高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)之冪函數(shù)講義_第1頁
高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)之冪函數(shù)講義_第2頁
高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)之冪函數(shù)講義_第3頁
高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)之冪函數(shù)講義_第4頁
高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)之冪函數(shù)講義_第5頁
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永州二中高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第第頁冪函數(shù)1.冪函數(shù)的概念一般地,形如y=xα(α∈R)的函數(shù)稱為冪函數(shù),其中底數(shù)x是自變量,α為常數(shù).2.五種常見冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)函數(shù)特征性質(zhì)y=xy=x2y=x3y=xeq\f(1,2)y=x-1圖象定義域Req\a\vs4\al(R)R{x|x≥0}{x|x≠0}值域R{y|y≥0}R{y|y≥0}{y|y≠0}奇偶性奇eq\a\vs4\al(偶)奇非奇非偶奇單調(diào)性增(-∞,0)減,(0,+∞)增增增(-∞,0)和(0,+∞)減公共點(diǎn)(1,1)3.常用結(jié)論冪函數(shù)的圖象特征與性質(zhì)對于冪函數(shù)圖象的掌握只要抓住在第一象限內(nèi)三條線分第一象限為六個(gè)區(qū)域,即x=1,y=1,y=x分區(qū)域.根據(jù)α<0,0<α<1,α=1,α>1的取值確定位置后,其余象限部分由奇偶性決定.(1)冪函數(shù)在(0,+∞)上都有定義;(2)冪函數(shù)的圖象過定點(diǎn)(1,1);(3)當(dāng)α>0時(shí),冪函數(shù)的圖象都過點(diǎn)(1,1)和(0,0),且在(0,+∞)上單調(diào)遞增,特別地,當(dāng)α>1時(shí),冪函數(shù)的圖象下凸;當(dāng)0<α<1時(shí),冪函數(shù)的圖象上凸;(4)當(dāng)α<0時(shí),冪函數(shù)的圖象都過點(diǎn)(1,1),且在(0,+∞)上單調(diào)遞減;(5)冪指數(shù)互為倒數(shù)的冪函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象關(guān)于直線y=x對稱.(6)在第一象限,作直線x=a(a>1),它同各冪函數(shù)圖象相交,按交點(diǎn)從下到上的順序,冪指數(shù)按從小到大的順序排列.(7)對于形如f(x)=xα(其中α∈Z),當(dāng)α為奇數(shù)時(shí),冪函數(shù)為奇函數(shù),圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱;當(dāng)α為偶數(shù)時(shí),冪函數(shù)為偶函數(shù),圖象關(guān)于y軸對稱.(8)對于形如f(x)=xeq\s\up6(\f(n,m))(其中m∈N*,n∈Z,m與n互質(zhì))的冪函數(shù)的奇偶性:①當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),f(x)為偶函數(shù),圖象關(guān)于y軸對稱;②當(dāng)m,n都為奇數(shù)時(shí),f(x)為奇函數(shù),圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱;③當(dāng)m為偶數(shù)時(shí),x>0(或x≥0),f(x)是非奇非偶函數(shù),圖象只在第一象限(或第一象限及原點(diǎn)處).考點(diǎn)一:冪函數(shù)的概念例1.已知函數(shù)f(x)=(m2+2m)·xm2+m-1,m為何值時(shí),f(x)是冪函數(shù).【變式探究】設(shè)α∈,則使函數(shù)y=xα的定義域?yàn)镽的所有α的值為()A.1,3 B.-1,1 C.-1,3 D.-1,1,3考點(diǎn)二:冪函數(shù)的圖象例2.(1)若四個(gè)冪函數(shù),,,在同一坐標(biāo)系中的部分圖象如圖,則、、、的大小關(guān)系正確的是()A. B.C. D.【變式探究】(1)若冪函數(shù)與在第一象限的圖象如圖所示,則與的取值情況為()A.B.C.D.(2)設(shè)則“的圖象經(jīng)過”是“為奇函數(shù)”的()A.充分不必要件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件考點(diǎn)三:冪函數(shù)的性質(zhì)例3.(1)已知定義在上的冪函數(shù)(為實(shí)數(shù))過點(diǎn),記,,,則的大小關(guān)系為()A. B. C. D.已知冪函數(shù),經(jīng)過點(diǎn),試確定的值,并求滿足條件的實(shí)數(shù)的取值范圍.(3)設(shè),則的大小關(guān)系是()A. B. C. D.【變式探究】(1)已知偶函數(shù)在上是減函數(shù),則整數(shù)a的值是________.(2)已知,則的大小關(guān)系為()A. B.C. D.(3)已知點(diǎn)(3,28)在函數(shù)f(x)=xn+1的圖象上,設(shè),b=f(lnπ),,則a,b,c的大小關(guān)系為()A.b<a<c B.a(chǎn)<b<c C.b<c<a D.c<a<b(4)已知冪函數(shù)的圖像滿足,當(dāng)時(shí),在直線的上方;當(dāng)時(shí),在直線的下方,則實(shí)數(shù)的取值范圍是_______________.考點(diǎn)四:冪函數(shù)綜合問題例4.(1)已知函數(shù)是冪函數(shù),直線過點(diǎn),則的取值范圍是()A. B. C. D.(2)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,設(shè)定點(diǎn)A(a,a),P是函數(shù)y=(x>0)圖象上一動(dòng)點(diǎn).若點(diǎn)P,A之間的最短距離為2,則滿足條件的實(shí)數(shù)a的所有值為________.【變式探究】(1)若冪函數(shù)的圖象過點(diǎn),則函數(shù)的最大值為()A. B. C. D.-1(

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