重慶市長壽區(qū)2022屆高三上學期數(shù)學期末考試試卷

重慶市長壽區(qū)2022屆高三上學期數(shù)學期末考試試卷閱卷入一、單選題(共8題；共16分)得分(2分)設(shè)集合P={3,4,5},Q=(6,7).定義P⑥Q={(a,b)\aEP,beQ),則P③Q中元素的個數(shù)為( )A.3 B.4 C.5 D.6【答案】D【解析】【解答】因為集合P={3>4.5}，Q={6<7},定義P0Q={(a,b)\aEP,b6Q}<所以P0Q={(a,b)\aEP,bEQ}={(3,6),(3,7),(4,6),(4,7),(5,6),(5,7)}.一共6個元素.故答案為：D【分析】根據(jù)已知條件中的新定義可求出P<8Q中元素的個數(shù).TOC\o"1-5"\h\z(2分)已知復數(shù)z滿足(3+4i)z=7+i,則|z|=( )A.1 B.V2 C.V3 D.2V2【答案】B免1 _7+i_(7+i)(3—4i)_25—25i_..【解析】【解口】,z=3+4/=(3+4i)(3-4i)=25 =1-G\z\=V2.故答案為：B.【分析】直接由復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡復數(shù)z,再由復數(shù)求模公式計算得答案.(2分)若五=(1,-2),b=(-2,4),則下列結(jié)論錯誤的是( )A.a//b B.|a|=Vs C.alb D.\b\=2>/5【答案】C【解析】【解答】對于A,因為d=(l,-2),b=(-2,4).所以另=一2示所以有〃石，所以A正確，不符合題意，對于B,因為五=(1,-2),所以=所以B正確，不符合題意，對于C,因為五=（1,-2）,石=（一2,4）,所以港方=一2—8=—10片0，所以日與方不垂直，所以C錯誤，符合題意，對于D,因為方=（一2,4）.所以向=,4+16=2遮,所以D正確，不符合題意，故答案為：C【分析】根據(jù)向量共線坐標運算可判斷A；根據(jù)向量的模的公式進行計算可判斷B、D；根據(jù)向量數(shù)量積的運算可判斷D.（2分）哥德巴赫猜想是“每個大于2的偶數(shù)都可以表示為兩個素數(shù)的和”，如8=3+5.我國數(shù)學家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果.在“2,3,5,7,11”這5個素數(shù)中，任取兩個素數(shù)，其和不是合數(shù)的概率是（ ）A-I B.喘 C-| D-TO【答案】B【解析】【解答】在"2,3,5,7,11”這5個素數(shù)中任取兩個，其和有10種不同的情況如下：5、7、8、9、10、12、13、14、16、18,其中兩素數(shù)之和不是合數(shù)的有5,7,13共3種，所以任取兩個素數(shù)，其和不是合數(shù)的概率為備。故答案為：B.【分析】利用已知條件結(jié)合古典概型求概率公式，進而得出任取兩個素數(shù)，其和不是合數(shù)的概率。（2分）已知直線，過拋物線C：y2=八的焦點且與c交于A,B兩點，線段48的中點關(guān)于y軸的對稱點在直線x=-2上，則=（ ）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】D【解析】【解答】因為拋物線C：y2=4x,所以p=2設(shè)A,8兩點的橫坐標分別為xi，x2因為線段AB的中點關(guān)于y軸的對稱點在直線x=-2±所以線段AB的中點的橫坐標為2,則筆攵=2，即打+不=4故=%i+%2+P=4+2=6故答案為：D【分析】由題意求出拋物線的參數(shù)P，由于直線過焦點，先利用中點的坐標公式求出勺+%2,利用弦長公式+%2+P求出AB的長.（2分）若（1+x）（l-2x）2020=a。+arx+a2x2+…+a202ix2021>則%++…+a202i=（）A.0 B.2 C.-1 D.1【答案】D【解析】【解答】由（1+x）（l一2%）202。