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文檔簡介

關(guān)于變換及其應(yīng)用第一頁,共四十二頁,2022年,8月28日一、實驗?zāi)康?/p>

(1)加深對離散系統(tǒng)變換域分析——z變換的理解。

(2)掌握進行z變換和z反變換的基本方法,了解部分分式法在z反變換中的應(yīng)用。

(3)掌握使用MATLAB語言進行z變換和z反變換的常用子函數(shù)。第二頁,共四十二頁,2022年,8月28日二、實驗涉及的MATLAB子函數(shù)

1.ztrans

功能:返回?zé)o限長序列函數(shù)x(n)的z變換。

調(diào)用格式:

X=ztrans(x);求無限長序列函數(shù)x(n)的z變換X(z),返回z變換的表達(dá)式。第三頁,共四十二頁,2022年,8月28日

2.iztrans

功能:求函數(shù)X(z)的z反變換x(n)。

調(diào)用格式:

x=iztrans(X);求函數(shù)X(z)的z反變換x(n),返回z反變換的表達(dá)式。第四頁,共四十二頁,2022年,8月28日

3.syms

功能:定義多個符號對象。

調(diào)用格式:

symsabw0;把字符a,b,w0定義為基本的符號對象。第五頁,共四十二頁,2022年,8月28日

4.residuez

功能:有理多項式的部分分式展開。

調(diào)用格式:

=residuez(b,a);把b(z)/a(z)展開成(如式(7-3))部分分式。

[b,a]=residuez(rpc);根據(jù)部分分式的r、p、c數(shù)組,返回有理多項式。

其中:b,a為按降冪排列的多項式(如式(7-1))的分子和分母的系數(shù)數(shù)組;r為余數(shù)數(shù)組;p為極點數(shù)組;c為無窮項多項式系數(shù)數(shù)組。第六頁,共四十二頁,2022年,8月28日三、實驗原理

1.用ztrans子函數(shù)求無限長序列的z變換

MATLAB為我們提供了進行無限長序列的z變換的子函數(shù)ztrans。使用時須知,該函數(shù)只給出z變換的表達(dá)式,而沒有給出收斂域。另外,由于這一功能還不盡完善,因而有的序列的z變換還不能求出,z逆變換也存在同樣的問題。第七頁,共四十二頁,2022年,8月28日

例7-1

求以下各序列的z變換。

symsw0nza

x1=a^n;X1=ztrans(x1)

x2=n;X2=ztrans(x2)

x3=(n*(n-1))/2;X3=ztrans(x3)

x4=exp(j*w0*n);X4=ztrans(x4)

x5=1/n*(n-1);X5=ztrans(x5)第八頁,共四十二頁,2022年,8月28日程序運行結(jié)果如下:

X1=z/a/(z/a-1)

X2=z/(z-1)^2

X3=-1/2*z/(z-1)^2+1/2*z*(z+1)/(z-1)^3

X4=z/exp(i*w0)/(z/exp(i*w0)-1)

???Errorusing==>sym/maple←表示(x5)不能求出z變換

[ZK(]Error,(inconvert/hypergeom)Summandissin

gularatn=0intheintervalofsummation

第九頁,共四十二頁,2022年,8月28日

Errorin==>C:\MATLAB6p1\toolbox\symbolic\@sym\ztrans.m

Online81==>F=maple(¢map¢,¢ztrans¢,f,n,z);第十頁,共四十二頁,2022年,8月28日

2.用iztrans子函數(shù)求無限長序列的z反變換

MATLAB還提供了進行無限長序列的z反變換的子函數(shù)iztrans。

例7-2

求下列函數(shù)的z反變換。

第十一頁,共四十二頁,2022年,8月28日

symsnza

X1=z/(z-1);x1=iztrans(X1)

X2=a*z/(a-z)^2;x2=iztrans(X2)

X3=z/(z-1)^3;x3=iztrans(X3)

X4=(1-z^-n)/(1-z^-1);x4=iztrans(X4)

