應(yīng)力狀態(tài)分析

關(guān)于應(yīng)力狀態(tài)分析第一頁，共七十頁，2022年，8月28日第九章應(yīng)力狀態(tài)分析和強(qiáng)度理論

§9–1應(yīng)力狀態(tài)的概念§9–2平面應(yīng)力狀態(tài)分析——解析法§9–3平面應(yīng)力狀態(tài)分析——圖解法§9–4

梁的主應(yīng)力及其主應(yīng)力跡線§9–5

三向應(yīng)力狀態(tài)研究——應(yīng)力圓法§9–6

平面內(nèi)的應(yīng)變分析§9–7

復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)力--應(yīng)變關(guān)系

——（廣義虎克定律）§9–8

復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的變形比能第二頁，共七十頁，2022年，8月28日§9–１應(yīng)力狀態(tài)的概念應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)一、引言1、鑄鐵與低碳鋼的拉、壓、扭試驗(yàn)現(xiàn)象是怎樣產(chǎn)生的？M低碳鋼鑄鐵PP鑄鐵拉伸P鑄鐵壓縮2、組合變形桿將怎樣破壞？MP第三頁，共七十頁，2022年，8月28日四、普遍狀態(tài)下的應(yīng)力表示

三、單元體：單元體——構(gòu)件內(nèi)的點(diǎn)的代表物，是包圍被研究點(diǎn)的無限小的幾何體，常用的是正六面體。單元體的性質(zhì)——a、平行面上，應(yīng)力均布；

b、平行面上，應(yīng)力相等。二、一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)：

過一點(diǎn)有無數(shù)的截面，這一點(diǎn)的各個(gè)截面上應(yīng)力情況的集合，稱為這點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)（StateofStressataGivenPoint）。xyzs

xsz

s

y應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)txy第四頁，共七十頁，2022年，8月28日xyzs

xsz

s

y應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)txy五、剪應(yīng)力互等定理（TheoremofConjugateShearing

Stress):

過一點(diǎn)的兩個(gè)正交面上,如果有與相交邊垂直的剪應(yīng)力分量,則兩個(gè)面上的這兩個(gè)剪應(yīng)力分量一定等值、方向相對或相離。第五頁，共七十頁，2022年，8月28日tzx六、原始單元體（已知單元體）：例1

畫出下列圖中的A、B、C點(diǎn)的已知單元體。

應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)PPAAsxsxMPxyzBCsxsxBtxztxytyx第六頁，共七十頁，2022年，8月28日七、主單元體、主面、主應(yīng)力：主單元體(Principalbidy)：各側(cè)面上剪應(yīng)力均為零的單元體。主面(PrincipalPlane)：剪應(yīng)力為零的截面。主應(yīng)力(PrincipalStress

）：主面上的正應(yīng)力。主應(yīng)力排列規(guī)定：按代數(shù)值大小，應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)s1s2s3xyzsxsysz第七頁，共七十頁，2022年，8月28日單向應(yīng)力狀態(tài)（UnidirectionalStateofStress）：一個(gè)主應(yīng)力不為零的應(yīng)力狀態(tài)。

二向應(yīng)力狀態(tài)（PlaneStateofStress）：一個(gè)主應(yīng)力為零的應(yīng)力狀態(tài)。應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)三向應(yīng)力狀態(tài)（Three—DimensionalStateof

Stress）：三個(gè)主應(yīng)力都不為零的應(yīng)力狀態(tài)。AsxsxtzxsxsxBtxz第八頁，共七十頁，2022年，8月28日§9–2

平面應(yīng)力狀態(tài)分析——解析法應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)sxtxysyxyzxysxtxysyO第九頁，共七十頁，2022年，8月28日規(guī)定：截面外法線同向?yàn)檎?/p>

ta繞研究對象順時(shí)針轉(zhuǎn)為正；

a逆時(shí)針為正。圖1設(shè)：斜截面面積為S，由分離體平衡得：一、任意斜截面上的應(yīng)力應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)xysxtxysyOsytxysxsataaxyOtn圖2第十頁，共七十頁，2022年，8月28日圖1應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)xysxtxysyOsytxysxsataaxyOtn圖2考慮剪應(yīng)力互等和三角變換，得：同理：第十一頁，共七十頁，2022年，8月28日二、極值應(yīng)力′′應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)xysxtxysyO第十二頁，共七十頁，2022年，8月28日xysxtxysyO在剪應(yīng)力相對的項(xiàng)限內(nèi)，且偏向于x