=%+arx+a2x2+…+a202ix2021?令x=0,可得劭=1；令X=1,可得+。2+…。2021=2所以即+。2+…a2021=1?故答案為：D.【分析】利用賦值法，令％=0,可求得。0，再令％=1可求得+。2+…。2021，可求出答案.（2分）過點（0,2）作與圓工2+必一2%=0相切的直線1,則直線1的方程為（ ）3%—4y4-8=03x+4y—8=0%=0或3x+4y—8=0x=0或3x—4y—8=0【答案】C【解析】【解答】圓》?+y2-2x=0即為（％—1）2+,2=],圓心是（1,0）,r=1,當直線斜率不存在時，直線方程為 x=0,而d=r=l,直線與圓相切，當直線斜率存在時，設(shè)直線方程為kx-y+2=0,圓心到直線的距離為； d=~r^=1>解得左=一，所以直線1的方程為3x+4y—8=0,綜上：直線1的方程為x=0或3x+4y-8=0,故答案為：C【分析】首先把圓的方程化為標準式，由此求出圓心坐標以及半徑的值，再對斜率分情況討論，由此設(shè)出直線的方程，然后結(jié)合點到直線的距離公式代入數(shù)值計算出k的取值，從而即可得出直線的方程。(2分)已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(l+x)+/(l—x)=O,且/"(—%)=/(x),當1cxs2時，/(x)=2X-1,則f(2022)=( )A.-1 B.-3 C.1 D.3【答案】D【解析】【解答】由/'(l+x)+f(l-x)=0,得/(1+x)=-/(1一x),???/(X+2)=-/(-x)=-/(X),：.f(x+4)=-f(x+2)=/(x),??./(x)的周期為4,.,./(2022)=f(2)=22-1=3?故答案為：D.【分析】利用已知條件結(jié)合轉(zhuǎn)化的方法，進而得出函數(shù)的周期，再利用函數(shù)的周期求出/(2022)的值。閱卷人二、多選題(共4題；共8分)得分(2分)給定一組數(shù)據(jù)5,5,4,3,3,3,2,2,2,1,則這組數(shù)據(jù)的( )A.平均數(shù)為3B.標準差為g C.眾數(shù)為2和3D.中位數(shù)為3【答案】A,C,D【解析】【解答】平均數(shù)為5+5+4+3+3能3+2+2+2+1=3；眾數(shù)為2和3；標準差為J(5-3)2+(5-3)2+…+(]-3)2_2/10；io _~T~中位數(shù)為竽=3.故答案為：ACD.【分析】分別求出這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、眾數(shù)、標準差和中位數(shù)即可得答案.9 9（2分）已知雙曲線的方程為百一號=1，則下列說法錯誤的是（ ）4-3B.漸近線方程為或％±3y=4-3c.焦點為（土VL0） D.焦點到漸近線的距離為孚4【答案】C,D【解析】【解答】由方程可知Q=3,b=y/7,c=79+7=4,則焦點為（±4,0）,c錯誤，符合題意，漸近線方程為y=±，x=±[x，即夕x±3y=0,B正確，不符合題意；離心率為e=2=1,A正確，不符合題意；焦點（4,0）到漸近線+3y=0的距離為d=黯=V7.D錯誤，符合題意故答案為：CD.【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合雙曲線的性質(zhì)，逐項進行判斷，可得答案.11.（2分）正方體ABCD-AiBiGDi中，P,Q分別為棱BC和CC1的中點，則下列說法正確的是（）BQ〃平面4QP平面AQPC.異面直線4C與PQ所成角為90°D.平面4QP截正方體所得截面為等腰梯形【答案】A,C,D【解析】【解答】對于A,P,Q分別為棱BC和CG的中點，所以PQ〃BQ,利用線面平行的判定定理可得BQ〃平面4QP,所以A符合題意；對于B,在正方體中48_L平面44/1。，所以ABJ.A1D,又占014。