程序運行結(jié)果如下:

x1=1

x2=n*a^n

x3=-1/2*n+1/2*n^2

x4=iztrans((1-z^(-n))/(1-1/z),z,n)第十二頁,共四十二頁,2022年,8月28日

3.用部分分式法求z反變換

部分分式法是一種常用的求解z反變換的方法。當(dāng)z變換表達(dá)式是一個多項式時,可以表示為

(7-1)

將該多項式分解為真有理式與直接多項式兩部分,即得到:第十三頁,共四十二頁,2022年,8月28日

(7-2)

當(dāng)式中M<N時,式(7-2)的第二部分為0。第十四頁,共四十二頁,2022年,8月28日對于X(z)的真有理式部分存在以下兩種情況。

情況1X(z)僅含有單實極點,則部分分式展開式為

(7-3)第十五頁,共四十二頁,2022年,8月28日

X(z)的z反變換為

情況2X(z)含有一個r重極點。這種情況處理起來比較復(fù)雜,本實驗不做要求,僅舉例7-4供使用者參考。第十六頁,共四十二頁,2022年,8月28日

例7-3

已知 ,|z|>1,試用部分分式法求z反變換,并列出N=20點的數(shù)值。

解由表達(dá)式和收斂域條件可知,所求序列x(n)為一個右邊序列,且為因果序列。將上式按式(7-1)的形式整理得:

第十七頁,共四十二頁,2022年,8月28日求z反變換的程序如下:

b=[1,0,0];

a=[1,-1.5,0.5];

[rpc]=residuez(b,a)

在MATLAB命令窗將顯示:

r=

2

-1

p=

1.0000

0.5000第十八頁,共四十二頁,2022年,8月28日

c=

[]

由此可知,這是多項式M<N的情況,多項式分解后表示為

可寫出z反變換公式:

x(n)=2u(n)-(0.5)nu(n)

第十九頁,共四十二頁,2022年,8月28日如果用圖形表現(xiàn)x(n)的結(jié)果,可以加以下程序:

N=20;n=0:N-1;

x=r(1)*p(1).^n+r(2)*p(2).^n;

stem(n,x);

title(¢用部分分式法求反變換x(n)¢);

其中x的數(shù)值為

x=

[1.00001.50001.75001.87501.93751.96881.98441.9922

1.99611.99801.99901.99951.99981.99991.99992.0000

2.00002.00002.00002.0000]

程序執(zhí)行的結(jié)果如圖7-1所示。第二十頁,共四十二頁,2022年,8月28日

圖7-1用部分分式求解例7-3的z反變換第二十一頁,共四十二頁,2022年,8月28日

*例7-4

用部分分式法求解函數(shù)

的z反變換,寫出h(n)的表示式,并用圖形與impz求得的結(jié)果相比較。

解求z反變換的程序如下:

b=[0,1,0];a=[1,-12,36];

[rpc]=residuez(b,a)

在MATLAB命令窗將顯示:

第二十二頁,共四十二頁,2022年,8月28日

r=

-0.1667-0.0000i

0.1667+0.0000i

p=

6.0000+0.0000i

6.0000-0.0000i

c=

[]

第二十三頁,共四十二頁,2022年,8月28日由此可知,這個多項式含有重極點。多項式分解后表示為

根據(jù)時域位移性質(zhì),可寫出z反變換公式:

第二十四頁,共四十二頁,2022年,8月28日如果要用圖形表現(xiàn)h(n)的結(jié)果,并與impz子函數(shù)求出的結(jié)果相比較,可以在前面已有的程序后面加以下程序段:

N=8;n=0:N-1;

h=r(1)*p(1).^n.*[n>=0]+r(2).*(n+1).*p(2).^n.*[n-1>=0];

subplot(1,2,1),stem(n,h);

title(¢用部分分式法求反變換h(n)¢);

h2=impz(b,a,N);

subplot(1,2,2),stem(n,h2);

title(¢用impz求反變換h(n)¢);

