數iztrans。

例7-2

求下列函數的z反變換。

第十一頁，共四十二頁，2022年，8月28日

解

symsnza

X1＝z/(z－1)；x1＝iztrans(X1)

X2＝a*z/(a－z)^2；x2＝iztrans(X2)

X3＝z/(z－1)^3；x3＝iztrans(X3)

X4＝(1－z^－n)/(1－z^－1)；x4＝iztrans(X4)

程序運行結果如下：

x1＝1

x2＝n*a^n

x3＝－1/2*n＋1/2*n^2

x4＝iztrans((1－z^(－n))/(1－1/z)，z，n)第十二頁，共四十二頁，2022年，8月28日

3.用部分分式法求z反變換

部分分式法是一種常用的求解z反變換的方法。當z變換表達式是一個多項式時，可以表示為

(7-1)

將該多項式分解為真有理式與直接多項式兩部分，即得到：第十三頁，共四十二頁，2022年，8月28日

(7-2)

當式中M<N時，式(7-2)的第二部分為0。第十四頁，共四十二頁，2022年，8月28日對于X(z)的真有理式部分存在以下兩種情況。

情況1X(z)僅含有單實極點，則部分分式展開式為

(7-3)第十五頁，共四十二頁，2022年，8月28日

X(z)的z反變換為

情況2X(z)含有一個r重極點。這種情況處理起來比較復雜，本實驗不做要求，僅舉例7-4供使用者參考。第十六頁，共四十二頁，2022年，8月28日

例7-3

已知 ，|z|>1，試用部分分式法求z反變換，并列出N＝20點的數值。

解由表達式和收斂域條件可知，所求序列x(n)為一個右邊序列，且為因果序列。將上式按式(7-1)的形式整理得：

第十七頁，共四十二頁，2022年，8月28日求z反變換的程序如下：

b＝［1，0，0］；

a＝［1，－1.5，0.5］；

[rpc]＝residuez(b，a)

在MATLAB命令窗將顯示：

r＝

2

－1

p＝

1.0000

0.5000第十八頁，共四十二頁，2022年，8月28日

c＝

［］

由此可知，這是多項式M<N的情況，多項式分解后表示為

可寫出z反變換公式：

x(n)＝2u(n)－(0.5)nu(n)

第十九頁，共四十二頁，2022年，8月28日如果用圖形表現x(n)的結果，可以加以下程序：

N＝20；n＝0：N－1；

x＝r(1)*p(1).^n＋r(2)*p(2).^n；

stem(n，x)；

title(￠用部分分式法求反變換x(n)￠)；

其中x的數值為

x＝

[1.00001.50001.75001.87501.93751.96881.98441.9922

1.99611.99801.99901.99951.99981.99991.99992.0000

2.00002.00002.00002.0000］

程序執(zhí)行的結果如圖7-1所示。第二十頁，共四十二頁，2022年，8月28日

圖7-1用部分分式求解例7-3的z反變換第二十一頁，共四十二頁，2022年，8月28日

*例7-4

用部分分式法求解函數

的z反變換，寫出h(n)的表示式，并用圖形與impz求得的結果相比較。

解求z反變換的程序如下：

b＝［0，1，0］；a＝［1，－12，36］；

[rpc]＝residuez(b，a)

