高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)之冪函數(shù)講義

永州二中高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第第頁冪函數(shù)1．冪函數(shù)的概念一般地，形如y＝xα(α∈R)的函數(shù)稱為冪函數(shù)，其中底數(shù)x是自變量，α為常數(shù)．2．五種常見冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)函數(shù)特征性質(zhì)y＝xy＝x2y＝x3y＝xeq\f(1,2)y＝x－1圖象定義域Req\a\vs4\al(R)R{x|x≥0}{x|x≠0}值域R{y|y≥0}R{y|y≥0}{y|y≠0}奇偶性奇eq\a\vs4\al(偶)奇非奇非偶奇單調(diào)性增(－∞，0)減，(0，＋∞)增增增(－∞，0)和(0，＋∞)減公共點(diǎn)(1，1)3．常用結(jié)論冪函數(shù)的圖象特征與性質(zhì)對于冪函數(shù)圖象的掌握只要抓住在第一象限內(nèi)三條線分第一象限為六個(gè)區(qū)域，即x＝1，y＝1，y＝x分區(qū)域．根據(jù)α＜0，0＜α＜1，α＝1，α＞1的取值確定位置后，其余象限部分由奇偶性決定．(1)冪函數(shù)在(0，＋∞)上都有定義；(2)冪函數(shù)的圖象過定點(diǎn)(1，1)；(3)當(dāng)α>0時(shí)，冪函數(shù)的圖象都過點(diǎn)(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，特別地，當(dāng)α>1時(shí)，冪函數(shù)的圖象下凸；當(dāng)0<α<1時(shí)，冪函數(shù)的圖象上凸；(4)當(dāng)α<0時(shí)，冪函數(shù)的圖象都過點(diǎn)(1，1)，且在(0，＋∞)上單調(diào)遞減；(5)冪指數(shù)互為倒數(shù)的冪函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象關(guān)于直線y＝x對稱．(6)在第一象限，作直線x＝a(a>1)，它同各冪函數(shù)圖象相交，按交點(diǎn)從下到上的順序，冪指數(shù)按從小到大的順序排列．(7)對于形如f(x)＝xα(其中α∈Z)，當(dāng)α為奇數(shù)時(shí)，冪函數(shù)為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱；當(dāng)α為偶數(shù)時(shí)，冪函數(shù)為偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對稱．(8)對于形如f(x)＝xeq\s\up6(\f(n,m))(其中m∈N*，n∈Z，m與n互質(zhì))的冪函數(shù)的奇偶性：①當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，f(x)為偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對稱；②當(dāng)m，n都為奇數(shù)時(shí)，f(x)為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱；③當(dāng)m為偶數(shù)時(shí)，x>0(或x≥0)，f(x)是非奇非偶函數(shù)，圖象只在第一象限(或第一象限及原點(diǎn)處)．考點(diǎn)一：冪函數(shù)的概念例1.已知函數(shù)f(x)＝(m2＋2m)·xm2＋m－1，m為何值時(shí)，f(x)是冪函數(shù).【變式探究】設(shè)α∈，則使函數(shù)y＝xα的定義域?yàn)镽的所有α的值為（）A．1,3 B．－1,1 C．－1,3 D．－1,1,3考點(diǎn)二：冪函數(shù)的圖象例2.（1）若四個(gè)冪函數(shù)，，，在同一坐標(biāo)系中的部分圖象如圖，則、、、的大小關(guān)系正確的是（）A． B．C． D．【變式探究】（1）若冪函數(shù)與在第一象限的圖象如圖所示，則與的取值情況為（）A.B.C.D.（2）設(shè)則“的圖象經(jīng)過”是“為奇函數(shù)”的（）A．充分不必要件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件考點(diǎn)三：冪函數(shù)的性質(zhì)例3.（1）已知定義在上的冪函數(shù)（為實(shí)數(shù)）過點(diǎn)，記，，，則的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．已知冪函數(shù)，經(jīng)過點(diǎn)，試確定的值，并求滿足條件的實(shí)數(shù)的取值范圍.（3）設(shè)，則的大小關(guān)系是（）A． B． C． D．【變式探究】（1）已知偶函數(shù)在上是減函數(shù)，則整數(shù)a的值是________．（2）已知，則的大小關(guān)系為（）A． B．C． D．（3）已知點(diǎn)（3，28）在函數(shù)f（x）＝xn+1的圖象上，設(shè)，b＝f（lnπ），，則a，b，c的大小關(guān)系為（）A．b＜a＜c B．a(chǎn)＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b（4）已知冪函數(shù)的圖像滿足，當(dāng)時(shí)，在直線的上方；當(dāng)時(shí)，在直線的下方，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_______________.考點(diǎn)四：冪函數(shù)綜合問題例4.（1）已知函數(shù)是冪函數(shù)，直線過點(diǎn)，則的取值范圍是（）A． B． C． D．（2）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)定點(diǎn)A(a，a)，P是函數(shù)y＝(x>0)圖象上一動(dòng)點(diǎn)．若點(diǎn)P，A之間的最短距離為2，則滿足條件的實(shí)數(shù)a的所有值為________．【變式探究】（1）若冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)，則函數(shù)的最大值為（）A． B． C． D．-1（