及y大的一側(cè)。應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)222xyyxminmaxtsstt+-±=?íì￠￠）（第十三頁，共七十頁，2022年，8月28日例2

分析受扭構(gòu)件的破壞規(guī)律。解：確定危險(xiǎn)點(diǎn)并畫其原始單元體求極值應(yīng)力應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)txyCtyxMCxyOtxytyx第十四頁，共七十頁，2022年，8月28日破壞分析應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)低碳鋼鑄鐵第十五頁，共七十頁，2022年，8月28日§9–3

平面應(yīng)力狀態(tài)分析——圖解法對上述方程消去參數(shù)（2），得：一、應(yīng)力圓（

StressCircle）應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)xysxtxysyOsytxysxsataaxyOtn此方程曲線為圓—應(yīng)力圓（或莫爾圓，由德國工程師：OttoMohr引入）第十六頁，共七十頁，2022年，8月28日建立應(yīng)力坐標(biāo)系，如下圖所示，（注意選好比例尺）二、應(yīng)力圓的畫法在坐標(biāo)系內(nèi)畫出點(diǎn)A(x，xy)和B(y，yx)

AB與sa

軸的交點(diǎn)C便是圓心。以C為圓心，以AC為半徑畫圓——應(yīng)力圓；應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)sxtxysyxyOnsataaOsataCA(sx,txy)B(sy,tyx)x2anD(sa,

ta)第十七頁，共七十頁，2022年，8月28日應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)sxtxysyxyOnsataaOsataCA(sx,txy)B(sy,tyx)x2anD(sa,

ta)三、單元體與應(yīng)力圓的對應(yīng)關(guān)系面上的應(yīng)力(，)

應(yīng)力圓上一點(diǎn)(，)面的法線應(yīng)力圓的半徑兩面夾角兩半徑夾角2

；且轉(zhuǎn)向一致。第十八頁，共七十頁，2022年，8月28日四、在應(yīng)力圓上標(biāo)出極值應(yīng)力應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)OCsataA(sx,txy)B(sy,tyx)x2a12a0s1s2s3第十九頁，共七十頁，2022年，8月28日s3例3

求圖示單元體的主應(yīng)力及主平面的位置。(單位：MPa)AB

12解：主應(yīng)力坐標(biāo)系如圖AB的垂直平分線與sa

軸的交點(diǎn)C便是圓心，以C為圓心，以AC為半徑畫圓——應(yīng)力圓0應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)s1s2BAC2s0sata(MPa)(MPa)O20MPa在坐標(biāo)系內(nèi)畫出點(diǎn)第二十頁，共七十頁，2022年，8月28日s3應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)s1s2BAC2s0sata(MPa)(MPa)O20MPa主應(yīng)力及主平面如圖

102AB第二十一頁，共七十頁，2022年，8月28日解法2—解析法：分析——建立坐標(biāo)系如圖60°應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)xyO第二十二頁，共七十頁，2022年，8月28日§9–4

梁的主應(yīng)力及其主應(yīng)力跡線應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)12345P1P2q如圖，已知梁發(fā)生剪切彎曲（橫力彎曲），其上M、Q>0，試確定截面上各點(diǎn)主應(yīng)力大小及主平面位置。單元體：第二十三頁，共七十頁，2022年，8月28日應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)21s1s3s33s1s34s1s1s35a0–45°a0stA1A2D2D1COsA2D2D1CA1Ot2a0stD2D1CD1O2a0=–90°sD2A1Ot2a0CD1A2stA2D2D1CA1O第二十四頁，共七十頁，2022年，8月28日拉力壓力主應(yīng)力跡線（StressTrajectories)：主應(yīng)力方向線的包絡(luò)線——曲線上每一點(diǎn)的切線都指示著該點(diǎn)的拉主應(yīng)力方位（或壓主應(yīng)力方位）。實(shí)線表示拉主應(yīng)力跡線；虛線表示壓主應(yīng)力跡線。應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)1313第二十五頁，共七十頁，2022年，8月28日qxy主應(yīng)力跡線的畫法：11截面22截面33截面44截面ii截面nn截面bacd13應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)31第二十六頁，共七十頁，2022年，8月28日§9–5