執(zhí)行結(jié)果如圖7-2所示。第二十五頁,共四十二頁,2022年,8月28日

圖7-2用部分分式法和impz子函數(shù)求解例7-4的z反變換第二十六頁,共四十二頁,2022年,8月28日

注意:impz是一個求解離散系統(tǒng)沖激響應(yīng)的子函數(shù),在實驗中我們已使用過。如果把H(z)看成是一個系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù),則H(z)的z反變換就等于這個系統(tǒng)的沖激響應(yīng)。因此,可以用impz的結(jié)果來檢驗用部分分式法求得的z反變換結(jié)果是否正確。第二十七頁,共四十二頁,2022年,8月28日

例7-5

用部分分式法求解例4-2系統(tǒng)函數(shù)的z反變換,并用圖形與impz求得的結(jié)果相比較。

解由上式可知,該函數(shù)表示一個6階系統(tǒng)。其程序如下:

a=[1,0,0.34319,0,0.60439,0,0.20407];

b=[0.1321,0,-0.3963,0,0.3963,0,-0.1321];

[rpc]=residuez(b,a)第二十八頁,共四十二頁,2022年,8月28日此時在MATLAB命令窗將顯示:

r=

-0.1320-0.0001i

-0.1320+0.0001i

-0.1320+0.0001i

-0.1320-0.0001i

0.6537+0.0000i

0.6537-0.0000i

第二十九頁,共四十二頁,2022年,8月28日

p=

-0.6221+0.6240i

-0.6221-0.6240i

0.6221+0.6240i

0.6221-0.6240i

0+0.5818i

0-0.5818i

c=

-0.6473第三十頁,共四十二頁,2022年,8月28日由于該系統(tǒng)函數(shù)分子項與分母項階數(shù)相同,符合M≥N,因此具有沖激項??梢杂蓃、p、c的值寫出z反變換的結(jié)果。

如果要求解z反變換的數(shù)值結(jié)果,并用圖形表示,同時與impz求解的沖激響應(yīng)結(jié)果進行比較,可以在上述程序加:

N=40;n=0:N-1;

h=r(1)*p(1).^n+r(2)*p(2).^n+r(3)*p(3).^n+r(4)*p(4).^n

+r(5)*p(5).^n+r(6)*p(6).^n+c(1).*[n==0];

subplot(1,2,1),stem(n,real(h),'k');第三十一頁,共四十二頁,2022年,8月28日title('用部分分式法求反變換h(n)');

h2=impz(b,a,N);

subplot(1,2,2),stem(n,h2,'k');

title('用impz求反變換h(n)');

由該圖7-3顯示的結(jié)果可以看出,系統(tǒng)函數(shù)的z反變換與impz求解沖激響應(yīng)的圖形相同??梢?,用部分分式求系統(tǒng)函數(shù)的z反變換,也是一種求解系統(tǒng)的沖激響應(yīng)的有效方法。第三十二頁,共四十二頁,2022年,8月28日

4.從變換域求系統(tǒng)的響應(yīng)

在實驗4中,我們用圖4-1表示了離散系統(tǒng)的響應(yīng)與激勵的關(guān)系。由圖可知,系統(tǒng)的響應(yīng)既可以用時域分析的方法求解,也可以用變換域分析法求解。當(dāng)已知系統(tǒng)函數(shù)H(z),又已知系統(tǒng)輸入序列的z變換X(z),則系統(tǒng)響應(yīng)序列的z變換可以由Y(z)=H(z)X(z)求出。第三十三頁,共四十二頁,2022年,8月28日

例7-6

已知一個離散系統(tǒng)的函數(shù)

,輸入序列 ,求系統(tǒng)在變換域的響應(yīng)Y(z)及時間域的響應(yīng)y(n)。

解根據(jù)實驗4、5、6和本實驗已掌握的方法,我們可以采用各種方法求解。本例僅采用先從變換域求解Y(z),再用反變換求y(n)的方法,以鞏固本實驗所學(xué)習(xí)的內(nèi)容。第三十四頁,共四十二頁,2022年,8月28日

MATLAB程序如下:

symsz

X=z./(z-1);

H=z.^2./(z.^2-1.5*z+0.5);

Y=X.*H

y=iztrans(Y)

程序運行后,將顯示以下結(jié)果:

Y=

z^3/(z-1)/(z^2-3/2*z+1/2)

y=

2*n+2^(-n)第三十五頁,共四十二頁,2022年,8月28日

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