1，AD1dAB=A，所以A"J"平面ABQDi，若平面AQP,則平面ABGD］〃平面AQP,這與平面4BQ5與平面4QP相交矛盾，所以B不正確；對于C,與B同理可證BCi1平面AiBiC,又PQ〃BQ,所以PQ1平面Ai/C,從而得到PQJ.4C,即異面直線4C與PQ所成角為90。，所以C選項正確；對于D,在正方體中，平面441久0〃平面BBiQC,平面4QPC平面外心。=仍，平面AQPn平面=PQ,???ADJ/PQ,所以平面4QP截正方體所得截面為四邊形APQDi，因為PQHADi，AP=D1Q,即四邊形APQDi為等腰梯形，所以D符合題意;故答案為：ACD.【分析】利用直線與平面平行的判定判斷A；利用反證法判斷B：通過證明線面垂直，得到線線垂直判斷C；找出平面AQP截正方體所得截面判斷D.(2分)已知函數(shù)/(x)=：/一4%+4,則( )A.f(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增 B.x=-2是/(%)的極大值點C./(x)有三個零點 D./(%)在［0,3］上最大值是4【答案】B,C,D【解析】【解答】解：因為/(%)=//—4x+4所以/(x)=X2-4=(x+2)(x-2)，令/(x)=0.解得X=-2或x=2,/'(X)與/(*)隨》的變化情況如下表：X(-00,-2)-2(-2.2)2(2,4-oo)+0—0+極極7大小7fl'L值因此函數(shù)/(x)在(-co,-2),(2,+8)上單調(diào)遞增，在(-2,2)上單調(diào)遞減，故4錯誤;%=-2是/(x)的極大值點，故B正確；因為f(-6)=-44<0,f(-2)=學>0,/(2)= /⑹=52,由函數(shù)的單調(diào)性及零點存在性定理可知/(x)有三個零點，故C正確；當/(%)的定義域為［0,3］時，/(x)在［0,2］上單調(diào)遞減，在(2,3］上單調(diào)遞增，又/(0)=4, /(3)=1,所以f(x)在［0,3］上的最大值是4,故D正確.故答案為：BCD.【分析】對f(x)求導，令/'Q)=0可得x的值，列表可得函數(shù)f(x)的單調(diào)性與極值，再逐個判斷選項即可得出答案.閱卷人三、填空題(共4題；共4分)得分(1分)寫出一個最大值為4,最小值為-2的周期函數(shù)/(x)=.【答案】3sinx+l(答案不唯一)【解析】【解答】根據(jù)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，可得令/(x)=3sinx+l,滿足f(x)最大值為4,最小值為-2的周期函數(shù).故答案為：3sinx+1(答案不唯一)【分析】根據(jù)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)可得答案.（1分）我國古代數(shù)學家僧一行應用“九服暮影算法”在《大衍歷》中建立了唇影長I與太陽天頂距0（0°<0<80°）的對應數(shù)表，這是世界數(shù)學史上較早的一張正切函數(shù)表，根據(jù)三角學知識可知，#影長度1等于表高h與太陽天頂距e正切值的乘積，即l=h-tan0.若對同一“表高”兩次測量，“辱影長”分別是“表高”的2倍和3倍（所成角記￡、92）,則tan（%+02）=.【答案】-1【解析】【解答】由題意l=h-tan。，“唇影長”分別是“表高”的2倍和3倍時，tan4=2,tan4=?criu__c、tan/+tan%2+3 ?3*所以tan（0i+02）=i-un0^02=1=2^3=-lo故答案為：?1?！痉治觥坷脤嶋H問題的已知條件求出tan0ntan02的值，再利用兩角和的正切公式，進而求出tan?+%）的值。（1分）已知lg（x+2y）=Igx+Igy,則2%+y的最小值為.【答案】9【解析】【解答】因為lg（x+2y）=Igx+Igy=Igxy,? 一2 1所以x+2y=xy,x>0,y>0,所以7+3=1,4y則2%+曠=（2*+丫）.（+3=5+華+等5+2符犁=9,當且僅當專=?且介尹1,即x=y=3時取等號.