冪級數(shù)的展開式

關(guān)于冪級數(shù)的展開式第一頁，共二十一頁，2022年，8月28日

一、泰勒級數(shù)上節(jié)告訴我們：

冪級數(shù)在其收斂域內(nèi)有一個和函數(shù)，把這句話反過來說，就是這個和函數(shù)在收斂域內(nèi)可以展開成冪級數(shù)。我們的問題是：任意給定的函數(shù)f(x)2.如果能展開,是什么?3.展開式是否唯一?1.在什么條件下才能展開成冪級數(shù)?第二頁，共二十一頁，2022年，8月28日證明（定理1回答了問題2和問題3）第三頁，共二十一頁，2022年，8月28日泰勒系數(shù)是唯一的,逐項(xiàng)求導(dǎo)任意次,得泰勒系數(shù)第四頁，共二十一頁，2022年，8月28日定義只要函數(shù)f(x)在已知點(diǎn)任意階可導(dǎo)，f(x)在該點(diǎn)的泰勒級數(shù)總是可以寫出的，那末這個泰勒級數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)是否一定收斂于f(x)呢?不一定.即問題：第五頁，共二十一頁，2022年，8月28日可見在x=0點(diǎn)任意可導(dǎo),比如第六頁，共二十一頁，2022年，8月28日證明必要性第七頁，共二十一頁，2022年，8月28日充分性第八頁，共二十一頁，2022年，8月28日二、函數(shù)展開成冪級數(shù)1.直接法(泰勒級數(shù)法)步驟:如條件滿足，(2)判定是否成立？第九頁，共二十一頁，2022年，8月28日例1解第十頁，共二十一頁，2022年，8月28日例2解第十一頁，共二十一頁，2022年，8月28日例3解:注意:有如下牛頓二項(xiàng)式展開式（展開過程略）第十二頁，共二十一頁，2022年，8月28日雙階乘第十三頁，共二十一頁，2022年，8月28日2.間接法根據(jù)唯一性,利用常見展開式,通過變量代換,四則運(yùn)算,恒等變形,逐項(xiàng)求導(dǎo),逐項(xiàng)積分等方法,求展開式.例如第十四頁，共二十一頁，2022年，8月28日第十五頁，共二十一頁，2022年，8月28日例4解第十六頁，共二十一頁，2022年，8月28日第十七頁，共二十一頁，2022年，8月28日常用函數(shù)的冪級數(shù)展開式：（3）（1）（2）（4）第十八頁，共二十一頁，2022年，8月28日（5）（6）（7）第十九頁，共二十一頁，2022年，8月28日本章要掌握的主要內(nèi)容二。求冪級數(shù)的收斂半徑與收斂區(qū)間三。求冪級數(shù)的和函數(shù)（經(jīng)常要通過逐項(xiàng)微分和逐項(xiàng)積分來處理，冪級數(shù)通過逐項(xiàng)微分和逐項(xiàng)積分以后收斂半徑不變，但端點(diǎn)的收斂性可能改變），求常數(shù)項(xiàng)級數(shù)的和函數(shù)，要通過一個恰當(dāng)?shù)膬缂墧?shù)的和函數(shù)作過渡。四。將函數(shù)展開成冪級數(shù)（要寫出展開式與收斂區(qū)間）應(yīng)掌握展開條件和兩種方法。直接法要記住六個基本公式，實(shí)際處理問題時一般用間接法。一。常數(shù)項(xiàng)級數(shù)（正項(xiàng)級數(shù)，交錯級數(shù)，任意項(xiàng)