在MATLAB命令窗將顯示：

第二十二頁，共四十二頁，2022年，8月28日

r＝

－0.1667－0.0000i

0.1667＋0.0000i

p＝

6.0000＋0.0000i

6.0000－0.0000i

c＝

［］

第二十三頁，共四十二頁，2022年，8月28日由此可知，這個多項式含有重極點。多項式分解后表示為

根據時域位移性質，可寫出z反變換公式：

第二十四頁，共四十二頁，2022年，8月28日如果要用圖形表現h(n)的結果，并與impz子函數求出的結果相比較，可以在前面已有的程序后面加以下程序段：

N＝8；n＝0：N－1；

h＝r(1)*p(1).^n.*［n>＝0］＋r(2).*(n＋1).*p(2).^n.*［n－1>＝0］；

subplot(1，2，1)，stem(n，h)；

title(￠用部分分式法求反變換h(n)￠)；

h2＝impz(b，a，N)；

subplot(1，2，2)，stem(n，h2)；

title(￠用impz求反變換h(n)￠)；

執(zhí)行結果如圖7-2所示。第二十五頁，共四十二頁，2022年，8月28日

圖7-2用部分分式法和impz子函數求解例7-4的z反變換第二十六頁，共四十二頁，2022年，8月28日

注意：impz是一個求解離散系統(tǒng)沖激響應的子函數，在實驗中我們已使用過。如果把H(z)看成是一個系統(tǒng)的系統(tǒng)函數，則H(z)的z反變換就等于這個系統(tǒng)的沖激響應。因此，可以用impz的結果來檢驗用部分分式法求得的z反變換結果是否正確。第二十七頁，共四十二頁，2022年，8月28日

例7-5

用部分分式法求解例4-2系統(tǒng)函數的z反變換，并用圖形與impz求得的結果相比較。

解由上式可知，該函數表示一個6階系統(tǒng)。其程序如下：

a＝［1，0，0.34319，0，0.60439，0，0.20407］；

b＝［0.1321，0，－0.3963，0，0.3963，0，－0.1321］；

[rpc]＝residuez(b，a)第二十八頁，共四十二頁，2022年，8月28日此時在MATLAB命令窗將顯示：

r＝

－0.1320－0.0001i

－0.1320＋0.0001i

－0.1320＋0.0001i

－0.1320－0.0001i

0.6537＋0.0000i

0.6537－0.0000i

第二十九頁，共四十二頁，2022年，8月28日

p＝

－0.6221＋0.6240i

－0.6221－0.6240i

0.6221＋0.6240i

0.6221－0.6240i

0＋0.5818i

0－0.5818i

c=

－0.6473第三十頁，共四十二頁，2022年，8月28日由于該系統(tǒng)函數分子項與分母項階數相同，符合M≥N，因此具有沖激項?？梢杂蓃、p、c的值寫出z反變換的結果。

如果要求解z反變換的數值結果，并用圖形表示，同時與impz求解的沖激響應結果進行比較，可以在上述程序加：

N=40;n=0:N－1;

h=r(1)*p(1).^n＋r(2)*p(2).^n＋r(3)*p(3).^n＋r(4)*p(4).^n

＋r(5)*p(5).^n＋r(6)*p(6).^n＋c(1).*[n==0];

subplot(1,2,1),stem(n,real(h),'k');第三十一頁，共四十二頁，2022年，8月28日title('用部分分式法求反變換h(n)');

h2=impz(b,a,N);

subplot(1,2,2),stem(n,h2,'k');

title('用impz求反變換h(n)');

由該圖7-3顯示的結果可以看出，系統(tǒng)函數的z反變換與impz求解沖激響應的圖形相同?？梢?，用部分分式求系統(tǒng)函數的z反變換，也是一種求解系統(tǒng)的沖激響應的有效方法。第三十二頁，共四十二頁，2022年，8月28日

4.從變換域求系統(tǒng)的響應

在實驗4中，我們用圖4-1表示了離散系統(tǒng)的響應與激勵的關系。由圖可知，系統(tǒng)的響應既可以用時域分析的方法求解，也可以用變換域分析法求解。當已知系統(tǒng)函數H(z)，又已知系統(tǒng)輸入序列的z變換X(z)，則系統(tǒng)響應序列的z變換可以由Y(z)＝H(z)X(z)求出。第三十三頁，共四十二頁，2022年，8月28日

例7-6

已知一個離散系統(tǒng)的函數

，輸入序列 ，求系統(tǒng)在變換域的響應Y(z)及時間域的響應y(n)。

解根據實驗4、5、6和本實驗已掌握的方法，我們可以采用各種方法求解。本例僅采用先從變換域求解Y(z)，再用反變換求y(n)的方法，以鞏固本實驗所學習的內容。第三十四頁，共四十二頁，2022年，8月28日

MATLAB程序如下：

symsz

X＝z./(z－1)；

H＝z.^2./(z.^2－1.5*z＋0.5)；

Y＝X.*H

y＝iztrans(Y)

程序運行后，將顯示以下結果：

Y＝

z^3/(z－1)/(z^2－3/2*z＋1/2)

y＝

2*n＋2^(－n)第三十五頁，共四十二頁，2022年，8月28日