故答案為：9【分析】由已知結(jié)合對數(shù)的運算性質(zhì)可得叁+1=1,然后結(jié)合基本不等式即可求出2x+y的最小值.（1分）已知正四面體ABCD的表面積為28，且A,B,C,D四點都在球O的球面上，則球O的體積為.【答案】孚兀【解析】【解答】正四面體各面都是全等的等邊三角形，設(shè)正四面體的棱長為a,所以該正四面體的表面積為S=4xxaxJa2—（^）2=V3a2-所以a=V2>又正方體的面對角線可構(gòu)成正四面體，若正四面體棱長為注,可得正方體的棱長為1,所以正方體的外接球即為該正四面體的外接球，所以外接球的直徑為國，半徑為亨,所以球。的體積為亨7r.故答案為：梟【分析】利用正四面體的表面積，求出棱長，然后求解外接球的半徑，即可求解外接球的體積.閱卷人四'解答題(共6題；共51分)得分(1分)在①V5bcosA=asinB：@V3asinB=b(2—cos4)；③cosC=與薩這三個條件中任選一個，補充到下面的問題中，并解決該問題：已知△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且a=遮，△ABC的面積為:a,求△ABC的周長.注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.【答案】解：若選擇①，由正弦定理得百sinBcosA=sinAsinB,由于sinBH0,則75cos4=sin/,又sinAH0,所以tanA=8，因為0<4<兀，所以A=@.由a=V5,△ABC的面積為;a,得/csin4=孚，所以字友=亨，所以be=2.由余弦定理得，3=廬+c?-be=(b+c)2-3bc,所以b+c=3,故^ABC的周長為3+V3.若選擇②，由正弦定理得V5sinAsinB=sinB(2—cos4),又sinB。0,則百sinA=2—cosA^所以KsinR+cosA=2,即sin(4+5)=1,又0v4Vtt,所以A+5=去故4=*由a=g，4ABC的面積為Ja,得JbcsinA=g，所以空兒=3，所以be=2.由余弦定理得3=b2+c2—be=(b+c)2—3bc,所以b+c=3,故^ABC的周長為3+V3.若選擇③，由余弦定理得cose=土戶Y=弛:，整理得。2+c2-a2=be，2ab2a由余弦定理得2bccosA=be,所以cosA=*,又0VAV兀，所以A=*由q=\/3,△ABC的面積為a口，得看besinA=卓，所以，兒=乎,所以be=2.4Z由余弦定理得3=Z>2+,2-be=（b+c）2-3bc,所以b+c=3,故△ABC的周長為3+g.【解析】【分析】若選擇①，由正弦定理和同角三角函數(shù)基本關(guān)系式和三角形中角A的取值范圍，進而得出角A的值，再利用a的值和三角形的面積公式，進而得出be的值，再利用余弦定理得出b+c的值，再結(jié)合三角形的周長公式得出三角形^ABC的周長；若選擇②，由正弦定理和輔助角公式化簡為sin（A+5）=1,再利用三角形中角A的取值范圍，進而得出角A的值，再利用a的值和三角形的面積公式得出be的值，再結(jié)合余弦定理得出b+c的值,再利用三角形的周長公式得出三角形^ABC的周長；若選擇③，由余弦定理得B+c2-a2=bc，再由余弦定理和三角形中角A的取值范圍，進而得出角A的值，再利用a的值和三角形的面積公式得出be的值，再利用余弦定理，進而得出b+c的值,再利用三角形的周長公式，進而得出三角形4ABC的周長。1 11（10分）已知數(shù)列｛%?｝滿足%=2,”一一涓=次等比數(shù)列｛%｝的公比為3,且瓦+3=10.“幾十1"（5分）求數(shù)列｛%｝和｛%｝的通項公式;（5分）記數(shù)列。=忍+時，求數(shù)列｛0｝的前n項和【答案】⑴解：因為在一/=；，故數(shù)列點是公差為4的等差數(shù)列，又白=故3 故如=14an/ n因為數(shù)列｛3｝的公比為3.所以比+匕3=打+32瓦=10匕1=10，解得/=1,故bn=3"T.（2）解：藕=芯例=*=：—急，故數(shù)列｛0｝的前n項和1011111211n,3（1一2）+3°+（2-3）+3|+（曠4）+32—（五-e）+3-1111111=［（1-2）+（2一3）+與一4）+…+優(yōu)-喬V+（1+3+32…+3f1 l-3n_n3n-l=1-7m+_Fr3-=nTT+-2~【解析】【分析】（1）根據(jù)數(shù)列的遞推公式可得數(shù)列｛a"的通項公式，根據(jù)等比數(shù)列的定義即可求出