三向應(yīng)力狀態(tài)研究——應(yīng)力圓法應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)s2s1xyzs31、空間應(yīng)力狀態(tài)第二十七頁，共七十頁，2022年，8月28日2、三向應(yīng)力分析彈性理論證明，圖a單元體內(nèi)任意一點(diǎn)任意截面上的應(yīng)力都對應(yīng)著圖b的應(yīng)力圓上或陰影區(qū)內(nèi)的一點(diǎn)。圖a圖b整個(gè)單元體內(nèi)的最大剪應(yīng)力為：tmax應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)s2s1xyzs3第二十八頁，共七十頁，2022年，8月28日例4

求圖示單元體的主應(yīng)力和最大剪應(yīng)力。（MPa）解：由單元體圖知：yz面為主面建立應(yīng)力坐標(biāo)系如圖，畫應(yīng)力圓和點(diǎn)1′,得:應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)5040xyz3010(M

Pa)sa（M

Pa）taABCABs1s2s3tmax第二十九頁，共七十頁，2022年，8月28日§9–6

平面內(nèi)的應(yīng)變分析xyO一、疊加法求應(yīng)變分析公式abcdaAOB剪應(yīng)變：直角的增大量！（只有這樣，前后才對應(yīng)）應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)DD1EE1第三十頁，共七十頁，2022年，8月28日應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)xyOabcdaAOBDD2EE2第三十一頁，共七十頁，2022年，8月28日DD3EE3應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)xyOabcdaAOB第三十二頁，共七十頁，2022年，8月28日應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)第三十三頁，共七十頁，2022年，8月28日2、已知一點(diǎn)A的應(yīng)變（），畫應(yīng)變圓二、應(yīng)變分析圖解法——應(yīng)變圓（StrainCircle）1、應(yīng)變圓與應(yīng)力圓的類比關(guān)系建立應(yīng)變坐標(biāo)系如圖在坐標(biāo)系內(nèi)畫出點(diǎn)

A(x，xy/2)

B(y，-yx/2)AB與a

軸的交點(diǎn)C便是圓心以C為圓心，以AC為半徑畫圓——應(yīng)變圓。應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)eaga/2ABC第三十四頁，共七十頁，2022年，8月28日eaga/2三、方向上的應(yīng)變與應(yīng)變圓的對應(yīng)關(guān)系maxmin20D(，/2)2n應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)方向上的應(yīng)變(，/2)

應(yīng)變圓上一點(diǎn)(，/2)

方向線應(yīng)變圓的半徑兩方向間夾角兩半徑夾角2

；且轉(zhuǎn)向一致。ABC第三十五頁，共七十頁，2022年，8月28日四、主應(yīng)變數(shù)值及其方位應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)第三十六頁，共七十頁，2022年，8月28日例5

已知一點(diǎn)在某一平面內(nèi)的1、2、3、方向上的應(yīng)變1、2、3，三個(gè)線應(yīng)變，求該面內(nèi)的主應(yīng)變。解：由i=1,2,3這三個(gè)方程求出

x，y，xy；然后在求主應(yīng)變。應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)第三十七頁，共七十頁，2022年，8月28日例6用45°應(yīng)變花測得一點(diǎn)的三個(gè)線應(yīng)變后，求該點(diǎn)的主應(yīng)變。xyu45o0max應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)第三十八頁，共七十頁，2022年，8月28日§9–7

復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)力--應(yīng)變關(guān)系

——（廣義虎克定律）一、單拉下的應(yīng)力--應(yīng)變關(guān)系二、純剪的應(yīng)力--應(yīng)變關(guān)系應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)xyzsxxyz

x

y第三十九頁，共七十頁，2022年，8月28日三、復(fù)雜狀態(tài)下的應(yīng)力---應(yīng)變關(guān)系依疊加原理,得:應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)

xyzszsytxysx第四十頁，共七十頁，2022年，8月28日主應(yīng)力---主應(yīng)變關(guān)系四、平面狀態(tài)下的應(yīng)力---應(yīng)變關(guān)系:方向一致應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)s1s3s2第四十一頁，共七十頁，2022年，8月28日主應(yīng)力與主應(yīng)變方向一致?應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)第四十二頁，共七十頁，2022年，8月28日五、體積應(yīng)變與應(yīng)力分量間的關(guān)系體積應(yīng)變：體積應(yīng)變與應(yīng)力分量間的關(guān)系:應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)s1s3s2a1a2a3第四十三頁，共七十頁，2022年，8月28日例7已知一受力構(gòu)件自由表面上某一點(diǎn)處的兩個(gè)面內(nèi)主應(yīng)變分別為：1=24010-6，

