復變函數(shù)與積分變換：第12講

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11、留數(shù)的定義§2留數(shù)1.1引入231.2定義14注：52、留數(shù)定理定理1證明6Dcznz1z3z2由復合閉路定理得：于是，得留數(shù)定理非常重要，也為求積分提供了新方法！7

求沿閉曲線c的積分，歸之為求在c中各孤立奇點的留數(shù).

理論上講，只要知道將

f(z)在

z0鄰域內的洛朗級數(shù)，也就求出了f(z)在該點處的留數(shù),

實際上，展開式有時候并不是很好求的.以下就三類孤立奇點進行討論：3、留數(shù)的計算8定理29證明:由條件,得10注:定理3證明:11證畢.12例1解:13例2解:14例3解:15例4解:16例5解:另解:17另解:由定理2的推導過程知，在使用時，可將m

取得比實際級數(shù)高，有時可使計算更簡單.例如取m=6,184、無窮遠點的留數(shù)定義2注：19注意到：再由無窮遠點留數(shù)定義及留數(shù)定理，立即得到：定理4若在擴充復平面內只有有限個孤立奇點，則在所有奇點（包括無窮點）處的留數(shù)之和為零.20即

關于無窮遠點留數(shù)的計算,還有以下常用公式:定理521練習解:所以故221

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