｛%｝的通項公式；（2）根據(jù)分組求和和裂項求和和等比數(shù)列的求和公式即可求出數(shù)列｛%｝的前n項和T”.（10分）在如圖所示的四棱錐P-ABC。中，四邊形ABCD為矩形，PALnABCD,E為PD的中點.（5分）證明：PB〃平面4CE；（5分）若24=40=1,AB=2,求二面角E-AC-B的余弦值.【答案】（1）證明：連接BD,交AC于點。，連接E。，因為。為BD中點，E為PD中點,所以EO〃PB,因為E。u平面ACE,PB。平面ACE,所以PB〃平面ACE；(2)解：如圖，以4為坐標原點，AB,AD,AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標TOC\o"1-5"\h\z系，1 1則4(0,0,0),C(2,1,0).B(2,0,0).E(0, 1),則前=(2,1,0).荏=(0, 1).因為PA1平面ABCD,所以平面4BC的一個法向量為沅=(0,0,1),設(shè)平面4EC的法向量為論=(x,y,z),則,.度=打+t=0,(nAC=2x+y=0令％=1,則y=-2,z=2,所以記=(1,—2,2),所以cosV記，元>=:々由圖可知二面角E-AC-8為鈍二面角，所以二面角E-AC-B的余弦值為—全【解析】【分析】(1)連接BD,交AC于點0,連接E。，貝!)OE〃PB,由此能證明PB〃平面ACE；(2)以A為坐標原點，AB,AD,AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角E-AC-8的余弦值.(10分)已知曲線C:。/+如2=1過點(1,畀T，-孚>(5分)求曲線C的方程，并指出曲線類型；(5分)若直線2x—y—2=0與曲線C的兩個交點為A,B,求△OAB的面積(其中O是坐標原點).【答案】(1)解：曲線C過點(1,乎)和(一-孚)，(a+ib=1fa=i則1或解得2Ua+T6h=1 卜=1'7...曲線C的方程為多+y2=l，表示橢圓.(2x—y-2=0, rr^r(2)解：由1y2 得9/-16x+6=0,%=8±,10.I"2=1, 9設(shè)4（*1，yi）,B（*2，、2），則|AB|=遙|%1-孫1=在牛回=當值又O到直線2x-y-2=o的距離為d=全，△OAB的面積為4x\AB\xd=馬翼【解析】【分析】（1）把點（1,乎）和（一4,-半）代入曲線C中可得關(guān)于a,b的方程組，求解出a,b,可得曲線C的方程和曲線類型;I2x—y—2=0,（2）設(shè)4（工1，y1）,B（%2,丫2）由｛Y2 可得9/—16%+6=0,由韋達定理求出[2+'2=1，\AB\=y[S\xx-x2\,再利用點到直線的距離公式求出O到直線2x—y—2=0的距離，進而求出△OAB的面積.（10分）“學習強國”平臺自上線以來，引發(fā)社會各界廣泛關(guān)注，在黨員干部中更是掀起了一股學習熱潮.該平臺以全方位、多維度、深層次的形式，展現(xiàn)了權(quán)威、準確、生動、有力的“視聽盛宴”，為廣大黨員干部提供了便捷的學習平臺、自我提升的“指南針”、干事創(chuàng)業(yè)的“加油站某單位為調(diào)查工作人員學習強國的情況，隨機選取了400人（男性、女性各200人），記錄了他們2021年年底的積分情況，并將數(shù)據(jù)整理如下：積分性別2000-3000（分）3001-4000（分）4001-5000（分）5001-6000（分）>6000（分）男性8060302010女性20601002002附.<2 幾3—兒） ?八一（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）P（K2>ko）0.100.050.0250.010ko2.7063.8415.0246.635（1）（5分）已知某人積分超過5000分被評定為“優(yōu)秀員工”，否則為“非優(yōu)秀員工”，補全下面的2x2列聯(lián)表，并據(jù)此判斷能否有90%以上的把握認為“評定類型”與“性別”有關(guān);