2=–16010-6，彈性模量E=210GPa，泊松比為=0.3，試求該點(diǎn)處的主應(yīng)力及另一主應(yīng)變。所以，該點(diǎn)處的平面應(yīng)力狀態(tài)應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)第四十四頁，共七十頁，2022年，8月28日me3342.-=應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)第四十五頁，共七十頁，2022年，8月28日例8

圖a所示為承受內(nèi)壓的薄壁容器。為測量容器所承受的內(nèi)壓力值，在容器表面用電阻應(yīng)變片測得環(huán)向應(yīng)變t

=350×l06，若已知容器平均直徑D=500mm，壁厚=10mm，容器材料的E=210GPa，=0.25，試求:1.導(dǎo)出容器橫截面和縱截面上的正應(yīng)力表達(dá)式；2.計(jì)算容器所受的內(nèi)壓力。應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)pppxs1smlpODxABy圖a第四十六頁，共七十頁，2022年，8月28日1、軸向應(yīng)力:(longitudinalstress)解：容器的環(huán)向和縱向應(yīng)力表達(dá)式用橫截面將容器截開，受力如圖b所示,根據(jù)平衡方程應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)psmsmxD圖b第四十七頁，共七十頁，2022年，8月28日用縱截面將容器截開，受力如圖c所示2、環(huán)向應(yīng)力：(hoopstress)3、求內(nèi)壓（以應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系求之）應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)t

m外表面ypststDqdqz圖cO第四十八頁，共七十頁，2022年，8月28日§9－8復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的變形比能23

1圖a圖

c3-m

1-m2-m應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)m圖bmm第四十九頁，共七十頁，2022年，8月28日稱為形狀改變比能或歪形能。應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)圖

c3-m

1-m2-m第五十頁，共七十頁，2022年，8月28日例9

用能量法證明三個(gè)彈性常數(shù)間的關(guān)系。純剪單元體的比能為：純剪單元體比能的主應(yīng)力表示為：應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)txyA13第五十一頁，共七十頁，2022年，8月28日§9–9強(qiáng)度理論的概念§9–10四個(gè)強(qiáng)度理論及其相當(dāng)應(yīng)力§9–11莫爾強(qiáng)度理論及其相當(dāng)應(yīng)力§9-12強(qiáng)度理論的應(yīng)用第五十二頁，共七十頁，2022年，8月28日一、引子：§9–9

強(qiáng)度理論的概念強(qiáng)度理論1、鑄鐵與低碳鋼的拉、壓、扭試驗(yàn)現(xiàn)象是怎樣產(chǎn)生的？M低碳鋼鑄鐵PP鑄鐵拉伸P鑄鐵壓縮2、組合變形桿將怎樣破壞？MP第五十三頁，共七十頁，2022年，8月28日二、強(qiáng)度理論：是關(guān)于“構(gòu)件發(fā)生強(qiáng)度失效（failurebylost

strength）起因”的假說。1、伽利略播下了第一強(qiáng)度理論的種子；三、材料的破壞形式：⑴屈服；⑵斷裂。2、馬里奧特關(guān)于變形過大引起破壞的論述，是第二強(qiáng)度理論的萌芽；3、杜奎特（C.Duguet)提出了最大剪應(yīng)力理論；4、麥克斯威爾最早提出了最大畸變能理論（maximumdistortionenergytheory）；這是后來人們在他的書信出版后才知道的。強(qiáng)度理論第五十四頁，共七十頁，2022年，8月28日§9–10

四個(gè)強(qiáng)度理論及其相當(dāng)應(yīng)力一、最大拉應(yīng)力（第一強(qiáng)度）理論：認(rèn)為構(gòu)件的斷裂是由最大拉應(yīng)力引起的。當(dāng)最大拉應(yīng)力達(dá)到單向拉伸的強(qiáng)度極限時(shí)，構(gòu)件就斷了。1、破壞判據(jù)：2、強(qiáng)度準(zhǔn)則：3、實(shí)用范圍：實(shí)用于破壞形式為脆斷的構(gòu)件。強(qiáng)度理論第五十五頁，共七十頁，2022年，8月28日二、最大伸長線應(yīng)變（第二強(qiáng)度）理論：

認(rèn)為構(gòu)件的斷裂是由最大拉應(yīng)力引起的。當(dāng)最大伸長線應(yīng)變達(dá)到單向拉伸試驗(yàn)下的極限應(yīng)變時(shí)，構(gòu)件就斷了。1、破壞判據(jù)：2、強(qiáng)度準(zhǔn)則：3、實(shí)用范圍：實(shí)用于破壞形式為脆斷的構(gòu)件。強(qiáng)度理論第五十六頁，共七十頁，2022年，8月28日三、最大剪應(yīng)力（第三強(qiáng)度）理論：認(rèn)為構(gòu)件的屈服是由最大剪應(yīng)力引起的。當(dāng)最大剪應(yīng)力達(dá)到單向拉伸試驗(yàn)的極限剪應(yīng)力時(shí)，構(gòu)件就破壞了。1、破壞判據(jù)：3、實(shí)用范圍：實(shí)用于破壞形式為屈服的構(gòu)件。2、強(qiáng)度準(zhǔn)則：強(qiáng)度理論第五十七頁，共七十頁，2022年，8月28日四、形狀改變比能（第四強(qiáng)度）理論：認(rèn)為構(gòu)件的屈服是由形狀改變比能引起的。當(dāng)形狀改變比能達(dá)到單向拉伸試驗(yàn)屈服時(shí)形狀改變比能時(shí)，構(gòu)件就破壞了。1、破壞判據(jù)：2、強(qiáng)度準(zhǔn)則3、實(shí)用范圍：實(shí)用于破壞形式為屈服的構(gòu)件。強(qiáng)度理論第五十八頁，共七十頁，2022年，8月28日§9–11

莫爾強(qiáng)度理論及其相當(dāng)應(yīng)力

莫爾認(rèn)為：最大剪應(yīng)力是使物體破壞的主要因素，但滑移面上的摩擦力也不可忽略（莫爾摩擦定律）。綜合最大剪應(yīng)力及最大正應(yīng)力的因素，莫爾得出了他自己的強(qiáng)度理論。強(qiáng)度理論第五十九頁，共七十頁，2022年，8月28日近似包絡(luò)線極限應(yīng)力圓的包絡(luò)線O

ts

極限應(yīng)力圓一、兩個(gè)概念：1、極限應(yīng)力圓：2、極限曲線：極限應(yīng)力圓的包絡(luò)線（envelope）。強(qiáng)度理論第六十頁，共七十頁，2022年，8月28日[y]saaot[

L]O1O2莫爾理論危險(xiǎn)條件的推導(dǎo)2、強(qiáng)度準(zhǔn)則：1、破壞判據(jù)：O3

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3MKLPN二、莫爾強(qiáng)度理論：任意一點(diǎn)的應(yīng)力圓若與極限曲線相接觸，則材料即將屈服或剪斷。強(qiáng)度理論第六十一頁，共七十頁，2022年，8月28日三、相當(dāng)應(yīng)力：（強(qiáng)度準(zhǔn)則的統(tǒng)一形式）。其中，

*—相當(dāng)應(yīng)力。強(qiáng)度理論3、實(shí)用范圍：實(shí)用于破壞形式為屈服的構(gòu)件及其拉壓極限強(qiáng)度不等的處于復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)的脆性材料的破壞（巖石、混凝土等）。第六十二頁，共七十頁，2022年，8月28日§9–12

強(qiáng)度理論的應(yīng)用一、強(qiáng)度計(jì)算的步驟：1、外力分析：確定所需的外力值。2、內(nèi)力分析：畫內(nèi)力圖，確定可能的危險(xiǎn)面。3、應(yīng)力分析：畫危面應(yīng)力分布圖，確定危險(xiǎn)點(diǎn)并畫出單元體，