優(yōu)秀員工非優(yōu)秀員工總計男性女性總計（2）（5分）以樣本估計總體，以頻率估計概率，從已選取的400人中隨機抽取3人，記抽取的3人中屬于“非優(yōu)秀員工”的人數(shù)為X,求X的分布列與數(shù)學期望.【答案】（1）解：補全2x2列聯(lián)表如圖所示:優(yōu)秀員工非優(yōu)秀員工總計男性30170200女性20180200總計5()35040022_400x(30x180-20x170)K=~200x200x50x350~?2.286<2.706,故沒有90%以上的把握認為“評定類型”與“性別”有關(guān).（2）解：由題知，從已選取的400人中隨機抽取1人，屬于“非優(yōu)秀員工”的概率為《X的所有可能取值為0,1,2,3,且P(X=0)=G)3=+，P(X=1)=程(m2X6=備.P(X=2)=廢x/x4)2=凄,p(x=3)=4)3=所以X的分布列為X0123P151221512147512343512所以E(X)=°x++1X備+2x1g+3x涔=膂?【解析】【分析】（1）先利用所給數(shù)據(jù)表補全2x2列聯(lián)表，再利用Kz公式求出K2,利用臨界值表進行判定，可得結(jié)論;（2）先求出從已選取的400人中隨機抽取1人，屬于“非優(yōu)秀員工”的概率為1列出X的所有可能O取值，求出每個變量對應的概率，列表得到分布列，利用期望公式進行求解，可得X的分布列與數(shù)學期望.(10分)已知函數(shù)/(“)=mx—(zn+2)lnx-?，g(x)=—.4 X(5分)若/(%)在x=1處與直線y=-3相切，求出實數(shù)m、n的值以及/(x)的單調(diào)區(qū)間；(5分)若n=2,是否存在實數(shù)巾<0,當xe［l,2］時，不等式/(x)+32g(x)有解？若存在，求出實數(shù)m的取值范圍，若不存在，說明理由.【答案】(1)解：f(x)=翼+與，依題意f(l)=m-n=-3,人X4,/(I)=-2+n=0-得m=—1,n=2,???/'(乃=_(+2)尸)，令f'(x)>0,得一2VXV1,又函數(shù)的定義域是(0,+00),，函數(shù)的單調(diào)遞增為(0,1),單調(diào)遞減為(1,+00).(2)解：當n=2時，/(x)=(皿-2產(chǎn)-1),令/%)>0，得看<X<1，又函數(shù)的定義域是(0,+00),...函數(shù)/(%)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,+8)上單調(diào)遞減.即函數(shù)f(x)在［1,2］上單調(diào)遞減，又g'(x)=1一產(chǎn)令g'(x)>0，得OVxVe,；.g(x)在口，2］上單調(diào)遞增?當2］時，不等式/(x)+32g(x)有解，等價于U(x)+3］maxNg(x)min，即/(D+3Ng(l)，得m+1N0,m>-1.存在m的值符合條件，且m的范圍是［-1,0).【解析】【分析】(1)根據(jù)相切求出m、n,根據(jù)導數(shù)判斷單調(diào)性，可得/(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)利用最值的思想去求解，可得實數(shù)m的取值范圍.

試題分析部分1、試卷總體分布分析總分：79分分值分布客觀題（占比）25.0(31.6%)主觀題（占比）54.0(68.4%)題量分布客觀題（占比）13(59.1%)主觀題（占比）9(40.9%)2、試卷題量分布分析大題題型題目量（占比）分值